第一、二章 数学模型与建模
数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁
在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
一. 模 型
为了一定的目的，人们对原型的一个抽象
例如:航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型
用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。 例1：牛顿定律 假设：
1. 物体为质量为m 的质点，忽略物体的大小和形状。
2. 没有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物体运动方向的作用力F 。 引入变量 x(t)表示在t 时刻物体的位置，则受力物体满足如下运动规律， 这就是牛顿定律的数学模型。 例2：哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发，
通过每座桥恰好一次，回到原地？
由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。 三. 数学模型的特征
1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。
2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。
3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。 四. 建模举例
数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并―解决‖实际问题的强有力的数学工具。 下面给出几个数学建模的例子，重点说明： 如何做出合理的、简化的假设；
如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；
如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。
例 1. 管道包扎
问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。 假设：
1. 直圆管，粗细一致。
2. 带子等宽，无弹性。
3. 带宽小于圆管截面周长。
4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.
参量、变量： W ：带宽，C ：圆管截面周长，θ：倾斜角 （倾斜角）包扎模型 θsin C W =
（截口）包扎模型 22||W C OB -=
进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？ 设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W , 带子长 M. 带长模型 2
2
/W
C W LC M -+=
问题:
1. 若L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?
2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)
例2. 桌子摆放
问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？
建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。
假设：
1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。
2.地面的起伏是连续变化的。
3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。
参数，变量。
1. 如何描述―桌子的四个脚同时着地‖？
记x A
x B、x C、x D分别为脚A，B, C, D与地面的距离。
，
则当x A =x B= x C=x D =0时，桌子的四个脚同时着地。
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？
定位：方桌的对称中心O位于平面坐标原点
移动：桌子围绕中心转动。记θ为AC与X轴的夹角, 则可用θ表示桌子移动的位置。θ0≤≤. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。
令f(θ)= x A(θ ) + x C(θ ), g(θ)= x B(θ )+ x D(θ )
如果在位置θ*桌子四脚落地, 则有f(θ*) = g(θ*) = 0.
根据假设 2 知f(θ) 和g(θ)是连续函数，
根据假设 3 有f(θ) ? g(θ)≡0，?θ.
根据假设1有f(θ1)=g(θ0) 和g(θ1)=f(θ0), 其中θ1=θ0+ 900
模型：
已知f(θ) 和g(θ)是连续函数，f(θ) ? g(θ)≡0，?θ.
若f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则存在θ*使得f(θ*) = g(θ*)=0。
证明：因为f(θ1)=g(θ0)>0, g(θ1)=f(θ0)=0,
令h(θ) = f(θ) - g(θ), 则h(θ) 连续且h(θ0) < 0, h(θ1) > 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在θ*, θ0≤θ *≤θ1, 使得f(θ*) = g(θ*)=0。
问题：
1. 将例4的假设1改为―桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD‖，试构造数学模型证实结论同样成立。
2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。
例3：交通路口红绿灯
十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？
假设
1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。
2. 车距相同，启动延迟时间相等。
3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。
4. 秩序良好，不堵车。
参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻t 第n 辆车的位置S n（t）
用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当S n(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。
模型
1.停车位模型：S n（0）=–(n-1)(L+D)
2. 启动时间模型: t n =(n-1)T
3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t>t n
参数估计L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s
解: S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得n≤19 且t19=18<30=t 成立。
答案: 最多19辆车通过路口.
改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。
最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上v*=60公里/小时=17米/秒
取最高限速v*=11m/s，达到最高限速时间t n*=v* /a+t n =5.5+n-1
限速行驶模型:
S n(t)=S n(0)+1/2 a(t n *–t n )2+v*(t-t n*), t>t n*
=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t n*>t>t n
= S n(0) t n>t
解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得n≤17 且t17 *=5.5+16=21.5<30=t 成立。
结论: 该路口最多通过17辆汽车.
问题
1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。
10. 调查的位置，走向，车道数，时间。
调查数据（至少三次）：绿灯时间，通过的车数。分析数据不同的原因。
20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。
30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。
2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。
3. 给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。
例4：人员疏散
建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。
假设
1. 有一排k间教室，走道只有一个出口。
2 .人员撤离时，有序、单行、（间隔）均匀、匀速。
3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t0=0)。
参数：第k 间教室人数为n k+1, 教室距离为L k, 门宽为D，行进速度为v，人体间隔为d。如果只有第k间教室有人需要撤离，第k间教室疏散时间为T k
模型
K=1 情形：T1=(n1d+L1)/v
K=2 情形：
当第二间教室人不需等待时，即(L2+D)≥(n1+1)d，T12= T2=(n2d+L1+L2+D)/v,
当第二间教室人需要等待时，即(L2 +D)<(n1+1)d, 等待时间T= (n1+1)d/v- (L2 +D)/v,
T12= T2 +T=[(n1+ n2+1 )d+L1] /v,
讨论
模型：T=(nd+L)/v,
分析：v↗, 则T↘; d↗, 则T↗.
令d=0, 则有T=L/v。疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!!
补充假设 4. 人体厚度相同w
模型 T=(n(d+w)+L)/v,
分析 若d=0, 则 T = (nw+L)/v 合理吗？ 继续补充假设 5. 速度与间隔有关v=v （d ） 模型 T=[n(d+w)+L]/v(d),
其中v=v(d)应满足v(d)是d 的单调非减函数，v(0)=0 且 当d 充分大时， v=v max . 结论： 存在间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短。 讨论：
1. 给出函数v(d)应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔d* ，使得疏散的时间最短。
2. 通过实验观测给出函数v(d).
观测数据：间隔d （厘米）—运动速度v （米/秒） 拟合函数 d
d d v +=
6.7583.7)(
问题
1. 如果n=400，L=30m ，w=0.2m, 求最短的疏散时间。
2. 给出 当 K=3 时的人员疏散模型.
五. 建模要点
1．明确研究目标，力图从实际问题中归纳出所采用的假设和解题线索; 2．用假设简化问题，在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点, 这是建模成功与否的关键, 体现了建模工作的想象力和创造力;
3．进行正确的推理，在无法进行严格的数学推导时, 可以使用―不严格‖的数学, 代之以对问题的分析, 归纳,类比, 猜测, 尝试, 事后检验；
4．尽量使用实际资料检验数学结果，并用恰当的学科语言表达数学结果。
5．在建模中，数学决不仅仅是工具,要从所作的数学推导和所得到的数学结论中指出所包含的更一般的、更深刻的内在规律。数学建模绝不仅仅以应用数学解决一个实际问题为目标，我们更希望揭示基本自然规律，产生新的数学思想和方法。 六. 建模过程流程
第三章 常用数学模型及建模方法
3.1 量纲分析与轮廓模型 一. 量与量纲 1. 量及其度量
10
. 模型所涉及的主要是量不是数 20. 量（物理量）可以分为：
基本量：基础的，独立的量: 长度、质量、时间、…
导出量：由基本量通过自然规律导出的量: 速度、加速度、力、… 30. 量的度量体系 — 单位制：基本量及其度量单位 40
. 国际单位（SI ）制 基 本 量
名称 单位 符号
长度 L 米 m 质量 M 千克 kg
时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A
温度θ开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd
物质的量 N 摩尔 mol
导出量
名称单位符号
力牛顿 N（kgms-2）能量焦耳 J（kgm2s-2）
功率瓦特 W（kgm2s-3）频率赫兹 Hz（s-1）
压强帕斯卡 Pa（kgm-1s-2）
2. 量纲：
10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式
[Q]=Lα MβTγ Iηθδ J ξ Nζ
为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。αβγηδξζ称为量纲指数。
例. [长度]=L、[质量]=M、[时间]=T、[面积]=L2 [体积]=L3、 [速度]=LT-1,
[加速度]=LT-2、[力]=MLT-2, [能量]=ML2T-2.
注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。
2. 对于某个物理量Q, 如果 [Q]=Lα MβTγ Iηθδ J ξ Nζ，有α=β=γ=η=δ=ξ=ζ=0，
则称之为无量纲量，记为[Q]=1 。它将不依赖于选定的基本量。
3. 无量纲量不一定是无单位的量。
20. 量纲齐次法则
一个物理规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。
例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2
满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所涉及的物理量的量纲单位的选择无关。
二. 量纲分析
量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。
例1 建模描述单摆运动的周期
问题：质量为m的小球系在长度为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。
假设：1. 平面运动，忽略地球自转； 2.忽略可能的磨擦力；3. 忽略空气阻力； 4.忽略摆线的质量和变形.
分析建模
10. 列出有关的物理量
运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 x.
20. 写出量纲: [t]=T，[l]=L，[m]=M，[g]=LT-2，[x]=1.
30. 写出规律: F(t, l, m, g, x)= 0.
40. 写出规律中加项π的形式: π=t y1 l y2 m y3 g y4 x y5
50. 计算π的量纲: [π] = T y1 L y2 M y3 （LT-2）y4= T y1-2y4 L y2 + y4 M y3
60. 应用量纲齐次原理: 由[π] = 1，可得关于y
i
（i ＝1, 2, …, 5）的方程组
y
1 – 2y
4
= 0
y
2 + y
4
= 0
y
3
= 0
y
5
任意
70. 解方程组: 解空间的维数是二维。对自由变量（y
4，y
5
）选取基底（1，0）和（0，1）。
关于y
1, y
2
, y
3
求解方程组可得基础解系{(2, -1, 0, 1, 0)T, (0, 0, 0, 0, 1)T}
80. 求π: 将方程的解代入加项π的表达式，可得π
1 = t
2 l-1 g，π
2
= x .
90. 建模: 单摆运动的规律应为 f (π
1, π
2
) = 0，解出π
1
可得π
1
= k
1
(π
2
)，
即有g
l
x
k
t/
)
(
=.
100
. 检验： ① 周期与 质量 m
m=390g m=237g
l = 276cm 3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s
② 周期与振幅 x (l=276cm, m=390g)
x (度) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62
k (x) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524
可见： 当 x < 150 时, k( x ) ≈ 2 π。 k(x) 与 x 有关。
Buckingham π 定理: 物理量的函数关系 F(x 1, ?,x k ) = 0 是量纲齐次的, 当且仅当它
可以表示成形式 f(π1, ?, πm ) = 0， 其中 ij
j
k
j i x απ1
=∏=，i=1,2,…,m < k,为 x j 的无
量纲乘积， 即 [πi ] = 1.
在《常微分方程》—(丁同仁、李承治编)书中，通过建立单摆方程
0sin 22
=+
x l
g
dt x
d 讨
论单摆运动规律，得到在初始条件： x (t 0)= x 0, dx/dt(t 0)=0 下，单摆振动周期 T=T(x 0)
满足规律, 当 x 0→0 时，T(x 0)→ 2π(l/g)1/2
当 x 0→π 时，T(x 0 ) → ∞。 三. 量的比例关系与轮廓模型
1. 量的比例关系. 因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，又由量纲分析原理可知:
不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。所以在同一模型中，若量 x 1和 x 2的量纲分别为 [x 1] = X α 和 [x 2] = X β ，则一定有 x 1=k x 2 α/ β
举例
例 1. 正立方体：棱长 l 0=a ，底面周长 l 1 = 4a ，底面对角线长a l 22=，
对角线长a l 33=；
表面积 S 1 = 6a 2，底面面积 S 2 = a 2， 对角面面积 222a S =；体积 V 1 = a 3，四棱锥
体积 V 2 = a 3/3
结论：在简单的几何体中，
相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；S i ∝ L j 2 即有S i = k 1 L j 2 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；V i ∝ L j 3 即有V i = k 2L j 3
相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；V i ∝ S j 3/2 即有V i = k 3S j 3/2。
长方体：棱长 (a, b, c)，总棱长L 1=4(a+b+c), 底面周长 L 2=2(a+b),
对角线长2
2
2
3c b a l ++=
表面积 S 1=2(ab+bc+ca), 底面面积 S 2= ab, 体积 V 1=abc, 四棱锥体积 V 2=1/3 abc.
若长方体 II 有棱长(a*, b*, c*), 且a*/a = b*/b = c*/c = m.
则有L 1*= mL 1, L 2*=mL 2, L 3*= mL 3; S 1*= m 2S 1, S 2*= m 2S 2; V 1*= m 3V 1, V 2*= m 3V 2. 于是可得S i */L k *2=S i /L k 2; V i */L k *3=V i / L k 3; V i */S k *3/2=V i /S k 3/2.即得 S=k 1L 2, V=k 2L 3,V=k 3S 3/2. 结论：在相似的几何体中，
相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； S i ∝ L j 2， 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比； V i ∝ L j 3
相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；V i ∝ S j 3/2。
同样的结论对抽象几何体一般也成立
例2. 生活中的长度、面积和体积。 10. 纽约黑鲈的体重W 和体长L
W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 L 3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592
W/L 3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088
黑鲈鱼的体重与体长关系
20. 人的体重W和身高L
W(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75
L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185
L3(103cm3) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332
W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118
人的体重W和身高L关系
30蜥蜴的体长与体重
小蜥蜴体长15cm,体重为15g, 当它长到20cm长时体重为多少? (20g, 25g, 35g, 40g)
以上的例子表明，不少的动物的体重w与体长l的立方呈正比, 即 w∝ l3.
自然界中还存在其它情况。
40老虎的身长（不含头尾）与体重
注意到老虎身体的躯干明显下垂。
视老虎的躯干为长度为l，直径为d，截面面积为s的圆柱体。设老虎体重为 w 。
由弹性力学的研究结果知，动物在自身体重w作用下躯干的最大下垂度 b ∝ wl3/(sd2)。
因为 w ∝ sl, 所以 b/l ∝ l3/d2. 称 b/l为躯干的相对下垂度，它应视为与动物尺寸无关的常数。于是 l3 ∝ d2, 再考虑到 w ∝ sl, s ∝ d2, 结果得到 w ∝ l4.
2. 轮廓模型
直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。
例3. 商品的包装与成本
商品价格含量单价价格含量单价
高露洁牙膏 15.7元 190g 8.3元/100g 5.8元 60g 9.7元/100g
诗芬洗发液 35.9元 400ml 9元/100ml 23.1元 200ml 11.5元/100ml
富丽饼干 8.8元 450g 1.9元/100g 3.0元 150g 2元/100g
奇宝饼 5.9元 250g 2.3元/100g 4.3元 150g 2.87元/100g
建模分析为什么小包装的商品比大包装的要贵一些?
假设:
10.包装只计装包工时和包装材料。
20.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。
30.不同规格的商品装包时工作效率相同。
40.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响。
参量与变量
W:每件商品净重（产品的含量）, C(W): 每件商品的总成本, A: 每件商品中产品的成本,
B
1: 每件商品装包工时投入, B
2
: 每件商品包装材料成本， S: 包装材料用量,
c(W):商品单位重量的平均成本.
分析：C(W) = A + B
1 + B
2
A = a
1
W, B
1
= a
2
W, B
2
= a
3
S = a
4
w2/3，
模型：C(W)= k
1W + k
2
W2/3， c(W) = k
1
+ k
2
W-1/3
应用于价格预测：
康尔乃奶粉 32.4元 400g; 67.1元 900g.
4 k
1 + 42/3 k
2
= 32.4
9 k
1 + 92/3 k
2
= 67.1
解得: k
1 = 5.3791, k
2
= 4.3192
模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3.
预测: W=1800, C(W) = 126.49.
W=2500, C(W) = 154.36
检验: 实际 W=1800, C(W)=115.9, W=2500, C(W)=146.85 可赛矿泉水：1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升
0.6 k 1+ 0.62/3
k 2 = 1.7
1.0 k 1+1.02/3
k 2 = 2.2 解得： k 1 = -1.21， k 2 = 3.41
模型: C(W)=-1.21W + 3.41W 2/3
.
预测：W=1.5，C(W)= 2.65
检验: 实际 W=1.5, C(W)= 3.45 分析
10. 轮廓模型不宜于预报新商品的价格(?)
20. 成本的降低率 r(W)=|dc/dw| = 1/3 k 2W -4/3是商品量的减函数. 30. 支出的节省率 S(W) = W r(W) = 1/3 k 2W -1/3也是商品量的减函数.
购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！ 例4. 划艇比赛的成绩
问题1. 划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种，赛程 2000m, 称划
行时间为比赛成绩。
试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员人数的关系。
假设：
10.艇身相似，艇重 U 与桨手人数 n 呈正比。
20.运动员体重 W 相等，每人输出功率 P 不变, 且与体重 W 呈正比。 30. 艇速 v 定常，阻力 F 与 Sv 2 呈正比，S 为浸没面积。 参量、变量
n: 人数， W: 体重，P: 输出功率,U: 艇重，v: 艇速，F: 划艇受到的阻力，S: 浸没面积, V ：排水体积，D: 比赛距离，T: 比赛成绩(时间).
分析：由假设可知 U=k 3n ， P=k 1W, F=k 2Sv 2
.由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度。因此有 n P = k 4 F v ，则 k 1 n W = k 4 k 2 S v 3。
于是得到速度模型 v = k 9 (nW/S)1/3
.
由阿基米德原理可知划艇排水的体积V 与载人艇的总重量呈正比,
V = k 5(U+nW) = nk 5(k 3+W) = k 6n 。
浸没面积与排水体积关系为 S=k 7V 2/3=k 8n 2/3。代入速度模型，可得 v=k 9(nW/n 2/3)1/3=k 10n 1/9
最后得到比赛成绩的模型 T=D/v=k n -1/9
. 检验：划艇四次比赛的成绩
种类 成绩(划2000米时间(分)) 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 双人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.34 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835
根据这些数据，利用最小二乘法拟合可得T = 7.29 n -0.104。模型相当准确。
问题2. 如果八人艇分为重量级组和轻量级组，规定重量级组运动员体量为86公斤，轻量
级组运动员体重为73公斤。表列八人艇是重量级组的成绩, 请推断轻量级组的成绩。 设：轻量级组的运动员体重, 划艇浸没面积, 艇速和成绩分别为 W 1, S 1, v 1, T 1, 相应的
重量级组为 W 2, S 2, v 2, T 2。根据前面得到的艇速的模型，有v 1=k(nW 1/S 1)1/3 ，v 2=k(nW 2/S 2)1/3.因此
根据浸没面积与排水体积的模型S=k 7V 2/3
，和排水体积与人数模型V = k 5(U+nW)，有
3
/221
3
/22121
1???
? ??>????
??++=>
W W nW U nW U S S 3
/1213
/1123
/1113
/1221
22
1)
()
()
()(S S W W S nW S nW v v T T ==
=
可得(W
2/W
1
)1/9 < (T
1
/T
2
) < (W
2
/W
1
)1/3.由于 W
2
/W
1
=86/73=1.178,则有1.018 < (T
1
/T
2
) < 1.056。
估计轻量级组的成绩5.940 < T
2
< 6.162。
习题:
a)调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系.
b)雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.建模描述雨速与雨滴
质量的关系.
c)动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温不变.给出合理的简化假设建立动物
的饲养食物量与动物的某个长短尺寸之间的关系.
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：成都纺织高等专科学校 参赛队员(打印并签名) ：1. XXX（机电XXX） 2. XXX国贸XXX） 3. XXX（电商XXX） 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2014 年 06 月 06 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
目录 一、问题的重述 (1) 1.1 背景资料与条件 (1) 1.2 需要解决的问题 (1) 二、问题的分析 (2) 2.1 问题的重要性分析 (2) 2.2问题的思路分析 (3) 三、模型的假设 (4) 四、符号及变量说明 (4) 五、模型的建立与求解 (4) 5.1建立层次结构模型 (4) 5.2构造成对比较矩阵 (5) 5.3成对比较矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法 (6) 5.4一致性检验 (7) 5.5层次分析模型的求解与分析 (8) 5.5.1 构造成对比较矩阵 (8) 5.5.2计算25优秀大学生的综合得 (9) 六、模型的应用与推广 (11) 七、模型的评价与改进 (12) 7.1模型的优点分析 (12) 7.2模型的缺点分析 (12) 7.3模型的进一步改进 (12) 八、参考文献 (13) 附件一 (14) 附件二 (16)
（由组委会填写）第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛 学校西安理工大学 参赛队号10700002 队员姓名1.柯俊山 2.朱文奇 3.胡凯
（由组委会填写） 第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛 题目乘用车物流运输计划问题 摘要： 本文主要解决的是乘用车整车物流的运输调度问题，通过对轿运车的空间利用率和运输成本进行优化，建立整数规划模型，设计了启发式算法，求解出了各种运输条件下的详细装载与运输方案。 针对前三问，由于不考虑目的地和轿运车的路径选择，将问题抽象为带装载组合约束的一维装车问题，优化目标是在保证完成运输任务的前提下尽可能满载，选择最优装载组合方案使得所使用的轿运车数量最少。对于满载的条件，将其简化为考虑轿运车的空间利用率最大，最终建立了空间利用率最大化和运输成本最小化的两阶段装载优化模型。该模型类似于双目标规划模型，很难求解。为此，将空间利用率最大转换为长度余量最少，并为其设定一个经验阈值，将问题转换为求解整数规划问题，利用分支定界法进行求解。由于分支定界法有时并不能求得最优解，设计了一种基于阈值的启发式调整优化算法。最后，设计了求解该类问题的通用算法程序，并对前三问的具体问题进行了求解和验证。通过求解得出，满足前三问运输任务的1-1型轿运车和1-2型轿运车数量如下表所示（具体的乘用车装载方案见表2、表5、表7）： 第一问第二问第三问 1-1 16 12 25 1-2 2 1 5 针对问题四，其是在问题一的基础上加入了整车目的地的条件，需要考虑最优路径的选择。在运输成本上，加入了行驶里程成本，因而可以建立所使用的轿运车数量最少和总里程最少的双目标整数规划模型。对于此种模型，可以采用前三问所设计的通用算法进行求解。此时，需要重新设计启发式调整优化算法。为此，根据路线距离的远近和轿运车数量需要满足的比例约束条件设计
2017年中国研究生数学建模竞赛A题 无人机在抢险救灾中的优化运用 2017年8月8日，四川阿坝州九寨沟县发生7.0级地震，造成了不可挽回的人员伤亡和重大的财产损失。由于预测地震比较困难，及时高效的灾后救援是减少地震损失的重要措施。无人机作为一种新型运载工具，能够在救援行动中发挥重要作用。为提高其使用效率，请你们解决无人机优化运用的几个问题。 附件1给出了震区的高程数据，共有2913列，2775行。第一行第一列表示(0,0)点处的海拔高度值(单位：米)，相邻单元格之间的距离为38.2米，即第m行第n列单元格中的数据代表坐标(38.2(m-1), 38.2(n-1))处的高度值。震区7个重点区域的中心位置如下表所示(单位：千米)： 除另有说明外，本题中的无人机都假设平均飞行速度60千米/小时，最大续航时间为8小时，飞行时的转弯半径不小于100米，最大爬升(俯冲)角度为±15°，与其它障碍物(含地面)的安全飞行距离不小于50米，最大飞行高度为海拔5000米。所有无人机均按规划好的航路自主飞行，无须人工控制，完成任务后自动返回原基地。 问题一：灾情巡查 大地震发生后，及时了解灾区情况是制订救援方案的重要前提。为此，使用无人机携带视频采集装置巡查7个重点区域中心方圆10公里(并集记为S)以 内的灾情。假设无人机飞行高度恒为4200米，将在地面某点看 无人机的仰角大于60°且视线不被山体阻隔视为该点被巡查。 若所有无人机均从基地H(110,0)(单位：千米)处派出，且完成任
务后再回到H，希望在4小时之内使区域S内海拔3000米以下的地方尽可能多地被巡查到，最少需要多少架无人机？覆盖率是多少？每架无人机的飞行路线应如何设计？在论文中画出相应的飞行路线图及巡查到的区域（不同的无人机的飞行路线图用不同的颜色表示）。 进一步，为及时发现次生灾害，使用无人机在附件1给出的高度低于4000米的区域（不限于S）上空巡逻。问最少需要多少架无人机、如何设定每架无人机的飞行时间、路线，才能保证在72小时内，上述被巡查到的地方相邻两次被巡查的时间间隔不大于3小时(无人机均需从H出发并在8小时内回到H，再出发的时间间隔不小于1小时)？ 问题二：生命迹象探测 使用无人机携带生命探测仪搜索生命迹象，能够给灾后救援提 供准确的目标定位。拟从基地H(110,0)，J(110,55)(单位：千米)处 总共派出30架无人机(各15架)，任务完成后回到各自的出发地。 探测仪的有效探测距离不超过1000米，且最大侧视角(探测仪到可 探测处的连线与铅垂线之间的夹角)为60度。请你们规划它们的飞 行路线，使附件1所给出的全区域内海拔3000米以下部分能被探测到的面积尽可能大，且使从第一架无人机飞出到最后一架完成任务的无人机回到基地的时间间隔尽量短。 问题三：灾区通信中继 大地震发生后，地面电力设施被破坏，灾区通信中断。太阳能无人机(白天不受续航能力限制，其余条件同前述)可以作为地面移动终端之间的通信中继，为灾区提供持续的通信保障(地面终端只能与无人机进行通信，无人机之间只要不超过最大通信距离就可以互相通信，地面与地面之间的通信由无人机转接)。假设无人机在空中飞行时，可与距离3000米以内的移动终端通信，无人机之间的最大通信距离为6000米，问最少需要多少架无人机、每架无人机的飞行路线如何，才能保证在白天12小时内，附件2中的任意两个地面终端之间都能实现不间断通信(作为中继的无人机之间的切换时间忽略不计，地面终端的移动距离不超过2千米)？ 问题四：无人机对地的数据传输 指挥中心拟从H派出3架无人机携带通信装备向灾区内的72个地面终端(分布见附件2)发送内容不同，总量均为500M(1M按106比特计算)的数据。设每台通信装备的总功率是5瓦，可同时向不超过10个地面终端发送数据。数据传输过程可以简化为：当地面终端i看无人机的仰角大于30°、距离不超过3000米且没有山体阻隔时，如果无人机当前服务用户少于10
全国大学生数学建模竞赛的准备方法 全国大学生数学建模竞赛于每年9月上旬（今年是9月7日）举行。但是在此之前，需要做好哪些准备，让各个参赛队员在竞赛中做到有备无患呢？在总结过去多年培训指导各种数学建模竞赛的基础上，仅就个人观点，介绍一些关于如何准备数学建模竞赛的经验和体会，仅供参考。在这里主要向大家介绍竞赛的基本情况，包括如何组队、如何选题以及在竞赛中如何合理分配时间。通过本次学习，希望大家能够了解数学建模竞赛的基本情况，为全国大学生数学建模竞赛以及其他各类数学建模竞赛做好准备。 一、如何组建优秀数学建模队伍 进入大学阶段参加各种科技竞赛，可以体会到一种和中学竞赛不同的感受，这种感受来自团队合作。以前的各项赛事都是以个人为单位参加竞赛，它们都是考查个人的能力。但是在大学中，由于难度和任务量的加重以及对团队合作精神的关注，因此大部分的赛事都是以团队为单位参加的。竞赛在考查个人能力的同时，还考查团队成员的合作精神。在数学建模竞赛中，团队合作精神是能否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要分工合作、相互支持、相互鼓励。从历年的统计数据可以看出，竞赛成绩优秀的队员往往并不是每个人在各个方面都特别擅长的队伍，而是团队相处得最融洽的队伍。从这一点也可以看出团队合作的重要性。 在竞赛的过程中，切勿自己只管自己的那一部分，一定要记住这是一个集体的竞赛。很多时候，往往一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚。因此无论做任何事情，三个人一定要齐心才行，只靠一个人
的力量，要在3天之内写出一篇高水平的论文几乎是不可能的。让三人一组参赛一方面是为了培养合作精神，其实更为重要的原因是这项工作确实需要多人合作，因为一个人的能力是有限的，知识掌握也往往是不全面的。一个人做题，经常会走向极端，得不到正确的解决方案。而三个人相互讨论、取长补短，可以弥补一个人所带来的不足。 在队伍组建的时候，需要强调“队长”这个名词概念。虽然在全国大学生数学建模竞赛中并没有设立队长，作为队长在获得的证书上也没有特别标注。但是在队内设立“队长”是非常有必要的。因为在比赛中可能会碰到各种突发状况，队长是很重要的，他的作用就相当于计算机中的CPU，是全队的核心。如果一个队的队长不得力，往往影响一个队的正常发挥。竞赛是非常残酷的，在3天3夜（72h）的比赛中，大家睡眠时间都得不到保障，怎样合理安排团队时间就是队长需要做的事情。在比赛过程中，由于睡眠不足，大家脾气都会很急躁。在这种情况，往往会为了一些小事而发生争吵，如果没有适当的处理，有些队伍将会放弃比赛，而队长就应该在这个时候担起责任。 在明确“队长”这个概念后，接下去谈谈怎样科学选择队友。在数学建模竞赛中，题目要求完成的工作量是很大的，因此这项任务是必须分工完成的，各有侧重、相互帮助，这样才能获得好成绩。而科学地选择队友则显得非常重要，也是走向成功的第一步。一般情况下选择队友可以从以下几个方面考虑着手： 1. 在组队的时候需要考虑队伍成员的多元化，尽量和不同专业、不同特长的同学组队。因为同系同专业甚至同班的话大家的专业知识一样，如果碰上专业知识以外的背景那会比较麻烦的。所以如果是不同专业组队则有利的多。因为数学建模题有可能出现在各个领域，这也是数学建模适合各个专业学生参加的原因所在，也是数学建模竞赛赛事的魅力所在。
全国研究生数学建模竞赛获奖结果分析报告全国研究生数学建模竞赛由教育部学位与研究生教育发展中心主办，是学位中心主办的"全国研究生创新实践系列活动"主题赛事之一。全国研究生数学建模竞赛是面向全国在读研究生的科技竞赛活动，目的在于激发研究生群体的创新活力和学习兴趣，提高研究生建立数学模型和运用计算机解决实际问题的综合能力，拓宽知识面，培养创新精神和团队合作意识，促进研究生中优秀人才的脱颖而出、迅速成长，推动研究生教育改革，增进各高校之间以及高校、研究所与企业之间的交流与合作。 本文依据“华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛的获奖名单，分别对获奖与选题、地区以及学校之间的关系进行研究分析。 1.获奖与选题 在2016年“华为杯”研究生数学建模竞赛中，共有8894个队伍获奖，其中有150个队伍获得了一等奖。而对获奖名单进一步分析，统计并计算得到，选择每道题目的获奖（包括一、二、三等奖以及成功参与奖）的队伍数目及其所占比例和选择每道题目的获得一等奖的队伍数目及其所占比例，如下表所示： 题目类型 A B C D E 获奖队伍数1457 2712 1596 517 2612 所占比例0.1638 0.3049 0.1794 0.0581 0.2937 获一等奖队伍数26 40 27 17 40
所占比例0.1733 0.2667 0.1800 0.1133 0.2667 从表中不难发现，在所有获奖队伍中各个题目所占的比例与所有获一等奖队伍中各个题目所占比例接近，于是本文发现一个问题：能不能获奖是否与选哪道题相关？还有，所获奖的等级是否与选题有关？也就是说是否选择每道题获得一、二、三等奖概率不同？ 于是本文将题号“ABCDE”换为“12345”，“成功参赛奖”换为“4”，将“题目类型”与“获奖等级”两列数据代入SPSS软件进行相关性分析，如下图所示：
2017年中国研究生数学建模竞赛D题 基于监控视频的前景目标提取 视频监控是中国安防产业中最为重要的信息获取手段。随着“平安城市”建设的顺利开展，各地普遍安装监控摄像头，利用大范围监控视频的信息，应对安防等领域存在的问题。近年来，中国各省市县乡的摄像头数目呈现井喷式增长，大量企业、部门甚至实现了监控视频的全方位覆盖。如北京、上海、杭州监控摄像头分布密度约分别为71、158、130个/平方公里，摄像头数量分别达到115万、100万、40万，为我们提供了丰富、海量的监控视频信息。 目前，监控视频信息的自动处理与预测在信息科学、计算机视觉、机器学习、模式识别等多个领域中受到极大的关注。而如何有效、快速抽取出监控视频中的前景目标信息，是其中非常重要而基础的问题[1-6]。这一问题的难度在于，需要有效分离出移动前景目标的视频往往具有复杂、多变、动态的背景[7，8]。这一技术往往能够对一般的视频处理任务提供有效的辅助。以筛选与跟踪夜晚时罪犯这一应用为例：若能够预先提取视频前景目标，判断出哪些视频并未包含移动前景目标，并事先从公安人员的辨识范围中排除；而对于剩下包含了移动目标的视频，只需辨识排除了背景干扰的纯粹前景，对比度显著，肉眼更易辨识。因此，这一技术已被广泛应用于视频目标追踪，城市交通检测，长时场景监测，视频动作捕捉，视频压缩等应用中。 下面简单介绍一下视频的存储格式与基本操作方法。一个视频由很多帧的图片构成，当逐帧播放这些图片时，类似放电影形成连续动态的视频效果。从数学表达上来看，存储于计算机中的视频，可理解为一个3维数据，其中代表视频帧的长，宽，代表视频帧的帧数。视频也可等价理解为逐帧图片的集合，即，其中为一张长宽分别为 的图片。3维矩阵的每个元素（代表各帧灰度图上每个像素的明暗程度）为0到255之间的某一个值，越接近0，像素越黑暗；越接近255，像素越明亮。通常对灰度值预先进行归一化处理（即将矩阵所有元素除以255），可将其近似认为[0,1]区间的某一实数取值，从而方便数据处理。一张彩色图片由R（红），G（绿），B（蓝）三个通道信息构成，每个通道均为同样长宽的一张灰度图。由彩色图片
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
2017年中国研究生数学建模竞赛B题（华为公司命题） 面向下一代光通信的VCSEL激光器仿真模型 友情提示：阅读本题附录3有助于理解本题的相关概念与方法。 随着互联网技术的快速发展，家庭固定网络速度从原来的2Mbps、10Mbps，快速发展到了今天的百兆（100Mbps），甚至千兆（1000Mbps）光纤宽带入户。“光纤宽带入户”，顾名思义，就是采用光纤来传输信号。光纤中传输的激光信号具有远高于电信号传输速率的特点(激光信号传输带宽远大于电信号传输带宽)，更适合于未来高速率的传输网络。工程师们在光纤通信传输系统设计前，往往会通过计算机仿真的方式研究系统设计的指标，以便快速找到最适合的解决方案。因此在进行系统仿真时，需要准确掌握系统中各个器件的特性以保证仿真模型的精度。激光器作为光纤通信系统的核心器件是系统仿真中需要考虑的一个重要因素。 与我们生活息息相关的激光器种类繁多，其中的垂直腔面发射激光器（VCSEL: Vertical Cavity Surface Emitting Laser）具有使用简单，功耗较低等特点，一般VCSEL的工作电流在6mA~8mA。本题的主要任务，就是得到能准确反映VCSEL 激光器特性的数学模型。 激光器输出的光功率强度与器件的温度相关，当器件温度（受激光器自身发热和环境温度的共同影响）改变后，激光器输出的光功率强度也会相应发生变化。在进行建模时，我们既要准确反映VCSEL激光器特性，还要考虑： 1.激光器输出的功率强度与温度的关系——即该激光器可以在多大的外界 环境温度范围内使用；
2. 如何设计激光器参数可以使激光器具有更大的传输带宽（即S21曲线上纵 坐标-10dB 位置对应的横坐标频率值更大）——即可以实现更快的传输速率。 1 问题1：VCSEL 的L-I 模型 L-I 模型，即激光器的工作电流与输出光功率强度关系模型（L ：light ，表示光功率强度，也可以表示为P ；I ：Intensity of current ，表示工作电流）。激光器是将电能转换成光能的半导体器件，能量转换的过程，也是电子的电能转换为光子的光能的过程，在转换过程中，伴随着电子的运动，半导体器件会产生一定的热量。从能量守恒的角度看，转化为热能的能量越多（发热导致能量浪费了），器件温度越高，那么转化为光能的能量越少（输出光功率越低），可以利用的能量就越少。 国际上很多研究机构对VCSEL 的L-I 建模问题做了大量研究，目前有一个L-I 经验公式获得了大多数人的认可。附录1给出了该公式及其一种参数化表达，请你们根据附件提供的文件名为“L-I-20C.mat ”的L-I 实测数据（数据在室温20℃下采集，载入matlab 后将获得4个变量：P:光功率，I:实测驱动电流，U ：实测电压，Ta ：实测温度）和附录1中的表1给出的一组经验值，完成如下工作： a) 确定模型参数()001234,,,,,,,th th I R a a a a a η，根据模型画出10℃，20℃， 30℃，……，90℃等温度下的L-I 曲线（横坐标是电流强度，纵坐标是光功率）。 b) 假定当电信机房里VCSEL 激光器在直流输入时输出的平均光功率低于 2mW 时，用户的光猫无法检测到信号。那么，根据建立的L-I 模型推测：
2017年中国研究生数学建模竞赛E题 多波次导弹发射中的规划问题 随着导弹武器系统的不断发展，导弹在未来作战中将发挥越来越重要的作用，导弹作战将是未来战场的主要作战样式之一。 为了提高导弹部队的生存能力和机动能力，常规导弹大都使用车载发射装置，平时在待机地域隐蔽待机，在接受发射任务后，各车载发射装置从待机地域携带导弹沿道路机动到各自指定发射点位实施发射。每台发射装置只能载弹一枚，实施多波次发射时，完成了上一波次发射任务的车载发射装置需要立即机动到转载地域（用于将导弹吊装到发射装置的专门区域）装弹，完成装弹的发射装置再机动至下一波次指定的发射点位实施发射。连续两波次发射时，每个发射点位使用不超过一次。 某部参与作战行动的车载发射装置共有24台，依据发射装置的不同大致分为A、B、C三类，其中A、B、C三类发射装置的数量分别为6台、6台、12台，执行任务前平均部署在2个待机地域（D1，D2）。所属作战区域内有6个转载地域（Z01~ Z06）、60个发射点位（F01~ F60），每一发射点位只能容纳1台发射装置。各转载地域最多容纳2台发射装置，但不能同时作业，单台转载作业需时10分钟。各转载地域弹种类型和数量满足需求。相关道路情况如图1所示（道路节点J01~J62），相关要素的坐标数据如附件1所示。图1中主干道路（图中红线）是双车道，可以双车通行；其他道路（图中蓝线）均是单车道，只能在各道路节点处会车。A、B、C三类发射装置在主干道路上的平均行驶速度分别是70公里/小时、60公里/小时、50公里/小时，在其他道路上的平均行驶速度分别是45公里/小时、35公里/小时、30公里/小时。 部队接受发射任务后，需要为每台车载发射装置规划每个波次的发射点位及机动路线，要求整体暴露时间（所有发射装置的暴露时间之和）最短。本问题中的“暴露时间”是指各车载发射装置从待机地域出发时刻至第二波次发射时刻为止的时间，其中发射装置位于转载地域内的时间不计入暴露时间内。暂不考虑发射装置在发射点位必要的技术准备时间和发射后发射装置的撤收时间。
2018年中国研究生数学建模竞赛B 题 光传送网建模与价值评估 1. 背景 2009年诺贝尔物理学奖授予了英籍华人高锟（Charles K. Kao ）博士，以表彰他对光纤通信发展所做出的贡献，诺贝尔奖委员会在给公众的公开信中写到： “当诺贝尔物理学奖宣布的时候，世界大部分地方几乎瞬间收到了这条信息…文字、语音和视频信号沿着光纤在世界各地来回传输，几乎瞬时地被微小而便捷的设备接收，人们已经把这种情况当做习惯。光纤通信正是整个通信领域急速发展的前提。” 从诞生至今，50多年里基于数字光纤通信技术的光传送网构建起了全球通信的骨架。从城市内的传输，直到跨越大洋的传输，光传送网为人类提供了大容量、高可靠性和低能耗的信息传输管道，人类对通信容量的追求也成为光传送技术发展的源源不断的动力。 光传送网的规划与建设是运营商、设备商以及政府必须考虑的课题。光传送的基本规律是——在相同技术条件下传输的容量会随着传输距离增加而减小。网络规划者需要在有限资源的条件下，综合考虑传输距离，传输容量、网络拓扑等各种因素，以最大化网络的价值。本课题中，请你们站在上述角度，从底层物理出发为光传送链路建模，制定光传送网规划，探索光传送网有关规律。 本课题的内容包括： 1) 对光传送链路进行简单建模 2) 制定光传送网的规划，并探讨网络的价值 3）改进调制格式 2. 问题-1：光传送链路建模 现代数字传输系统可认为是对0101二进制序列进行编码传输的系统，1个二进制的0或1称为1个比特（bit ）。无论是语音、视频还是任何类型的消息，都可以数字化为一串串”0101…”的二进制比特序列，经编码并调制为某个“载体信号”后，再经过特定的“信道”（信息的通道）传输到目的地。图1中给出了简化的模型。在光纤通信中，光纤就是信道，光纤传输的光波就是信息的载体。信道中无法避免的噪声可能导致最终接收的二进制序列中比特出错，即产生误码。 接收机解调制噪声信号接收 信号 发送序列 0101010...接收序列0101110...发射机 编码调制 图1 简化后的数字传输模型 二进制序列通常需要将K 个比特作为一个“符号”进行传输，每个符号有个不同状
为什么要参加大学生数学建模竞赛 大学生数学建模竞赛是培养学生创新能力和竞争能力的极好的、具体的载体。 1.对于学校的领导(校长、教务处长等)来说，全心全意把学校搞好(高质量的教学、高百分比的就业率、高水平的教师队伍以及提高知名度等)肯定是他们追求的办学目标而且会采取各种措施。但是就选派学生参加大学生数学建模竞赛来说，不少领导(甚至数学教师)会非常犹豫：我们数学课时少，教学任务重，即使参加了，拿不到奖的话，不但不能提高学校的知名度，甚至会招致一些负面的议论等等。实际上，领导们有三个问题考虑不够，它们是： ⑴对数学的极端重要性要有充分的认识。学生将来的发展和成就是和他们坚实的数学基础密切相关的。但是现在的数学教学确实有许多不足之处有待改革，特别是怎么做到不仅教知识，而且要教知识是怎样用来解决实际问题的能力是有待加强的。让部分师生参加到数学建模活动，特别是大学生数学建模竞赛肯定是有利于推动教学改革的。 ⑵ 办好学校的关键之一是提高教师的教学水平。怎样提高呢？鼓励教师组织学生参加大学生数学建模竞赛等数学建模活动，既可以帮助教师进一步了解怎样用数学来解决实际问题，更有助于数学教师到其他专业系科了解他们要用什么样的数学以及怎样用这些数学，互相学习，进行切磋，从而对怎样提高自己的教学水平，数学教学怎样更好为其他专业后继课，甚至对专业课题研究服务产生具体的想法，提出切实可行的措施，最终能够提高教师的专业水平和教学水平，从而也就提高了学校的水平。 ⑶ 学生要求参加大学生数学建模竞赛的积极性是很高的，关键是怎样组织好，培训好。实际上，即使是高职高专院校，也一定有一部分学生的数学基础是相当坚实的，他们之间又有一部分对数学，特别是用数学来解决实际问题有强烈的兴趣。为什么不组织他们参赛呢？培养一些数学基础好对应用又有能力的高职高专院校的学生，今后他们在工作中做出好成绩的可能性肯定会比较大。毕业生事业有成者多也标志了学校办得好、有水平。此外，对于怎样贯彻因材施教也会产生一些很好的想法。 2.对于数学教师来说，组织、指导学生参加大学生数学建模竞赛对自己也会有极大的好处。
中国研究生数学建模竞赛历届竞赛题目 第一届2004年题目 A题发现黄球并定位 B题实用下料问题 C题售后服务数据的运用 D题研究生录取问题 第二届2005年题目 A题HighwayTravelingtimeEstimateandOptimalRouting B题空中加油 C题城市交通管理中的出租车规划 D题仓库容量有限条件下的随机存贮管理 第三届2006年题目 A题AdHoc网络中的区域划分和资源分配问题 B题确定高精度参数问题 C题维修线性流量阀时的内筒设计问题 D题学生面试问题 第四届2007年题目 A题建立食品卫生安全保障体系数学模型及改进模型的若干理论问题 B题械臂运动路径设计问题 C题探讨提高高速公路路面质量的改进方案 D题邮政运输网络中的邮路规划和邮车调运 第五届2008年题目 A题汶川地震中唐家山堪塞湖泄洪问题 B题城市道路交通信号实时控制问题 C题货运列车的编组调度问题 D题中央空调系统节能设计问题 第六届2009年题目 A题我国就业人数或城镇登记失业率的数学建模 B题枪弹头痕迹自动比对方法的研究 C题多传感器数据融合与航迹预测 D题110警车配置及巡逻方案 第七届2010年题目 A题确定肿瘤的重要基因信息 B题与封堵渍口有关的重物落水后运动过程的数学建模 C题神经元的形态分类和识别 D题特殊工件磨削加工的数学建模 第八届2011年题目 A题基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真 B题吸波材料与微波暗室问题的数学建模 C题小麦发育后期茎轩抗倒性的数学模型 D题房地产行业的数学建模
第九届2012年题目 A题基因识别问题及其算法实现 B题基于卫星无源探测的空间飞行器主动段轨道估计与误差分析C题有杆抽油系统的数学建模及诊断 D题基于卫星云图的风矢场（云导风）度量模型与算法探讨 第十届2013年题目 A题变循环发动机部件法建模及优化 B题功率放大器非线性特性及预失真建模 C题微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析 D题空气中PM2.5问题的研究attachment E题中等收入定位与人口度量模型研究 F题可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究 第十一届2014年题目 A题小鼠视觉感受区电位信号(LFP)与视觉刺激之间的关系研究B题机动目标的跟踪与反跟踪 C题无线通信中的快时变信道建模 D题人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究 E题乘用车物流运输计划问题 第十二届2015年题目 A题水面舰艇编队防空和信息化战争评估模型 B题数据的多流形结构分析 C题移动通信中的无线信道“指纹”特征建模 D题面向节能的单/多列车优化决策问题 E题数控加工刀具运动的优化控制 F题旅游路线规划问题 第十三届2016年题目 A题多无人机协同任务规划 B题具有遗传性疾病和性状的遗传位点分析 C题基于无线通信基站的室内三维定位问题 D题军事行动避空侦察的时机和路线选择 E题粮食最低收购价政策问题研究 数据来源：
2014年全国研究生数学建模竞赛E题 乘用车物流运输计划问题 整车物流指的是按照客户订单对整车快速配送的全过程。随着我国汽车工业的高速发展，整车物流量，特别是乘用车的整车物流量迅速增长。图1、2、3就是乘用车整车物流实施过程中的画面。 乘用车生产厂家根据全国客户的购车订单，向物流公司下达运输乘用车到全国各地的任务，物流公司则根据下达的任务制定运输计划并配送这批乘用车。为此，物流公司首先要从他们当时可以调用的“轿运车”中选择出若干辆轿运车，进而给出其中每一辆轿运车上乘用车的装载方案和目的地，以保证运输任务的完成。“轿运车”是通过公路来运输乘用车整车的专用运输车，根据型号的不同有单层和双层两种类型，由于单层轿运车实际中很少使用,本题仅考虑双层轿运车。双层轿运车又分为三种子型：上下层各装载1列乘用车，故记为1-1型（图1）；下、上层分别装载1、2列，记为1-2型（图2）；上、下层各装载2列，记为2-2型（图3），每辆轿运车可以装载乘用车的最大数量在6到27辆之间。 在确保完成运输任务的前提下，物流公司追求降低运输成本。但由于轿运车、乘用车有多种规格等原因，当前很多物流公司在制定运输计划时主要依赖调度人员的经验，在面对复杂的运输任务时，往往效率低下，而且运输成本不尽理想。请你们为物流公司建立数学模型，给出通用算法和程序（评审时要查）。 1
装载具体要求如下：每种轿运车上、下层装载区域均可等价看成长方形，各列乘用车均纵向摆放，相邻乘用车之间纵向及横向的安全车距均至少为0.1米，下层力争装满，上层两列力求对称，以保证轿运车行驶平稳。受层高限制，高度超过1.7米的乘用车只能装在1-1、1-2型下层。轿运车、乘用车规格（第五问见附件）如下： 乘用车型号长度(米) 宽度(米) 高度(米) Ⅰ 4.61 1.7 1.51 Ⅱ 3.615 1.605 1.394 Ⅲ 4.63 1.785 1.77 轿运车类型上下层长度(米) 上层宽度(米) 下层宽度(米) 1-1 19 2.7 2.7 1-2 24.3 3.5 2.7 表2 轿运车规格 整车物流的运输成本计算较为繁杂,这里简化为：影响成本高低的首先是轿 运车使用数量；其次，在轿运车使用数量相同情况下，1-1型轿运车的使用成本 2
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
2017年中国研究生数学建模竞赛F题 构建地下物流系统网络 背景 交通拥堵是世界大城市都遇到的“困局”之一。2015年荷兰导航经营商TomTom 发布了全球最拥堵城市排名，中国大陆有十个城市位列前三十名。据中国交通部2014年发布的数据，我国交通拥堵带来的经济损失占城市人口可支配收入的20%，相当于每年国内生产总值(GDP)损失5~8%。15座大城市的居民每天上班比欧洲发达国家多消耗28.8亿分钟。大量研究表明：“时走时停”的交通导致原油消耗占世界总消耗量的20%。高峰期，北京市主干线上300万辆机动车拥堵1小时所需燃油为240万~330万升。2015年城市交通规划年会发布数据显示：在石油消费方面，我国交通石油消费比重占到了消费总量的54%，交通能耗已占全社会总能耗10%以上，并逐年上升。高能耗也意味着高污染和高排放。 导致城市交通拥堵的主要原因是交通需求激增所带来的地面道路上车辆、车次数量巨增，其中部分是货物物流的需求增长。尽管货车占城市机动车总量的比例不大，但由于货运车辆一般体积较大、载重时行驶较慢，车流中如果混入重型车，会明显降低道路的通行能力，因此，其占用城市道路资源的比例较大。如北京，按常规的车辆换算系数（不同车辆在行驶时占用道路净空间的程度），货运车辆所占用的道路资源达40%。因此，世界各国都在为解决城市交通和环境问题进行积极探索，而处理好货运交通已成为共识。大量实践证明，仅通过增加地面交通设施来满足不断增长的交通需求，既不科学也不现实，地面道路不可能无限制地增加。因此“统筹规划地上地下空间开发”势在必行，“地下物流系统”正受到越来越多发达国家的重视。 概念 地下物流系统（Underground Logistics System——ULS）是指城市内部及城市间通过类似地铁的地下管道或隧道运输货物的运输和供应系统。它不占用地面道路，减轻了地面道路的交通压力，从而缓解城市交通拥堵；它采用清洁动力，有效减轻城市污染；它不受外界条件干扰，运输更加可靠、高效。地面货车的减少同时带来巨大的外部效益，如路面损坏的修复费用，环境治理的费用，可以用于补偿地下物流系统建设的高投资。
华为杯研究生数学建模获奖结果分析 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
全国研究生数学建模竞赛获奖结果分析报告 全国研究生数学建模竞赛由教育部学位与研究生教育发展中心主办，是学位中心主办的"全国研究生创新实践系列活动"主题赛事之一。全国研究生数学建模竞赛是面向全国在读研究生的科技竞赛活动，目的在于激发研究生群体的创新活力和学习兴趣，提高研究生建立数学模型和运用计算机解决实际问题的综合能力，拓宽知识面，培养创新精神和团队合作意识，促进研究生中优秀人才的脱颖而出、迅速成长，推动研究生教育改革，增进各高校之间以及高校、研究所与企业之间的交流与合作。 本文依据“华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛的获奖名单，分别对获奖与选题、地区以及学校之间的关系进行研究分析。 1.获奖与选题 在2016年“华为杯”研究生数学建模竞赛中，共有8894个队伍获奖，其中有150个队伍获得了一等奖。而对获奖名单进一步分析，统计并计算得到，选择每道题目的获奖（包括一、二、三等奖以及成功参与奖）的队伍数目及其所占比例和选择每道题目的获得一等奖的队伍数目及其所占比例，如下表所示： 题目类型 A B C D E 获奖队伍数1457 2712 1596 517 2612 所占比例0.1638 0.3049 0.1794 0.0581 0.2937 获一等奖队伍数26 40 27 17 40 所占比例0.1733 0.2667 0.1800 0.1133 0.2667 从表中不难发现，在所有获奖队伍中各个题目所占的比例与所有获一等奖队伍中各个题目所占比例接近，于是本文发现一个问题：能不能获奖是否与选哪道题相关？还有，所获奖的等级是否与选题有关？也就是说是否选择每道题获得一、二、三等奖概率不同？ 于是本文将题号“ABCDE”换为“12345”，“成功参赛奖”换为“4”，将“题目类型”与“获奖等级”两列数据代入SPSS软件进行相关性分析，如下图所示： 结果如以下三图所示： 由分析结果可以看出，“题目序号”与“获奖等级”的Pearson相关系数为-0.008，显着性（双侧）sig=0.440>0.01；“题目序号”与“获奖等级”的Spearman相关系数为-0.010，显着性（双侧）sig=0.364>0.01；这两个检验结果均说明了“题目序号”与“获奖等级”的相关性很小，且相关关系不显着。
报名缴费流程 中国研究生数学建模 报名缴费指南(参赛队) 文档编号：YHSC-NPMCM 文档版本：01 发布日期：2017-05-23 南京苏迪科技有限公司
报名缴费流程 前言概述 本文档详细的描述了中国研究生数学建模竞赛中参赛队的报名缴费操作。 读者对象 本文档主要适用于中国研究生数学建模竞赛的参赛队。 符号约定 在本文中可能出现下列标志，它所代表的含义如下。 修改记录
文档版本01 (2017-05-23) 苏迪专有和保密信息版权所有? 南京苏迪科技有限公司 II 目录 1 报名缴费流程 (1) 2 注册报名 (2) 3 缴费 (8) 4 其他操作 (14)
1 报名缴费流程 中国研究生数学建模竞赛，参赛队的报名缴费流程如图1-1所示。 图1-1 参赛队操作流程 其中： 若参赛队由培养单位缴费，则无需进行缴费相关操作。
2 注册报名 本章介绍参赛队如何在“中国研究生数学建模竞赛”网站中进行注册报名。 前提条件 您是本届“中国研究生数学建模竞赛”的参赛队员。 操作步骤 步骤1在浏览器地址栏中输入“中国研究生数学建模竞赛网站”网址。 网站地址：https://www.doczj.com/doc/d2624891.html,/ 建议使用浏览器类型：IE8以上版本、Google Chrome浏览器 步骤2在登录区域中，选择“参赛队登录”页签，如图2-1所示。 注：往届参赛队请单击下方的“”前往相应的登录入口。 图2-1 参赛队注册登录页面
步骤3参赛队注册。（本届参赛队必须使用新注册账号进行报名） 1.单击“注册”，系统跳转至注册页面，如图2-2所示。 图2-2 注册页面 2.填写注册信息，单击“立即注册”。 ●“用户名”仅由数字、字母、下划线组成，请保持唯一。 ●“手机号”、“邮箱”可用于参赛队密码找回，请务必填写正确的手机、邮箱信息。 ●“用户名”、“手机号”、“邮箱”均可用于平台登录。参赛队登录时，任意填写 一个即可。 3.在“注册成功”提示框中，单击“确定”完成注册。 注册成功后，即可使用已注册的“用户名”、“手机号”、或“邮箱”登录数模网站。
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））