D
A B
C
P
门头沟区2018年高三综合练习（一）
数学（理） 2018.4
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设全集U = {}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，则U ()C A B = A ．｛0，4｝ B ．｛1，5｝ C ．｛2，0，4｝
D ．｛2，0，5｝
2. 复数z 满足
23z
i i
=-，复数z 对应的点在复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限
3.对于函数()sin (,,)f x a x bx c a b R c Z =++∈∈,计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是
A ．4和6
B ．3和1
C ．2和4
D ．1和2
4. 抛物线2
8y x =焦点F 到双曲线2
2
:13
y C x -=的一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D 3
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为
A. 48里
B. 24里
C. 12里
D. 6里
6.在直角梯形ABCD 中，0//,90AB CD DAB ∠=，且222,AB CD AD P ===
是BC 的中点，则PD PA ?为
A ．94
B ．3
C ．2
D ．52
7. 已知函数)sin()(?ω+=x A x f )||,0,0(π?ω<>>A 的部分图像如图所示，则“2m ≥”是“函数()f x m ≤对[0,8]x ∈恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
8.某电力在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。 分值权重表如下： 总分 技术 商务 报价 100%
50%
10%
40%
技术标、商务标基本都是由的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。
在某次招标中，若基准价为1000（万元）。甲、乙两综合得分如下表： 技术 商务 报价
甲 80分 90分 A 甲分 乙
70分
100分
A 乙分
甲报价为1100（万元乙的报价为800（万元）则甲，乙的综合得分，分别是 A ．73，75.4 B ．73,80 C ．74.6,76 D ．74.6 ,75.4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）
9. 261
()x x
-的展开式中6x 的系数是 。
10．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300,300,400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是 。
11．直线cos 3
(sin 3x t t y t ππ?
=????=??为参数）截圆:4cos C ρθ
=所得的弦长为 。
12．某程序框图如图所示，则输出的结果
S 是 。
13.椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上的点P 若满足
12PF PF ⊥，12,F F 为椭圆的两个焦点，称这样的点P 为椭圆的“焦垂点”。椭
圆22142x y +
=有 个“焦垂点”；请你写出椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上有4个“焦垂点”时所满足的条件 。
14．已知函数22
ln ()(31)(21)x x a f x x a a a x a
?≥=?--++-+
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分）
在ABC ?中，B =120o ，
AB = ，
A ∠的角平分线AD =（1）求AD
B ∠的大小； （2）求A
C 的长。
16．（本小题满分13分）20年第24届冬奥会将在北京举行。为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。在来“腾越”参加冰雪运动的人员中随机抽查100员运动员，他们的身份分布如下：
注:将上表中的频率视为概率
(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率；
(2) 若将上表中的频率视为概率，X 表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数，求X 的分布列及期EX 。
17.（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，
//,2224,60,AB CD AB CD BC AD DAB AE BE
====∠==
PAD ?为正三角形，且PAD ABCD ⊥平面平面，
平面PEC PAD l =平面。
（1）求证：//l EC ；
（2）求二面角P EC D --的余弦值；
（3）是否存在线段PC （端点,P C 除外）上一点M ，使得DE AM ⊥， 若存在，指出点M 的位置，若不存在，请明理由。
18. （本题满分13分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，三点
123
313(1,),(,),(1,)2222P P P ---中恰有二点在椭圆C 上，且离心率为1
2
e =。 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 为椭圆C 上任一点，12,A A 为椭圆C 的左右顶点，M 为2PA 中点， 求证：直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆C 的右焦点为F ，过(4,0)B 的直线l 与椭圆C 交于,D E ， 求证：直线FD 与直线FE 关于直线1x =
19.（本题满分14分）已知()2x be f x x +=+在
(1,(1))f --处的
切线方程为1
1y x e
=++。
（1）求()y f x =的解析式； （2）设1
()(2)2)2
x h x x e x x =+-
>-+（，求()h x 零点的个数； （3）求证：()y f x =在(2,)-+∞上单调递增。
20.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,,n n n a a a p n N +=-=∈。 （1）若1p =，写出4a 的所有值；
（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （3）若1
2
p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式。
门头沟区2018年高三综合练习（一） 数学（理）评分标准
2018.4
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）
三、解答题：（本大题共
6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分）
在ABC ?中，B =120o
，AB = ，
A ∠的角平分线AD =（1）求AD
B ∠的大小；
（2）求AC 的长。
解：（1）在ABD ?中，由正弦定理得：
0sin 45sin 2sin
3
AB AD ADB
ADB ADB
=
?∠=?∠=∠……………………5分 （2）由（1）得：001530BAD BAC ∠=?∠=，
030,BCA AB BC ∠=?==10分
由余弦定理得：AC ==13分
16．（本小题满分13分））20年第24届冬奥会将在北京举行。为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。在来“腾越”参加冰雪运动的人员中随机抽查100员运动员，他们的身份分布如下：
注:将上表中的频率视为概率
(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率；
(2) 若将上表中的频率视为概率，X 表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数，求X 的分布列及期EX 。
解：(1)设来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生为事件B ， 则2
()5
P B =
………………………………………………………………………………5在分 (2)X 可取0，1，2，3，………………………………………………6分，
01323323233346414
48(0)(),(1)()(),
512555125
14121
1(2)()(),(3)()551255125P X P X P X P X C C C C ============
…………………10分
3
5
EX =…………………………………………………………………………13分
注：求期望求对，就给满分。
17.（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，
//,2224,60,AB CD AB CD BC AD DAB AE BE
====∠==
PAD ?为正三角形，且PAD ABCD ⊥平面平面， 平面PEC PAD l =平面。 （1）求证：//l EC ；
（2）求二面角P EC D --的余弦值；
（3）是否存在线段PC （端点,P C 除外）上一点M ，使得DE AM ⊥， 若存在，指出点M 的位置，若不存在，请明理由。
解：（1）由题意可知，//CD AE CD
AE =???
，四边形AECD 为平行四边形，…2分
////EC AD
EC PAD EC PAD AD PAD ??
??????
平面平面平面，又PAD PEC l =平面平面， 可得：//l EC ，……………………………………………………6分
（2）方法一：
设O 是AD 中点，PAD ?为正三角形，则PO AD ⊥，PAD ABCD ⊥平面平面，
PO ABCD ⊥，………………………………………………………………8分 又
2AD
AE ==，
060DAB ∠=
，所以，ADE ?为正三角形，OE AD ⊥
建立如图所示坐标系，则(P E C -，设平面PEC 法向量 为
1(,,)
n x
y z =(2,3,3),(0,3,PC PE =--=，
由120,0PC n PE n ?=?
=得：1(0,1,1)
n =， 平面EDC 的法向量2(0,0,1)n =，
12
cos ,2n n <>=
=， 所以，二面角P EC D --的余弦值为2
……10分 方法二：
设O 是AD 中点，PAD ?为正三角形，则PO AD ⊥，PAD ABCD ⊥平面平面，
PO ABCD ⊥，又2AD AE ==，所以，ADE ?为正三角形，OE AD ⊥ OE EC ⊥，则OEP ∠为二面角P EC D --的平面角， (8)
分 而PO OE =，得，4
OEP π
∠=
，二面角P EC D --的余弦值为
2
…10分 （3）不存在，若,DE AM DE AC ⊥⊥又，则DE PA ⊥，又DE PO ⊥， 则DE PAO DE AD ⊥?⊥，与3
ADE π
∠=
矛盾，故线段PC （端点,P C 除外）
上不存在点M ，使得DE AM ⊥………………………13分
18. （本题满分13分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，三点
123
313(1,),(,(1,)2222P P P ---中恰有二点在椭圆C 上，且离心率为1
2
e =。 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 为椭圆C 上任一点，12,A A 为椭圆C 的左右顶点，M 为2PA 中点， 求证：直线2PA 与直线OM 它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆C 的右焦点为F ，过(4,0)B 的直线l 与椭圆C 交于,D E ， 求证：直线FD 与直线FE 关于直线1x =对称。
解：（1）由椭圆性质得：13
33
(1,),(1,)22
P P -- 在椭圆上，22221911
1(1)(2)424
c e a b a +==?=
得：22
2
2
2
4,3,1143
x y a b c ===?+
=…4分 （2）设00(,)P x y 为椭圆上任一点，21
21,//PM MA AO OA OM PA ==?，2100
00,22
PA OM PA y y k k k x x =
==-+ 得：220203
44
PA OM
y k k x ?==--………………………………………………8分 （3）设直线l ：(4)y k x =-，设1122(,),(,)D x y E x y 联立得：
22222
2
(4)
(34)3264120143
y k x k x k x k x y =-???+-+-=?+
=??
2122
2
12232346412
34k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?
，1212121212[25()8]11(1)(1)FD FE y y k x x x x k k x x x x -+++=+=----…10分 代入得，1212121212[25()8]
011(1)(1)
FD FE y y k x x x x k k x x x x -+++=
+==----…………12分 得：12FD FE k k A FD A FE =-?∠=∠，
故直线直线FD 与直线FE 关于直线1x =对称……………………………13分
19.（本题满分14分）已知ln(2)
()2x be a x f x x ++=+在(1,(1))f --处的
切线方程为1
1y x e
=++。
（1）求()y f x =的解析式； （2）设1
()(2)2)2
x h x x e x x =+-
>-+（，求()h x 零点的个数； （3）求证：()y f x =在(2,)-+∞上单调递增。
解：（1）/
2ln(2)(1)ln(2)()()2(2)x x be a x be x a a x f x f x x x ++++-+=?=++……2分
/
(1)1f a -==，1
1
(1)1f be b e
--==?=，所以ln(2)()2x e x f x x ++=+……5分
（2）/211
()(2)2)()(3)02(2)
x x h x x e x h x x e x x =+-
>-?=++>++（ ()h x 在(1,0)-上递增，11
(1)10,(0)202
h h e -=-<=->，
存在一个零点0x ，且010x -<<…………………………………8分
注：若没有说明11
(1)10,(0)202
h h e -=-<=-> 扣1分。
（3）由（1）得，
/
2
(1)1ln(2)
()(2)x x e x f x x ++-+=
+，设
()(1)1ln(2)x g x x e x =++-+
/1
()(2)(2)
x g x x e x =+-
+，由（2）可知，存在一个零点0x ，且010x -<<
/0()0g x =，/()g x 在0(2,)x -上递减，在0(,)x +∞上递增，
000010,122ln(2)11ln(2)0x x x x +><+，………10分 所以，0
min 000()()(1)1ln(2)x g x g x x e x ==++-+，min 0()()0g x g x =>，
min 0()()()0g x g x g x ≥=>，……………………………………………12分
得/
2
(1)1ln(2)
()0(2)x x e x f x x ++-+=
>+，()y f x =在(2,)-+∞上单调递增…14分 20.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,,n n n a a a p n N +=-=∈。 （1）若1p =，写出4a 的所有值；
（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；
（3）若1
2
p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公
式。
解：（1）由题意得：11a =，11,n n a a +-=
1,2,3,4;1,0,1,2;1,0,1,0;1,0,1,2---。所以4a 的可能值为4,2,0,2-……4分 （2）解：由于数列{}n a 是递增数列，11n n n n n a a a a p ++-=-=
21231,1,1a a p a p p ==+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，
得：21
303
p p p -=?=，或0p =，若0p =，则1n n a a +=与数列{}n a 是递增矛
盾
所以1
3
p =……………………………………………………………8分
（3）21{}n a -是递增数列，所以，21212122210()()0n n n n n n a a a a a a +-+-->?-+->
而
212221221
1122n n n n n n a a a a +-- 所以，221221211(1)()22
n
n n n n a a -----== （1）……………………………10分 2{}n a 是递减数列，所以，22222212120()()0n n n n n n a a a a a a ++++-
212222121
211
22n n n n n n
a a a a ++++<
?->-，可得：2120n n a a +-< 所以，21221221(1)()22n n n n n a a ++--=-= （2由（1（2）得，1
1(1)2n n n n a a ++--=
112112111(1)41(1)()122
2332
n n n n n n
n a a a a a a +----=+-+
-=+-+
+=+?……14分