函数的图像
【考纲说明】
1、掌握基本函数的图象的特征,能熟练运用基本函数的图象解决问题。
2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。
【趣味链接】
你一定知道乌鸦喝水的故事吧!如图一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不到瓶中的水.于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随着石子的增多而上升,乌鸦喝到了水.但是还没解渴,瓶中的水面就下降到乌鸦够不着的高度.乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,呱呱的飞走了.
【知识梳理】
一、函数的图像
1、作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。
2、识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. 二、函数图像的变化
1、平移变换:(1)水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到;
(2)竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移
||a 个单位即可得到.
① y=f(x)h
左移→y=f(x+h); ② y=f(x) h
右移→y=f(x -h); ③y=f(x) h
上移→y=f(x)+h; ④y=f(x) h
下移→y=f(x)-h.
2、对称变换:(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; (2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; (3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; (4)函数1
()y f
x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到.
①y=f(x) 轴x →y= -f(x); ②y=f(x) 轴
y →y=f(-x); ③y=f(x)
a
x =→直线y=f(2a -x); ④y=f(x) x
y =→直线y=f -1(x);
⑤y=f(x) 原点
→y= -f(-x).
提示:a.若f (a +x )=f (b -x ),x ∈R 恒成立,则y =f (x )的图象关于x =a +b
2
成轴对称图形,若f (a +x )=-f (b
-x ),x ∈R ,则y =f (x )的图象关于点(
a +b
2
,0)成中心对称图形.
b.函数y =f (a +x )与函数y =f (b -x )的图象关于直线x =1
2
(b -a )对称.
3、翻折变换:(1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到;
(2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留
()y f x =在y 轴右边部分即可得到.
4、伸缩变换:(1)函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到;
(2)函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的
1
a
倍得到. ①y=f(x)ω
?→x y=f(
ω
x
);② y=f(x)ω
?→y y=ωf(x).
【经典例题】
【例1】函数()y f x =与()y g x =的图像如下图:则函数()()y f x g x =?的图像可能是( )
A. B. C. D.
【解析】∵函数()()
y f x g x
=?的定义域是函数()
y f x
=与()
y g x
=的定义域的交集(,0)(0,)
-∞+∞,图像不经过坐标原点,故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时()0
f x>且()0
g x<,故()()0
f x
g x
?<。∴选A. 【例2】说明由函数2x
y=的图像经过怎样的图像变换得到函数3
21
x
y--
=+的图像.
【解析】方法一:(1)将函数2x
y=的图像向右平移3个单位,得到函数3
2x
y-
=的图像;
(2)作出函数3
2x
y-
=的图像关于y轴对称的图像,得到函数3
2x
y--
=的图像;
(3)把函数3
2x
y--
=的图像向上平移1个单位,得到函数3
21
x
y--
=+的图像.
方法二:(1)作出函数2x
y=的图像关于y轴的对称图像,得到2x
y-
=的图像;
(2)把函数2x
y-
=的图像向左平移3个单位,得到3
2x
y--
=的图像;
(3)把函数3
2x
y--
=的图像向上平移1个单位,得到函数3
21
x
y--
=+的图像.
【例3】设曲线C的方程是3
y x x
=-,将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(0)
t≠个单位长度后得到曲线
1
C,
(1)写出曲线
1
C的方程;
(2)证明曲线C与
1
C关于点(,)
22
t s
A对称;
(3)如果曲线C与
1
C有且仅有一个公共点,证明:
2
4
t
s t
=-.
【解析】(1)曲线
1
C的方程为3
()()
y x t x t s
=---+;
(2)证明:在曲线C上任意取一点
111
(,)
B x y,设
222
(,)
B x y是
1
B关于点A的对称点,则有
1212,2222
x x t y y s
++==,∴12
1
,x t x y s y =-=
-代入曲线C 的方程,得22,x y 的方程:
3222()()
s y t x
t x -=--- 即3222()()y x t x t s =---+可知点222(,)B x y 在曲线1C 上. 反过来,同样证明,在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上. 因此,曲线C 与1C 关于点A 对称.
(3)证明:因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点,
∴方程组3
3
()()y x x
y x t x t s
?=-??=---+??有且仅有一组解, 消去y ,整理得223
33()0tx t x t t s -+--=,这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根, ∴4
3
912()0t t t t s ?=---=,即得3
(44)0t t t s --=,
因为0t ≠,所以3
4
t s t =-.
【例4】(1)试作出函数1
y x x
=+
的图像; (2)对每一个实数x ,三个数2
,,1x x x --中最大者记为y ,试判断y 是否是x 的函数?若是,作出其图像,讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值);若不是,说明为什么? 【解析】(1)∵1
()f x x x
=+
,∴()f x 为奇函数,从而可以作出0x >时()f x 的图像,又∵0x >时,()2f x ≥, ∴1x =时,()f x 的最小值为2,图像最低点为(1,2), 又∵()f x 在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上是增函数,
同时1
()(0)f x x x x x
=+>>即以y x =为渐近线,
于是0x >时,函数的图像应为下图①,()f x 图象为图②:
(2)y 是x 的函数,作出2123(),(),()1g x x g x x g x x ==-=-的图像可知,()f x 的图像是图③中实线部分.定义
域为R ;值域为[1,)+∞;单调增区间为[1,0),[1,)-+∞;单调减区间为(,1),[0,1)-∞-;当1x =±时,函数有最小值1;函数无最大值.
【例5】已知函数f (x )=|x 2
-4x +3|
(1)求函数f (x )的单调区间,并指出其增减性;
(2)若关于x 的方程f (x )-a =x 至少有三个不相等的实数根,求实数a 的取值范围. 【解析】作出图象如图所示.
(1)递增区间为[1,2],[3,+∞),递减区间为(-∞,1],[2,3].
(2)原方程变形为|x 2
-4x +3|=x +a ,于是,设y =x +a ,在同一坐标系下再作出y =x +a 的图象.如图. 则当直线y =x +a 过点(1,0)时a =-1;
当直线y =x +a 与抛物线y =-x 2+4x -3相切时,由 ?
????
y =x +a y =-x 2
+4x -3?x 2
-3x +a +3=0. 由Δ=9-4(3+a )=0.得a =-3
4.
由图象知当a ∈[-1,-3
4]时方程至少有三个不等实根.
【例6】 作图:(1)y =a |x -1|,(2)y =log |x -1|
a ,(3)y =|log a (x -1)|(a >1). 【解析】
(1)的变换是:y =a x
→y =a |x |
→y =a |x -1|
,而不是:y =a x →y =a x -1→y =a |x -1|
,这需要理解好y =f (x )→y =f (|x |)的交换.(2)题同(1),(3)与(2)是不同的变换,注意区别.
【课堂练习】
1、下列每组两个函数的图象中,正确的是( )
A. B. C. D.
2、已知函数f(x)=(x-1)/a (a>0,a≠1),在同一坐标系中,y=f-1(x)与y=a|x-1|的图象只可能是( )
3、在下列图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=x
a
b
)
(的图象只可能是()
4、已知函数y=a/x与y=ax2+bx, 则下列图象正确的是()
5、函数y=|
1|2x
-的图象是()
6、函数y=(3x-1)/(x+2)的图象()
A. 关于点(-2,3)对称
B. 关于点(2,-3)对称
C. 关于直线x= -2对称
D. 关于直线y= -3对称
7、若第一个函数y=f(x), 它的反函数是第二个函数,又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称,那么第三个函数的图象是()
A. y= -f-1(x)
B. y= -f-1(-x)
C. y= -f(x)
D. y= -f(-x)
8、设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1)与y= -f(1-x)的图象关于()对称
A.直线x=0
B.直线x=1
C.点(0,0)
D.点(1,0)
9、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中,不.正确
..的是()
A.y=|log2x| B. y=2|x| C. y=log0.5x2 D. y=|x-1/3
|
10、已知函数y=f(x)的图象如图,则y=f(1-x)的图象是()
11、下列命题中:①函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x 对称;②若f(x)= -f(-x),则f(x)的图象关于原点对称;③若f(x)=f(-x)则f(x)的图象关于y 轴对称;④y=f(x)的图象与y= -f(x)的图象关于y 轴对称,其中真命题是( )
A 、②③
B 、②③④
C 、①②③
D 、全都是
12、把函数y=cosx 的图象向右平移1/2个单位,再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2,所得图象的解析式为 .
13、画出下列函数的图象:(1)y=lg|x+1|; (2)y=(x+2)/(x+3).
14、若函数y=log 2|ax -1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a 的值为 . 15、函数y=f(|x -m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线 对称.
16、将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位,再把图象上点的横坐标变为原来的1/3,所得图象的解析式为_______. 17、如下图所示,向高为H 的水瓶,,,A B C D 同时以等速注水,注满为止;
A. B. C. D.
(1)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的a ,则水瓶的形状是 ; (2)若水量v 与水深h 的函数图像是下图中的b ,则水瓶的形状是 ; (3)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的c ,则水瓶的形状是 ; (4)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的d ,则水瓶的形状是 .
a b c d 18、已知f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则b 的取值范围是 .
19、说出作出函数y=log 2(1-x) 的图象的过程
.
20、方程|x 2+2x -3|=a(x
-2)有四个实数根,求实数a 的取值范围.
【课后作业】
1、函数y =ln
1
|2x -3|
的图象为( )
2、下列函数的图像中,经过平移或翻折后不能与函数y =log 2x 的图象重合的函数是( )
A .y =2x
B .y =log 12x
C .y =4x 2
D .y =log 21x
+1
3、若函数f (x )在(4,+∞)上为减函数,且对任意的x ∈R ,有f (4+x )=f (4-x ),则( )
A .f (2)>f (3)
B .f (2)>f (5)
C .f (3)>f (5)
D .f (3)>f (6) 4、(2009安徽)设a
5、已知下图①的图象对应的函数为y =f (x ),则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中,只可能是( )
A .y =f (|x |)
B .y =|f (x )|
C .y =f (-|x |)
D .y =-f (|x |)
6、函数f (x )=1
1+|x |
的图象是( )
7、已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],函数y =f (x )的图象如下图所示,则函数f (|x |)的图象大致是( )
8、若对任意x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1 D .a ≥1
9、f (x )定义域为R ,对任意x ∈R ,满足f (x )=f (4-x )且当x ∈[ 2,+∞)时,f (x )为减函数,则( ) A .f (0) 10、若函数y =(12 )|1- x |+m 的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围是________. 11、若直线y =x +m 和曲线y =1-x 2有两个不同的交点,则m 的取值范围是________. 12、设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ,且F G .若对任意的x ∈F ,都有g (x )=f (x ),则称g (x )为f (x )在G 上 的一个“延拓函数”.已知函数f (x )=(1 2 )x (x ≤0),若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数,且g (x )是偶函数,则函数 g (x )的解析式为________. 【参考答案】 【课堂练习】 1、 D 2、 C D 3、 A 4、 C 5、 C 6、 A 7、D 8、D 9、 C 10、 C 11、 C 12.y=cos(2x-1/2). 设P1(x1,y1)为原图象上的点,通过变换后得到新图象上一点P(x,y),则x=(x1+1/2)/2, ∴x1=2x-1/2, y1=y, 代入y1=cosx1得到 y=cos(2x-1/2). 13. (1)此函数由函数y=lg|x|向左平移1个单位而得到; (2)y=1-1/(x+3)由函数y=1/x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得到,注意渐近线的变化。 14. 1/2 15. x=m/2 16. y=f(3x-2)。 17. (1)C;(2)A;(3)D;(4)B. 18. (-∞,0) 19.先作y=log2x关于y轴对称的图象,再沿x轴向右平移一个单位得到。 20. x2+(2+a)x-2a-3=0, 由Δ=0以及-(2+a)/2<1可得a= -6+25,