义乌市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足:<0,且f (2)=4,则不等式f (x )﹣
>0的解集为( ) A .(2,+∞)
B .(0,2)
C .(0,4)
D .(4,+∞)
2. “a >b ,c >0”是“ac >bc ”的( ) A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
3. 函数的定义域为( )
A .{x|1<x ≤4}
B .{x|1<x ≤4,且x ≠2}
C .{x|1≤x ≤4,且x ≠2}
D .{x|x ≥4}
4. 函数2
(44)x
y a a a =-+是指数函数,则的值是( ) A .4 B .1或3 C .3 D .1
5. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ,直线PF 1(F 1为椭圆的左焦点)是该圆的切线,则椭圆的离心率为( )
A .
B .
C .
D . 6. 函数y=a x +2(a >0且a ≠1)图象一定过点( )
A .(0,1)
B .(0,3)
C .(1,0)
D .(3,0)
7. 如图所示,阴影部分表示的集合是( )
A .(?U
B )∩A B .(?U A )∩B
C .?U (A ∩B )
D .?U (A ∪B )
8. 已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合M={3,4,5},集合N={1,3,6},则集合{2,7,8}是( ) A .M ∪N
B .M ∩N
C .?I M ∪?I N
D .?I M ∩?I N
9. 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为( ) A .π4 B .π6 C .π8 D .π10 10.在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A .y=
B .y=﹣x+
C .y=﹣x|x|
D .
y=
11.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )
A
. B
. C
. D
.
12.若直线y=kx ﹣k 交抛物线y 2=4x 于A ,B 两点,且线段AB 中点到y 轴的距离为3,则|AB|=( ) A .12 B .10
C .8
D .6
二、填空题
13.如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由 块木块堆成.
14.已知平面向量a ,b 的夹角为3π
,6=-b a
,向量c a -,c b -的夹角为23
π,23c a -=,则a 与
c
的夹角为__________,a c ?的最大值为
.
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 15.二项式展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,则其常数项为 .
16.已知实数x ,y 满足2330220y x y x y ≤??
--≤??+-≥?
,目标函数3z x y a =++的最大值为4,则a =______.
【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力.
17.若log2(2m﹣3)=0,则e lnm﹣1=.
18.下列四个命题申是真命题的是(填所有真命题的序号)
①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件;
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;
③在侧棱长为2,底面边长为3的正三棱锥中,侧棱与底面成30°的角;
④动圆P过定点A(﹣2,0),且在定圆B:(x﹣2)2+y2=36的内部与其相内切,则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆.
三、解答题
19.如图,M、N是焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上两个不同的点,且线段MN中点A的横坐标为,
(1)求|MF|+|NF|的值;
(2)若p=2,直线MN与x轴交于点B点,求点B横坐标的取值范围.
20.2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取7080100位,得到数据如表:
(Ⅰ)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)根据调查数据,是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由.
2.072 2.706
3.841 5.024
(参考公式:,其中n=a+b+c+d)
21.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=a n+p?3n(n∈N*,p为常数),a1,a2+6,a3成等差数列.
(1)求p的值及数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{b n}满足b n=,证明b n≤.
22.我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000(单位:元)十个档次,某社区随机抽取了50名村民,按缴费在100:500元,600:1000元,以及年龄在20:39岁,4059
(1)用分层抽样的方法在缴费100:500元之间的村民中随机抽取5人,则年龄在20:39岁之间应抽取几人?(2)在缴费100:500元之间抽取的5人中,随机选取2人进行到户走访,求这2人的年龄都在40:59岁之间的概率.
23.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()=f(x)﹣f(y)
(1)求f(1)的值,
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)﹣f()<2.
24.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos()
=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
义乌市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案)一、选择题
1.【答案】B
【解析】解:定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:<0.
∵f(2)=4,则2f(2)=8,
f(x)﹣>0化简得,
当x<2时,
?成立.
故得x<2,
∵定义在(0,+∞)上.
∴不等式f(x)﹣>0的解集为(0,2).
故选B.
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式,从已知条件入手,找个关系求解.属于中档题.
2.【答案】A
【解析】解:由“a>b,c>0”能推出“ac>bc”,是充分条件,
由“ac>bc”推不出“a>b,c>0”不是必要条件,例如a=﹣1,c=﹣1,b=1,显然ac>bc,但是a<b,c<0,故选:A.
【点评】本题考查了充分必要条件,考查了不等式的性质,是一道基础题
3.【答案】B
【解析】解:要使函数有意义,只须,
即,
解得1<x≤4且x≠2,
∴函数f(x)的定义域为{x|1<x≤4且x≠2}.
故选B
4.【答案】C
【解析】
考点:指数函数的概念.
5.【答案】D
【解析】解:设F2为椭圆的右焦点
由题意可得:圆与椭圆交于P,并且直线PF1(F1为椭圆的左焦点)是该圆的切线,
所以点P是切点,所以PF2=c并且PF1⊥PF2.
又因为F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以.
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF2|=2a﹣c.
所以2a﹣c=,所以e=.
故选D.
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义.
6.【答案】B
【解析】解:由于函数y=a x (a>0且a≠1)图象一定过点(0,1),故函数y=a x+2(a>0且a≠1)图象一定过点(0,3),
故选B.
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.
7.【答案】A
【解析】解:由图象可知,阴影部分的元素由属于集合A,但不属于集合B的元素构成,
∴对应的集合表示为A∩?U B.
故选:A.
8.【答案】D
【解析】解:∵全集I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合M={3,4,5},集合N={1,3,6},
∴M∪N={1,2,3,6,7,8},
M∩N={3};
?I M∪?I N={1,2,4,5,6,7,8};
?I M∩?I N={2,7,8},
故选:D.
9.【答案】B
【解析】
考点:球与几何体
10.【答案】C
【解析】解:A.在定义域内没有单调性,∴该选项错误;
B.时,y=,x=1时,y=0;
∴该函数在定义域内不是减函数,∴该选项错误;
C.y=﹣x|x|的定义域为R,且﹣(﹣x)|﹣x|=x|x|=﹣(﹣x|x|);
∴该函数为奇函数;
;
∴该函数在[0,+∞),(﹣∞,0)上都是减函数,且﹣02=02;
∴该函数在定义域R上为减函数,∴该选项正确;
D.;
∵﹣0+1>﹣0﹣1;
∴该函数在定义域R上不是减函数,∴该选项错误.
故选:C.
【点评】考查反比例函数的单调性,奇函数的定义及判断方法,减函数的定义,以及分段函数单调性的判断,二次函数的单调性.
11.【答案】A
【解析】解:几何体如图所示,则V=,
故选:A .
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,正确得出直观图是解答的关键.
12.【答案】C
【解析】解:直线y=kx ﹣k 恒过(1,0),恰好是抛物线y 2
=4x 的焦点坐标, 设A (x 1,y 1) B (x 2,y 2)
抛物y 2
=4x 的线准线x=﹣1,线段AB 中点到y 轴的距离为3,x 1+x 2=6,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8, 故选:C .
【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义,主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离.
二、填空题
13.【答案】 4
【解析】解:由三视图可以看出此几何体由两排两列,前排有一个方块,后排左面一列有两个木块右面一列有一个,
故后排有三个,故此几何体共有4个木块组成. 故答案为:4.
14.【答案】6
π
,18+ 【解析】
15.【答案】 70 .
【解析】解:根据题意二项式展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,
则n=8,
所以二项式
=
展开式的通项为
T r+1=(﹣1)r C 8r x 8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 则其常数项为C 84
=70
故答案为70.
【点评】本题考查二项式定理的应用,涉及二项式系数的性质,要注意系数与二项式系数的区别.
16.【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示:作直线0l :30x y +=,再作一组平行于0l 的直线l :3x y z a +=-,当直线
l经过点
5
(,2)
3
M时,3
z a x y
-=+取得最大值,∴
max
5
()327
3
z a
-=?+=,所以
max
74
z a
=+=,故
3
a=-.
17.【答案】.
【解析】解:∵log2(2m﹣3)=0,
∴2m﹣3=1,解得m=2,
∴e lnm﹣1=e ln2÷e=.
故答案为:.
【点评】本题考查指数式化简求值,是基础题,解题时要注意对数方程的合理运用.
18.【答案】①③④
【解析】解:①“p∧q为真”,则p,q同时为真命题,则“p∨q为真”,
当p真q假时,满足p∨q为真,但p∧q为假,则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确,故①正确;
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补;故②错误,
③设正三棱锥为P﹣ABC,顶点P在底面的射影为O,则O为△ABC的中心,∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3,∴CO=
∵侧棱长为2,∴
在直角△POC中,tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为,即侧棱与底面所成角为30°,故③正确,
④如图,设动圆P和定圆B内切于M,则动圆的圆心P到两点,即定点A(﹣2,0)和定圆的圆心B(2,0)的距离之和恰好等于定圆半径,
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6>4=|AB|.
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆,故④正确,
故答案为:①③④
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=8﹣p,|MF|=x1+,|NF|=x2+,
∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8;
(2)p=2时,y2=4x,
若直线MN斜率不存在,则B(3,0);
若直线MN斜率存在,设A(3,t)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则
代入利用点差法,可得y12﹣y22=4(x1﹣x2)
∴k MN=,
∴直线MN的方程为y﹣t=(x﹣3),
∴B的横坐标为x=3﹣,
直线MN代入y2=4x,可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0
△>0可得0<t2<12,
∴x=3﹣∈(﹣3,3),
∴点B横坐标的取值范围是(﹣3,3).
【点评】本题考查抛物线的定义,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由已知得该市70后“生二胎”的概率为=,且X~B(3,),
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
0 1 2 3
∴E(X)=3×=2.
(Ⅱ)假设生二胎与年龄无关,
K2==≈3.030>2.706,
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.
21.【答案】
【解析】(1)解:∵数列{a n}满足a1=3,a n+1=a n+p?3n(n∈N*,p为常数),
∴a2=3+3p,a3=3+12p,
∵a1,a2+6,a3成等差数列.∴2a2+12=a1+a3,即18+6p=6+12p 解得p=2.
∵a n+1=a n+p?3n,
∴a2﹣a1=2?3,a3﹣a2=2?32,…,a n﹣a n﹣1=2?3n﹣1,
将这些式子全加起来得
a n﹣a1=3n﹣3,
∴a n=3n.
(2)证明:∵{b n}满足b n=,∴b n=.
设f(x)=,则f′(x)=,x∈N*,
令f′(x)=0,得x=∈(1,2)
当x∈(0,)时,f′(x)>0;当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,
且f(1)=,f(2)=,
∴f(x)max=f(2)=,x∈N*.
∴b n≤.
【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.22.【答案】
【解析】解:(1)设抽取x人,则,解得x=2,
即年龄在20:39岁之间应抽取2人.
(2)设在缴费100:500元之间抽取的5人中,年龄在20:39岁年龄的两人为A,B,在40:59岁之间为a,b,c,
随机选取2人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,
年龄都在40:59岁之间的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,
则对应的概率P=.
【点评】本题主要考查分层抽样的应用,以及古典概型的计算,利用列举法是解决本题的关键.
23.【答案】
【解析】解:(1)在f()=f(x)﹣f(y)中,
令x=y=1,则有f(1)=f(1)﹣f(1),
∴f(1)=0;
(2)∵f(6)=1,∴2=1+1=f(6)+f(6),
∴不等式f(x+3)﹣f()<2
等价为不等式f(x+3)﹣f()<f(6)+f(6),
∴f(3x+9)﹣f(6)<f(6),
即f()<f(6),
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,
∴,解得﹣3<x<9,
即不等式的解集为(﹣3,9).
24.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由
从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时,ρ=2,所以M(2,0)
(Ⅱ)M点的直角坐标为(2,0)
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为,则P点的极坐标为,
所以直线OP的极坐标方程为,ρ∈(﹣∞,+∞)
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.