单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)
考生注意:
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页．
2．答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟,满分130分． 4．请在密封线内作答,保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝
1
lg x
＋2－x 的定义域为( ) A ．(－∞,2] B ．(0,1)∪(1,2] C ．(0,2] D ．(0,2)
答案 B
解析 要使函数f (x )有意义,则????
?
x >0，lg x ≠0，
2－x ≥0，
解得0 2．(哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x 2 x C ．y ＝(x )2 D ．y ＝log a a x (a >0且a ≠1) 答案 D 解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系,定义域均相同,是同一函数． 3．下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( ) A ．y ＝－1 x B ．y ＝? ?? ??12x C ．y ＝x 3 D ．y ＝log 2x 答案 C 解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数,也不是减函数；y ＝? ?? ??12x 在其定义域内既不是偶函 数,也不是奇函数；y ＝x 3 在其定义域内既是奇函数,又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数,也不是奇函数． 4．已知f (x )＝x －x 2 ,则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2 －x 4 B ．f (x )＝x －x 2 C ．f (x )＝x 2 －x 4 (x ≥0) D ．f (x )＝x －x (x ≥0) 答案 C 解析 因为f (x )＝(x )2 －(x )4 , 所以f (x )＝x 2 －x 4 (x ≥0)． 5．(宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2 －mx ＋5,对称轴x ＝－2,则f (1)的值为( ) A ．－7B ．17C ．1D ．25 答案 D 解析 函数f (x )＝4x 2 －mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2, 可得m 8＝－2,解得m ＝－16,所以f (x )＝4x 2 ＋16x ＋5. 则f (1)＝4＋16＋5＝25. 6．若a ＝30.3 ,b ＝log π3,c ＝log 0.3e,则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a 答案 A 解析 因为0<0.3<1,e>1, 所以c ＝log 0.3e<0, 由于0.3>0,所以a ＝30.3 >1, 由1<3<π,得0b >c . 7．已知f (x ＋1)＝－ln x ＋3 x －1 ,则函数f (x )的图象大致为( ) 答案 A 解析 由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3 x －1 ＝－ln (x ＋1)＋2(x ＋1)－2, 所以f (x )＝－ln x ＋2x －2＝ln x －2 x ＋2 . 由 x －2 x ＋2 >0,解得定义域为(－∞,－2)∪(2,＋∞),故排除B. 因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2 x －2 ＝－ln x －2 x ＋2 ＝－f (x ), 所以函数f (x )为奇函数,排除C. 又f (3)＝ln 1 5 <0,故排除D. 8．已知函数f (x )＝－x 2 ＋4x ,当x ∈[m,5]时,f (x )的值域是[－5,4],则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞,－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5] 答案 C 解析 f (x )＝－(x －2)2＋4, 所以当x ＝2时,f (2)＝4. 由f (x )＝－5,解得x ＝5或x ＝－1. 所以要使函数f (x )在区间[m,5]上的值域是[－5,4], 则－1≤m ≤2. 9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称,且f (x )在(－∞,0]上单调递减, 则满足f (3x ＋1) ??12的实数x 的取值范围是( ) A.??????－1 2，－16 B.? ????－1 2，－16 C.??????－1 3，－16 D.? ????－1 3 ，－16 答案 B 解析 由函数f (x )的图象关于y 轴对称, 且f (x )在(－∞,0]上单调递减, 得f (x )在(0,＋∞)上单调递增． 又f (3x ＋1) ? ?? ??12, 所以|3x ＋1|<1 2, 解得－12 . 10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝???? ? log 3(x 2 ＋t )，x <0，2(t ＋1)x ，x ≥0， 且f (1)＝6,则f (f (－2))的值为 ( ) A ．12 B ．18C.112D.1 18 答案 A 解析 ∵f (x )＝? ???? log 3(x 2 ＋t )，x <0， 2(t ＋1)x ，x ≥0， ∴f (1)＝2(t ＋1)＝6,解得t ＝2. ∴f (－2)＝log3(4＋2)＝log36,f (f (－2))＝12. 11.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ＝DC ＝2,CB ＝2,动点P 从点A 出发,由A →D →C →B 沿边运动,点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ,△APQ 的面积为y ,则y ＝f (x )的图象大致是( ) 答案 D 解析 根据题意可得到 y ＝f (x )＝????? 14 x 2 ，0≤x ≤2，2 2 x ＋1－2，2 －2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋ 2， 由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D. 12．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称,且f (x ＋1)是偶函数．若当 x ∈[0,1]时,f (x )＝sin π2 x ,则函数y ＝f (x )与y ＝e －|x |的图象在区间[－2 020,2 020]上的交 点个数为( ) A ．2019 B ．2020 C ．4038 D ．4040 答案 D 解析 因为函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称, 所以函数y ＝f (x )图象的对称轴为直线x ＝0, 故y ＝f (x )是偶函数,即f (－x )＝f (x )． 又f (x ＋1)是偶函数,所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)． 故f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x ), 所以函数f (x )是周期为2的偶函数． 又当x ∈[0,1]时,f (x )＝sin π2 x , 作出y ＝f (x )与y ＝? ?? ??1e |x | 的图象,如图所示． 结合图象可知在每个周期内,两函数的图象有2个交点, 所以在区间[－2 020,2 020]上的交点个数为2020×2＝4040. 第Ⅱ卷(非选择题 共70分) 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上) 13．幂函数f (x )＝(m 2 －m －1)223 m m x +-在区间(0,＋∞)内为增函数,则实数m 的值为______． 答案 2 解析 根据题意得m 2 －m －1＝1,解得m ＝2或m ＝－1. 因为当x ∈(0,＋∞)时,f (x )为增函数, 所以当m ＝2时,m 2 ＋2m －3＝5,幂函数为f (x )＝x 5 ,满足题意； 当m ＝－1时,m 2 ＋2m －3＝－4,幂函数为f (x )＝x －4 ,不满足题意． 综上,m ＝2. 14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,且当0≤x <1时,f (x )＝2x ＋a ,f (1)＝0,则f (－3)＋f (14－log 27)＝________. 答案 －34 解析 易知f ( －3)＝f (1)＝0, 由f (x )是奇函数,知f (0)＝0, 所以20 ＋a ＝0,所以a ＝－1. 因为log 27＝2＋log 27 4 , 所以f (14－log 27)＝f ? ????－log 274＝－f ? ????log 274 ＝－? ?? ??74－1＝－34, 则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－3 4 . 15．已知函数f (x )＝? ???? 2x －a ，x ≤0， x 2 －3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 ________． 答案 ? ?? ??49，1 解析 如图, 要使函数f (x )的图象和x 轴有三个交点, 则????? 00， 9a 2 －4a >0， 解得4 9 16．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y ＝[x ]称为高斯函数．例如:[－3.5]＝－4,[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x 1＋e x －1 2,则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________． 答案 {－1,0} 解析 因为f (x )＝e x －1 2(e x ＋1), 则f (－x )＝1－e x 2(1＋e x ) ＝－f (x ), 所以f (x )为奇函数． 因为函数f (x )＝e x 1＋e x －12＝12－1 e x ＋1, 又e x ＋1>1,所以0<1e x ＋1<1, 故－12<12－1e x ＋1<12 . 当f (x )∈? ????－12，0时,[f (x )]＝－1,[f (－x )]＝0； 当f (x )∈? ?? ??0，12时,[f (x )]＝0,[f (－x )]＝－1； 当f (x )＝0时,[f (x )]＝0,[f (－x )]＝0. 所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1,0}． 三、解答题(本题共4小题,共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知函数f (x )＝? ?? ??12ax ,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2)． (1)求常数a 的值； (2)若g (x )＝4－x －2,且存在x ,使g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值． 解 (1)由已知得? ????12－a ＝2,解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝? ?? ??12x , 因为存在x ,使g (x )＝f (x ), 所以4－x －2＝? ????12x , 即? ????14x －? ?? ??12x －2＝0, 即??????? ????12x 2－? ?? ??12x －2＝0有解, 令? ?? ??12x ＝t (t >0),则t 2 －t －2＝0, 即(t －2)(t ＋1)＝0, 解得t ＝2,即? ?? ??12x ＝2,解得x ＝－1, 故满足条件的x 的值为－1. 18．(12分)已知函数f (x )＝ 3x ＋7 x ＋2 ,x ∈(－2,2)． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)解不等式12log [f (－2m ＋3)]>12 log [f (m 2 )]． 解 (1)任取x 1,x 2∈(－2,2),且x 1 x 2＋2 ＝(3x 1＋7)(x 2＋2)－(3x 2＋7)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2) ＝ x 2－x 1 (x 1＋2)(x 2＋2) . ∵x 1 ∴f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝3x ＋7 x ＋2,x ∈(－2,2)为减函数． (2)由(1)知函数f (x )在(－2,2)上为减函数, 易知f (x )>0, ∴12log [f (－2m ＋3)]>12 log [f (m 2 )]等价于f (－2m ＋3) ), ∴????? －2<－2m ＋3<2，－2 <2，－2m ＋3>m 2， 解得1 2 故所求不等式的解集为? ?? ??12，1. 19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x 年年底出售,其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出) 解 (1)设大货车运输到第x 年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y 万元, 则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50 ＝－x 2 ＋20x －50(0 )． 由－x 2＋20x －50>0,可得10－52 故大货车运输到第3年年底,该车运输累计收入超过总支出． (2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出, ∴二手车出售后,小张的年平均利润为y ＝y ＋(25－x )x ＝19－? ????x ＋25x ≤19－2 x ×25 x ＝19 －10＝9, 当且仅当x ＝5时,等号成立． ∴小王应当在第5年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大． 20．(13分)已知函数f (x )＝log 2(4x ＋1)－x . (1)若函数y ＝f (x )－x －a 没有零点,求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝2 f (x )＋x ＋m ·2x －1,x ∈[0,log 23]的最小值为0,求实数m 的值． 解 (1)函数y ＝f (x )－x －a 没有零点, 即关于x 的方程log 2(4x ＋1)－2x ＝a 无实数根． 令g (x )＝log 2(4x ＋1)－2x , 则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 无交点． 因为g (x )＝log 2(4x ＋1)－2x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＝log 24x ＋14x ＝log 2? ?? ??1＋14x , 又1＋1 4 x >1, 所以g (x )＝log 2? ?? ??1＋14x >0. 所以实数a 的取值范围是(－∞,0]． (2)由题意得h (x )＝4x ＋m ·2x ,x ∈[0,log 23]． 令t ＝2x ∈[1,3],则φ(t )＝t 2 ＋mt ,t ∈[1,3]． ①当－m 2 ≤1,即m ≥－2时, φ(t )min ＝φ(1)＝1＋m ＝0,解得m ＝－1； ②当1<－m 2 <3,即－6 φ(t )min ＝φ? ?? ??－m 2＝－m 2 4＝0, 解得m ＝0(舍去)． ③当－m 2 ≥3,即m ≤－6时, φ(t )min ＝φ(3)＝9＋3m ＝0,解得m ＝－3(舍去), 综上可知,实数m 的值为－1. 高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴） 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时 奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时 奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0a 时；当0 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧． 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】 函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数； 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 高一数学必修1《基本初等函数》测试题 一、选择题．（共50分每小题5分．每题都有且只有一个正确选项．） 1、若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ） A 、m m n n a a a ÷= B 、n m n m a a a ?=? C 、()n m m n a a += D 、01n n a a -÷= 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是 （ ） ①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =；③若22log log a a M N =则 M N =；④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算lg52lg2)lg5()lg2(22?++等于 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是 （ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、 231a a -- 9、已知幂函数f(x)过点（2，2 2），则f(4)的值为 （ ） 竞赛讲义：函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。. 例题： 1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤2 3时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立， 若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 4、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________. 5、已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c 6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有 两个实数根，求证：a ＞4. 7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥ 21. 8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1 x 4x 2-=++++++ 9、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求 41[f ⑷＋f(0)]的值 10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥2 1 高中数学必修 第二章 函数 1.函数的有关概念 (1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (2)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法： （1）)(x f 为整式型函数时，定义域为R ； （2）)(x f 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； （3）)(x f 为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； （4）)(x f 为零次幂型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合； （5）若)(x f 是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。 3．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有： (1)f (x )在区间D 上是增函数?f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数?f (x 1)＞f (x 2)． 4.利用定义法判断函数单调性的步骤： （1）取值：在指定区间上任取)(,,122121x x x x x x <<或且令； （2）作差：将)]()()[()(1221x f x f x f x f --或进行化简变形，变形的方向应有利于判断)()(21x f x f - )]()([12x f x f -或的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等； （3）定号：对变形后盾额差进行判断，确定)]()()[()(1221x f x f x f x f --或的符号； （4）判断：判断函数符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论。 复合函数单调性的确定： “同增异减”. 5．函数的奇偶性 （1）一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f --=，那么函数)(x f 就叫做奇函数；奇函数的图象关于)0,0(对称；0)0(=f 此文档下载后即可编辑 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； （一）指数运算 例1 计算：526743642++--- 例2 求值：238、12100-、31()4-、34 16()81- 例3 用分数指数幂表示下列各式（其中各字母均为正数） （1）34a a ?；（2）a a a ；（2）3324()a b +； （二）指数函数的性质 例1 下列函数是指数函数的是（ ） A ．2y x = B ．2x y = C ．12 x y += D ．132x y +=? 例2 函数22(0,1)x y a a a -=->≠ 且的图象恒过定点________________ 例3 比较下列各组数的大小 （1）0.245()6-与145()6- （2）1()ππ -与1 （3）2(0.8)-与125()4- 例4 设a 是实数，2()()21 x f x a x R =-∈+ （1）证明：不论a 为何实数，()f x 均为增函数；（2）试确定a 的值，使得()f x 为奇函数 例5 已知0a >，且1a ≠，11()12x f x a = --，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．函数的奇偶性与a 有关 例6 若函数221x x y a a =+-(01)a a >≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为14，求a 的值． 三、实战演练 1、化简：3322 43342(0,0)()a b ab a b a b a b ->>=_______________ 2、已知12102 a -=，31032 b =，则32410=a b +_______________ 3、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 4、函数()x b f x a -=的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5、比较大小：①0.70.8 a =，0.90.8 b =，0.81.2 c =；②01， 2.50.4-，0.22-， 1.6 2.5； 7、已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数 （1）求a 、b 的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值 范围 0,1<>b a 0,1>>b a 0,10>< 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g 的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量 x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是 函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 函数的基本及性质 （3）对数换底公式： a N N m m a log log log = ( 0 ,10 ,1,0)a a m m N >≠>≠>， （4）两个常用的推论: ① 1 log log =?a b b a ， 1 log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = , 01a b >（且均不为） （四）对数函数的概念及性质 1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 练习：1．如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )． A ． B ． C ． D ． 2、对数函数的图象和性质 a>1 0 〖 2.1〗指数函数 根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）分数指数幂的运算性质① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数 〖2.2〗对数函数 负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． 几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． 常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 换底公式的推论： （5）对数函数 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α 是常数． (0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=???????? ??? ??????????????????? 为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ?=+=-=>≠>>=>≠?????????? ???? ???????? ??? =>≠>???????? 为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x α α??????? ? ? ???? ? ? ??????????? ?? ????????=?? ???幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2 1．如果1x >，12 log a x =，那么a 的取值范围？ 2．函数()1log (3)x y x -=-的定义域是 1223x x <<<<且 3．若3log 15 a <，则a 的取值范围是（ ） 5．函数23log (632)y x x =--的定义域是（ ） A ．[11 B ．(11 C ．(,1[1)-∞+∞ D ．(,1(,1-∞-∞ 6．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 7．如果函数33 ()lg[()1],[1,]22 f x x x x =- +∈，那么()f x 的最大值是（ ） A ．41 B ． 0 C ．2 1 D ．1 8．函数2-=x y 在区间1 [,2]2上的最大值是 9．函数())f x x =是 （填奇或偶）函数． 10．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤） （1）5 3 (2)1y x - =--；（2）2222 21x x y x x ++=++． 11．已知函数2log 030x x x f x x >?=?≤? （），（）（），则1 []4f f （）的值是（） A ．9 B ．91 C ．－9 D ．91 - 12．（1）若0a <，比较1 2,(),0.22 a a a 的大小 （2）若10a -<<，比较1 333,,a a a 的大小． 13．已知函数)(log )1(log 1 1 log )(222 x p x x x x f -+-+-+=. （1）求函数f (x )的定义域 指数计算问题 1、下列各式中值为0的是（ ） A ．a a log B ．a b b a log log - C ．()b b a log log D ．()2log log a a a 2、216log =x ，则=x （ ）高中数学函数常用函数图形及其基本性质
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