陕西省商洛市2021届新高考第一次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：
4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 2．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4- B ．8-
C ．4
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可.
因为(2)x y ax e =+， 所以(2)x
y e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，
所以220b =-?+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
3．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）
A ．4
B ．9
C ．7
D ．2
【答案】B 【解析】
试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()22
2459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()
314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x 轴的
对称点(45)F '-，
，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最
大值为549+=，故选B ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，
PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是
()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
4．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为9
8
，则5S 的值是( ) A ．29
B ．30
C ．31
D ．32
【解析】 【分析】
设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】
设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98
， 即有a 4+a 7=
94
， 即16q 3+16q 6，=9
4
，
解得q=1
2
（负值舍去），
则有S 5=
(
)
5
111a q q
--=
511612112
?
??- ?
??-=1． 故选C ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 5．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B
．
)
+∞
C
．(,-∞
D ．(),3-∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +
，)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】
因为双曲线分左右支，所以0a <，
根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +
)(0)t >，
将其代入双曲线方程得：22
(1))1t a ++=，
即
2
1
1
3
t
a
-
=
+
，由0
t>得3
a<-．
故选：D．
【点睛】
本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
6．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C ．D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即
可求得离心率.
【详解】
由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点，双曲线半焦距，设点是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，
所以抛物线的准线，从而轴，所以，
即
故双曲线的离心率为
故选A
【点睛】
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.
7．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r，大圆柱底面半径为2r，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则1
2
h
h
=（）
A ．2
1
r r
B ．212
r r ?? ???
C ．3
21r r ?? ???
D 2
1
r r 【答案】B 【解析】 【分析】
根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】
在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为2
22r h π.因为
221122r h r h ππ=，所以2
1221h r h r ??
= ???
.
故选：B 【点睛】
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
8．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*
,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n
S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
【答案】A 【解析】 【分析】
先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令
,1p n q ==，可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.
【详解】
解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的
*11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由1
0,0n n a a +??≥?解
得
1113
22
n ，则6n =.
解法二：由赋值法易求得212311,9,7,,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-，可知当6n =时，n
S 取最小值. 故选：A 【点睛】
此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题. 9．复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )
A ．i
B ．﹣2i
C ．2i
D ．﹣i
【答案】B 【解析】 【分析】
复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .
【详解】
∵()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，
∴21010
a a ?-=?-≠?，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】
本题考查复数的分类，属于基础题.
10．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路
【答案】D 【解析】 【分析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论
即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 11．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）
A．8 B．8
3
C．4 D．
4
3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．
【详解】
根据三视图知，该几何体是侧棱PA 底面ABCD的四棱锥，如图所示：
结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，
∴四棱锥的体积为
2
124
2
323 V=??=.
故选：D.
【点睛】
本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.
12．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A．19
3
B．4 C．
25
4
D．
13
2
【答案】A 【解析】【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，19
43
M =>，退出循环，输出结果. 【详解】
程序运行过程如下：
3x =，0M =；23x =
，23M =；1
2x =-，16
M =；
3
x =，196M =；23x =，236
M =； 1
2x =-，103M =；3x =，1943
M =
>，退出循环，输出结果为193， 故选：A. 【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知π4cos()25-=-α，且π(,0)2
α∈-，则2
π2cos 2sin(2)4+-αα的值是____________．
【答案】1
25
【解析】 【分析】 【详解】
由于ππ4cos()cos()sin 225-=-==-ααα，且π(,0)2α∈-，则2
3cos 1sin 5
αα=-=，得
24
sin 22sin cos 25
==-ααα，则
2πππ2cos 2sin(2)1cos22(sin 2cos cos2sin )1444+-=++-=+ααααα1
sin 225
=α．
14．如图所示，在直角梯形BCDF 中，90CBF BCE ∠=∠=，A 、D 分别是BF 、CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE 、BF 、CE （如图②）.在折起的过程中，则下列表述：
①//AC 平面BEF ；
②四点B 、C 、E 、F 可能共面；
③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；
④平面BCE 与平面BEF 可能垂直.其中正确的是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】
连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点N ，证明四边形AFNM 为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接DF ，证明出DF
EF ，结
合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面BCE 与平面BEF 垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于命题①，连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点M 、N ，连接MN 、FN ，如下图所示：
则1
2
AF DE =
且//AF DE ，四边形ABCD 是矩形，且AC BD M =，M ∴为BD 的中点， N 为BE 的中点，//MN DE ∴且1
2
MN DE =，//MN AF ∴且MN AF =，
∴四边形AFNM 为平行四边形，//AM FN ∴，即//AC FN ，
AC ?平面BEF ，FN ?平面BEF ，//AC ∴平面BEF ，命题①正确；
对于命题②，
//BC AD ，BC ?平面ADEF ，AD ?平面ADEF ，//BC ∴平面ADEF ，
若四点B 、C 、E 、F 共面，则这四点可确定平面α，则BC α?，平面α平面ADEF EF =，由线
面平行的性质定理可得//BC EF ，
则//EF AD ，但四边形ADEF 为梯形且AD 、EF 为两腰，AD 与EF 相交，矛盾. 所以，命题②错误；
对于命题③，连接DF 、CF ，设AD AF a ==，则2DE a =，
在Rt ADF ?中，AD AF a ==，2
DAF π
∠=，则ADF ?为等腰直角三角形，
且4
AFD ADF π
∠=∠=
，2DF a =
，4
EDF π
∴∠=
，且2DE a =，
由余弦定理得22222cos 2EF DE DF DE DF EDF a =+-?∠=，222DF EF DE ∴+=，
DF EF ∴⊥，又EF CF ⊥，DF CF F =，EF ∴⊥平面CDF ，
CD ?平面CDF ，CD EF ∴⊥，
CD AD ⊥，AD 、EF 为平面ADEF 内的两条相交直线，所以，CD ⊥平面ADEF ， CD ?平面ABCD ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，命题③正确；
对于命题④，假设平面BCE 与平面BEF 垂直，过点F 在平面BEF 内作FG BE ⊥， 平面BCE ⊥平面BEF ，平面BCE
平面BEF BE =，FG BE ⊥，FG ?平面BEF ，
FG ∴⊥平面BCE ，
BC ?平面BCE ，BC FG ∴⊥，
AD AB ⊥，AD AF ⊥，//BC AD ，BC AB ∴⊥，BC AF ⊥，
又
AB
AF A =，BC ∴⊥平面ABF ，BF ?平面ABF ，BC BF ∴⊥.
FG BF F =，BC ∴⊥平面BEF ，EF ?平面BEF ，BC EF ∴⊥.
//AD BC ，EF AD ∴⊥，显然EF 与AD 不垂直，命题④错误.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于
15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9S =______. 【答案】27 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质求得5a ，结合等差数列前n 项和公式求得9S 的值. 【详解】
因为{}n a 为等差数列，所以476563a a a a a +=+=+，解得53a =， 所以()195
9599292722
a a a S a +?=
===. 故答案为：27 【点睛】
本小题考查等差数列的性质，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.
16．已知双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．
【解析】 【分析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得
1
2
b a =，即a ＝2b ，进而由双曲线的几何性质可得
c ==，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】
根据题意，双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，即y 1
2
=x ， 则有
1
2
b a =，即a ＝2b ，
则c =，
则该双曲线的离心率e 22
c a b =
==
；
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a 、b 之间的关系，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A 为 “选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A 发生的概率；
（2）用X 表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X 的分布列和期望 【答案】（Ⅰ）27； （Ⅱ）分布列见解析，4
3
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求()112
3244
9362
1267
C C C P A C ??=== . （Ⅱ）先由题得X 可能取值为0,1,2,3,再求x 的分布列和期望.
【详解】
（Ⅰ）()1123244
9362
1267
C C C P A C ??=== （Ⅱ）X 可能取值为0,1,2,3,
()40
6349155
012642C C P X C ?====,
()31634
96010
112621C C P X C ?====, ()226349455
212614C C P X C ?====,
()13634961
312621
C C P X C ?====,
X 的分布列为
5105140123422114213
EX =?
+?+?+?=. 【点睛】
本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18．选修4—5；不等式选讲． 已知函数()|||1|f x x x =--．
(1)若()|1|f x m ≥-的解集非空，求实数m 的取值范围；
(2)若正数,x y 满足22x y M +=，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：2x y xy +≥． 【答案】 (1)[]0,2;(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得()1,0,
21,01,1,1,x f x x x x -
=-≤≤??>?
所以()max 1f x =，由此得
11m -≤，解得02m ≤≤；（2）利用分析法，由（1）知，2M =，所以22
2x y +=，因为0,0x y >>，
要证2x y xy +≥，只需证()2
224x y x y +≥，即证()()2110xy xy +-≤，只需证1xy ≤ 即可得结果.
试题解析：（1）去绝对值符号，可得()1,0,
21,01,1,1,x f x x x x -
=-≤≤??>?
所以()max 1f x =，
所以11m -≤，解得02m ≤≤， 所以实数m 的取值范围为[]
0,2．
（2）由（1）知，2M =，所以2
2
2x y +=． 因为0,0x y >>，
所以要证2x y xy +≥，只需证()2224x y x y +≥， 即证()2
210xy xy --≤，即证()()2110xy xy +-≤.
因为210xy +>，所以只需证1xy ≤，
因为2
2
22xy x y ≤+=，∴1xy ≤成立，所以2x y xy +≥ 解法二：x 2+y 2=2，x 、y ∈R +，x+y≥2xy 02
π
θ≤≤
设：
2
2
2
x sin
y cos
θπ
θ
θ
?
=
???
≤≤
? ?
??
=
??
证明：x+y-2xy=2sin2cos22sin cos
θθθθ
+-??
=()
2sin cos4sin cos
θθθθ
+-?
令sin cos t
θθ
+=
2
12sin cos t
θθ
∴+=，0
2
π
θ
≤≤∴12
t≤≤
2
2sin cos1
t
θθ=-
∴原式=()
2
221
t t
--
=2
222
t t
-++
=2
2
22
2
t t
??
--+
?
?
??
=
当2
t=时，min22220
y=-?++=
∴2
x y xy
+≥
19．如图，已知在三棱锥P ABC
-中，PA⊥平面ABC，E F G
，，分别为AC PA PB
，，的中点，且2
AC BE
=.
（1）求证：PB BC
⊥；
（2）设平面EFG与BC交于点H，求证：H为BC的中点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）要做证明PB BC
⊥，只需证明BC⊥平面PAB即可；
（2）易得PC∥平面EFG，PC?平面PBC，利用线面平行的性质定理即可得到GH∥PC，从而获得证明
【详解】
证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， 所以PA BC ⊥.
因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.
又因为BA PA A ?=，BA ?平面PAB ，PA ?平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .
又因为PB ?平面PAB ，所以PB BC ⊥.
（2）因为平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ?平面PBC . 因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .
又因为PC ?平面EFG ，EF ?平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .
又因为PC ?平面PBC ，平面PBC 平面EFG GH =，
所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题. 20．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S na n =+，n ∈+N ，22a =， （1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式﹔ （2
）设n b =
121n n T b b b =++
+<.
【答案】（1）证明见解析，n a n =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由2n n S na n =+，()11211n n S n a n ++=+++作差得到()1110n n n a na +--+=，进一步得到
()21110n n na n a ++-++=，再作差即可得到112n n n a a a +++=，从而使问题得到解决；
（2
）n b =
==.
【详解】
（1）2n n S na n =+，()11211n n S n a n ++=+++，
两式相减：()1110n n n a na +--+=① 用1n +换n ，得()21110n n na n a ++-++=②
②—①，得2120n n n na na na ++-+=，即112n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列，又1121S a =+， ∴11a =，22a =，公差1d =，所以n a n =. （II ）1
11(1)n n n n n b
a a a a n n n n
++=
=++++
(1)(1)
n n n n =
+++
1(1)1
n n n n n n +-=
=-++.
12111223
11
n n T b b b n n n =++
+=-
+-++
-=-<++ 【点睛】
本题考查由n S 与n a 的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题. 21．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22?列联表如下：
（1）将上22?列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.
（参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）
【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分
布列见解析，期望为125
. 【解析】 【分析】
（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关. （2）首先确定X 的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望. 【详解】
（1）根据题意及22?列联表可得完整的22?列联表如下：
根据公式可得()2
21004040101036 6.63550505050
k ?-?=
=>???，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且
()128231081120C C P X C ===，()218
231056210C C P X C ===，()3
83
1056
3120
C P X C ===， 其分布列为
1231201201205
EX =?
+?+?=. 【点睛】
独立性检验依据2K 的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目. 22．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=?，1B D AB ⊥.
（1）求证：AB AC ⊥；
（2）若侧面11ACC A 为正方形，求直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225
【解析】 【分析】
（1）取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，证明AB ⊥平面1ODB 得出AB OD ⊥，再得出AB AC ⊥； （2）建立空间坐标系，求出平面1C AD 的法向量n ，计算cos n <，1B D >即可得出答案． 【详解】
（1）证明：取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ， 160B BA ∠=?，12B B =，1
12
OB AB =
=， 141221cos603OB ∴=+-????
22211OB OB BB ∴+=，故1AB OB ⊥， 又1AB B D ⊥，1
11OB B D B =，11,OB B D ?平面1ODB ，
AB ∴⊥平面1ODB ，
AB OD ∴⊥，
O ，D 分别是AB ，BC 的中点，//OD AC ∴，
AB AC ∴⊥． （2）解：
四边形11ACC A 是正方形，1AC AA ∴⊥，
又AC AB ⊥，1AB
AA A =，1,AB AA ?平面11ABB A ，
AC ∴⊥平面11ABB A ，
在平面11ABB A 内作直线AB 的垂线AE ，以A 为原点，以AB ，AC ，AE 为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0A ，0，0)，(1D ，1，0)，1(1C -，23)，1(1B ，03)，
∴(1AD =，1，0)，1(1AC =-，2，3)，1(0B D
=，1，3)-，
设平面1C AD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AD n AC ?=??=??，即0230
x y x y z +=???-++=??，
令1x =可得：(1n =，1-，3)， cos n ∴<，11125||||
5
n B D B D n B D >=
=
=-
． ∴直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值为|cos n <，125|B D >=．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题． 23．在ABC 中，5
,cos 4
B C π
∠==
． （1）求cos A 的值；
（2）点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围． 【答案】（1）2210
6
（2）2,3λ??∈+∞????
【解析】 【分析】
（1）先利用同角的三角函数关系求得sin C ,再由cos cos 4A C π
π?
?
=-- ??
?
求解即可； （2）在ADC 中,由正弦定理可得
sin sin AD DC C DAC =∠,则sin 2
sin 3sin AD C DC DAC DAC
λ===∠∠,再由0DAC BAC <∠∠≤求解即可.
【详解】
解:（1）在ABC 中,5cos C =
,所以2
2sin 1cos 3C C =-=,
所以 cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C π
ππππ?
???
=-
-=-+=- ? ??
???
22252210
23236
=
-=