椭圆
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a 2．椭圆的标准方程和几何性质 [ 点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内?x20 a2＋y20 b2<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上?x20 a2＋y20 b2＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外?x20 a2＋y20 b2>1. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)y 2a 2＋x 2 b 2＝1 (a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 1．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 2 4＝1 B.x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 2 ＝1 D.x 24＋y 2 3 ＝1 3．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的周长为________． 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分 正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 题型一 椭圆的定义及标准方程 例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________． (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________． (1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2 9 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为 ________． (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2 ＋y 2 b 2＝1(0 B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________． 题型二 椭圆的几何性质 例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点， 顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C . (1)若点C 的坐标为???? 43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点， 那么|PF 1→＋PF 2→ |的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2 (2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点， 连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝4 5，则C 的离心率e ＝________. 题型三 直线与椭圆位置关系的相关问题 例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝5 5，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长． (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2 与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3 4 ，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 高考中求椭圆的离心率问题 典例：(1)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若 M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使 a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______． A 组 专项基础训练 1．“2 6－m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( ) A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 3．设P ，Q 分别为圆x 2 ＋(y －6)2 ＝2和椭圆x 2 10 ＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 ( ) A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 4．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|， |F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A.14 B.55C.1 2 D.5－2 5．已知圆M ：x 2 ＋y 2 ＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 3 ＝1的左焦点为F (－c,0)， 若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A.3 4 B ．1 C ．2 D ．4 6．椭圆Г：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2 c .若直线y ＝3(x ＋c )与 椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 7．已知椭圆C ：x 29＋y 2 4＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ， B ，线段MN 的中点在 C 上，则|AN |＋|BN |＝________. 8．椭圆x 24＋y 2 ＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角， 则点P 的横坐标的取值范围是________． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，其中左焦点为F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值． 10.如图，设椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭 圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2 2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径． B 组 专项能力提升 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3 3，过F 2的直线l 交 C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2 2＝1 B.x 23＋y 2 ＝1 C.x 212＋y 2 8 ＝1 D.x 212＋y 2 4 ＝1 12．从椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴 正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A. 24 B.12 C.22 D.32 13．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 14．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1， 当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________． 15．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2 16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)， 则|PM |＋|PF 1|的最大值为________． 16．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，3 2)． (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2 ？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 第5讲椭圆 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题． 1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 续表 一条规律 椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上?0＜m ＜n . 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 1．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于 2 1 ,则C 的方程（ ） A ．14 32 2=+y x B ．13422=+y x C ．1242 2=+y x D ．13 42 2=+y x 答案D 2．(2012·合肥月考)设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等 于( )． A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 解析 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 答案 D 3．(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3 ＝1表示椭圆”的 ( )． 第八章 第5讲 (时间：45分钟 分值：100分) 一、选择题 1. [2013·海淀模拟]2 解析：将原方程变形为x 2 ＋y 21 m ＝1， 由题意知a 2＝1m ，b 2 ＝1， ∴a ＝ 1 m ，b ＝1.∴ 1m ＝2，∴m ＝14 . 故应选A. 4. 已知椭圆x 2 4＋y 2 ＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大 值为( ) A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 答案：B 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn ≤(m ＋n 2 )2 ＝4(当且 仅当m ＝n ＝2时，等号成立)．故选B. 5．[2013·湖南郴州]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(1 2 ，1)，则实数k 的取值 范围是( ) A ．(0,3) B ．(3，16 3) C ．(0,3)∪(16 3，＋∞) D ．(0,2) 答案：C 解析：当k >4时，c ＝k －4，由条件知14 2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理 1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D. 2.(xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 4.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( ) A.3 B.3或 C. D.6或3 5.已知椭圆+=1(0 第五节 椭 圆 授课提示：对应学生用书第161页 [基础梳理] 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于| F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (2)集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. ①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2； ③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0) y 2 a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0) 续表 性质 范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ； 短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0，1) a ，b ，c 的关 系 a 2＝ b 2＋ c 2 1．e 与b a ：因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－????b a 2，所以离心率e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁； 离心率e 越小，则b a 越大，椭圆就越圆． 2．点与椭圆的位置关系 已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，则 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内?x 20 a 2＋y 2 0b 2＜1； (2)点P (x 0，y 0)在椭圆上?x 20 a 2＋y 2 0b 2＝1； 第5讲 椭圆 板块四 模拟演练·提能增分 [A 级 基础达标] 1．[2016·湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2 5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线 段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2| |PF 1| 的值为( ) A.514 B.513 C.49 D.59 答案 B 解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝5 3 .又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝5 13 .故选B. 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 2＝1 D.x 24＋y 2 3 ＝1 答案 D 解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12 ?a ＝2，b 2＝a 2－c 2 ＝3， 因此椭圆C 的方程是x 24＋y 2 3 ＝1. 3．“－3 加倍数学 第1页共10页 椭圆方程的求法 椭圆是圆锥曲线中的重头戏，在高考试题中常以压轴题的身份出现，就说明了一切.对于这一曲线，许多学生不明白，看起来多么惹人爱，做起来咋就那么多的坑.椭圆解答题中第（1）问，常常是求椭圆的方程，竟然做不出来，让人倍感伤心.这里整理部分常见求椭圆方程问题，希望能给大家带来帮助. 题组一：直接法 直接法指根据椭圆定义或结合椭圆方程特点利用待定系数法求椭圆方程，这类问题相对比较简单，只是在具体运算中注意一下，不要出现计算迂回，浪费时间. 例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________. 解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其 中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2 ＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 x 225＋y 216 ＝1 练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212 ＝1 解析：椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13 ·2a ＝2，得c ＝1， 因此，b 2＝a 2－c 2 ＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1. 练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24 ＝1 解析 由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a ，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆 C 的方程为x 24＋y 23 ＝1. 高二下册（春季）数学辅导教案 学员姓名：学科教师： 年级：辅导科目： 授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段 主题椭圆（一） 教学内容 1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何性质； 2. 能应用椭圆性质解题。 （以提问的形式回顾） 1. 椭圆的定义：平面上到两定点的 1 F、 2 F的距离之和等于常数2a（ 12 2|| a F F >）的点的轨迹，叫做椭圆。 定点 1 F、 2 F是焦点， 12 || F F是椭圆的焦距，2a是椭圆的长轴长。 （若 12 2|| a F F =，则动点的轨迹是线段；若 12 2|| a F F <，则轨迹不存在） 2. 椭圆的图像与性质： 图像 标准方程 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 范围() a x a b y b -≤≤-≤≥ y x O 1 F2F 顶点 (,0)a ±，(0,)b ± 对称性 关于x 、y 轴和原点对称 焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c a ， b ， c 的意义 2a 长轴长，2b 短轴长，2c 焦距，222a b c =+ （采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为221mx ny +=(0m >，0n >)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程． 解：设所求椭圆方程为22 1mx ny +=(0m >，0n >)． 由(3,2)A -和(23,1)B -两点在椭圆上可得 2222(3)(2)1,(23)11,m n m n ??+?-=???-+?=??即341,121,m n m n +=??+=? 所以115m =，15n =． 故所求的椭圆方程为22 1155 x y +=． 试一试：经过点(3,2)且与椭圆22 194 x y +=有相同焦点的椭圆的方程是 ． 【参考答案】：22 11510 x y +=. 例2. 已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2 25 ＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________． 答案：441 试一试：已知椭圆x 216＋y 2 9 ＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF 1的中点，若OQ ＝1， １．椭圆的定义 平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于F１F ２）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F１，F２叫做椭圆的焦点． 集合P＝{M|MF１＋MF２＝２a}，F１F２＝２c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． （１）当２a＞F１F２时，P点的轨迹是椭圆； （２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是线段； （３）当２a＜F１F２时，P点不存在． ２．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0） 图形 性质 范围x∈[—a，a]，y∈[—b，b]x∈[—b，b]，y∈[—a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A１（—a,0），A２（a,0） B１（0，—b），B２（0，b） A１（0，—a），A２（0，a） B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１） a，b，c的关系c２＝a２—b２ [小题体验] １．已知椭圆错误!＋错误!＝１的两焦点为F１，F２，过F１作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF２的周长为________． 答案：１２ ２．已知直线x—２y＋２＝0过椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________． 解析：直线x—２y＋２＝0与x轴的交点为（—２,0），即为椭圆的左焦点，故c＝２． 直线x—２y＋２＝0与y轴的交点为（0,１），即为椭圆的顶点，故b＝１，所以a２＝b２＋c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋y２＝１． 答案：错误!＋y２＝１ ３．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为________． 解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）． 因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!， 所以错误!解得错误! 故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１． 答案：错误!＋错误!＝１ １．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．２．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏] １．（２0１9·无锡一中月考）已知椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6，则m＝________. 解析：∵椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6， ∴当焦点在x轴时，（１３—m）—（m—２）＝9，解得m＝３； 当焦点在y轴时，（m—２）—（１３—m）＝9，解得m＝１２． 答案：３或１２ ２．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是________． 解析：由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４． 答案：（３,４）∪（４,５） 错误!错误! [题组练透] １．与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的焦点，且离心率为错误!的椭圆的标准方程为________． 第5讲椭圆 学习目标【目标分解一】理解并牢记椭圆的定义与满足的条件 【目标分解二】熟记椭圆的几何性质 【目标分解三】理解椭圆中的几个重要三角形，并会灵活应用 重点椭圆定义和性质的理解和记忆 合作探究随堂手记 【课前自主复习区】 一．椭圆的定义 条件结论1结论2 平面内的点M与平面内 的两个点F1，F2M点的 轨迹为F1、F2为椭圆的 距离之和为常数，即， ＝2a为椭圆的焦距2a＞ 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0) y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 对称性 对称轴： 对称中心： 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 a ， b ，c 的关系 a 2＝ 三、要点整合 1.椭圆的定义中2a ＞|F 1F 2|条件不可缺，当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹为 ，当2a ＜|F 1F 2|时， ． 2.求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置。焦点位置的判断依据为： 。 3.椭圆中几个比较重要的三角形： ①特征三角形【如右图：含有a ，b ，c 关系】 ②焦点三角形【椭圆上一点A 与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|AF 1||AF 2|；通过整体代入可求其面积等．】 ③以焦点弦为一条底边，另一焦点为顶点的三角形（请补充画完示意图） 【结论：1°周长为定值 2°面积的简单求法： 】 四、课前自测区 1.教材习题改编 椭圆C ：x 225＋y 2 16＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 2．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2 ＝1 B ．x 24＋y 2 5＝1 C.x 2 5＋y 2 ＝1或x 24＋y 2 5＝1 D ．以上答案都不对 3．(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4，则该椭圆的离心率为( ) 第5讲椭圆 【高考会这样考】 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题． 基础梳理 1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 图形续表 范围－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 性 质 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0,1) a ， b ， c 的关系 c 2＝a 2－b 2 一条规律 椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上?0＜m ＜n . 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． 第九章 第五节 一、选择题 1．(2014·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A ．3 2 B ．34 C ． 22 D ．23 [答案] A [解析] 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 2 1 4 ＝1， 则a ＝1，b ＝1 2 ，c ＝ a 2－ b 2＝ 32.离心率e ＝c a ＝32 . 2．已知椭圆的一个焦点为F (0,1)，离心率e ＝1 2，则椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 2 ＝1 B ．x 2＋ y 2 2 ＝1 C ．x 24＋y 2 3＝1 D ．y 24＋x 2 3 ＝1 [答案] D [解析] 由已知，c ＝1，∵e ＝c a ＝1 2， ∴a ＝2，∴b ＝ a 2－c 2＝ 3. ∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2 3 ＝1，故选D ． 3．(文)(教材改编题)如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(0,1] [答案] A [解析] 方程可化为x 22＋y 22k ＝1，焦点在y 轴上，则有2 k >2，即k <1，又k >0，∴0 C ．????π2，3π4 D ．????3π4，3π2 [答案] C [解析] 化为x 21sin α＋y 2－1 cos α＝1， ∴－1cos α>1 sin α >0，故选C ． 4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A ．x 281＋y 2 72＝1 B ．x 281＋y 2 9＝1 C ．x 281＋y 2 45＝1 D ．x 281＋y 2 36＝1 [答案] A [解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为 x 281＋y 2 72＝1. 5．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1 是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．1 2 B ．23 C ．34 D ．45 [答案] C [解析] 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c 2c ＝1 2， 解得c a ＝34，故离心率e ＝3 4 . 6．(2014·全国大纲高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率 为 3 3 ，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) 则此椭圆方程为( ) 2 2 x y_ / A — +」=1 A. 4 十 3 2 尙 + y 2= 1 2 2 B &+y = 1 B. 8 + 6 = 1 2 D .^+y 2 = 1 4 2 2 歩+ y a b 课时规范练 A 组基础对点练 2 2 1已知椭圆2X5+和=1(m>0)的左焦点为F 1(— 4,0)，则m =( ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 9 解析：由 4= .25 — m 2(m>0)? m = 3，故选 B. 答案：B 2.方程kx 2 + 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A . k>4 B . k = 4 C . k<4 D . 0 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 第八章 第五节 椭圆 一、选择题 1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2 9＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点． 在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A 2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 41的交点个数为 ( ) A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点， ∴4 m 2＋n 2>2，∴m 2 ＋n 2 <4，∴m 29＋n 24 求椭圆的标准方程 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； . (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． . 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B ? ?? ??12，3. 3、已知一椭圆的标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程． 4、已知椭圆过点P ? ????35，－4和点Q ? ?? ??－45，3，则此椭圆的标准方程是( A ) ＋x 2＝1 ＋y 2＝1或x 2＋y 2 25＝1 ＋y 2＝1 D ．以上都不对 5、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63 ； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 6、中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ? ????1，432，N ? ?? ??－322，2两点． 求椭圆的标准方程； 7、求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 答案： 1、（1）x2 25 ＋ y2 9 ＝1（2） y2 4 ＋x2＝1（3） x2 15 ＋ y2 5 ＝1 2、（1）x2 16 ＋ y2 12 ＝1（2）x2＋ y2 4 ＝1 3、当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 25 ＋ y2 9 ＝1. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为x2 9 ＋ y2 25 ＝1. 4、A 5、（1）若焦点在x轴上，椭圆的方程为x2 9 ＋ y2 3 ＝1. 若焦点在y轴上，椭圆的方程为y2 27 ＋ x2 9 ＝1. （2）x2 32 ＋ y2 16 ＝1. 6、x2 9 ＋ y2 4 ＝1 7、x2 9 ＋y2＝1 8、x2 12 ＋ y2 9 ＝1或 x2 9 ＋ y2 12 ＝1 第五节风湿热 风湿热（rheumaticfever）是一种由咽喉部感染A组乙型溶血性链球菌后反复发作的急性或慢性风湿性疾病，主要累及关节、心脏、皮肤和皮下组织，偶可累及中枢神经系统、血管、浆膜及肺、肾等内脏。临床表现以关节炎和心脏炎为主，可伴有发热、皮疹、皮下结节、舞蹈病等。本病发作呈自限性，急性发作时通常以关节炎较为明显，急性发作后常遗留轻重不等的心脏损害，尤其以瓣膜病变最为显著，形成慢性风湿性心脏病或风湿性瓣膜病。发病可见于任何年龄，最常见为5~15岁的儿童和青少年，3岁以内的婴幼儿极为少见。一年四季均可发病，以冬春多见；无性别差异。 目前风湿热的发病率已明显下降，病情也明显减轻，但在发展中国家，风湿热和风湿性心脏病仍常见和严重。我国各地发病情况不一，风湿热总发病率约为万，其中风湿性心脏病患病率为 0.22%，虽低于其他发展中国家，仍明显高于西方发达国家。我国农村和边远地区发病率仍然很高，且近年来风湿热发病率有回升趋势，应值得重视。 [病因和发病机理] （一）病因 风湿热是A组乙型溶血性链球菌咽峡炎后的晚期并发症。约 0.3％-3％因该菌引起的咽峡炎患儿于1-4周后发生风湿热。皮肤及其他部位A组乙型溶血性链球菌感染不会引起风湿热。影响本病发生的因素有： ①链球菌在咽峡部存在时间愈长，发病的机会愈大；②特殊的致风湿热A 溶血性链球菌株，如M血清型（甲组1-48型）和粘液样菌株；③患儿的遗传学背景，一些人群具有明显的易感性。 （二）发病机理 1．分子模拟： A组乙型溶血性链球菌的抗原性很复杂，各种抗原分子结构与机体器官抗原存在同源性，机体的抗链球菌免疫反应可与人体组织产生免疫交叉反应，导致器官损害，是风湿热发病的主要机制。这些交叉抗原包括： 1）荚膜由透明质酸组成，与人体关节、滑膜有共同抗原； 2）细胞壁外层蛋白质中M蛋白和M相关蛋白、中层多糖中N—乙酰葡糖胺和鼠李糖均与人体心肌和心瓣膜有共同抗原； 3）细胞膜的脂蛋白与人体心肌肌膜和丘脑下核、尾状核之间有共同抗原。 2．自身免疫反应： 人体组织与链球菌的分子模拟导致的自身免疫反应包括：1）免疫复合物病： 与链球菌抗原模拟的自身抗原与抗链球菌抗体可形成循环免疫复合物沉积于人体关节滑膜、心肌、心瓣膜，激活补体成分产生炎性病变； 2）细胞免疫反应异常： ①周围血淋巴细胞对链球菌抗原的增殖反应增强、患儿T淋巴细胞具有对心肌细胞的细胞毒作用；②患者外周血对链球菌抗原诱导的白细胞移动抑制试验增强，淋巴细胞母细胞化和增殖反应降低，自然杀伤细胞功能增加；③患者扁桃体单核细胞对链球菌抗原的免疫反应异常。的相关基因。 4．毒素： A组链球菌还可产生多种外毒素和酶类直接对人体心肌和关节有毒性作用，但并未得到确认。 [病理] （一）急性渗出期 受累部位如心脏、关节、皮肤等结缔组织变性和水肿，淋巴细胞和浆细胞浸润；心包膜纤维素性渗出，关节腔内浆液性渗出。本期持续约1个月。 第5讲 椭圆 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． [解析] 因为方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由?????2－k >0， 2k －1>0，2k －1>2－k 得?????k <2，k >12，k >1， 故k 的取值范围为(1，2)． [答案] (1，2) 2．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为2 2 ，则该椭圆的方程为________． [解析] 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝2 2 ，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2 4 ＝1. [答案] x 28＋y 2 4 ＝1 3．已知点M (3，0)，椭圆x 2 4＋y 2 ＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长 为________． [解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且AB ＝AF ＋BF ，△ABM 的周长等于AB ＋AM ＋BM ＝(AF ＋AM )＋(BF ＋BM )＝4a ＝8. [答案] 8 4．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2 ＋ny 2 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． [解析] 把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n ＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m ＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反 之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1 m ＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件． [答案] 充要 5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2 2 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 PF 1＝4，∠F 1PF 2 ＝120°，则a 的值为________． 椭圆标准方程的求法举例 一、定义法 例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。 解：连结AN ，由NM NA = ，得NC NA NC NM CM +=+==， 而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆， 设为22 221(0)x y a b a b +=>> ，2a =，22c =， 所以a =1c = ，21b =。因此，所求轨迹方程为2 212x y +=。 评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ． 二、待定系数法 例2 ．已知椭圆的焦距离为 ，求焦点在x 轴上时，它的标准方程． 解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22 221x y a b +=(0)a b >>， 由题意得2222321a b a b ?+=???-? ，，解之得2293.a b ?=??=??，因此，所求方程为22193x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程． 三、轨迹法 例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =- ，求动点P 的轨迹方程． 解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合 ()PA M P x y d ??==????? ，| =． 将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=?，即22 11314 x y +=为所求． 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤． 四、奇思妙解法 例4 ．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1 (02)2A B ? ?，， 求 第5讲椭圆 【2013年高考会这样考】 1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】 1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程． 2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题． 基础梳理 1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 图形续表 范围－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 性 质 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0,1) a ， b ， c 的关系 c 2＝a 2－b 2 一条规律 椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上?0＜m ＜n . 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )．第5讲椭圆
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