3.1.1直线的倾斜角与斜率教案
一、教学目标
（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点
重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
问题1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？
从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）
问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）
问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？
（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。
数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。
规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 。自然有倾斜角的范围是[0 ，180 ）
这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角α与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。
以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。 （二）巩固旧知，引入新知
生活中，我们都有过爬坡、爬梯的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）
初中对坡度是如何定义的？
当坡角α增大时，坡度如何变化？
当坡角α=90 与0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？
坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率。即)90(tan k
≠αα=
问题4、当α为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角θ上）
坡度（比）=
问题5、当α在[0 ，180 ）内变化时，斜率k 如何变化？
问题6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？
倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，
它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。 （三）尝试推导，深化认识
两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题7、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）且x 1 ≠ x 2
，能否用P 1 、P 2的坐标来表示直线斜率k ？
（学生活动）：随意在坐标系下画两点P 1 、P 2及直线P 1 P 2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。
解：设直线P 1 P 2倾斜角为α（≠α90 ）当直线P 1 P 2方向向上时，过点P 1作x 轴的平行线，过点P 2作y 轴的平行线，两线交于点Q ，则点Q 为（x 2，y 1）
（1）当α为锐角时，21P QP ∠=α，21x x <，21y y < 在Q P P Rt 21?中，1
21
21221tan tan x x y y Q
P QP P QP --=
=
∠=α＞0 （2）当α为钝角时，θα-= 180（设21P QP ∠=θ），21x x <，21y y <
αtan =θθtan )180tan(-=-
在Q P P Rt 21?中，1
21
212121
2tan x x y y x x y y QP QP ---=--=
=
θ
1
21
2tan x x y y --=
∴α＜0（可让学生分组推导） 同理，当直线P 2P 1方向向上时，无论α为锐角或钝角，也有
121
2t a n x x y y --=
α，即1
212x x y y k --= 思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P 1、P 2这两点坐标顺序有关系吗？
2、当直线垂直于x 轴或y 轴时，上述结论适用吗？
3、斜率公式使用时应注意什么问题？ （四）例题讲解、强化认知
例1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率。
（1） α=45° （2） 0
30=α （3） 0
120=α （4）0
135=α （5）0
150=α
例2. 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾
斜角是钝角还是锐角.
例 3. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线.
（五）巩固练习、内化知识
1. 如图，若图中直线123l l l 、、的倾斜角和斜率分别是321,,ααα和123k k k 、、，则（ ） (A) 213321,k k k <<<<ααα （B) ,321ααα<<213k k k <<
(C) ,231ααα<<321k k k << (D) ,231ααα<<132k k k << 2.若A （3，-2），B （-9，4），C （x ，0）三点共线，则x 的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．0
D ．7 3.若直线的斜率为3
3
-
=k ，则倾斜角=α 4.直线过点（2,2）和点)1,1(--，直线倾斜角α=
5.已知直线斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为
6.已知A(x ，-2)，B(3，0)， 且 1
2
AB k =
，求x 的值。 7. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。
（1）)4,4(),8,18(-D C (2) )3,1(),0,0(-Q P (3) )2,0(),2,1(B A
（六）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）
3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想
（七）作业布置
（1）必做题：课本89页习题3.1A 组 1、2、3、4 （2）选做题：课本90页习题3.1B 组5、6
x
x y
y 1
2
12tan k --=
α=