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高中数学(北师大版)选修2-2教案:第1章 归纳推理与类比推理异同点比较

高中数学(北师大版)选修2-2教案:第1章 归纳推理与类比推理异同点比较
高中数学(北师大版)选修2-2教案:第1章 归纳推理与类比推理异同点比较

归纳推理与类比推理异同点比较

合情推理是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.在解决问题的过程中,合情推理具有猜侧和发表结论,探索和提供思路的作用.有利于创新意识的培养.在能力高考的要求下,推理方法就显得更加重要.在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识,使得问题的解决有章有法,得心应手.合情推理包括归纳推理和类比推理.

一.归纳推理和类比推理的联系:

归纳推理与类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.

二.归纳推理和类比推理的区别:

(一) 归纳推理

1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.说明:归纳推理的思维过程大致如下:

2.归纳推理的特点:

(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.

(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.

(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.

归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型,归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.

3.归纳推理的一般步骤:

①通过观察个别情况发现某些相同本质;

②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.

说明:归纳推理基于观察和实验,像“瑞雪兆丰年”等农谚一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等,也都是在实验和观察的基础上,通过归纳发现的.

(二).类比推理(以下简称类比)

1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知

特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.

2. 类比推理的一般步骤:

①找出两类事物之间的相似性或一致性;

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

3.说明:类比推理的思维过程大致如下图所示:

类比推理是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.类比推理不象归纳推

理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理,公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的.因此,类比推理已成为人类发现发明的重要工具.

例1. 如图,①,②,③,…是由花盆摆成的图案,根据图中花盆摆放的规律,第n个图形中的花盆数a n= .

【答案】a n=3n2-3n+1.

【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.

【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.

例2.如图,过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA,OB1∥VB,

OC1∥VC,A1,B1,C1分别是所作直线与侧面交点.

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

高中数学类比推理 同步练习北师大版选修2-2

类比推理 同步练习 1. 将下列平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立。 (1) 如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交。 (2) 如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线相互平行。 2. 根据三角形的性质,推测空间四面体的性质, (3) 三角形的两边之和大于第三边; (4) 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心。 3. 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是____________________。 (1)各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; (2)各面都是全等的正三角形,相邻两个面所成二面角都相等; (3)各面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 4. 在ABC ?中,射影定理可以表示为B c C b a cos cos +=,其中c b a ,,依次为角 C B A ,,的对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想。 5. 在等差数列{}n a 中,若010=a ,则有等式 ),19(*192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立,类比上述性质,在等比数列{}n b 中,若19=b ,则有等式__________________________成立。

6. 若+ ∈R a a 21,,则有不等式2 212 22122?? ? ??+≥+a a a a 成立,请你类比推广此性质。 参考答案 1. (1)如果一个平面和两个平面中的一个相交,则必和另一个相交。结论是正确 的。 (2)如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行。结论错误。 2. (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且该点是四面体内切球的球心。 3 (1)(2)(3)。 4. 四面体ABC P -中,S S S S ,,,321分别表示面ABC PAC PBC PAB ????,,,的面积,γβα,,依次表示面PAB 、面PBC 、面PAC 与底面面ABC 所成的二面角大小,则空间中的射影定理可表示为:γβαcos cos cos 321S S S S ++=。 5. ),17(*172121N n n b b b b b b n n ∈<=- 。

高二数学 归纳推理演绎推理

3月5日 高二理科数学测试题 1.由直线与圆相切时,圆心到切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点连线与平面垂直,用的是 ( ) A .归纳推理 B .演绎推理 C .类比推理 D .传递性推理 2.下列正确的是( ) A .类比推理是由特殊到一般的推理 B .演绎推理是由特殊到一般的推理 C .归纳推理是由个别到一般的推理 D .合情推理可以作为证明的步骤 3.下面几种推理中是演绎推理.... 的序号为( ) A .半径为r 圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=; B .由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; C .由平面三角形的性质,推测空间四面体性质; D .由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=,推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= . 4.“∵四边形ABCD 是矩形,∴四边形ABCD 的对角线相等”,补充以上推理的大前提是 ( ) A .正方形都是对角线相等的四边形 B .矩形都是对角线相等的四边形 C .等腰梯形都是对角线相等的四边形 D .矩形都是对边平行且相等的四边形 5.设 f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f ′0(x ),f 2(x)=f ′1(x ),…,f n (x )=f ′n -1(x ),n ∈N ,则f 2009(x )=( ) A .sin x B .-sin x C .cos x D .-cos x 6.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命 题,推理错误的原因是( ) A .使用了归纳推理 B .使用了类比推理 C .使用了“三段论”,但大前提使用错误 D .使用了“三段论”,但小前提使用错误 7.观察下列等式: 1- ; 1- ;1- ...... 据此规律,第n 个等式可为______________________. 8.观察下列等式:,……,根据上述规律, 第五个等式为 ______________________. 1122=1111123434+-=+1111111123456456+-+-=++332123,+=3332 1236,++=33332123410+++=

高中数学 数学归纳法

13.4 数学归纳法 一、填空题 1.用数学归纳法证明1+12+13…+1 2n -1<n (n ∈N ,且n >1),第一步要证的不 等式是________. 解析 n =2时,左边=1+12+122-1=1+12+1 3,右边=2. 答案 1+12+1 3<2 2.用数学归纳法证明: 121×3+223×5+…+n 2(2n -1)(2n +1)=n(n +1)2(2n +1);当推证当n =k +1等式也成立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n =k +1时,121×3+223×5+…+k 2(2k -1)(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3) =k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2 (2k +1)(2k +3) 故只需证明k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=(k +1)(k +2) 2(2k +3)即可. 答案 k(k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=(k +1)(k +2) 2(2k +3) 3.若f (n )=12+22+32+…+(2n )2,则f (k +1)与f (k )的递推关系式是________. 解析 ∵f (k )=12+22+…+(2k )2, ∴f (k +1)=12+22+…+(2k )2+(2k +1)2+(2k +2)2; ∴f (k +1)=f (k )+(2k +1)2+(2k +2)2. 答案 f (k +1)=f (k )+(2k +1)2+(2k +2)23.若存在正整数m ,使得f (n )= (2n -7)3n +9(n ∈N *)能被m 整除,则m =________. 解析 f (1)=-6,f (2)=-18,f (3)=-18,猜想:m =-6. 答案 6 4.用数学归纳法证明“n 3+(n +1)3+(n +2)3(n ∈N *)能被9整除”,要利用归纳

类比推理题库汇总

1.肇事逃逸∶法律严惩 A. 欺人太甚∶义气相投 B. 兢兢业业∶得到好评 C. 态度粗鲁∶脾气不好 D. 志得意满∶志气大长 2.《水浒传》∶林冲 A. 《西厢记》∶李生 B. 《琵琶行》∶白居易 C. 《世说新语》∶周处 D. 《蜀道难》∶李白 3.犬∶忠诚 A. 猪∶屠宰 B. 鸡∶鸡汤 C. 牛∶勤劳 D. 羊∶羊奶 4.社会∶和谐 A. 关系∶冷淡 B. 剥削∶反抗 C. 反感∶同情 D. 银行∶贷款 5.教室∶自习 A. 商场∶保洁 B. 学校∶宣传 C. 公路∶驾车 D. 邮局∶邮票 6.改革∶开放 A. 进口∶出口 B. 上楼∶出门 C. 苗头∶倾向 D. 江西∶湖南 7.历史∶明智 A. 新闻∶广播 B. 法律∶约束 C. 制度∶学问 D. 政策∶援藏 8.枕戈待旦∶刘琨 A. 望梅止渴∶杨修 B. 黄粱一梦∶尾生 C. 洛阳纸贵∶左思 D. 结草衔环∶吴起 9.但丁∶米开朗琪罗 A. 薄伽丘∶拉伯雷 B. 莎士比亚∶狄更斯 C. 雨果∶乔托 D. 司汤达∶达•芬奇 10. 岳飞∶戚继光 A. 文天祥∶郑成功 B. 杨业∶祖逖 C. 邓世昌∶林则徐 D. 杨靖宇∶袁崇焕 11. 氏族∶部落 A. 氯化氢∶盐酸 B. 短篇小说∶小说 C. 市场经济∶商品经济 D. 导弹∶直升机 12. 菡萏∶荷花 A. 土豆∶马铃薯 B. 西红柿∶番茄 C. 香瓜∶甜瓜 D. 蚍蜉∶大蚂蚁 13. 面条∶食物

A. 苹果∶水果 B. 手指∶身体 C. 蔬菜∶萝卜 D. 食品∶巧克力 14. 瓷器∶黏土 A. 空气∶氧气B桌子∶木头 C. 水杯∶玻璃 D. 布∶棉花 15. 剪刀∶布料 A. 弓箭∶战争 B. 水缸∶盛水 C. 秤砣∶钉子 D. 鸬鹚∶鱼 16. 阿波罗∶太阳 A. 维纳斯∶文学 B. 狄安娜∶月亮 C. 马尔斯∶侵略 D. 该隐∶大地 17. 航空母舰∶大海 A. 轮船∶长江 B. 飞机∶机场 C. 卫星∶月亮 D. 雄鹰∶高空 18. 检察院∶检察官 A. 公安局∶小偷 B. 政府机关∶公务员 C. 工人∶工地 D. 研究所∶建筑师 19. 封面∶书本 A. 政治∶统治 B. 宗教∶上层建筑 C. 雇员∶工厂 D. 毛笔∶宣纸 20. 强盗∶抢劫 A. 电脑∶聊天 B. 学生∶实践 C. 考生∶作答 D. 司机∶送货 参考答案及解析 1. 【答案】B 【解析】题干两个词语之间是因果关系,B对应正确。 2. 【答案】C 【解析】题干中两个词语是作品与作品中人物的关系,C对应正确。 3. 【答案】C 【解析】题干中两个词语是象征关系,C对应正确。 4. 【答案】A 【解析】题干中两个词语是修饰关系,后者修饰前者,A对应正确。 5. 【答案】C 【解析】题干中两个词语前者是后者对应的环境,故选C。 6. 【答案】A 【解析】题干中两个词语是并列关系,且一个对内,一个对外,A对应正确。 7. 【答案】B 【解析】“读史可以明智”,题干中两个词语是事物与其作用之间的关系;法律具有约束作用,所以选B。 8. 【答案】C 【解析】题干中成语的来源与后面的人物有关,望梅止渴对应的是曹操,黄粱一梦对应的是卢生,结草衔环对应的是魏颗。C 项对应正确。

高中数学选修2-2 北师大版 1.1归纳与类比类比推理 教案

类比推理 一、教学目标 1、知识与技能: (1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; (2)能利用类比进行简单的推理; (3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在探究活动中:类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 3、情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类比,发现新问题、新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。 二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。 注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 ①归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子方法归纳。 (二)、引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。 (三)、例题探析 例1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗? 解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。得到猜测:正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

高二数学类比推理综合测试题 (1)

类比推理 一、填空题 1.下列说法正确的是______ A .由合情推理得出的结论一定是正确的 B .合情推理必须有前提有结论 C .合情推理不能猜想 D .合情推理得出的结论无法判定正误 2.下面几种推理是合情推理的是______ ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n -2)·180° 3.三角形的面积为S =12(a +b +c )·r ,a 、b 、c 为三角形的边长,r 为 三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得到四面体的体积为______ A .V =13abc B .V =13Sh C .V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r ,(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面 的面积,r 为四面体内切球的半径) D .V =13(ab +bc +ac )h (h 为四面体的高)

4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是____ ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A .① B .①② C .①②③ D .③ 5.类比三角形中的性质: (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质: (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第 四个面面积的14 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有______ A .(1) B .(1)(2) C .(1)(2)(3) D .都不对 6.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”;

苏教版数学高二- 选修2-2试题 《合情推理—归纳推理》(1)

2.1.1 合情推理—归纳推理 同步检测 一、基础过关 1.数列5,9,17,33,x ,…中的x 等于________ 2.f(n)=1+12+13+…+1n (n ∈N *),计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>7 2, 推测当n≥2时,有________. 3.已知sin 230°+sin 290°+sin 2150°=32,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=3 2. 通过观察上述两等 式的规律,请你写出一个一般性的命题:____________________. 4.已知a 1=3,a 2=6且a n +2=a n +1-a n ,则a 33=________. 5.数列-3,7,-11,15,…的通项公式是________. 二、能力提升 6.设x ∈R ,且x≠0,若x +x - 1=3,猜想x2n +x -2n (n ∈N *)的个位数字是________. 7.如图,观察图形规律,在其右下角的空格处画上合适的图形,应为________. 8.如图所示四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为________. 9.如图所示,图(a)是棱长为1的小正方体,图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层,第2层,…,第n 层.第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题. (1)按照要求填表:

n 1 2 3 4 … S n 1 3 6 … (2)S 10=________.(3)S n 10.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数: 将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n },将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n },可以推测: (1)b 2 012是数列{a n }中的第______项; (2)b 2k -1=________.(用k 表示) 11.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1且S n -1+1 S n +2=0(n≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4, 并猜想S n 的表达式. 12.一条直线将平面分成2个部分,两条直线最多将平面分成4个部分. (1)3条直线最多将平面分成多少部分? (2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分,归纳出f(n +1)与f(n)的关系; (3)求出f(n). 三、探究与拓展 13.在一容器内装有浓度r%的溶液a 升,注入浓度为p%的溶液1 4a 升,搅匀后再倒出溶 液1 4a 升,这叫一次操作,设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ,计算b 1、b 2、b 3,并归纳出计算公式.

高中数学【北师大选修1-1】教案全集

第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程: 一、复习准备: 阅读下列语句,你能判断它们的真假吗? (1)矩形的对角线相等; >; (2)312 >吗? (3)312 (4)8是24的约数; (5)两条直线相交,有且只有一个交点; (6)他是个高个子. 二、讲授新课: 1. 教学命题的概念: ①命题:可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition). 也就是说,判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中,(1)(2)(4)(5)(6)是命题. ②真命题:判断为真的语句叫做真命题(true proposition); 假命题:判断为假的语句叫做假命题(false proposition). 上述5个命题中,(2)是假命题,其它4个都是真命题. ③例1:判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)2小于或等于2; (4)对数函数是增函数吗? x<; (5)215 (6)平面内不相交的两条直线一定平行; (7)明天下雨. (学生自练→个别回答→教师点评) ④探究:学生自我举出一些命题,并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p,则q”的形式: ①例1中的(2)就是一个“若p,则q”的命题形式,我们把其中的p叫做命题的条件,q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题(6)改写成“若p,则q”的形式. ③例2:将下列命题改写成“若p,则q”的形式. (1)两条直线相交有且只有一个交点; (2)对顶角相等; (3)全等的两个三角形面积也相等. (学生自练→个别回答→教师点评) 3. 小结:命题概念的理解,会判断一个命题的真假,并会将命题改写“若p,则q”的形式. 巩固练习: 教材 P4 1、2、3 4. (师生共析→学生说出答案→教师点评) ②例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1)同位角相等,两直线平行; (2)正弦函数是周期函数;

学年高中数学 推理与证明 类比推理学案含解析北师大版选修

类比推理 1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点) 2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点) [基础·初探]教材整理1 类比推理 阅读教材P 5“类比推理”至P 6 前16行,完成下列问题. 由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.

类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是________(填序号). ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. 【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对. 【答案】①②③ 教材整理2 合情推理 的最后4个自然段,完成下列问题. 阅读教材P 6 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. 合情推理的结果不一定正确. 下列说法正确的是( ) A.由合情推理得出的结论一定是正确的

B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论不能判断正误 【解析】根据合情推理可知,合情推理必须有前提有结论.【答案】B [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]

高中数学中的类比推理问题

类比推理问题一咼考命题新亮点 类比是常见而重要的一种数学思想方法,它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的 比较,把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中,从而解决新问题。类比不仅是一种富有创 造性的方法,而且更能体现数学的美感。 (一)不同知识点之间的类比 数学中的不同知识点在教材中是相对分散的,知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计 展示给学生,从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用,也可 以在新知识的学习中进行。 1、立体几何中的类比推理 【例1】若从点0所作的两条射线 0M 、ON 上分别有点Ml 、M2与点Ni 、N 2,则三角形面积之 别有点Pi 、P2与点Qi 、Q2和Ri 、R2,则类似的结论为: ______________________________________ 【分析】在平面中是两三角形的面积之比,凭直觉可猜想在空间应是体积之比,故猜想 OP. OQ. OR. - J J (证明略) 「,」(明略) 评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空 间三棱锥体积比的相应结论。 【例2】在 丄二町 中有余弦定理: 丄N :::__/_.拓展到空间,类 比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱亠"-」的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间 的关系式,并予以证明。 【分析】根据类比猜想得出 瞌如=认 +孔的鸟—23_^斗 ■'?「.’ '其中T 为侧面为 -与“〔丁 I 所成的二面角的平面角。 证明:作斜三棱柱-甘- 的直截面DEF,则一-二匕 为面与面"I' 所成角, 比为: _二:若从点0所作的不在同一个平面内的三条射线 Q 舗 了 OP 、0Q 和OR 上分

归纳推理-高中数学知识点讲解

归纳推理 1.归纳推理 【知识点的认识】 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或由个别 事实概括出一般结论的推理. 推理形式:设S={A1,A2,A3,…,A n,…}, ?1具有属性? 具有属性?} ? ? ??类事物中的每一个对象都可能具有属性? ? 2.特点: (1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳得出的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容 的范围; (2)归纳推理得到的结论具有猜测性质,结论是否真实,需要通过逻辑证明和实践检验,不能作为数学证明的工具; (3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现 问题和提出问题. 3.作用: (1)获取新知,发现真理; (2)说明和论证问题. 【解题技巧点拨】 归纳推理一般步骤: (1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理; (2)提出带有规律性的结论,即猜想; (3)检验猜想. 【命题方向】 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现,比较基础,考查对归纳推理的理解,会运用归纳推理得出一般性结论. 1/ 4

(1)考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点,注意区分与类比推理、演绎推理的不同. 例 1:下列表述正确的是() ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤ 分析:本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案.解答:归纳推理是由部分到整体的推理, 演绎推理是由一般到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故①③⑤是正确的 故选D 点评:判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是由特殊到一般的推理过程.判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义,即是否是由特殊到与它类似的另一 个特殊的推理过程.判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义,即是否是由一般到 特殊的推理过程. 例 2:下列推理是归纳推理的是() A.A,B 为定点,动点P 满足||PA|﹣|PB||=2a<|AB|(a>0),则动点P 的轨迹是以A,B 为焦点的双曲线 B.由a1=2,a n=3n﹣1 求出S1,S2,S3,猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式 ?2 ?2 C.由圆x2+y2=r2 的面积S=πr2,猜想出椭圆+ ?2 ?2 =1的面积 S=πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 分析:根据归纳推理的定义,对各个选项进行判断. 2/ 4

高中数学人教版选修1-2全套教案

高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分析. 教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:“名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间是否有关? 2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 体重. (分析思路→教师演示→学生整理)

第一步:作散点图第二步:求回归方程第三步:代值计算 ②提问:身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗? 不一定,但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画(因为所有的样本点不共线,所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系). 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg,如果能用一次函数来描述体重与身高的关系,那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响,把这种影响的结果e(即残差变量或随机 =++,其中残差变量e中包含体重变量)引入到线性函数模型中,得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时,线性回归模型就变成一次函数模型. 因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一条直线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结:求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

高中数学类比推理综合测试题有答案

高中数学类比推理综合测试题(有答案)选修2-2 2.1.1 第2课时类比推理 一、选择题 1.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的 .合情推理必须有前提有结论B .合情推理不能猜想CD.合情推理得出的结论无法判定正误 ] B[答案[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确,A不正确;B正确;合情推理的结论本身就是一个猜想,C不正确;合情推理结论可以通过证明来判定正误,D也不正确, 故应选B. 2.下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180,归纳出所有三角形的内角和都是180 ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)180 A.①② 页 1 第 B.①③④ C.①②④.②④D [答案] C[解析] ①是类比推理;②④

都是归纳推理,都是合情推理. 3.三角形的面积为S=12(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得到 四面体的体积为() 13abcV=A.=13ShB.VC.V=13(S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积,r为四面体内切球的半径) 为四面体的高)+bc+ac)h(h13(abD.V=答案[] C[解析] 边长对应表面积,内切圆半径应对应内切球半径.故应选C. 4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是() ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都 页 2 第 相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 .①A B.①②C.①②③ D.③ [答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹

高中数学《合情推理—归纳推理》公开课优秀教学设计

《合情推理—归纳推理》教学设计 (人教A版高中课标教材数学选修1—2第二章2.1第一课时) 2016年10月

《归纳推理》教学设计 一、教学内容分析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1—2第二章《推理与证明》2.1《合情推理与演绎推理》的第一课时《归纳推理》,归纳推理为合情推理的一个类型.本课作为本章节的起始课要了解推理的含义,通过实例进一步了解归纳推理的含义,通过对归纳推理过程的感知,了解推理过程,进而能利用归纳进行简单的推理. 归纳推理是合情推理的一个重要类型,数学发现的过程往往包含有归纳推理的成分,在人类文明、创造活动中,归纳推理也扮演了重要的角色.归纳推理是作为一种思维活动存在的,教学的内容不是学习某一具体知识,而是感悟一系列的思维过程,逐步形成一种“思维习惯”,作为起始课形成习惯是困难的,但体验“过程”是相对容易的,“体验之旅”将成为本节课的主线.归纳推理的过程我们概括为“观察—分析—归纳—猜想”,对于“证明”我们暂不做要求,因此重点感悟归纳推理的过程,证明做适当引导. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,这本身就体现了特殊与一般的数学思想,由于猜想结果超出了前提界定的范围,前提与结论之间的联系不是必然的,这又体现了必然与或然的数学思想.本课中的实例在数学史中都是赫赫有名的,“四色猜想”、费马数、哥德巴赫猜想、问题4中的毕达哥拉斯平方数等,这些实例展现了一代代数学家对于数学的好奇心和想象力体现了他们不畏困难,坚持不懈的探索精神,抓住这些内容可以培养学生“勇于探究”的精神,这一精神正是新一轮课程改革强调的学生核心素养中“科学精神”的重要体现。新一轮的课程改革即将到来,作为普通教师也有必要在教学中未雨绸缪,避免大寒索裘.数学思想和数学文化将作为本课的一条暗线穿插于教学内容之中. 本节课的教学重点:了解归纳推理的含义,通过实例,掌握“观察—分析—归纳—猜想”的推理过程. 二、教学目标设置

高中数学 类比推理学案 苏教版选修

高中数学类比推理学案苏教版选修 1、通过具体实例理解类比推理的意义、 2、会用类比推理对具体问题作出判断、学习重难点:类比推理学习过程:一、复习回顾(归纳推理) 1、归纳推理:从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理、 2、归纳推理的思维过程大致是:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论、 3、归纳推理带有一定的猜测性,由其得到的结论不一定正确、 4、简单应用(1)如图,观察图形规律,在其右下角的空格处画上合适的图形,应为________、(2)如图所示四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为________、(3)如图所示,图(a)是棱长为1的小正方体,图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成、按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层,第2层,…,第n层、第n层的小正方体的个数记为Sn、解答下列问题、(1)按照要求填表:n1234…Sn136…(2)S10=________,Sn=________、(4)将全体正整数排成一个三角形数阵:1234 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________、二、类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理结合具体实例来理解类比推理:

1、工匠鲁班类比带齿的草叶,发明了锯 2、仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇、 3、教材案例 24、试通过圆与球的类比,由“半径为R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为”,猜测关于球的相应命题: _________________________________________________________、三、简单应用 1、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是________、(填序号)①如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交;②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直;③如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行;④如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行、 2、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质中,你认为比较恰当的是________、(填序号)①各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等、 3、在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边A B、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”、拓展到空间(如图),类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间

高中数学归纳推理测试题(有答案)

高中数学归纳推理测试题(有答案) 选修2-22.1.1第1课时归纳推理 一、选择题 1.关于归纳推理,下列说法正确的是() A.归纳推理是一般到一般的推理 B.归纳推理是一般到个别的推理 C.归纳推理的结论一定是正确的 D.归纳推理的结论是或然性的 [答案] D [解析]归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选D. 2.下列推理是归纳推理的是() A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,得P的轨迹为椭圆 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=ab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B [解析]由归纳推理的定义知B是归纳推理,故应选B. 3.数列{an}:2,5,11,20,x,47,…中的x等于()

A.28 B.32 C.33 D.27 [答案] B [解析]因为5-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33,猜测x-20=34,47-x=35,推知x=32.故应选B. 4.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则猜想an是() A.2n-2-12 B.2n-2 C.2n-1+1 D.2n+1-4 [答案] B [解析]∵a1=0=21-2, a2=2a1+2=2=22-2, a3=2a2+2=4+2=6=23-2, a4=2a3+2=12+2=14=24-2, 猜想an=2n-2. 故应选B. 5.某人为了观看2019年奥运会,从2019年起,每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2019年

人教版高中数学选修教案全套

§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法:体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程, 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点:体会直角坐标系的作用 2、教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导:自主、合作、探究 四、知识链接 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何研究曲线与方程间的关系? 五、学习过程 一.平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m,试确定

巨响发生的位置(假定声音传播的速度是340m/s,各观测点均在同一平面上) 问题1: 思考1:问题1:用什么方法描述发生的位置? 思考2:怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题? 问题2:还可以怎样描述点P的位置? B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐标系下解决问题的过程,建立直角坐标系应注意什么问题?

小结:选择适当坐标系的一些规则: 如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换: 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横 坐标x 缩为原来 1/2,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x 不变,将纵坐标y 伸长为原来 3倍,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

高中数学选修1-2第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

1.2 类比推理 一、教学目标 1.知识与技能: (1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; (2)能利用类比进行简单的推理; (3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作 用。 2.方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在 探究活动中:类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的 关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 3.情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类 比,发现新问题、新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。培养分 析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论证 成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学 生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。 二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某 种属性,推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理 方式称为归纳推理。 注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 1.归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般; 2.典型例子方法归纳。 (二)引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物 理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发 现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。又已知 声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推

理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。 (三)例题探析 例1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗? 解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。得到猜测:正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

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