1, 空间组织的清晰性
“对我们而言，清晰地解释每个项目的内在关系是十分重要的……以最简洁与直接的方式，而非通过图形或者形式来表现概念。评判一个方案是否简洁，概念必须得以清晰阅读。”（妹岛和世，2004）
“通常，体量上的透明与轻巧并非最终目的，我们致力于将各构成部分以一种清晰的方式来组织。”（SANAA，2005）
评论家反复地将妹岛和西泽的建筑学冠以简洁、朴素（austerity）、纯粹几何的特征。话虽如此，我们还是该定义这些特征在他们作品中的含义。总的来说，热衷简洁的建筑师常被称为极简主义者（minimalist）。10多年前，Atan Allen就认为妹岛不应被归类为本质主义者的极简主义（essentialist minimalism），本质主义者们总想着去除作品中不必要的成分（component）以显现理想形式。实际上，妹岛和西泽都不能被称为极简主义者，如开篇的引言，他们并非像要构筑理想形式，而是要让概念——空间或者构成要素的组织——明晰。
这两位建筑师的作品也常被冠以“非物质性”（immateriality）、“轻巧”、“透明”。然而，就前两个特征而言，应该说他们的作品看起来是“非物质的”与“轻巧”的，而非真正的非物质。虽然常使用透明的玻璃，他们总是强调物质上的透明性并非他们设计的最终目的。“透明性意味着创造各种关系，它并非只是被看穿。透明性也意味着清晰性，不仅在视觉方面，更指概念方面。”
妹岛和西泽在一些访谈与出版物中表达过一些观点，其中，追求清晰的空间组织并清晰地展现出来是最明确的设计目的，这使得他们以简单方案的方式来做项目，只画线条，没有厚度，也没有对物质的期待，线条勾勒出空间轮廓、明确总平面。
在方案中，他们用“最简单与直接的方式”来组织基本的空间关系，从而呈现出关于拓扑学（topological issue）议题的基本组织形式：群集或分区（clustering or compartmentalisation）、集中或分散（concentration or dispersal）、紧凑或分裂（compactness or breakup）、缝隙或封闭（aperture or closure）、室外或室内、限制与联系、连续与断裂。他们想象的便是这些有关空间限定与关系的几何学基础议题，而非几何本身。妹岛和西泽作品可被看作是建筑拓扑学的指南手册。
2 群集与分区的非层级性特征
“在阿尔梅勒剧院，每一种材料，都给予同等的重视”。
“在日本传统建筑中，每一部分都有着相同的权重”。
“我们努力设计一个没有等级性的平面——从头到尾。我们的平面重视表现出自由的移动……光线散布在每个角落也表示从等级性中释放出来”。
对层级性的消除是妹岛、西泽的首要目的，包括建立项目各组成部分的平衡，建立空间属性的均质性。他们的这些原则不仅是表现出“非材料性”或者“透明性”，更与现代主义运动有着紧密联系。风格派运动（De Stijl，现代主义的范例之一）便是基于构成元素的非层级组合，上述原则也被密斯等现代主义建筑师所运用。在风格派和密斯作品中，构图决定了各元素的相对位置与大小；而妹岛、西泽的建筑中则创造出仅仅是重复、或者带有某种程度上的随意、不确定性的构图。除了缺乏如中心、轴线、焦点等层级性元素，他们作品中的等值性，则通过对统一分布的光源以及白颜色，表现为均质性。
消除，或者说急剧的减少层级性，这种思想主导了妹岛、西泽的作品。这类建筑师的职业历程可看作是在消除层级性的方向上不断开拓空间组织的多样可能性。案例如下：
再春馆制药女子公寓（1990/1991）的楼层平面基于宿舍单元的重复而生成，两侧成排的宿舍面对着公共空间。这种空间组织消灭了走廊并允许多样化的路径与关系在住户间产生。在歧阜北方町住宅（1994/1998），住房被当做组成公寓的单元，住房不同的组合方式促成多样化的公寓。这种重复的构图原则与传统的三段式构图（tripartite）相反，随意的构图机制促成潜在的统一秩序。
阿尔梅勒剧院（1998/2006）有着激进的平面组织，平面由一个矩形被分割成不同尺寸的小矩形而组成，所有矩形等级相同，平面看起来几乎就是几何图案。作者声称多样化的空间联系就在这单一的平面中展开。
【阿尔梅勒剧院的平面与模型】
空间组织的方向是简单地将平面划分成组的矩形，广场藏在其中。矩形内部使用功能的可交换性促成了建筑的灵活性。“我们构想这个房子没有层级性，公共性很强，从走道到用房，空间配置原则均相同。”特别是，“总是存在不同大小的用房，一个矩形有可能是一个卧室，另一个则可能为走廊或者庭院，这就是其灵活之处。”
另一个重要项目是金泽21世纪美术馆（1999-2004），西泽曾在一篇文章中提到，该建筑的基本原则之一是“分割用房”（separating the rooms）。分割用房，然后再组合的设计方法日后也应用在他们的诸多项目中。用房分配的过程是随意的，唯一的标准在于亲密性或者距离感、集中或者分散，而不依赖于传统的层级方式。这种非层级性的安排，类似于风格派的构图，然而构图的元素是用房，而没有将造型简化为分离的线或者面的要素化过程（elementarization process）。西泽解释说，在这座博物馆的设计中，“分割用房”的原则首先是作为平面构思，然后，从平面草图转移到工作模型，当给予用房不同的高度后，他们认识到了将平面三维化的潜力。设计过程的另一个基本原则是创造走廊，它在平面组织的成型过程中十分关键，在反复试验中，最初的迷宫状的方案被现在重视观者方向感的方案所取代。当然，将族群的用房环绕一个4.5米高的玻璃封套，高矮不一的盒子从屋顶中立起，从而赋予其与周边环境一个强有力的联系，也是构思的基本点。这一外围的圆形抹去了建筑的正面与背面的分别。通过这样的设计，建筑向周边环境平等一致地开放。最后则是包含室内外的景观设计。
【金泽21世纪美术馆的用房“要素化”过程】
“分割用房”的方法在日后的一些列项目中得以应用，用房成为独立体量，从包围的外套中解放出来。在东京森山住宅（2002-2005）中，散布的体块仍保持着平行的安排。并且，建筑师寻求在各独立体量中的可交换的灵活性，“在这个房子中，客户可自由决定哪些房子自住，哪些房子出租……他可以更换自己的居住领域。想法是设计一个让客户可以享受不同的空间与生活方式，不拘于固定地点的房子”。在Towada艺术中心（2008-2008）中，各用房体块零散布置，但用一条线性走廊相联系。“我们设计的平面由分散的展室组成……展室并非简单分离，而是群团式地聚集，它们构成了整体的连续景观”。
【东京森山住宅】【Towada艺术中心】
在纽约当代艺术新馆（2003-2007）中，一系列不同尺寸的盒子被偏离中心的堆积起来，从而形成采光天窗和平台。在丰田Aizuma讲堂（2006-）中，三层体块同样地自由堆积。三层体块有着起伏的周界，形状各自略有不同，从而产生室外的楼板与天花板——平台和雨篷。室内外的中介空间使建筑与外部环境发生连接。在建筑内部，用房墙面基本都是曲线，大小不一、且互不相连，并和外墙也分开。
【纽约当代艺术新馆】【丰田Aizuma讲堂】
在阿尔梅勒剧院中，平面只是直角、而非网格状地划分，通过对大房间的分隔而获得成组的小房间。而在其它项目中，平面是被格网分隔，通过不同的分隔来形成多样尺寸的用房。如在Funabashi住宅（2002-2004）中，这里的另一大特征是缺乏作为中介的交通空间，和阿尔梅勒剧院相似。在复杂的、不规则的平面中也可见到直角的房间划分，比如在Eda住宅中，不同的格网以平行于周边街道、铁路以及车站广场的不同角度共存。
【Eda住宅】【Funabashi住宅】
Glass Pavilion at the Toledo Museum of Art（2001-2006）特别有趣。虽然它始于矩形周界内的网格分隔，最终成型于一个个独立的、连续外墙的用房，相互间偶然性地联系。如此一来，平面由相互联系的泡泡组合而成，人流追随着形式。建筑严格维系着网格模式与外在轮廓间的内在秩序。矩形网格与外在轮廓具有几何的相似性。
【Glass Pavilion at the Toledo Museum of Art】
所有的机制——房间的连续重复、将矩形简单拼贴而成的平面、房间的分隔以及随意的分布、楼层的任意叠合、利用一个或者多个网格划分平面——都从不同方式生成建筑，然而，他们都具有非等级性的当代空间品质。
3、几何学上的变形——拓扑等值（topological equivalences）
近来，妹岛与西泽的几何形有很大的转变——从简单的圆柱、方体、棱柱（prism）等体型向自由的、通常变形虫式（amoeboid）的几何体所转变。看起来是建筑师的观念有了急剧的变化，实则不然，他们的几何体仍然维系着在原型与变型之间的所谓“拓扑等值”。虽然加入了新属性，这些变型仍保持着与原型间的“拓扑等值”。
长野森林别墅（1992-94）呈圆形，这是因为，“考虑到周围自然环境的均质性，圆形能够有效地和周边环境发生关联，而无需考虑方向性。”他们不是因为完型而考虑使用圆，而是因为其至高的连续性与等向性（isotropic）。庭院也是圆形，但游离于外环圆心一侧，屋顶倾斜方向与斜坡方向相反，相互抵消圆形本身的等向性。
【森林别墅】
阿尔梅勒公园咖啡厅（1999-）的周界也是圆形，内圆如前例，稍稍歪曲（wrap）。Emona酒店（2005-）由两个封闭的环组成，但内环与外环形式上不完全相同，形成内部空间的宽度变化，这与前例“拓扑等值”，但几何形式不同。环空间内维持着相同的层高，但在剖面上有起伏，以适应地形。
【阿尔梅勒公园咖啡厅】【Emona酒店】
21世纪美术馆则是更大尺度的圆形。“我们使用圆形是因为基地位于城市中心，人们从各个方向汇集而来”，“圆形能创造一个连续的形式而不存在任何的衔接点（articulation）……当你想在各自为政的环境内制造连续性空间，圆形是一个理想形式”。但是，建筑师并不认为圆形的完型是值得保持的重要属性，他们开始尝试其它的“拓扑等值”图形。
Alessi 茶具（2002）在拓扑变型方面是具有教示意义的例子：不同的物件像是经过切割后的结果，带有手工不精确性的棱镜体块，但都是没有改变内在属性的初始形式的变型。就好像水果放入果篮后被挤压变型，不同的茶具容器都好似经过同样的完型变形而成。德国Vitra 工厂建筑（2006）的楼层平面同样是圆形的轻微变形，从正常视角将很难看出这种变形，使其看起来也和金泽美术馆一般的完整圆形。
【Alessi 茶具】
【Vitra 工厂建筑】
N博物馆（2004）也有着一个不规则周界的内庭，花房（Flower House，2006）也有着连续性的外皮和两个内院。
【N博物馆】【花房】
瑞士洛桑Rolex学习中心（2005）也能够被看作是多孔的（perforate）单层方体建筑的变形。然而，变形不仅是在平面，更发生在剖面，且不影响楼板和天花板的形状，只是改它们原本平展的属性。起伏的平面在任何地方都没有改变层高，“楼板和天花板的两个面层保持平行着起伏”，这产生了新的空间境遇，证明了改变水平楼板，比之空间周界形式（shape of the perimeter）的改变、甚至不管外墙是否垂直，更能影响建筑空间的属性。
【瑞士洛桑Rolex学习中心】
有着起伏周界的建筑在拓扑学意义上与那些基本图式（elementary figure）是等值的，虽然（建筑变形体）产生了新的几何形式，并在一定程度上通过增加外墙强度从而增加了内外部的联系，影响了我们的空间体验，但它们（与基本形）的内在空间属性是相同的。然而，最激进的空间转变发生在瑞士洛桑Rolex学习中心，如妹岛和西泽所言，虽然拓扑学基础对建筑学而言很重要，但建筑学仍有着自身的条件。我指的是方位方面的条件（positional conditions），建筑与水平地表之间的关系，垂直重力向量的存在，使得在发生在剖面上的情形大大有别于发生在平面的情形。
4、作为联系的限制（Limits as Connections）
妹岛和西泽通常将限制视作与非拓扑学意义上的联系，而非内外空间、或者内部空间中的分界。这种联系包括从在内外部空间之间插入缓冲带，到创造中介的、即时的（instant）空间联系。有时，这种直接的联系是通过透明墙体来实现，有时则通过在不透明的墙体间开洞来实现。在所有的案例，制造联系并不意味着消除限制，相反，清晰的边界促进了联系。
在一些项目中，限制由围绕建筑的阳台或者走廊所组成，借此创造出内外空间之间的缓冲空间，同时也外围地连接各个房间。这一特征可谓是传统日本住宅的缘侧（engawa）空间或者外廊空间的派生物（derivative）。这一限制是S住宅（1997）中最显著的特征，外墙半透明，房间与外部走廊之间是推拉门，它为各用房制造了距离与联系。在N博物馆（1995-1997），一个带有变化宽度的走廊环绕着展厅，并将之与一系列“悬挂”在外部的辅助用房——办公、储存、厕所——相联系。在芝加哥伊利诺斯工学院中心（1997-1998）中，矩形空间——室内或者庭院，与建筑外缘轻微脱离，通过这样的处理，他们定义出一条狭窄的作为走廊以及内外建筑的中介空间。同时，半透明和反射的外皮使得建筑整体作为密斯馆与周边环境的视觉联系。在金泽美术馆中，外围宽度变化的区域创造了内外部间的中介空间，透明玻璃外墙是创造内外联系的一种限制。
然而，在许多情况下，限制是一种无深度的成分——平面中的一根线，是没有时间或空间流失的即时性联系。在阿尔梅勒剧院中，我们想创造从一个房间直接步入另一个房间的交通联系。在东京李子林住宅（2003），每一种功能，而非一组功能，形成一个用房。然而，虽然空间被几何限定，但它们通过开口相互联系。众多的空间和开口为住户提供了创造住房与功能之间的新关系的自由度，当它们相联系时产生了一种软性的私密性。这是妹岛应业主要求创造联系性空间的设计。在这小却精致的房子中移动的确能感受到，极细的墙体是取得空间联系的必要元素。
【东京李子林住宅】
在牙医办公室（Dentist Office）中，单层体量中有着复杂的内部空间。平面看起来是一系列同心圆经振动后，由切线相互联系而产生。同时，曲线上的开口抵消了切线交界的狭窄空间。最终形成空间相互联系的“无止境”空间。在这空间内可以同时感受限制性与无限的连续性，封闭与缝隙，即远又近的距离感。观者在不同的位置可以感知到变幻的空间感觉。
【牙医办公室】
另一个显著案例是洛桑Rolex学习中心，毫无疑问它是SANNA今年的重要项目之一。它是一个空间板块（spatial plate），起始于地面，起伏形成“山谷”。最终，室内通过地形而非墙体来分区，内部可以感知到巨大的空间却由于起伏的楼板和天花板阻挡视线而无法看全。
有别于传统建筑内部依靠墙体来制造空间断裂性、依靠柱子和平板来制造水平连续性，SANNA的一些项目中的现代自由平面可以产生空间连续与断裂的不同感受。比如在牙医办公室中，这种空间属性的获得是通过墙体的配置，在洛桑Rolex学习中心，“地形学上的视野”（topographic horizons）形成了连续性空间中相对而变化的限制，人与空间中的新关系随之产生，促使人们更自由、更积极的参与空间体验。
5、内外空间的可交换性（interior-exterior exchangeability）
“西方与亚洲城市有着诸多差异。我认为西方城市是人工化的，亚洲城市则不然。在亚洲城市，自然物与人工物共处一处，呈现为某种混合体……我认为我们能够通过同时使用建筑与花园，鼓励一种更开放的生活方式。我们能够在城市中心最大限度地维持传统的自然属性，而非要模仿现在西方城市的中心景观。”
对SANNA而言，使用建筑的户外空间是十分重要的，这反映了日本文化与宗教的传统。但是SANNA的作品中还呈现出室内外空间的可交换性特征，这与前文所述的非等级的现代原则是一致的。然而，室内外空间的平等性并非意味着它们失去自身特质或者融为一体，两者仍有着清晰的界限。
在再春馆制药女子公寓中，“客厅就像一条大街：在北边可以见到汽车呼啸而过，从建筑的四个方向都可见到天空”。在森林别墅中，被内环定义的空间覆有玻璃顶棚，使得室内空间有着室外的性格。最近，在A住宅中，也有着同样的空间效果，室内种植的花园向天空也开了窗。建筑师努力地通过发光与透明来延伸室内空间的品质，想抹去室内外的差异，好像整个建筑就是一个花园。巴伦西亚现代艺术学院（2002-）在更大的尺度上使用了“创造一个介于室内外之间的空间”的概念，就好像树下的空间，光透过树叶散射入内。
【A住宅】
【巴伦西亚现代艺术学院】
森山别墅，大面积玻璃和非正式的庭院贯穿于各种各样的体量中，是“想在这里赋予东京市郊特征”的一个案例，“白而薄的墙体体现出周边建筑的特征……它们自身也成为景观的一部分”。而且，“让天花板更高、让窗户更大，房间也就更明亮、室内外的分界更不明显，从而带来一种透明性。当你打开窗户，室外的风、气味、声音随之飘入。”在东京Seijo Town Houses（2005-2007）中，多样化的室外空间延伸入室内：位于地下层的庭院、地面层和屋顶平台的小花园。室外的生活空间使得不同的住宅用房间建立了平衡关系。在东京Garden&House（2006-）中，水平平台垂直堆叠，不同形状的用房占据各平台，用房外部的剩余空间便是花园。
【东京Seijo Town Houses】
【东京Garden&House】
花房有着凹凸面变幻的变形虫（amoeboid）外形，五个手臂从室内伸出与室外空间融合。而且，室外空间也穿透室内，形成内部的两个庭院。横滨Okurayama Apartments（2006）可看作是花房的倒置，它的平面
并非从中心向外部扩散定义，而是从边界开始内向定义。花房的室内空间变为Okurayama Apartments的室外空间，这种倒置反映了两个基地的差异性：花房的基地位于一片大果园中；Okurayama Apartments的基地则位于城区，两者都消除了室内外的等级差异。
【Okurayama Apartments】
上述可知，在一些案例中，室内外的可交换性是基于室内与室外庭院在几何图式上的平等性，在另一些案例，如最后两例中，则基于凹凸起伏的波浪线两侧的各自独特性。
数学一级学科硕士研究生培养方案(0701) 一、适用专业 基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论。 二、培养目标 培养德智体全面发展的、适应国家与社会发展需要的数学专业教师以及研究型、应用型高层次数学专门人才。具体目标如下： 1．树立爱国主义和集体主义思想，具有良好的道德品质和强烈的事业心，能立志为祖国的建设和发展服务。善于合作与交流，有宽阔胸怀和远大理想。 2．掌握系统的数学基础理论和专门知识；了解专业研究方向的前沿学术动态；具有较强的独立学习及研究能力和不断更新知识及创造能力；掌握一门外国语；掌握计算机的基础知识和应用技能；具有较强的综合能力，为未来的数学专业方面工作、科学研究工作奠定坚实的基础。 3．具有健康的体魄和健康的心理素质，有顽强的毅力和持之以恒的精神。 三、学习年限 实行弹性学制2-4年，基础学制3年。 四、学分要求 硕士研究生培养实行学分制，总学分不少于32学分，其中学科通开课和专业基础课不少于6分，专业课不少于12分，选修课不少于4学分。 五、考核要求 1. 学科通开课与专业基础课、专业课考核方式为闭卷，成绩60分以上方可获得所规定的学分； 2. 专业选修课的考核方式为闭卷或开卷，成绩60分以上方可获得所规定的学分。 3. 补修课仅供非数学专业考生随本科生课程补修，不计学分。 4.实习在第4学期或第5学期进行。 六、学位论文要求 学位论文是对研究生进行科学研究或承担专门技术工作的全面训练，是培养研究生创新能力，综合运用所学知识发现问题、分析问题和解决问题能力的主要环节。 1. 研究生必须通过教学计划的各门课程并达到所要求的学分后，方可转入论文撰写阶段。在撰写论文之前，须认真的调研，查阅大量的文献资料，了解其主攻研究方向的前沿领域的学术动态，在此基础上确立学位论文题目。 2. 数学科学学院硕士研究生一般在第四学期（秋季）做开题报告，提交开题报告截止时间为10月30日。导师负责论文的检查与督促工作。 3. 学位论文应在导师指导下独立完成，学位论文要有新见解、有创新。 4. 硕士研究生答辩前应至少公开发表学术论文一篇或收到哈师大重点学术
点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：
《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划
图书馆四楼的原版外语书。-1层的老书；按Fields和Wolf奖得主来找书或用数据库搜文章。不光整理书单，还有收藏的电子书。 数学分析部分： 教材： 2.Apostol "Mathematical Analysis 3.W.Rudin "Principles of Mathematical Analysis" 4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等 5.克莱鲍尔"数学分析" 6.张筑生"数学分析新讲"(共三册) 7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)" 7b."数学分析" 苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉到观点非常的"高". 12.何琛,史济怀,徐森林"数学分析"； 21.《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 22.《数学分析》徐森林 23《数学分析》卓立奇 24《数学分析简明教程》辛钦 25《数学分析讲义》阿黑波夫等著 26《数学分析八讲》辛钦； 16. Courant的微积分与分析引论； 14.数学分析教程（上，下）许绍溥，姜东平等 深层次教材： 8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)" 9.法国人写的数学书.高等数学(J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷) "普通数学", 11.华罗庚先生的"高等数学引论" 13.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理" 19. Hoomis的高等微积分, 习题集： 28.《吉米多维奇数学分析习题集》 29.《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版，林源渠，方企勤等； 方企勤,沈燮昌"数学分析习题集", 30.《数学分析习题精解》科学出版社版， 几何部分： 解析:
东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。 （注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射 三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记 为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。 （4分） 答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。 3．在 上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。 答：αβ在13处的值是4 9 。 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级
练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
《作为生物的社会》教案 学习目标1、明确相关的生物学知识，把握作者观点。 2、体会本文幽默风趣的语言风格，品味优秀科普作家的文字魅力。 激发学生对大自然、对生物学的热爱之情。 学习重点把握作者的主要观点以及作者幽默的语言风格，激发学生了解生命、了解自然的兴趣与激情，培养一种人文关怀的精神。 学习难点学习本文幽默风趣的语言,引导学生通过对一些重点问题的讨论提高探究能力 学习课时2课时 学习方法自主、合作、探究 知识链接——文体分类 科普作品按照其所介绍学科知识可以分为很多类别。比如物理学科普（如《时间简史》）、医学科普、生物学科普、数学科普（如《拓扑学奇趣》）等等。 按照阅读对象的受教育程度，也可分为：儿童科普、中学生科普、成人科普等等。 按照科普作品的内容深浅可分为：常识性科普、通俗性科普（《花儿为什么这样红》）、专业性科普（如克莱因《数学：确定性的丧失》）。 按照科普作品的叙述风格可分为：传记型科普（如《我的大脑敞开了》）、故事性科普（如《物理学奇遇记》）、探索型科普、纪实型科普、历史型科普（《古今数学思想》）、学习型科普，百科型科普（如《十万个为什么》）等等。 知人论世——作家作品 刘易斯?托马斯，1943年生于美国纽约，就读于普林斯顿大学和哈佛医学院，历任明尼苏达大学儿科研究所教授、纽约大学贝尔维尤医疗中心病理学系和内科学系主任、耶鲁医学院病理学系主任、纽约市癌症纪念中心斯隆·凯特林癌症研究所所长，并任美国科学院院士。 预习检测
１、注音 霎．时( shà ) 阈．限(yù ) 毗．邻 ( pí ) 畜．牧(xù ) 筹．划( chóu ) 蜂窠．(kē ) 拱券 ．． ( gǒng )(xuàn ) 鳟．鱼（zūn）蚁冢．（zhǒng）苜蓿 ．．（mù xu） 鲱．鱼（fēi）蹩．脚（béi） ２、分辨词义 ①振动震动 （1）这个振奋人心的消息，像一声春雷______ 着这个宁静的山庄。 （2）每当拖拉机那硕大的身躯从门前经过，我感觉到路面在跟着一起 _________。 ②违反违犯 （1）任何单位和个人都不能________国家的有关规定。 （2）一旦________了法律，就要受到制裁。 ③激奋激愤 （1）看到这么好的形势，人们精神_________，干劲更大了。 （2）面对这令人发指的行为，人们_________的感情溢于言表，纷纷站到了 正义的一边。 3、本文语言形象生动，请举出一二例并加以体会。 第一课时 一、自主探究——把握文本，理清线索： 第一部分（1~3段）：从一个事例切入，即医学家举行年会，把其与生物界联系 起来，从而得出自己的论点，人类社会与生物社会有共通之处。 第二部分（4~10段）：指出动物过着两种生活，不仅是个体的存在，还是集体的 存在，也就是说，动物过着个体的和群体的两种生活。 第三部分（11~13段）：指出人类与生物界的相通之处即人类也要有社会的生活。二、合作探究
习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈
070101基础数学专业（全日制或非全日制） 硕士研究生培养方案 一、培养目标 本专业培养德、智、体全面发展，具有扎实的数学理论基础和独立从事科学研究的能力，在科研部门、高等院校以及基础教育机构从事科学研究和教学工作的高级专门人才。具体要求如下： 1、具有坚定正确的政治方向，努力学习掌握马克思主义的基本原理，树立正确的世界观、人生观和价值观；遵纪守法，品行端正，作风正派，具有较高的综合素质和愿为社会主义建设艰苦奋斗的献身精神。 2、掌握本专业的基础理论、基本研究方法和技巧；具有坚实的数学理论基础和基本数学素养；具有较强的学术沟通能力和良好的团队协作精神。 3、熟练掌握一门外国语，具有阅读外文资料和使用外文写作论文的能力；具备熟练地使用计算机进行和数学软件科学计算以及借助互联网阅读专业资料的能力。 4、身心健康，德才兼备。 二、研究方向 本学科设置以下研究方向： 1、微分方程与动力系统 2、偏微分方程及其应用 三、学习年限 学习年限一般为3年，最长不超过4年。课程学习时间为一年半。硕士生应在规定的学习期限内完成培养计划要求的课程学习和论文等工作。 四、课程设置与学分 本专业课程设置包括学位课、非学位课和实践环节，应修总学分不少于34学分（具体课程设置见附表）。其中 1、学位课：不少于19学分。其中，公共学位课9学分。 2、非学位课：不少于13学分。 3、实践环节：2学分。 五、实践环节 硕士研究生应参加学术活动、教学实践、科研实践或社会实践等实践活动。学术活动为必修环节，要求硕士研究生必须取得1个学术学分，其中，必须在院及以上级别学术会议上至少做一次学术报告，每次0.5学分，参加院及以上级别学术活动至少5次，每次0.1学分。另外，还应从其它实践环节中至少选1个实践环节,考核合格后取得1学分。参加学术活动和
科目： 语文 内容： 主编人：朱成倬 叶迎飞 审核人： 审批人： 班组别： 学生姓名： 名言警句除了人格以外，人生最大的损失，莫过于失掉自信心了。——培尔辛 我的名言： 作为生物的社会 导学案 学习目标： 1、了解相关的生物学知识，把握作者的主要观点。 2、通过对本文一些重点问题的讨论提高探究能力。 3、体会本文幽默风趣的语言风格，品味优秀科普作家的文字魅力。 4、通过本文的学习，激发对大自然、对生物学的热爱之情 学习重点： 通过对本文一些重点问题的讨论提高探究能力 学习难点： 体会本文幽默风趣的语言风格，品味优秀科普作家的文字魅力。 学法指导： 通读课文，理清思路，画出关键语句，做简单的旁批。 预习案 一、课本助读 1、文体分类 科普作品按照其所介绍学科知识可以分为很多类别。比如物理学科普（如《时间简史》）、医学科普、生物学科普、 数学科普（如《拓扑学奇趣》）等等。 按照阅读对象的受教育程度，也可分为：儿童科普、中学生科普、成人科普等等。 按照科普作品的内容深浅可分为： 常识性科普、通俗性科普（《花儿为什么这样红》）、专业性科普（如克莱因《数学：确定性的丧失》）。 按照科普作品的叙述风格可分为：传记型科普（如《我的大脑敞开了》）、故事性科普（如《物理学奇遇记》）、探索型科普、纪实型科普、历史型科普（《古今数学思想》）、学习型科普， 百科型科普（如《十万个为什么》）等等。 2、作家作品 刘易斯·托马斯博士（1913—1991），生于美国纽约，就读于普林斯顿大学和哈佛医学院，历任明尼苏达大学儿科研究所教授、纽约大学——贝尔维尤医疗中心病理学系和内科学系主任、耶鲁医学院病理学系主任、纽约市斯隆－凯特林癌症纪念中心（研究院）院长，并荣任美国科学院院士。《这个世界的音乐》选自《细胞生命的礼赞》。这本书是一个医学家、生物学家关于生命、人生、社会乃至宇宙的思考。思想博大而深邃，信息庞杂而新奇，批评文明，嘲弄愚见，开阔眼界、激发思索。而其文笔又少见的优美、清新、幽默、含蓄，无愧当今科学散文中的大家手笔。无怪乎自1974年出版后，立即引起美国读书界和评论界的巨大反响和热烈欢呼，获得当年美国国家图书奖，此后十八年来由好几家出版社印了二十多版，至今畅行不衰！年过花甲的刘易斯·托马斯的名字因这一本小书而家喻户晓，有口皆碑，以至于在他接连抛出后两本书时，书商都不用再作广告，只喊 声“《细胞生命的礼赞》一书作者刘易斯.托马斯的新著”就够了。《水母与蜗牛》是刘易斯·托马斯的第二本文集。读过并仰慕刘易斯·托马斯《细胞生命的礼赞》的人们，不由得会牵挂那种水母和蜗牛的命运。托马斯就是有这种魅力，能通过这种不可思议，然而又富有洞见的观察，来说明生和死这些永恒的课题。因为，刘易斯·托马斯一直关注着自然界和人类社会中的共生、依存和合作的现象。共生与合作是他第一本书的主题之一，也是这第二本书的主题之一。在这二十九篇文章里，托马斯谈生谈死，谈人间，谈地狱，谈民主和自由的社会设计，谈水獭、金鱼和疣子，谈疾病，谈思维，谈诗，谈语言学和标点符号。用他特有的托马斯方式。他讴歌生命，保卫生命，捍卫生命固有的谐调，捍卫不容干犯的人性，干预社会机体和公众心理上的疾患——这时，他是超越了科学家的。但是，正因为他不止是一个科学家，他才是这样好的一个科学家。他关于科学发现的过程、关于科研的规划与管理、关于国家的科研政策、关于美国保健制度的困窘、关于生物－医学科研中的社会和伦理含义等一系列问题的论述，值得每一个关注科学哲学、科学社会学的人认真研究。 3、背景链接 托马斯对人类的将来怀着一种自信的乐观。在他的观点中，人类作为一个整体是一个思考着的、行动着的生命。虽然作为个体我们无法明了整体的思维，就像一只蚂蚁无法理解蚁群的思想一样。但我们都在为某个更大的目标努力地劳动着，我们劳动、学习、生活，这一切都让我们觉得美好，因为我们同时也是人类作为一个整体的生命的需要。个体生存的意义也正在于此。 二、预习问题设置 感知课文，明确本文的写作思路。 第一部分： 第二部分: 第三部分： 三、预习自测 为下列字注音 霎．时 阈．限 毗．邻 畜．牧 筹．划 蜂窠． 拱券．． 蚁冢． 苜蓿．． 蹩． 脚 四、我的疑惑 探究案 一、探究问题 问题1本文所描述的一些生物的社会组织与人类相比有哪些相似之处？你怎样看待这些相似之处？
习题 记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑； （2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间； （4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的； （5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述：τ是R 上的拓扑 （2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈
第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是
扑 学 奇 趣
拓 扑 学 奇 趣
一、 什么是拓扑学 拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支， 其中拓扑 变换在许多领域均有其用途。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为 数学理论的三大支柱。 拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。直观的说，关于图形的几何性质探讨， 不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。拓扑学探讨各种几何形体的性质，但是 其内容却与几何学的范畴不尽相同， 多数的讨论都是围绕在那些与大小、 位置、 形状无关的性质上。 例如，曲线(绳子、电线、分子链?)不论有多长，它可以是闭合或不是闭合的。如果曲线是闭合的， 则它可以是“缠绕”得很复杂的。两条以上的闭曲线可以互相套起来，而且有很多型式。立体及它 们的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破坏孔洞下，它们允许做任意的伸缩及变形。这种变形 不会减少或增加孔动数量，就叫做它的“拓扑性质”。一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们 把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了，扭转使它的 形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。 A. 拓扑同胚与等价性质 拓扑学只探讨各种几何形体的内禀特质。 一个几何图形的性质， 经由一拓扑变换作用后维持 不变，该性质称为图形的拓扑性质。下面两组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。 任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质，从拓扑学的立场看来，它们都没有任何区别。然而， 在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。 如果我们把一个橡皮制的物体 X 任意的扭转、拉长，但不可把它撕开或断，而得到另一形 状的物体 Y，我们称这两个物体 X 和 Y 在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。广义的来说， 在一个物体到另一个物体的对应关系，如果它是不间断，又不重复，则在拓扑上称这个关系在两物 体间建立一个“同胚”变换。两个物体间如果存在有这种关系，则称它们为“拓扑同胚”。 例如，任意一个三角形在任意延伸、伸缩的变形变换中，可以迭合住一个圆形。所以这个延 伸、伸缩变换是一种同胚变换，因而三角形和圆形在拓扑上被视为是同胚或等价的。 拓扑学就是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质之一门学科。 网络、 欧拉定理、 曲面、 向量场、 四色问题、结、覆盖等，都是拓扑学研究的重要课题。 B. 不可思议的拓扑变换 法国著名数学家庞加莱(Poincaré, 1854～1912)以他丰富的想象力及抽象的思维能力，提出 图1中的两个物体是等价(同胚)的，也就是说，您可以从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个， 您认为可能吗？
庞加莱的变换魔术：请注意图2的变换!在拓扑上，只要不破坏原有结构，任意伸缩变形是被 允许的，因为总能找到一个同胚的对应来描述这个动作。
庞加莱的奇怪想
《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两 个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例 子。 答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。 证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是 开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。 （充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y
的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻 域U ，y ?的邻域V ， 有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。 证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。
§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．
定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.
(点集拓扑学拓扑)知识点
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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要
图3.1场所界面的不同演化图示Fig3.1the evolvement of the site interface 图片来源：自绘 3论文研究的理论基础 按照论文“提取元素－精炼原型－形态研究－拓扑变化－总结成果”的研究思路，在研究中将会应用如下相关的学科知识和研究方法。 3.1形态学基础 从形态学研究的内容来看，形态学包括两个方面的：元素的形式和组合元素的结构。 “形态学（morphology ）产生于古希腊morphology 一词由希腊语morphe （形式）和logos （科学）构成。最初是一门研究人体、动植物的形式和结构的科学，在以后出现的生物学中得到广泛的应用。对于形式和结构的综合研究使形态学同时涉及到艺术与科学两个方面的内容，在漫长的历史发展过程中，通过对其他科学技术的借鉴和自我完善更新，形态学已经成为一门独立的，集数学（几何）、生物、力学、材料和艺术造型的交叉学科，它的研究对象是事物的形式和结构的构成规律……与此同时，在其他科学领域中所出现的新成果又不断使形态学更加完善。比如数学领域中的拓扑几何，射影几何的出现为形态学提供了揭示和描述形式规律的新手段，而新揭示出来的形式及其结构原理在加以物质化之后，又可被应用于其它领域（如建筑创作）中。所以说，形态学是一门既古老又富有强大生命力 的应用科学。” ①因此，山地建筑接地形态的研究，也 应该包括这两方面的内容。但是，接地 形态多种多样，其构成并不是由单一的 形式元素与单一的结构规律组成。按照 前面章节的观点，接地形态的形成来源 于地形改造与建筑应变两个方面。场所 界面和建筑界面就是形式，它们之间的 复杂组合规律就是结构。场所界面的形 成来源于对地形的改造，对地形的改造 有三种模式，分别对应于不同的界面元 素，如图3.1所示。本文并不是想从已有的地形改造实①摘自刘先觉主编《现代建筑理论》377页。
点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④