双线性函数和二次型
双线性函数中有两个特例，即对称双线性函数和反对称双线性函数，而二次型又 是对称双线性函数的特例.二次型在数学和物理中的应用极其广泛，如线性二次型的最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法；在动力学中遇到的许多问题都是由两个实二次型描述的等许多应用.因此，研究双线性函数和二次型是非常重要的，具有极高的应用价值.
1 双线性函数
1.1 双线性函数的定义 定义1.1.1
[]()
4061P V 是数域P 上一个线性空间，()βα,f 是上一个二元函数，即对V
中任意两个向量α,β ,根据f 都唯一地对应于P 中一个数()βα,f .如果()βα,f 有下列性质：
（1）()()()22112211,,,βαβαββαf k f k k k f +=+ （2）()()()βαβαβαα,,,22112211f k f k k k f +=+
其中α,1α，2α，β，1β，2β是V 中任意向量，1k ，2k 是P 中任意数，则称()βα,f 为V 上一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数()βα,f ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.如欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.
1.2 度量矩阵
取V 上的一组基n εεε,,,21Λ,设'X =(n x x x ,,,21Λ),Y '=(n y y y ,,21Λ),再设
α= (n εεε,,,21Λ)????
??? ??n x x x M 21 = (n εεε,,,21Λ) X ,
β= (n εεε,,,21Λ)????
??
? ??n y y y M 21 = (n εεε,,,21Λ) Y,
则 ()βα,f =f (
∑=n i i
i x 1ε,∑=n
j j
j
y 1
ε
)
=
()j i
n i n
j j
i
y
x f ∑∑==11
,εε (1)
令
ij a =()
j i f εε,, i,j=1,2, …,n,
A=111n n1
nn a a a a ??
? ? ???
K M O M L , 则（1）就成为
()Y X ,f ＝
∑∑==n i n
j j i ij
y x a
11
（2）
也可以表示为
()Y X ,f =AY X ' （3）
则（2）或（3）式实际上就是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数()βα,f 的一般
形式.即()Y X ,f 是n
P 上的一个双线性函数.
定义1.2.1
[]()
4081P 设()βα,f 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.
n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵
A=?
?????? ?
?),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 叫做()βα,f 在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.
经过上面的讨论，取定V 的一组基后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。而且，不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的.
反之，任给数域P 上一个n 级矩阵
A=111n n1nn a a a a ??
? ? ???
K M O M L , 对V 中任意向量α=()X n εεε,,,21Λ及β=()Y n εεε,,,21Λ，其中()n x x x ,,,21Λ=X ' ，
Y '=(n y y y ,,21Λ),用
()βα,f = AY X '=∑∑==n
i n
j j i ij y x a 11
定义的函数是V 上一个双线性函数.易计算出()βα,f 在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵就是A.因此，在给定的基下，V 上全体n 级矩阵与双线性函数之间是一个双射.
1.3 矩阵合同的概念和性质
定义1.3.1[]()2091P 数域P 上n ×n 矩阵A ,B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n ×n 矩阵C ，使
C C A '=B
合同是矩阵之间的一个关系，这种合同关系具有
1）反身性：AE E '=A ；
2）对称性：由C C A '=B ,即得()1
1
--B '=A C
C
；
3）传递性：由111C C A '=A 和2122C C A '=A ,即得()()21212C C C C A '
=A . 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？设n εεε,,,21Λ及12,,,n ηηηL 线性空间V 的两组基：
()n ηηη,,,21Λ=（n εεε,,,21Λ）C
α,β是V 中两个向量
α=()X n εεε,,,21Λ=()121,,,X n ηηηΛ β=()Y n εεε,,,21Λ=()121,,,Y n ηηηΛ
那么
1X =X C ，1Y =Y C
如果双线性函数()βα,f 在n εεε,,,21Λ及n ηηη,,,21Λ下的度量矩阵分别为A ,B .则有
()βα,f =AY X '=()()()1111Y A ''X =Y A 'X C C C C
又
()βα,f = 11BY 'X
因此，
C C A '=B
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义1.3.2[]()2061P 设()βα,f 是线性空间V 上一个双线性函数，如果()0,=βαf ，对任意β∈V ，可推出α=0，f 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是非退化的. 设双线形函数()βα,f 在基n εεε,,,21Λ下的度量矩阵为A ，则对
α=()X n εεε,,,21Λ，β=()Y n εεε,,,21Λ
有
()βα,f =AY X '
如果向量α满足()βα,f =0，对任意β∈V ，那么对任意Y 都有
0=AY X '
因此
0=A X '
而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线形函数()βα,f 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.
1.4 对称双线性函数与反对称双线性函数的定义 定义1.4.1[]()
4101P ()βα,f 是线性空间上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向
量α,β都有
()βα,f =()αβ,f
则称()βα,f 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量α,β都有
()βα,f =()αβ,f -
则称()βα,f 为反对称双线性函数，这就是说双线性函数是对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵；双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
2 二次型
2.1 二次型的定义
定义2.1.1[]()4121P 设V 是数域P 上线性空间，()βα,f 是V 上双线性函数，当βα=时，V 上函数()αα,f 称为二次型.
2.2 不同基下的二次型的矩阵
给定V 上一组基n εεε,,,21Λ，设()βα,f 的度量矩阵为A=()
ij
n n
a ?.对V 中任一向量
α=∑=n i i i x 1
ε，1
n
j j j y βε==∑有，
()βα,f = ∑∑==n i n
j j i ij y x a 11
=AY X '
当βα==
∑=n
i i
i x 1
ε
时，则
()αα,f = ∑∑==n i n
i i i ij x x a 11
(1)
即二次型又可以表示为
()αα,f = AX X ' (2) 所以二次型（1）又可以写成
()αα,f =2
2222221121122111222n nn n n n n x a x x a x a x x a x x a x a ++++++++ΛΛΛ
=
∑∑==n i n
i i i ij
x x a
11
(3)
把（3）的系数排成一个n ×n 矩阵.
A=111n n1nn a a a a ??
?
? ???
K
M O
M L (4) 它就称为二次型（1）的矩阵.因此a ij= a ji ，i,j=1, …,n ，
A '=A
因此二次型的矩阵都是对称的.
由上面二次型（1）的矩阵A 的元素，当i ≠j 时a ij= a ji 正是它的j i x x 项的系数的一半， 而ii a 是2
i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型
()αα,f =BX X '=AX X '
且
A '=A ，
B '=B ，则B =A .
定理2.2.1 二次型在不同基下的矩阵是合同的.
证明 由于二次型是双线性函数的特殊情况，根据前面1.3节中的结论：同一个双线性
函数在不同基下的度量矩阵是合同的.根据这个性质，就可以得出二次型在不同基下的矩阵是合同的.命题得证.
2.3 二次型的标准形
二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型，所以我们可以在不同基下把二次型
化简为 2
222211n n x d x d x d +++Λ （1）
引理[]()3791P 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都有一个n 级正交矩阵T ，使
'T AT =1-T AT 成对角形.
证明 出自文献北京大学第三版《高等代数》中第九章第六节的定理7. 下面证明定理：
定理2.3.1 在实数域R 上任意一个二次型在某组基下都可以变成平方和（1）的形式. 证明 取V 上一组基n εεε,,,21Λ，设二次型()αα,f 在这组基下的对称矩阵为A ，那么也存在另一组基12,,,n ηηηL ，使得
()n ηηη,,,21Λ=（n εεε,,,21Λ）T （其中T 为一n 级正交矩阵）
设在基12,,,n ηηηL 下的对角矩阵为B =????
??
?
?
?n d d d Λ
M M M ΛΛ
000
0021
，根据上面的引理，则 B ='T AT
在基12,,,n ηηηL 下二次型()αα,f 又可以表示为
()αα,f ='X BX =(n x x x ,,,21Λ)???????
?
?n d d d Λ
M M M ΛΛ
000
0021??????
?
??n x x x M 21 = 2
222211n n x d x d x d +++Λ
所以任意一个二次型都可以变成平方和（1）的形式.证毕.
由上面的讨论，二次型的矩阵都合同于一对角矩阵，因此用矩阵的语言，上述定理又可以叙述为：
定理2.3.2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C ，使得
C C A '
成对角矩阵.因此我们定义，把二次型（1）式称为二次型的标准形.
2.4 二次型的唯一性的问题
由上面的讨论，可以看到在不同的基下，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.根据合同的矩阵有相同的秩这一定理，可以得出在不同的基下的二次型的矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数.因此在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与不同的基无关.但是标准形中的系数不是唯一确定的.
例 某二次型()αα,f 在基321,,εεε下可表示为()αα,f =323121622x x x x x x -+，设另一组基为321,,ηηη， 使得
()321,,ηηη=（321,,εεε）???????
? ?
?---10
022121
1212
1
则()αα,f 在基321,,ηηη下的标准形为：
()αα,f =2
32221622???+- （其中α=()????
? ??321321,,???ηηη）
再设另一组基为321,,ξξξ， 使得
()321,,ξξξ＝（321,,εεε）??????
? ?
?--30
0411
1212
1 则()αα,f 在基321,,ξξξ下的标准形为：
()αα,f 23222
132212y y y +-= （其中α=()321,,ξξξ?
???
? ??321y y y ）
这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与不同的基有关.
下面讨论复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 先看复数域的情形.
设()αα,f 是一个复系数的二次型，取V 上一组基n εεε,,,21Λ，则在这组基下的对角矩阵为：
A = ?????????
?????
?
?
?+001
1O
O
O r
i i
d d d d ， （1）
(其中i d d ,,1Λ>0,r i d d ,,1Λ+<0)
有另一组基12,,,n ηηηL ， 取过渡矩阵T ， 使得
()n ηηη,,,21Λ=(n εεε,,,21Λ)T
其中
T=??????????
????????
?
?
?--+00111111O
O
O
i
d i
d d d r i i
（2）
设在基12,,,n ηηηL 下的矩阵为B ，则
B ='T AT （3）
把（1）、（2）代入（3），得
B =?????????
?????
?
?
?+001111
1O
O
O 行
行
行
r i i （4）
得到在基12,,,n ηηηL 下的矩阵B 为对角矩阵，那么在这组基下与对角矩阵B 对应二次型为
()αα,f =BX X ' （其中X=????
??
?
??n x x x M 21） （5）
把X=????
??
? ??n x x x M 21和（4）式代入（5）式中，得
()αα,f =22
2
21r x x x +++Λ （6）
其中r 为二次型()αα,f 的秩。
我们把（6）式就称为复二次型()αα,f 的规范形.显然，规范形完全由原二次型矩阵的秩所决定.因此有：
定理2.4.1 任意一个复系数的二次型，在某一组基下都可以变成规范形，且规范形是唯一的.此定理也可以表达为，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为
?????????
?
?
?0011O
O 的对角矩阵.
同理，我们再来看实数域的情形：
设()αα,f 是一实系数的二次型，我们取两组基n εεε,,,21Λ与12,,,n ηηηL 的过渡矩阵为1T ， 则有
()n ηηη,,,21Λ=(n εεε,,,21Λ)1T
其中
1T =??????????
????????
?
?
?--+001111
1
1O
O
O
r
i i
d d d d (7) 设在基12,,,n ηηηL 下的矩阵为C ，
C =11AT 'T （8）
把（1）、（7）代入（8）， 得
C =?????????
?????
?
?
?--+001111
1O
O
O 行
行
行
r i i （9） 则在基12,,,n ηηηL 下的矩阵C 为对角矩阵，那么在这组基下与对角矩阵C 对应二次型为
()αα,f =X X 'C （10）
把X=????
??
?
??n x x x M 21和（9）式代入（10）式中，得
()αα,f =221221r i i x x x x ---+++ΛΛ （11）
我们把（11）就称为实二次型()αα,f 的规范形，显然，规范形完全被二次型()αα,f 的秩r 和i 这两个数所决定.
定理2.4.2 任意一个实数域上的二次型，在某一组基下都可以变成规范形，且规范形是唯一的.
证明 定理的前一半在上面已经证明，下面就来证唯一性.
设二次型()αα,f 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵为A ,在基12,,,n ηηηL 下的矩阵为B ，在基n ξξξ,,,21Λ下的矩阵为C ，则存在可逆矩阵D 和E ,根据本文第一章1.3节中证明的性质：同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.我们可以得到
D D A '=B （12） A
E E '=C （13）
()αα,f = AX X '=BY Y '=Z Z 'C （14） 把（12）式代入（14）式中，得
X =Y D 设实二次型()αα,f 在基12,,,n ηηηL 下化成规范形为：
()αα,f =2
21221r p p y y y y ---+++ΛΛ （15）
再把（13）式代入（14）式中，得
EZ =X 设实二次型()αα,f 在基n ξξξ,,,21Λ下化成规范形为：
()αα,f =2
21221r q q z z z z ---+++ΛΛ (16)
现在来证q p =.
用反证法.设q p >.由以上假设，取α=???
?
?
?
0,,01
,,1,1Λ
4443
44421Λp ，代入
（15）中，则
()αα,f =p (17)
再把α=???
?
?
?
0,,01
,,1,1Λ
4443
44421Λp 代入（16）中，则
()αα,f =p q -2 (18)
根据(17)和(18)式，得
()αα,f = p q -2=p （19）
从而q p =.这就证明了规范形的唯一性. 这个定理通常称为惯性定理.
定义2.4.1
[]()
2241P 在实二次型()αα,f 的规范形中，正平方项的个数p 称为()αα,f 的
正惯性指数；负平方项的个数p r -称为()αα,f 的负惯性指数；它们的差r p -2称为的符号差.
虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形
中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的.所以惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
所以就得出结论：
定理2.4.3 （1）任一复对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩阵：
??????????
? ?
?00111O
O 其中对角线上1的个数r 等于A 的秩.
（2）任一实对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩阵：
??????????????
?
?
?--001
1
11O
O
O 其中对角线上1的个数p 及1-的个数p r -（r 是A 的秩）都是唯一确定的，分别称为A 的正、负惯性指数.它们的差r p -2称为A 的符号差.
2.5 二次型的应用
对于许多的控制系统，为得到满意的控制效果，需要某一种性能指标达到最优值、极小值或极大值，而线性二次型则是实现这种最优控制的一种常用系统设计方法.这种方法中的性能指标是对象状态与控制输入的二次型函数，在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型函数达到最小.
再如制造某种模具，为使该模具型腔布局合理，就需要利用二次型和斜抽芯机构实现塑料件的凹槽与斜卡扣的脱模，是模具结构简单紧凑，制造成本低.
在动力学中遇到的许多问题是由两个实二次型描述的，这两个实二次型就是一个动力系统的动能与势能，因此本文对实二次型的化简问题的研究是非常必要的.
通过本文的论述，我们更加了解了双线性函数和二次型之间的内在关系，加深了两者本身具有的性质的理解，并付诸于实际应用中，能够解决实际生活中的诸多问题，给我们的生活带来便利.随着理论和实践的不断发展，我们对双线性函数和二次型的研究也将不断的深化，从而更好的造福人类.
线性规划 教学目标： 1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念； 2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解； 3．了解线性规划问题的图解法。 教学重点：线性规划问题。 教学难点：线性规划在实际中的应用。 教学过程： 1．复习回顾： 上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略） 2．讲授新课： 例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件： ，求z的最大值和最小值. 解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面 区域，不等式组则表示这些平面区域的公共 区域．（如右图）． 作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B （１，１）的直线l1所对应的t最小．所以 zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3 说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念． 线性规划的有关概念： ①线性约束条件： 在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε3) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2 ，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε3）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ） 1 - ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以 线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法 关键词：二次型线性替换矩阵标准形 导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中 的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一． 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对 其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。 例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。
求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件????? 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0， x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________． 解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题 意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3 过点A 时，z 取得最小值，联立????? 2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10． 答案：－10 求非线性目标函数的最值 2．已知实数x ，y 满足????? x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0， 3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行 域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由????? x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)， 所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25 ． 所以d 2的最小值为45 ，最大值为13． 所以x 2＋y 2的取值范围是??? ?45，13． 答案：??? ?45，13 线性规划中的参数问题 3．已知x ，y 满足????? x ≥2，x ＋y ≤4， 2x －y －m ≤0. 若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小 值为________．
解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作 直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值， 由????? 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得????? x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5． 由图知，平移l 经过B 点时，z 最小， ∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5 [通法在握] 1．求目标函数的最值3步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ． 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截 距z b 取最小值时，z 取最大值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a ． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方 向转轴） '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ，i 线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥??-+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124 z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。 点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。 二 直线的斜率型 例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ?+≤?≥? ,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22 4x y +=的右半圆(含边界)， 31 y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1) z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434 a b a b ?+=?--=?解 得65a b ?=???--?=?? 因 此min z =。综上可知函数的值域 为???? 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，则22448w x y x y =+--+的最值为___________. 解析：目标函数2222 448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示： 第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足 1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =, 式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=. 2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合： s s k k k αααβ+++= 2211 那么 )()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++= 例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数 n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1) 就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数. 实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε. 第i 个 n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成 n n x x x X εεε+++= 2211. 设f 是n P 上一个线性函数，则 ∑∑====i i i i i i f x x f X f 1 1 )()()(εε 令 ,21,)(n i f a i i ，，， ==ε 则 n n x a x a x a X f +++= 2211)( 就是上述形式. 例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设 ?? ?? ? ? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 , 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)( 是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ?上的一个线性函数. 例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为 ][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=, 即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数. 如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α： n n x x x εεεα+++= 2211 都有 ∑∑====n i i i n i i i f x x f f 1 1 )()()(εεα. (2) 因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数 n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ： 双线性函数及其应用 本科生毕业论文(设计) 题目：双线性函数及其应用 专业：数学与应用数学 学号: 学生姓名： 目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 前 言 (2) 1 常用的欧式空间 (1) 2 双线性函数 (2) 2.1 线性函数的简单性质 (2) 2.1.1 线性函数的定义 (2) 2.1.2 线性空间的性质 (3) 2.1.3 对偶基 (3) 2.2 双线性函数的内容及性质 (3) 2.2.1 双线性函数的性质 (3) 2.2.2 双线性函数的内容 (3) 3 双线性函数在不同基下的矩阵 (4) 3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 (4) 3.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵 (5) 4 双线性函数与辛空间及对偶空间 (6) 4.1双线性函数与辛空间 (7) 4.2双线性函数与对偶空间 (10) 5双线性函数的应用领域 (13) 6 结束语 (14) 参考文献 (14) 致谢 (1) 双线性函数及其应用 摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和 化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方 把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,???,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n （4） /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。如果|cJ #。，那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i 课题 线性规划 一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值X 围是 2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为 3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +?? -??? ≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______． 5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则2222x y x y +--的最小值为 例题巩固 线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为 a z c y x b b -=-+，则z c b -可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题 的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下： 1.做出可行域; 2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 8、设,2, , 2,x y x y z y x y -≥= 第10章双线性函数与辛空间 10.1复习笔记 一、线性函数 1．定义 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足 （1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β）， （2）f（kα）＝kf（α）， 式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数． 2．性质 （1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）． （2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）． 3．矩阵的迹 A是数域P上一个n级矩阵．设 则A的迹 Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn 是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数． 4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n． 二、对偶空间 1．L（V，P）的加法和数量乘法 （1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数： f＋g称为f与g的和． （2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数． 2．L（V，P）的性质 （1）对V中任意向量α，有 而对L（V，P）中任意向量f，有 （2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基． 3．对偶空间 （1）定义 L（P，V）称为V的对偶空间．由 决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质 （1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1． （2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素． （3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射． 结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间． 第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ① f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V ② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=- (2) 如果是βs ααα ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++= 2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++= 2211)( 定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，而n a a a ,,,21 是P 中任意 n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1 = 2 线性函数空间 设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，() p k p V f ∈∈?,,τ 则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称() p V ,τ 为V 的对偶空间。 3 对偶基 设n εεε,,,21 为V 的一组基，定义 )(j i f ε=?? ?≠=i j i j 0 1 ，则n f f f ,,,21 是() P V ,τ的一组基。称 n f f f ,,,21 为n εεε,,,21 的对偶基。 定理 () P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是() P V ,τ 的一组基 定理 设 n εεε,,,21 及 1η,2η, n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与 n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 。如果由n εεε,,,21 到1η,2η, n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1')(-A 线性目标函数问题 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 课 题 线性规划 一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是 2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为 3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +??-??? ≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______． 5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥??≥??+≤? ，则2222x y x y +--的最小值为 例题巩固 线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为 a z c y x b b -=-+，则z c b -可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥= 当目标函数形如y a z x b -=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 2.距离问题 当目标函数形如22()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。 3．截距问题 例4 不等式组x+y 00x y x a ≥??-≥??≤? 表示的平面区域面积为81，则2x y +的最小值为_____ 解析 令2z x y =+，则此式变形为2y x z =-+，z 可看作是动 抛物线2y x z =-+在y 轴上的截距，当此抛物线与y x =-相切 时，z 最小，故答案为14 - 4．向量问题 已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ?≤≤?≤??≤?给定。若(,)M x y 为D 上的 动点，点A 的坐标为() 2,1，则z OM OA =?的最大值为 线性表示 例1 设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是 ． 教师导言：（1）如何解的（预期回答：线性规化） （2）能否由两式直接“加工”而得—— 线性表示更好：S 6 x a 5 y a 6 ，简记：③ ①×x ②×y ． （3）（类比）设实数x ，y 满足2 38xy ≤≤，2 49x y ≤≤，则34x y 的最大值是 ． 高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射； （C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。 线性规划问题中目标函数常见类型梳理 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+， 则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0 503x y x y x +≥?? -+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124z y x =- +，所求的目标函数的最小值即一组平行直线1 2 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图1所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。 简单的线性(整数)规划问题 一.知识要点： 1.线性规划的基础概念 (1)线性约束条件 约束条件都是关于x, y的一次整式不等式. (2)目标函数 待求最值(最大值或最小值)的函数. (3)线性目标函数 目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式). (4)线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题. (5)可行解 满足全部约束条件的解(x, y). (6)可行域 全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域. (7)最优解 使目标函数取到最大值或最小值的可行解. 注意: ①线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也可以用二元一次方程表示. ②最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解. ③目标函数z ax by =+取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上. ④对于整数规划问题(, x y ゥ), 最优解未必在边界或顶点处取 ∈∈ 得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找. ⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解. 二. 解题思路: 解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点. 三．求解步骤 ①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出 规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域). ②结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式. ③确定最优点: 在可行域平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点. 欧氏空间与双线性函数 基本概念 1. 欧几里得空间 设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角 非零向量βα，的夹角 βα，规定为 βα，=arccos β αβα） ，（, 0≤ βα，≤π 5. 向量正交 如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵 ，，21εε.n ε，???是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，， ???=2,1,,称 ()nn ij A α=为基n εεε，，，???21的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T =。 n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果 E A A T =。 10. 欧氏空间同构 实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足 （1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k = （3 ）；，（））（），（（βαβσασ= 这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换 欧氏空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为V 的一个正交变换。 酉空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0 则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0 则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补 子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足 ))(())((βσαβασ，，=线性规划问题中目标函数常见类型梳理
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