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非线性偏微分方程边值问题的优化算法研究与应用_侯祥林

非线性偏微分方程边值问题的优化算法研究与应用_侯祥林
非线性偏微分方程边值问题的优化算法研究与应用_侯祥林

五种最优化方法

五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1)无约束和有约束条件; 2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定); 3)线性优化与非线性优化(目标函数和约束条件是否线性); 4)静态规划和动态规划(解是否随时间变化)。 1.2最优化问题的一般形式(有约束条件): 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小,或求它的极大),si(X)称为不等式约束,hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X,使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤

3.最速下降法(梯度法) 3.1最速下降法简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向; 3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)不需要求目标函数的导数,所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3)模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向,而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,多目标最优化的数学描述如下:min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,进

用外点法求解非线性约束最优化问题

题目:用外点法求解非线性约束最优化问题 学院信息管理学院 学生姓名余楠学号 81320442 专业数量经济学届别 2013 指导教师易伟明职称教授 二O一三年十二月

用外点法求解非线性约束最优化问题 摘要 约束最优化问题是一类重要的数学规划问题。本文主要研究了用外点罚函数法对约束非线性规划问题进行求解。对于一个约束非线性规划用罚函数求解的基本思路是通过目标函数加上惩罚项,将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。本文最后利用c语言编程得到满足允许误差内的最优解。 本文主要对一个约束非线性规划问题的实例,首先利用上述迭代的方法,计算出各迭代点的无约束极值问题的最优解。然后应用c语言编程,得到精确地最优解,需迭代四次次才使得ε≤0.001,得到的最优解为* X=(333 .0)T。 .0, 666 关键词:外点罚函数法非线性规划约束最优化迭代最优解

一、背景描述 线性规划的目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数,但如果目标函数或约束条件中含有决策变量的非线性函数,就称为非线性规划。非线性规划与线性规划一样,也是运筹学的一个极为重要的分支,它在经济、管理、计划、统计以及军事、系统控制等方面得到越来越广泛的应用。 非线性规划模型的建立与线性规划模型的建立类似,但是非线性规划问题的求解却是至今为止的一个研究难题。虽然开发了很多求解非线性规划的算法,但是目前还没有适用于求解所有非线性规划问题的一般算法,每个方法都有自己特定的适用范围。 罚函数法是应用最广泛的一种求解非线性规划问题的数值解法,它的基本思路是通过目标函数加上惩罚项,将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。这种惩罚体现在求解过程中,对于企图违反约束的那些迭代点,给予很大的目标函数值,迫使这一系列无约束问题的极小值点无限的向可行集(域)逼近,或者一直保持在可行集(域)内移动,直到收敛于原来约束问题的极小值点。 外点法的经济学解释如下:若把目标函数看成“价格”,约束条件看成某种“规定”,采购人员在规定的范围内采购时价格最便宜,但若违反了规定,就要按规定加收罚款。采购人员付出的总代价应是价格和罚款的综合。采购人员的目标是使总代价最小,当罚款规定的很苛刻时,违反规定支付的罚款很高。这就迫使采购人员在规定的范围内采购。数学上表现为罚因子足够大时,无约束极值问题的最优解应满足约束条件,而成为约束问题的最优解。 二、基础知识 2.1 约束非线性优化问题的最优条件 该问题是一个约束非线性优化问题,利用外点罚函数法求解该问题,约束非线性优化问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据,为此有以下几个定理。

1最优化方法教案(线性规划)

最优化方法 一、引言 最优化理论与方法是一门应用性很强的年轻学科。它研究某些数学上定义的问题的最优解,即对于给出的实际问题,从众多的方案中选出最优方案。 虽然最优化可以追朔到十分古老的极值问题,然而,他成为一门独立的学科诗在上世纪40年代末,是在1947年Dantzing 提出求解一般线性规划问题的单纯型法之后。现在,解线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等各种最优化问题的理论的研究发展迅速,新方法不断出现,实际应用日益广泛。在电子计算机的推动下,最优化理论与方法在经济计划、工程设计、生产管理、交通运输等方面得到了广泛应用,成为一门十分活跃的学科。 现在大多数有代表性的最优化算法已有可以方便使用的软件包,如lindo\lingo 优化软件包。但有效利用这些成果是以有待解决的问题已被模型化成最优化问题的形式为前提的。要做到这点,要有深刻的洞察力和综合能力,这需要掌握最优化算法的结构和特点,并与专业知识的结合和兼蓄。 最优化有着丰富的内容和方法,本课我们主要介绍线性规和非线性规划的主要方法与理论他们是最优化理论的重要分支,也是最基本的部分。 第一部分:线性规划 第一章:单纯型法 第一节问题的引出: 例 1:某制造公司需要生产n 种产品,生产这n 种产品需要m 种不同的原材料,第i (i=1,2,.....m.。)种原材料的拥有量为b i 。实际情况很复杂,我们将其简化或理想化,只关注某个时间点的特定情况,第i 种原材料在某时间点的市场价格为ρi ,生产单位数量的第j 种产品需消耗第i 种原材料a ij 个单位。第j 种产品在同一时间点上的市场价格为σj 。 考虑问题一:如何安排1,2,…….n 种产品的生产,从而使收益最大 设第j 种的产量为j x 单位,第j 种产品的收益与市场销售价i σ有关,也与生产第j 种产 品所消耗的原材料费用1 m i j i i a ρ=∑有关,因此第j 种单位产品的纯收入为1 m j j ij i i c a σρ==-∑, 全部纯收入 j j c x ∑,此时0j x ≥。 而我们不可能超出原材料的拥有量生产产品。生产n 种产品时,所消耗的第i (i=1,2,.....m.。)种原材料的总量为 11221 n i i in n ij j j a x a x a x a x =++ +=∑

约束优化算法拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法 约束优化问题的标准形式为: min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,n i j f x x R s t g x i m h x j l ∈≤=== ,,:n i j f g h R R →其中 约束优化算法的基本思想是:通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题,再利用优化迭代过程不断地更新效用函数,以使得算法收敛。 1. 罚函数法 罚函数法(内点法)的主思想是:在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”,当迭代点靠近边界时,目标函数陡然增大,以示惩罚,阻止迭代点穿越边界,这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。 它只适用于不等式约束: min (),..0,1,2,...,n i f x x R s t g i m ∈≤= 它的可行域为: {|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤= 对上述约束问题,其其可行域的内点可行集0D ≠?的情况下,引入效用函数: min (,)()()B x r f x rB x =+%、 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑% 算法的具体步骤如下: 给定控制误差0ε>,惩罚因子的缩小系数01c <<。 步骤1:令1k =,选定初始点(0)0x D ∈,给定10r >(一般取10)。 步骤2:以()k x 为初始点,求解无约束 min (,)()()k B x r f x r B x =+% 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑%,得最优解()()k k x x r = 步骤3:若()()k k r B x ε<%,则()k x 为其近似最优解,停;否则,令,1k k r cr k k ==+, 转步骤2.

线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用

线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用 最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况. 1. 线性最优化 线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差. 1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法. 线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是https://www.doczj.com/doc/d42886429.html,/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序. 这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。关于内点法的软件也在研制之中.BPMP D是Cs.Mzos基于原始对偶内点法研制的解线性和整数规划的软件,其FTP地址是ftp://ftp.sztaki.hu/pub /oplab/SOFTWARE/BPMPD/ ,可以自由下载.此外,在互联网上能访问到的解线性和整数规划问题的软件还有:EQPS(线性,整数和非线性规划),FMP(线性和混合整数规划),HS/LPLO(线性规划),KORBX(线性规划),LAMPS(线性和整数规划),LPBLP(线性规划),MILP(混合整数规划),MINTO(混合整数规划),MPSIII(线性和混合整数规划),OML(线性和混合整数规划),OSL(线性,二次和混合整数规划),PROCLP(线性和整数规划),WB(线性和混合整数规划),WHIZARD(线性和混合整数规划),XPRESSMP(线性和混合整数规划)等.

最优化计算方法课后习题答案----高等教育出版社。施光燕

习题二包括题目:P36页5(1)(4) 5(4)

习题三 包括题目:P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14;15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下

5,6题 14题解如下 14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T -处的牛顿方向。 解:已知 (1) (4,6)T x =-,由题意得 121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----?? ?= ?+++-----?? ∴ (1)1344()56g f x -?? =?= ??? 21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------? ??= ? +--------+--?? ∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --?? =?= ?-?? (1)1 1/8007/400()7/4001/200G x --?? = ?--?? ∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -?? =-= ?-?? 15(1)解如下 15. 用DFP 方法求下列问题的极小点 (1)22 121212min 353x x x x x x ++++ 解:取 (0) (1,1)T x =,0H I =时,DFP 法的第一步与最速下降法相同 2112352()156x x f x x x ++???= ?++??, (0)(1,1)T x =,(0) 10()12f x ???= ??? (1)0.07800.2936x -??= ?-??, (1) 1.3760() 1.1516f x ???= ?-?? 以下作第二次迭代 (1)(0) 1 1.07801.2936x x δ-??=-= ?-??, (1)(0) 18.6240()()13.1516f x f x γ-??=?-?= ?-?? 0110 111011101 T T T T H H H H H γγδδδγγγ=+-

最优化课程的一本好教材 ——《非线性最优化理论与方法》书评

Advances in Education教育进展, 2019, 9(4), 450-453 Published Online July 2019 in Hans. https://www.doczj.com/doc/d42886429.html,/journal/ae https://https://www.doczj.com/doc/d42886429.html,/10.12677/ae.2019.94076 A Good Textbook for Optimization —Review of Theory and Algorithms on Nonlinear Programming Naiyang Deng School of Science, China Agricultural University, Beijing Received: Jun. 30th, 2019; accepted: Jul. 12th, 2019; published: Jul. 22nd, 2019 Abstract This paper provides a review for the textbook written by Professors Yiju Wang and Naihua Xiu, named Theory and Method of Nonlinear Optimization published by Science Publishing House in 2012 by pointing out some highlights and features of the book, and giving some suggestions for improvement. Keywords Book Review, Highlights and Features, Suggestions 最优化课程的一本好教材 ——《非线性最优化理论与方法》书评 邓乃扬 中国农业大学理学院,北京 收稿日期:2019年6月30日;录用日期:2019年7月12日;发布日期:2019年7月22日 摘要 本文对王宜举教授和修乃华教授2012年在科学出版社出版的《非线性最优化理论与方法》进行了评述,指出了该书的一些亮点和特色,同时也给出了进一步提升的建议。 关键词 书评,亮点与特色,建议

最优化方法(线性规划)——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析

lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析 注:以目标函数最大化为例进行讨论,对求最小的问题,有类似的分析方法!所有程序运行环境为lingo10。 一、用lingo 软件求解线性规划 例1: m a x 23..4310 3512,0 z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥ 在模型窗口输入: model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10; 3*x+5*y<12; ! the optimal value is :7.454545 ; End 如图所示: 运行结果如下(点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可): Global optimal solution found. Objective value: 7.454545(最优解函数值) Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2(迭代次数)

Variable (最优解) Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545 例2: 12123124125m a x 54.. 390280450 z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥ 在模型窗口输入: model: max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80; x1+x2+x5=45; end 运行(solve )结果如下: Global optimal solution found. Objective value: 215.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000 例3

非线性优化算法-牛顿法_DFP_BFGS_L-BFGS_共轭梯度算法

统计学梯度下降法(SGDs)易于实现,然而它有两个主要的缺陷。第一个缺陷是它需要手动调谐大量的参数,比如学习速率和收敛准则。第二个缺陷是它本质上是序列方法,不利于并行计算或分布式计算。(然而,在计算资源如RAM受限的情况下,序列方法倒是一个不错的选择。) 这里介绍一些非线性优化算法:牛顿算法,伪牛顿算法和共轭梯度法。其中,伪牛顿算法包括DFP、BFGS和L-BFGS算法。 考虑如下的无约束最小化问题: min x f(x)(1) 其中x=(x1,…,x N)T∈?N. 为简便起见,这里假设f是凸函数,且二阶连续可导。记(1)的解为x?. 牛顿算法(Newton‘s Method) 基本思想:在现有的极小点估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开,进而找到下 其中g(k)=?f(x)| x(k)是梯度矩阵,H(k)=?2f(x)| x(k) 是海森矩阵。 牛顿算法是一种具有二次收敛性的算法。对于非二次函数,若函数的二次性态较强,或迭代点已进入极小点的领域,则其收敛速度也是很快的,这是牛顿算法的主要优点。但牛顿算法由于迭代公式中没有步长因子,而是定步长迭代,所以对于非二次函数,有时会出现f(x(k+1))>f(x(k))的情况,这表明牛顿算法不能保证函数值稳定地下降。由此,人们提出了阻尼牛顿算法,在原始牛顿算法的第4步中,采用一维搜索(line search)算法给d(k)加一个步长因子λ(k),其中: λ(k)=arg minλ∈?f(x(k)+λd(k))(2)一维搜索算法将另作介绍。 拟牛顿算法(Quasi-Newton Methods) 基本思想:不直接计算二阶偏导数,而是构造出近似海森矩阵(或海森矩阵的逆)的正定对称阵,在拟牛顿条件下优化目标函数。 下文中,用B表示对H的近似,用D表示对H?1的近似,并令s(k)=x(k+1)?x(k),y(k)=g(k+1)?g(k).

五种最优化方法

精心整理 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1)无约束和有约束条件; 2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定); 3 4 1.2 2. 2.1 1 2 3 2.2 3. 3.1 1 2 3 3.2 4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)不需要求目标函数的导数,所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3)模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降

方向,而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,多目标最优化的数学描述如下: min(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t.g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系,进而达到优化的一种方法,主要有人工神经网络法,遗传算法和模拟退火法等。 6.1遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象(一般就是问题的解)的一种称呼。 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体,它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 6.2遗传算法基本流程 遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作,最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x),给定种群规模N,交叉率Pc和变异率Pm,代数T;

关于非线性约束最优化方法-乘子法

非线性约束最优化方法 ——乘子法 1.1 研究背景 最优化理论与方法是一门应用性相当广泛的学科,它的最优性主要表现在讨论决策问题的最佳选择性,讨论计算方法的理论性质,构造寻求最佳解的计算方法,以及实际计算能力。伴随着计算数学理论的发展、优化计算方法的进步以及计算机性能的迅速提高,规模越来越大的优化问题得到解决。因为最优化问题广泛见于经济计划、工程设计、生产管理、交通运输、国防等重要领域,它已受到政府部门、科研机构和产业部门的高度重视。然而,随着人们对模型精度和最优性的要求所得到的优化命题往往具有方程数多、变量维数高、非线性性强等特点,使得相关变量的存储、计算及命题的求解都相当困难,从而导致大规模非线性优化很难实现。因此,寻求高效、可靠的大规模非线性优化算法成为近年来研究的热点。 本文讨论的问题属于非线性约束规划的范畴,讨论了其中的非线性等式约束最优化问题方面的一些问题。 1.2非线性约束规划问题的研究方法 非线性约束规划问题的一般形式为 (NPL ) {}{} m in (),, s.t. ()0,1,2,...,, ()0,1,2,...,n i i f x x R c x i E l c x i I l l l m ∈=∈=≤∈=+++ 其中,(),()i f x c x 是连续可微的. 在求解线性约束优化问题时,可以利用约束问题本身的性质,

但是对于非线性约束规划问题,由于约束的非线性使得求解这类问题比较复杂、困难。因此,我们将约束问题转化为一系列无约束优化问题,通过求解一系列无约束优化问题,来得到约束优化问题的最优解。我们用到的几类主要的方法有:罚函数法、乘子法以及变尺度法。 传统上我们所提出的非线性约束最优化方法一般都遵循下列三个基本思路之一 1 借助反复的线性逼近把线性方法扩展到非线性优化问题中来 2 采用罚函数把约束非线性问题变换到一系列无约束问题 3 采用可变容差法以便同时容纳可行的和不可行的X 矢量 其中源于思路2 的乘子罚函数法具有适合于等式及不等式约束不要求初始点为严格内点,甚至不要求其为可行点对自由度的大小无任何要求等特点。 1.3乘子法 罚函数法的主要缺点在于需要惩罚因子趋于无穷大,才能得到约束问题的极小点,这会使罚函数的Hesse矩阵变得病态,给无约束问题的数值求解带来很大问题,为克服这一缺点,Hestenes和Powell 于1964年各自独立地提出乘子法。所谓乘子法是:由问题的Lagrange 函数出发,考虑它的精确惩罚,从而将约束优化问题化为单个函数的无约束优化问题,它同精确罚函数法一样,具有较好的收敛速度和数值稳定性,且避免了寻求精确罚函数法中关于罚参数阈值的困难,它们一直是求解约束优化问题的主要而有效的算法。 考虑如下非线性等式约束优化问题:

五种最优化方法

五种最优化方法 1. 最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1)无约束和有约束条件; 2)确定性和随机性最优问题(变量是否确定); 3)线性优化与非线性优化(目标函数和约束条件是否线性); 4)静态规划和动态规划(解是否随时间变化)。 1.2最优化问题的一般形式(有约束条件): 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小,或求它的极大),si(X)称为不等式约束,hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X,使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)是一种函数逼近法。 2.2 原理和步骤

3. 最速下降法(梯度法) 3.1最速下降法简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)是求解函数极值的一种方法; 3)沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向; 3.2 最速下降法算法原理和步骤

4. 模式搜索法(步长加速法) 4.1 简介 1)解决的是无约束非线性规划问题; 2)不需要求目标函数的导数,所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3)模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向,而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1 简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,多目标最优化的数学描述如下:min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有

约束优化算法拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法 约束优化问题的标准形式为: min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,n i j f x x R s t g x i m h x j l ∈≤=== ,,:n i j f g h R R →其中 约束优化算法的基本思想就是:通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题,再利用优化迭代过程不断地更新效用函数,以使得算法收敛。 1. 罚函数法 罚函数法(内点法)的主思想就是:在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”,当迭代点靠近边界时,目标函数陡然增大,以示惩罚,阻止迭代点穿越边界,这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。 它只适用于不等式约束: min (),..0,1,2,...,n i f x x R s t g i m ∈≤= 它的可行域为: {|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤= 对上述约束问题,其其可行域的内点可行集0D ≠?的情况下,引入效用函数: min (,)()()B x r f x rB x =+%、 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑% 算法的具体步骤如下: 给定控制误差0ε>,惩罚因子的缩小系数01c <<。 步骤1:令1k =,选定初始点(0)0x D ∈,给定10r >(一般取10)。 步骤2:以()k x 为初始点,求解无约束 min (,)()()k B x r f x r B x =+% 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑%,得最优解()()k k x x r = 步骤3:若()()k k r B x ε<%,则()k x 为其近似最优解,停;否则,令,1k k r cr k k ==+,转步骤2、 2. 拉格朗日乘子法

MATLAB非线性优化fmincon

M A T L A B非线性优化 f m i n c o n Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

active-setandsqpalgorithms不接受用户提供的海塞矩阵,对拉格朗日的海塞矩阵提供一个拟牛顿的近似值; 目标函数估值次数与迭代次数? 优化成功或失败 一、求解失败 1、在到达迭代次数阈值或目标函数估值次数阈值时,求解器没有最小化目标到要求的精度,此时求解器停止。接下来,可以尝试以下方法: (1)设置‘Display’为‘iter’,查看每步的迭代信息,这些信息包括:目标函数(Fvalorf(x)orResnorm)是否是下降的;检查约束越界(Maxconstraint)是否是递减趋向于0;查看一阶优化是否是递减趋向于0;查看置信域半径(Trust-regionradius)是否下降趋向于一个小的值。若其中至少一种情况为是,就表示结果是不断改善的。如果结果是不断改善的,可以采取下边的措施:设置MaxIter、MaxFunEvals比默认值大的值,默认值可以在优化工具箱或求解器的函数参考页的优化表中查看;从最后计算出的点开始重新求解。如果结果没有改善,尝试以下其他的方法。 (2)放松精度 如果TolX或TolFun太小,当求解器达到一个最小值时可能也不会识别到,这就会导致无限次徒劳的迭代。DiffMaxChange和DiffMinChange选项能影响求解器的改善,它们控制求导估计中有限差分的步长。 (3)从不同的初始点重新开始求解 (4)检查目标函数和约束函数的定义 举个例子,可以检查目标函数和非线性约束函数在某些特定点处返回正确的值。不可行的点不一定导致函数的错误。

非线性最优化计算方法与算法

毕业论文 题目非线性最优化计算方法与算法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算1201 学生陶红 学号20120921104 指导教师邢顺来 二〇一六年五月二十五日

摘要 非线性规划问题是一般形式的非线性最优化问题。本文针对非线性规划的最优化问题进行方法和算法分析。传统的求解非线性规划的方法有最速下降法、牛顿法、可行方向法、函数逼近法、信赖域法,近来研究发现了更多的求解非线性规划问题的方法如遗传算法、粒子群算法。本文对非线性规划分别从约束规划和无约束规划两个方面进行理论分析。 利用最速下降法和牛顿法两种典型算法求解无约束条件非线性规划问题,通过MATLAB程序求解最优值,探讨其收敛性和稳定性。另外给出了阻尼牛顿法,探讨其算法的收敛性和稳定性,求解无约束非线性规划比牛顿法的精确度更高,收敛速度更快。惩罚函数是经典的求解约束非线性的方法,本文采用以惩罚函数法为核心的遗传算法求解有约束条件非线性规划问题,通过MATLAB程序求解最优值,探讨其收敛性和稳定性。并改进遗传算法,给出适应度函数,通过变换适应度函数,提高算法的收敛性和稳定性。 关键词:非线性规划;最速下降法;牛顿法;遗传算法

ABSTRACT Nonlinear programming problem is the general form of the nonlinear optimization problem. In this paper, we carry on the analysis of the method and algorithm aiming at the optimization problem of nonlinear programming. The traditional methods of solving nonlinear programming problems include steepest descent method, Newton method, the feasible direction method, function approximation method and trust region method. Recent studies found more method of solving nonlinear programming problems, such as genetic algorithm, particle swarm optimization (pso) algorithm. In this paper, the nonlinear programming is analyzed from two aspects: the constraint programming and the unconstrained programming. We solve unconstrained condition nonlinear programming problem by steepest descent method and Newton's method, and get the optimal value through MATLAB. Then the convergence and stability are discussed. Besides, the damped Newton method is furnished. By discussing the convergence and stability of the algorithm, the damped Newton method has higher accuracy and faster convergent speed than Newton's method in solving unconstrained nonlinear programming problems.Punishment function is a classical method for solving constrained nonlinear. This paper solves nonlinear programming problem with constraints by using genetic algorithm method, the core of which is SUMT. Get the optimal value through MATLAB, then the convergence and stability are discussed. Improve genetic algorithm, give the fitness function, and improve the convergence and stability of the algorithm through transforming the fitness function. Key words:Nonlinear Programming; Pteepest Descent Method; Newton Method; GeneticAlgorithm

天津大学-研究生-最优化方法复习题

《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*,对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*,则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*,存在*x 的某邻域)(*x N ε,使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*,则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题,那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数,D x ∈*. 则对D x ∈?,有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数,则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列,假设算法A 为下降算法, 则对{} ,2,1,0∈?k ,恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则(写出三种):_____________________________________。

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精心整理 active-set and sqp algorithms不接受用户提供的海塞矩阵,对拉格朗日的海塞矩阵提供一个拟牛顿的近似值; 目标函数估值次数与迭代次数? 优化成功或失败 1、 (1 数( (2 如果 就会导致无限次徒劳的迭代。DiffMaxChange和DiffMinChange选项能影响求解器的改善,它们控制求导估计中有限差分的步长。 (3)从不同的初始点重新开始求解 (4)检查目标函数和约束函数的定义

举个例子,可以检查目标函数和非线性约束函数在某些特定点处返回正确的值。不可行的点不一定导致函数的错误。 (5)对问题进行中心化和标准化 当每个坐标轴对目标函数和约束函数有相同的影响时,求解器更能可靠的运行,对每个坐标轴方向乘以合适的量使得每个坐标轴的影响相同,在特定的坐标轴 (6 (7 2 在可 (1 通过求解一个线性规划问题来找到一个满足界约束和线性约束的点。 i)定义一个目标函数是常值0的线性规划问题 f=zeros(size(x0));%assumesx0istheinitialpoint ii)求解这个线性规划问题看是否有一个可行点 xnew=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

iii)如果有可行点xnew,用xnew作为初始点去求解原始问题 iv)如果没有可行点,那说明原始模型建的不好,检查界约束和线性约束。(2)检查非线性约束 在保证界约束和线性约束是可行的之后,检查非线性约束: i)设置目标函数为0,然后求解优化问题,如果能找到一个可行点xnew,令 ii) a. 足。 b. 3 (1)原问题可能确实无界,即存在一系列满足问题约束的点xi,使得limf(xi)=–∞。 (2)检查原问题建模正确,求解器是最小化目标函数,如果想得到最大化,将目标函数乘以-1. (3)试着标准化或中心化原问题。

多维无约束优化算法

多维无约束优化算法 多维无约束优化问题的一般数学表达式为: 求n 维设计变量 使目标函数 多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法,它是优化技术中最重要最基础的内容之一。因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题,而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题,有时也是通过对约束条件的适当处理,转化为无约束优化问题来求解的。所以,无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。 目前已研究出很多种无约束优化方法,它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 (1)间接法——要使用导数,如梯度法、(阻尼)牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。 (2)直接法——不使用导数信息,如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。用直接法寻找极小点时,不必求函数的导数,只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的(n ≤20)问题,一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外,还要计算目标函数的梯度,有的还要计算其海赛矩阵。 各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向,因此,搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。 下面介绍几种经典的无约束优化方法。 1、梯度法 基本思想:函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题,利用负梯度作为搜索方向,故称最速下降法或梯度法。 搜索方向s 取该点的负梯度方向 (最速下降方向) ,使函数值在该点附近的范围内下降最快 。 为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值,其步长因子应取一维搜索的最佳步长。即有 12[]T n x x x = x ()min f →x ()k f -?x k αmin ()n f R ∈x x 1(0,1,2,)k k k k s k α+=+= x x 1(0,1,2,) k k k k s k α+=+= x x 1()(0,1,2,) k k k k a f k +=-?= x x x 1()[()]min [()]min ()k k k k k k k a a f f a f f a f ?α+=-?=-?=x x x x x

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