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2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

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2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2016年6月5日上午8:3011:00--

一、填空题(每小题7分,共56分)

1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +,那么a 的取值范围是 .

2、四面体ABCD 中,ABC ?是一个正三角形,2AD BD ==,AD BD ⊥

, AD CD ⊥

,则D 到面ABC 的距离为

3、若对于所有的正数,x y ≤,则实数a 的最小值是 .

4、已知P 是正方形A B C D 内切圆上的一点,记,A P C B P D αβ∠=∠=,则

22tan tan αβ+= . 5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,

,2014的公共项(具有相同数值的项)的个数

是 .

6、设x 为锐角,则函数sin sin 2y x x =的最大值是 .

7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33?方格表的九个格子中,使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是

8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中每相邻两项的和为平方数,则正整数n 的最小值是 .

二、解答题(共64分) 9、(14分)如图,CD 是椭圆22221x y a b

+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ,交椭圆短轴所在直线于M ,

证明:AM AN CO CD ?=?.

10、(15分)如图,D 是ABC ?的旁心,点A 关于直线DC 的对称点为E .证明:

(1)、,,B C E 三点共线;(2)、,,,A B D E 四点共圆.

11、(15分)设,,x y z 为正数,满足:1xy yz zx ++=,证明:

22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )

12、(20分)设集合{}1,2,,2016A =,对于A 的任一个1008元子集X ,若存在

,x y X ∈,满足,x y x y <,则称X 为“好集”,求最大的正整数a ,(a A ∈),使得任一个含a 的1008元子集皆为“好集”.

D

B

1.答案:1616a -<<.

解:由值域y R +∈,2

651x ax ∴-+>,2

640x ax ?-+>

24640a ∴?=-

?<,∴1616

a -<<.

2..解:如图,据题意得,

AB ==

于是BC CA AB =

==2CD =

=,

因222

BC BD CD =+,得BD

CD ⊥,从而以D

为顶点的三面角是三直三面角,

四面体体积1433BCD

V AD S ?=?=

,而2

4

ABC S AB ?==

若设D 到面ABC 的距离为h ,

则1233

ABC V h S h ?=?=,

由433h =,

得到3

h =. 3.

解:由22

1+=+≤ 当x y =时取等号. 4.答案:8.

解:如图建立直角坐标系,设圆方程为222x y r +=,

则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----,

若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ,于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为

1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-,1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ

--==--+,

所以2

22

tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ??-==- ?+??

2

22tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ??-==+ ?+??

,由此立得22

tan tan 8αβ+=.

解2:取特例,P 在坐标轴上,则αβ=,

这时,2tan cot 2tan 1

αγβ====,2222

tan tan 228αβ∴+=+=

5.答案:134.

解:将两个数列中的各项都加1,则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016与等差数列5,10,15,,2015的公共项个数;前者是{}1,2,3,,2016M =中的全体能被3整除的数,

后者是M 中的全体能被5整除的数,故公共项是M 中的全体能被15整除的数,这种数有

201613415??

=????

个.

98

765

4

32

16.

. 解:由22sin cos y x x =,得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--?

3

3

222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ??-+-+??≤=?=

? ?????,

所以y ≤

2

1cos 3x =时取得等号.

7.如右图

8.答案:15.

例如,排出的一个数列为

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9).

解:这是一个操作问题,若用文字表达较为繁琐,故适宜作为填空题直接操作. 记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,

,M n =,由于1n >,

则M 中必有2,而279+=,所以7n ≥,当7n =时,从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段:

(1,3,6),(2,7),(4,5),但它们不能连接成一个7项的数列,故应增加后续的数,增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6),增加9可使得第二段扩充成(2,7,9),但新的三段也不能连接,还需增加新数,即10n ≥,而之前的数若与8,9,10邻接,只有

819,9716,+=+=10616+=,这三段扩充为

(8,1,3,6,10),(2,7,9),(4,5),仍旧不能连接,应当借助新的平方数25,从1到10这10

个数能搭配成和为25的最小数是15,则15n ≥,而当{}1,2,,15M =时,可排出上面

的情形:

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9). 9.证1:椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==,

点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-,则直线AN 方程为cos sin x a t y t θ

θ

=-+??

=?, ……3' 代入椭圆方程得到222222

(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=, 22222

2cos cos sin ab AN t b a θ

θθ

==+,()cos 2a AM πθθ=≠,……6' 因此22

2222

2cos sin a b AM AN b a θθ

?=+,……9' 又据AN ∥CD ,则点,C D 坐标为:(cos ,sin )C OD OD θθ--,

(cos ,sin )D OD OD θθ,……12'

因为,C D 在椭圆上,则22

2

2222cos sin a b CO b a θθ

=+,而,

22

2

2222

22cos sin a b CO CD CO b a θθ

?==+,因此AM AN CO CD ?=?.……14' 证2:

易知CD 的斜率k 存在,不妨令:CD y kx =,与椭圆方程联系,

解得C D ???? ?、 ……3'

CO CD ∴=

=

()222

2

2

2

21k a b CO CD b a k

+∴?=

+…6'

AN 方程为: ),0,y k x a M ka =+∴.

将AN 方程与椭圆方程联立,得()

2222322222

20b a k x a k x k a a b +++-=

32232

222222

2,A N N a k ab a k x x x b a k b a k -∴+=-∴=++

……9' 2

222

2,N kab y AM b a k =∴=+ (12)

'

2222ab AN b a k ==+, 2222

2

2

21a b k AM AN CO CD b a k

+∴?=

=?+ …14'

10.证:1、延长DC 到M ,延长AC 到N ,连CE ,D 为旁心,CD ∴平分BCN ∠…2' 又A E 、关于DC 对称,CM ∴平分ACE ∠DCN ACM ∴∠=∠,BCD MCE ?∠=∠ BCN ACE ∴∠=∠,B ∴、C 、E 三点共线。……5' 2、过C 作//CI AE 交AD 于I ,则IC DC ⊥ ……7' I ∴为ABC 内心。连BI ,则BI 平分ABC ∠,……10' ∴90IBD ?∠=,B ∴、D 、C 、I 四点共圆,……12' CBD CID EAD ∴∠=∠=∠,

A ∴、

B 、D 、E 四点共圆。……15'

11.证:据条件,即要证 22(1)(1)(x y ≥--2xyz(x+y+z-xyz)1-z ) ①

也即22222222

)()y z x y y z x z ≥+++++2xyz(x+y+z)1-(x ② ……3'

将此式各项齐次化,因为2222222

1()2()xy yz xz x y y z x z xyz x y z =++=+++++ 6' 222222()()x y z x y z xy yz xz ++=++++=

333()()()()x y z y x z z x y xyz x y z ++++++++代入②, 只要证()xyz x y z ++≥

2222223332()()()()()x y y z x z x y z y x z z x y xyz x y z ++-++++++++即333222222()()()2()0x y z y x z z x y x y y z x z +++++-++≥……12'

也即222

()()()0xy x y yz y z xz x z -+-+-≥。

此为显然,故命题得证.…15' 证2:由题设得:

()()()1,1,1y x z zx x y z yz z x y xy +=-+=-+=-,

三式相乘,故原不等式等价于证明:

()()()()()()222111111zx yz xy x y z ---≥---……3'

上式两边展开并化简得:

()222x y z xy yz zx ++-++≥()222222222x y y z z x x yz xy z xyz ++-++ ……6'

配方得:()()()()()()2

2

2

2

2

2

x y y z z x xy xz yz xy yz zx -+-+-≥-+-+-

()()()222

222x y z y z x z x y =-+-+- ……9'

即(

)()()()()()

2

2

2

2

2

2

1110z

x y x y z y z x --+--+--≥()*……12'

2220,,1,10,10,10,x y z x y z <<∴->->->()∴*显然成立. ……15'

12.解:因任何正整数n 可以表为2n t α

=形式,其中N α∈,t 为正奇数,于是集合A 可划分为以下1008个子集:

{}

2(21),,12016j A m m j N m αα==-∈≤≤,1,2,

,1008j =……4'

对于集合A 的任一个1008元子集X ,只要集X 中含有某一个j A 中的至少两个元素

,,()x y x y <,因122(21),2(21)k k x j y j =-=-,12k k <,则x y ;此时X 为好集; 以下证明正整数a 的最大值为671: ……8'

若671a =时,对于A 的任一个1008元子集X ,如果X 中含有某个j A 中的至少两个元

素,则X 便是好集;如果{}

j A 中的1008个集合,每个集合中恰有一个元素在X 中,那么1007A 也有一个元素在X 中,但{}10072013

A =为单元素集,于是2013X ∈,而2013a ,(201367133)a =?=,这说明X 仍是好集,因此671a =合于要求. ……12' 下面说明当672a ≥时,存在含a 的集X 不是好集;分两种情况:

(1)、若1009a ≥,取1008元集{}01009,1010,,2016X =,则0a X ∈,

因0X 中任两个不同元素x y <,均有x y ,故0X 不为好集,这种a 不合要求.……15'

(2)、若6721008a ≤≤,记{}16720,1,,336X j j =+=,

{}20\2(672)0,1,

,336X X j j =+=,令1

2X X X =,则1008X =,且1a X ∈,

若X 中存在,x y x y <,因672x ≥,2016y ≤,则3y x ≤;

若672x =,如果,x y x y <,只有2y x =或者3y x =,此时y 的取值只能是:

26721344y =?=,或者36722016y =?=;

13442(6720),20162(672336)=+=+,这说明,这两个数已被挖去,不在集合X 中; ……18'

若672x >,假若x y ,只有2y x =,这种数y 也已悉数被挖去,即y X ?,因此X

不是好集,这种a 也不合要求.

综上所述,a 的最大值为671. ……20'

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