数学
1、已知集合{|0}M x R x =∈>，集合{|lg(3)}N x R y x =∈=-，则（ ） A ．{|3}M N x x =< B ．{|3}M N x x =<
C ．{|03}M
N x x =<<
D ．
()
R C M N =?
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义域，化简集合集合N ，再利用交集的定义求解即可.
详解：因为集合{|0}M x R x =∈>，集合{}{|lg(3)}|3N x R y x x x =∈=-=<，
所以由交集的定义可得{|03}M
N x x =<<，故选C.
2、设a R ∈，则“1a =”是“2
1a =”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】利用定义法判断即可. 【详解】
当1a =时，21a =，充分性成立；反过来，当2
1a =时，则1a =±，不一定有1a =， 故必要性不成立，所以“1a =”是“2
1a =”的充分而不必要条件.
故选：A
3、若两个正数a ，b 之积大于1，则a ，b 这两个正数中（ ） A ．都大于1 B ．都小于1 C ．至少有一个大于1 D ．一个大于1，一个小于1 【答案】C 【解析】
对A 项，取1
,3
2a b ==，满足312ab =>，则A 错误；
对B 项，若a ，b 这两个正数都小于1，则1ab <，不满足题意，则B 错误；
对C 项，假设a ，b 都不大于1，即1,1a b ，则1ab ，与1ab >矛盾，即假设不成立，则a ，b 这两个正数中至少有一个大于1，则C 正确；
对D 项，取2,3a b ==，满足61ab =>，则D 错误； 故选：C
4、已知z 是纯虚数，2
1z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )．
A ．2i
B ．i
C ．－i
D ．－2i 【答案】D 【解析】
设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝
＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．
∵
∈R ，
∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选 D.
5、已知向量12,e e 是夹角为3π
的两个单位向量，则
122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为
（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56π
【答案】C 【解析】
向量12,e e 是夹角为3π
的两个单位向量，
∴
11
e =，
21
e =，
12121
cos
3
2e e e e π
?=?=
，
又
122a e e =+，1232b e e =-+， ∴
()
2
22
1
2
11222447
a e e e e e e =
+=+?+=
()
2
2
2
12
11223291247
b e e e e e e =
-+=-?+=
(
)()
22
121211227232622a b e e e e e e e e ?=+?-+=-+?+=-
，
∴
7
1
2
cos,
2
7
a b
a b
a b
-
?
===-
?
?
，
又
[]
,0,
a bπ
∈
，∴
2
,
3
a b
π
=
.
故选：C.
6、已知函数
()()
5
ln21
3
f x x x
=-+
，则
()()
11
lim
x
f x f
x
?→
+?-
=
?（）
A．1B．0C．4
3D．
5
3
【答案】A 【解析】
分析：先求导，再求
(1)
f'，再化简
()()
11
lim
x
f x f
x
?→
+?-
?得解.
详由题得
52
)
321 f x
x
'=-
+
（
，
∴
(1)1 f'=.
因为
()()
11
lim
x
f x f
x
?→
+?-
?=(1)
f'，
∴
()()
11
lim
x
f x f
x
?→
+?-
?=1
故选A.
7、《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的1
x=，则输出的
y值是（）
A ．22
B ．46
C ．94
D ．190 【答案】C 【解析】
模拟程序的运行过程如下，
输入1x =，1k =，1224y =?+=，2k =，42210y =?+=；
3k =，102222y =?+=；4k =，222246y =?+=；
5k =，462294y =?+=；6k =，此时不满足循环条件输出94y =.
则输出的y 值是94. 故选：C.
8、已知二项式
12
1(2)n
x x +的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）
A ．240
B ．120
C ．48
D ．36 【答案】A 【分析】
由题意结合二项式系数和的性质可得264n
=即6n =，写出二项式展开式的通项公式
3362
16
2
r r
r r T C x
--+=??，令3
302r -=即可得解.
【详解】
由题意264n
=，解得6n =，则1
1
6
2
2
11(2)(2)n x x x x +=+，
则二项式
1
62
1(2)
x x +的展开式的通项公式为613
362
2166122r
r
r r r r r T C x C x x ---+????
=??=?? ? ?????，
令3
302r -=即2r
，则
642
6622240
r r C C -?=?=.
故选：A.
9、已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ） A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585
【答案】B
【解析】正态分布曲线关于对称，因为,故
选B ．
考点：正态分布
10、已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ?? ???，则sin 4πα?
?+=
???（ ）
A ．
210-
B ．2
C ．32
D ．72
【答案】A
【解析】首先求出m ，然后由任意角的三角函数的定义得cos α和sin α，然后由正弦的两
角和计算公式可得
πsin α4?
?+ ?
??. 【详解】
因为角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ?? ???，所以
45m =-
所以由任意角的三角函数的定义得
4sin 5α=-
，3
5=cos α
则πsin α4??+= ??? )2sin cos 2αα+= 210-
故选：A
11、根据党中央关于“精准扶贫，脱贫攻坚”要求，我市从10名大学毕业生中选3人担任县长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A ．85 B ．56 C ．49 D ．28
【答案】C
【解析】根据题意可知，丙没有入选，则只需在其余9名大学毕业生中任选3人的选法种数减去甲、乙两人都没有被选中的选法种数，进而可求得结果.
详解：根据题意可知，丙没有入选，则只需在其余9名大学毕业生中任选3人的选法种数减去甲、乙两人都没有被选中的选法种数，
因此，所求的选法种数为
33
97
843549
C C
-=-=
.
故选：C.
12、已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a
满足
()()
21
2
log log21
f a f a f
??
+≤
?
??，则a的取值范围是（）
A．
1
2
2
??
??
??
，
B．[1，2] C．
1
2
??
?
??
，
D．（0，2]
【答案】A
【解析】
因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以
122
2
(log)(log)(log)
f a f a f a
=-=
，
则
()()
21
2
log log21
f a f a f
??
+≤
?
??为2
(log)(1)
f a f
≤
，
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以|log2a|≤1，解得1
2
≤
a≤2，
则a的取值范围是[1
2，2]，
故选：A
二、填空题（注释）
13、若x，y满足约束条件
10
220
2
x y
x y
y
--≤
?
?
-+≥
?
?≤
?，则3
z x y
=+的最大值为______.
【答案】11 【解析】
解:作出不等式组
10
220
2
x y
x y
y
--≤
?
?
-+≥
?
?≤
?，表示的可行域如图阴影部分所示：
平移直线
30
x y
+=，易知当直线3
z x y
=+经过可行域内的点()
3,2
M时，目标函数3
z x y
=+取得最大值，且
max
33211
z=?+=.
故答案为: 11
14、一批产品的一等品率为0.9，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的一等品件数，则D()
X=__________。
【答案】9
【解析】根据题意知，抽到一等品件数满足二项分布,然后求解方差即可．
详解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型，
其中，
0.9
p=，100
n=，
则
()()
11000.90.19
D X np p
=-=??=
．
故答案为：9．
15、已知数列
{}
n
a
的前n项和为n
S
且满足
2
n n
S a
+=-
，则数列
{}
n
a
的通项n
a=
_______．【答案】
1
1
2
n-
??
- ?
??
【解析】
当1
n=时,111
22
S a a
+==-
,解得1
1
a=-
；
由
2
n n
S a
+=-
,可知当2
n≥时,112
n n
S a
--
+=-
,两式相减,得1
20
n n
a a
-
-=,即1
1
(2)
2
n n
a a n
-
=≥
,
所以数列{}
n a 是首项为1-,公比为1
2的等比数列,
所以
1
12n n a -??=- ?
??,
故答案为:1
12n -??- ?
??
16、已知()(sin )x f x e x a =+在0,2π???
???上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
[)1,-+∞
【解析】
()(sin )cos (sin cos )0
4x x x x f x e x a e x e x x a e x a π??
?'=++=++=++≥ ?????在
0,2π??
????上恒成立
即4x a π??+≥- ???在0,2π????
??上恒成立 0,2x π??
∈????，
3,444x πππ??∴+
∈??
?? sin 42x π??
?∴+∈?
????
?，4x π???+∈ ????
则1,1a a ≥-≥- 故答案为：
[)1,-+∞
三、解答题（注释）
17、已知
π
02βα<<<
，4
sin 5α，
sin()αβ-=
. （1）求sin2α；
（2）求cos()αβ+.
【答案】（1）
24
sin 225α=
；（2
）.
试题分析：（1）先求出cos α，再利用二倍角的正弦公式求sin2α；
（2）先求出
7
cos 225α=-
，再利用cos()cos[2()]αβααβ+=--求解..
详解：解：（1）因为
π
02a <<
，
4sin 5α，所以3
cos 5α=
，
从而
24sin 22sin cos 25ααα==
.
（2）由题知，
27cos 212sin 25αα=-=-
.
因为
π02βα<<<
，所以π
02αβ<-<
，
所以
cos()5αβ-==
，
所以cos()cos[2()]cos2cos()sin2sin()αβααβααβααβ+=--=-+-
72425525525=-
?+?=.
【解析】
18、已知各项均不相同的等差数列{}
n a 的前四项和
414
S =，且
1
a 、
3a 、7a 成等比数列
（1）求数列
{}
n a 的通项公式；
（2）设n T 为数列11n n a a +??
????的前n 项和，求2019T
的值.
【答案】（1）1
n a n =+；（2）2019
4042
【解析】 【分析】 (1)利用等差数列
{}
n a 的前4项和
414
S =，以及
1
a 、
3
a 、
7
a 成等比数列，建立关于首项
和公差的方程，解出即可.
(2)由（1）可得
()()
1
1111
1
212
n n
a a n n n n
+
==-
++++
，用裂项相消求和法可求解出答案. 【详解】
设等差数列
{}
n
a
的首项为1
a
，公差为d.
由等差数列
{}
n
a
的前4项和4
14
S=
，以及1
a
、3
a
、7
a
成等比数列
()()
1
2
111
4614
26
a d
a d a a d
+=
??
?
+=+
??，又0
d≠，解得1
1,2
d a
==
所以
1
n
a n
=+
（2）由（1）可得
()()
1
1111
1212
n n
a a n n n n
+
==-
++++
则
11111111
23344512
n n
T
n
????????
=-+-+-++-
? ? ? ?
++
????????
所以
()
11
2222
n
n
T
n n
=-=
++
所以2019
20192019
=
220214042
T=
?
19、在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：
[)
40,50
，
[)
50,60
，[)
60,70
，…，
[]
90,100
，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）3
5
【解析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.
（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【详解】 （1）由
()100.0100.0150.0150.0250.051
m ?+++++=，
得0.030m =.
（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =?+?+?+?+?+?=， 设中位数为n ，
则
()0.10.150.15700.030.5
n +++-?=，得
220
73.333n =
≈.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.
记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：
(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，
共10种，
其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .
共6种.
故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为
63105P =
=.
20、为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学？英语两个学习兴趣小组，两
现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.
（1）求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；
（2）记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
【答案】（1）914.（2）分布列答案见解析，数学期望3
2
试题分析：（1）两小组的总人数之比为8∶4，确定分层抽样的比值,即数学组抽取2人,英语组抽取1人.数学组至少有1名女同学的情况有：1名男同学？1名女同学和2名女同学两种情况.利用古典概型的概率计算公式即可得出结果.
（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3,根据题意可知需满足数学组抽取2人,英语组抽取1人,根据男生的人数进行分类讨论即可求得对应的概率,进而得出结果. 详解：（1）两小组的总人数之比为8∶4=2∶1，共抽取3人， 所以数学组抽取2人，英语组抽取1人.
从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学？1名女同学和2名女同学两种情况.
所以所求概率
1123532
8914C C C P C +==. （2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3
21
3321849
(0)112C C P C C ξ==?=
111213533121218484483
(1)1127C C C C C P C C C C ξ==?+?==
11211355312121848445
(2)112C C C C C P C C C C ξ==?+?=
21
512184105
(3)11256C C P C C ξ==?==
934553()01231127112562E ξ=?
+?+?+?=
【解析】
21、已知函数
22
()ln f x x ax a x =--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是0,2a ??- ???，单调递增区间是
,2a ??-+∞ ???.（Ⅱ）3
42e ,1??-????
【解析】
（Ⅰ）函数求导()()()2222x a x a x ax a f x x x -+-='-=，定义域为()0,+∞，由()0f x '=，
可得x a =或2a
x =-
进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；
（Ⅱ）若
()0f x ≥恒成立，只需
()min 0
f x ≥即可，讨论函数单调性求最值即可.
试题解析： （Ⅰ）函数
()
f x 的定义域为
()0,+∞，
()()()2222x a x a x ax a f x x x -+-='-=
.
由
()0
f x '=，可得x a =或
2a
x =-
，
当0a =时，()0
f x '>在
()0,+∞上恒成立，
所以
()
f x 的单调递增区间是
()0,+∞，没有单调递减区间；
当0a >时，
()()
,,x f x f x '的变化情况如下表：
所以
()
f x 的单调递减区间是
()0,a ，单调递增区间是(),a +∞.
当0a <时，
()()
,,x f x f x '的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间是0,2a ??- ??
?，单调递增区间是,2a ??-+∞ ???. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()20f x x =>，符合题意.
当0a >时，()
f x 的单调递减区间是
()0,a ，单调递增区间是(),a +∞，
所以
()0
f x ≥恒成立等价于
()min 0
f x ≥，即
()0
f a ≥，
所以222
ln 0a a a a --≥，所以01a <≤.
当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a ??- ???，单调递增区间是
,2a ??-+∞ ???， 所以
()0
f x ≥恒成立等价于
()min
f x ≥，即0
2a f ??
-≥ ???.
所以222ln 0
422a a a a ??+--≥ ???，所以342e 0a -≤<.
综上所述，实数a 的取值范围是3
42e ,1??-??
?
?. 22、在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y α
α=-+??
=+?
(α为参数).以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为
(sin 3)1ρθθ=.
(Ⅰ)分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若P ,Q 分别是曲线1C 和2C 上的动点,求
PQ
的最小值.
【答案】(Ⅰ) 013=+-y x ；(Ⅱ)
2132min -=
PQ
【解析】(Ⅰ)因为曲线1C 的参数方程为
()2cos ,2sin x a y αα
=-+??
=+?，
为参数 所以曲线1C 的普通方程为
1)2()2(2
2=-++y x . 又因为曲线2C 的极坐标方程为
1)cos 3(sin =-θθρ,
所以曲线2C 的直角坐标方程为013=+-y x . (Ⅱ)设
)
sin 2,cos 2(θθ++-P ,因为点
P
到直线
2
C 的距离
2132)6
cos(2212sin cos 332--+=
+--+-=π
θθθd ,
所以当1)6cos(=+πθ时,即
62π
πθ-=k , Z ∈k 时,d 最小,即
21
32min -=
PQ .
23、设函数
()()
,R f x ax b ax b a b =++-∈．
（1）若2a =，1b =，解不等式
()4
f x ≤；
（2）若对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有()1
f x ax b --≤成立，求a 的最大值．
【答案】（1）[
]
1,1-；（2）2.
试题分析：(1)根据分类讨论去绝对值的方法求解即可. (2)由题得
1
ax b +≤对任意满足01x ≤≤的实数x 成立,再代入0x =和1x =得出不等式,
再利用绝对值的三角不等式求最值即可.
【详解】
（1）由2a =,1b =得()14,21121212,2214,2x x f x x x x x x ?
-≤-??
?
=++-=-<≤
??
?>??
故
()4
f x ≤的解集为[
]
1,1-.
（2）由对任意满足01x ≤≤的实数x ,都有()1
f x ax b --≤,即
1
ax b +≤
令0x =得
1
b ≤,令1x =得
1
a b +≤,故
2
a b a b b a b =-++≤-++≤
即a 的最大值为2,当2a =,1b =-取等号.