等边三角形的性质和判定
【学习内容】
等边三角形的性质：1 .三条边相等。2.等边三角形的内角都相等，且等于60 °3.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一。4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
等边三角形的判定：1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）。2.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【知识整合】
【课堂练习】
1.如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E。使CE=CD,求DE长。
2. 如图，△ABC是等边三角形，DE ∥BC，交AB、AC于D , E。求证：△ADE是等边三角形
3.用不同的分割方法,将一个等边三角形分割成四个等腰三角形(注明角度)
【巩固练习】
1．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长。
2．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：（1）DE=DF；（2）若∠A=60°，BD=1，求△ABC的周长．
3．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．
求证：△ADE是等边三角形．
4．如图所示，点D 为等边△ABC 的AC 边上的一点，∠1=∠2，BD=CE ．
求证：△DAE 是等边三角形．
5．已知：如图，△DAC 、△EBC 均是等边三角形，点A 、C 、B 在同一条直线上，且AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．求证：（1）AE=DB ；（2）△CMN 为等边三角形．
1 2 A B C
D E
等边三角形的判定和性质 (参考用时:30分钟) 1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A ) (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个 2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B ) (A)4 (B)6 (C)4(D)8 第2题图 3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°. 第3题图 4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且 PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .
第4题图 5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度. 第5题图 6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE. 证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°, AB=AC, 所以∠BAE=∠ACD=120°. 因为AE=CD, 所以△ABE≌△CAD. 所以AD=BE. 7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E. 在△MDF与△CEF中, 因为∠MFD=∠CFE, FD=FE,∠MDF=∠E, 所以△MDF≌△CEF, 所以DM=CE. 因为△ABC为等边三角形, 所以∠A=∠B=60°. 因为DM∥BE, 所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°, 所以△ADM为等边三角形, 所以DM=AD, 所以AD=CE. 8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c. 证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直
… 相似三角形的判定练习题 1、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加 条件，可判定△ADB 与△ABC 相似。 2、如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形有 。 3、如图，在?ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形是 。 4、如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于E ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形 有 。 & 5、如图，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ．下列结论： ①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ；④△AMD ≌△BCD ．正确的有 。 6、如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论中正确的是 ①∠EAF=45°；②△ABE ∽△ACD ；③EA 平分∠CEF ；④BE 2 +DC 2 =DE 2 7、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB 上，A′B′交AC 于F ，则图中与△AB'F 相似的三角形有（不再添加其它线段）是 。 8、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF= 4 1 CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的为 。 、 9、在△ABC 中，∠C=90°，D 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条。 10、在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 11、如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求PD 的值。 ？ # 12、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，求证：①△ BEA ∽△ACD ；②△FED ∽△DEB ；③△CFD ∽△ABG # 13、如图，△ABC 与△AFG 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC 分别与AF ，AG 相交于点D ，E ．找出图中所有不全等的相似三角形并证明。 ！ % 14、如图，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分 别交于点G 、H ． （1）写出图中所有不全等的两个相似三角形（并选择一种情况证明）； （2）除AB=CD ，AD=BC ，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段， 请选出其中一对加以证明． ]
第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练） 一．选择题（共8小题） 1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300° 2．下列说法正确的是（） A．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形 B．等腰三角形一定是锐角三角形D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（） A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25° B． 30°C．45°D． 60° 5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点， 且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（） A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFE C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15° 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm 第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题） 9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_________度． 10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=_________cm． 11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形． 12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________ 13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN= _________．
13．3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点) 2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 观察下面图形： 师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的性质 【类型一】利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE ＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ， 垂足为M ，求证：BM ＝EM . 解析：要证BM ＝EM ，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可． 证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝1 2 ×60°＝30°，∠ ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°， ∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴BM ＝EM . 方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法． 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解析：先根据已知条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC ＝60°. 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，
相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？ 7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？ 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
《等边三角形的判定》课后练习题 班级：__________ 姓名：__________一、填空题1.已知， 如右图，等腰△abc，ab=ac：（1）若ab=bc，则△abc为__________ 三角形；（2）若∠a=60°，则△abc为__________三角形；（3）若 ∠b=60°，则△abc为__________三角形.2.在线段、直角、等腰三 角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3.底与腰不等 的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对 称轴.请你在图（1）中作出等腰△abc，等边△def的对称轴. (1) (2)4.如图（2），已知△abc是等边三角形，ad∥bc，cd⊥ad，垂足 为d、e为ac的中点，ad=de=6 cm则∠acd= （__________）°,ac=__________cm,∠dac=(__________)°，△ade 是__________三角形.5.如左下图，△abc是等边三角形，ad⊥bc， de⊥ab，垂足分别为d，e，如果ab=8 cm，则bd=__________cm，∠bde= （__________）°,be=__________cm. 6.如右上图，rt△abc 中，∠a=30°,ab+bc= cm，则ab=__________cm.二、选择题1.下列 说法不正确的是a.等边三角形只有一条对称轴b.线段ab只有一条对 称轴c.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线d.等腰三角 形的对称轴是底边上的高所在的直线2.下列命题不正确的是a.等腰 三角形的底角不能是钝角b.等腰三角形不能是直角三角形c.若一个 三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形d.两个全等的且有 一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 3.在
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 知识点二、相似三角形的判定
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言： 拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出 AD AE BD CE = 吗？请说明理由。（用两种方法说明） 例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D. 求证：（1）2AB BD BC =?；（2）2AD BD CD =?；（3）CB CD AC ?=2 例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则 BD BE AD AF =例题精讲 A E D B C A B C D
吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF ∽△EAD ； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。 2分之3倍根号3 随练： 一、选择题 1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对 2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）C A D C B E F G F E D C B A
《相似三角形的判定》专题练习 1．下列命题中正确的是（ ） ① 任意两个等腰三角形都相似 ② 任意两个直角三角形都相似 ③ 任意两个等边三角形都相似 ④ 任意两个等腰直角三角形都相似 A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．③④ 2．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，有下列条件：① 1111AB BC A B B C =，② 1111 BC AC B C A C = ，③∠A ＝∠A 1 ，④∠B ＝∠B 1 ，⑤∠C ＝∠C 1 ，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A 1B 1C 1的有（ ） A ．4组 B ．5组 C ．6组 D ．7组 3．在等腰△ABC 和等腰△DEF 中，∠A 与∠D 是顶角，下列判断正确的是（ ） ①∠A ＝∠D 时，两三角形相似； ②∠A ＝∠ E 时，两三角形相似； ③EF DE BC AB =时，两三角形相似； ④∠B ＝∠E 时，两三角形相似。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 5．如图所示，点E 是 ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 6．如图，锐角△ABC 的高CD 和B E 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 （第4题图） （第5题图） （第6题图） 7．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） ① ② ③ ④ A ．①和② B ．①和③ C ．②和③ D ．②和④ 8．如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲、乙、丙、 丁四点中的（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 9．如图：点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ）
成功源于努力！ 相似三角形的判定(提高） 一、选择题 1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为() A. 16：15 B. 15：16 C. 3：5 D. 16：15或15：16 2．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）． A．1条B．2条C．3条D．4条 3. 如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE= AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为() A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：2 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）． A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．
A．4对B．3对C．2对D．1对 6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP相似的是() A. ∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. P是BC的中点 D. BP：BC=2：3 二、填空题 7. 如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________ 8. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有_________对. 9. 如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF 的值是________.
相似三角形判定专项练 习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且 CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗为什么 2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求 证：△AED∽△CBD． 3．如图，已知∠1=∠2，且AB?ED=AD?BC，则△ABC与△ADE相似吗说明理 由． 4．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的 点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE． 5．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于 点F．证明：△ABD∽△DCF 6．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E． 证明：△ADC∽△AEB； 7．如图，在△ABC，AC⊥BC ， D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连 接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．
8．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与 BE相交于点F．试说明△ABD≌△BCE； 9．如图，在△ ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点 E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD． 10．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：△DAE∽△EBA； 11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延 长线于点E．求证：△EAB∽△ECA； 12．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延 长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF． 13．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的 两点．若 P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出 发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形 与△BDC相似
a 相似三角形判定练习题 姓名___________ 学号____________ 1. 如图；点D 在△ABC 内，连BD 并延长到E ，连 AD 、AE ，若∠BAB=20°，，则AE AC DE BC AD AB ==∠EAC=_________2. 如图，在⊿ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC= ∠A，BC= ，AC=3，则CD 的长为（ ） 6（A ）1 （B ）2 （C ） （D ） . 32523.如图，∠ABC=90°，BD⊥AC 于D ，AD=9 ，DC=4 ，则BD 的长为（ ） （A ）36 （B ）16 （C ） 6 （D ） 1694. D 、E 分别为△ABC 的AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，∠ DCB= ∠ A ， 把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。
5.如图，F、C、D共线，BD⊥FD,EF⊥FDBC⊥EC,若DC=2 ，BD=3，FC=9,则EF的长为（） （A）6 （B）16 （C）26 （D）27 2 6.已知：△ABC中， AB=AC，AD是中线，P是AD 上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E,交CF 于E，求证：2 BP PE PF = ?
7.如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.(1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；(2)当ΔPDB∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数. 8.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F (1)说明：△ABC ∽△FCD (2)求证：F 是AD 的中点 9.如图(1)，AD 是△ABC 的高， AE 是△ABC 的外接圆直径， 则有结论：AB· AC=AE· AD 成立，请证明.如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上 述结论是否仍然成立？
《等边三角形》教学设计 教学目标知识 与 技能 1．了解等边三角形与等腰三角形的关系； 2．掌握等边三角形的性质与判定； 3．灵活运用等边三角形的性质与判定解决相关的几何问题。 过程 和 方法 经历“猜想—验证—总结归纳—应用拓展”的探究过程，采用自 主探索与合作交流的方式,亲历“做数学”的过程，培养探究数学 问题的能力。 情感 态度 价值 观 1．体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲。 2．在本节的学习中获得成功的体验,感受到数学学习的乐趣,建立自信心。 3．体会数学源于生活而又反作用于生活,培养用数学的意识。 重 点 等边三角形的性质和判定形成与应用 难 点 等边三角形性质与判定的应用 教 具 多媒体等边三角形纸片 学 具 等边三角形纸片直尺量角器圆规 教 学 过 程 教师活动学生活动 创设问 题情1出示等边三角形图片. 观察图片,口答问题。
境2提出问题：房子的顶部是什么图形？同学们想不想更深入的了解等边三角形的知识？从而导入新课板书课题[14.3.2 等边三角形]. 探索新知１、提出问题：根据原来学习图形的经验你 认为应从哪些方面研究等边三角形？ 思考后口答 2、让生从试着给等边三角形下定义。 3、归纳小结得出： 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角 形。 独立思考后表达交流，得 出结论。 4、观察课前准备的等边三角形纸片，猜想等 边三角形有哪些性质，并通过测量、折纸、 证明等方式进行验证。 归纳总结得出： 性质：等边三角形三个内角都相等，并且每 一个角都等于60°。 以小组为单位先猜想、再 通过合作探究，得出结论 后表达交流。 5猜想可用哪些方法判定一个三角形是等边 三角形?然后通过画图验证你的猜想。 归纳总结得出： 判定：1）三个角都相等的三角形是等边三角 形。 2）有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形。 先独立猜想，然后以小组 为单位对本组成员的所有 猜想通过画图利定义进行 验证。 实践应用例4：如图，我校课外兴趣小组在一次测量活 动中，测得∠ＡＰＢ＝６０°，ＡＰ＝ＢＰ ＝２００m，他们便知道池塘最长处是多少m。 猜猜他们得出结论是多少m，请验证你的猜 想。 独立猜想池塘最长处是多 少m，然后通过小组探究对 每位同学得出的结论进行 验证。
相似三角形判定练习题（1） ◆基础练习 1．（1）已知：在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，图（1）中各三角形中与 △ABC相似的是________． （1）（2） （2）如图2，锐角△ABC的边AB、AC上的高CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：________________________________（用相似符号连接）．2．（1）具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）． A.有一个角是40°的两个等腰三角形; B.两个等腰直角三角形; C.有一个角为100°的两个等腰三角形; D.两个等边三角形 （2）如图3，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD 于点F，图中的相似三角形有（）． A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 （3）（4） （3）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．?下列结论正确的是（）． A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．△ABC与 △BDC相似吗？请说明理由． 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC． ◆能力提高 5．如图，已知正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的边长比为1：2，?请你利用这两个正方形，通过割补的方法，得到两个相似三角形，且相似比是1：3． 要求：（1）借助原图拼图； （2）简要说明方法；
（3）指明相似的两个三角形． 6．如图，已知△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC ，点E ，F 在AB 上，∠ECF=45°． ⑴求证:△ACF ∽△BEC ；⑵设△ABC 的面积为S ，求证:AF·BE=2S． 7．如图，O 是△ABC 的内角平分线的交点，过O 作DE ⊥AO 交AB ，AC 于D ，E ． 求证:BD·CE=OD·OE． 聚焦中考 8.如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． ． 45° A E F B C O E D C B A
相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案） 1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD． （1）求证：=； （2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°． 2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足． （1）求证：AC2=AF?AD； （2）联结EF，求证：AE?DB=AD?EF． 3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC． （1）求证：△APC∽△ACB； （2）若AP=2，PC=6，求AC的长． 4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长． 5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC． 求证：AB?BC=AC?CD． 6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF?BE=2S 的理由． 7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=． 9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG?DF=DB?EF． 10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？
附件：教学设计
教学环节所用 时间 教师活动 （教学内容的呈现） 学生活动 （学习活动的设计） 设计 意图 一、 知识回顾以点看面大约 2 分钟 复习等腰三角形的性质？ 1、考查对象：随机从各组4号选手抽取 4名 2、考查形式：在主黑板表格中简略书写 3、考查目的：了解4号学生对旧知掌握 情况 4、奖励方式：答对个人加5个√ 复习回顾，重点针 对4号待优生检测 旧知 二、 类比转化知识迁移大约 2 分钟归纳等边三角形的性质？ 1、考查对象：上一环节未被查的另外4 名4号学生 2、考查形式：在主黑板表格中简略书写 3、奖励方式：答对个人加5个√ 重点检测4号待优 生利用等腰三角形 的性质推到等边， 既复习应用了等腰 三角形的有关知 识，又拓宽了等腰 三角形的广度和深 度，培养了学生的 应用意识。 三、 基础检测趁热打铁大约 1 分钟 等边△ABC , AD是BC 边上的中线，求∠CAD的度数？ 配套习题检测4号待优生对新知的掌握情况 1、考查对象：各组4号学生 2、活动形式：4号学生在卷子背面写答 案（大号字体），侧黑板旁举牌展示， 查漏补缺 3、奖励方式：答对个人加10个√；团 队其他成员加5个√。 重点针对4号待优 生的跟踪配套练 习，会简单应用等 边三角形的性质处 理简单问题，提高 关注度，激发待优 生学习热情，以此 了解全班学生情况 四、 分层操作自主探究大约 10 分钟 利用规定道具动手制作等 边三角形探究等边三角形判定 方法。第2组在主黑板，物品： 圆规、直尺。第3组在侧黑板 （西），物品：含30°角的三 角板。第8组在侧黑板（东）， 物品：量角器、圆规。第1、4、 5、6、7组在本组座位。物品： 模具 1、合作分工: 1号督查指导全程维持纪律； 2号整理汇报、填写操作过程汇报表（小卷 中）； 3号实际动手操作作图（务必保留作图痕迹）； 4号辅助3号完成操作、观察过程； 2、奖励方式：最快或最多团队每人10个 √；其他团队每人5个√。 活动目标：以最快 的速度制作一个 （或三个）等边三 角形。 培养学生的动手、 动脑、动口、合作 交流、合作探究的 能力 五、 阶段小结夯基树本大约 1 分钟 总结等边三角形的判定方法师生互答夯基树本，总结判 定方法 B C D A
13.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 01基础题 知识点1等边三角形的性质 1△．等边ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A) A．60°B．90°C．120°D．150° 2．如图△，过等边ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A) A．100°B．80°C．60°D．40° 3．如图△，ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°. 4．如图△，等边ABC的边长如图所示，那么y＝3． 5．如图所示△，ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°． 6．如图所示△，等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.求证：BF＝EF. 证明：∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE＝∠ABC＝30°. ∴∠E＝∠ACB＝30°. 1 2 又∵CE＝CD， 1 2 ∴∠DBE＝∠E. ∴DB＝DE. ∵DF⊥BE， ∴DF为底边上的中线． ∴BF＝EF. 知识点2等边三角形的判定 7．下列推理错误的是(B) A△．在ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形 B△．在ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C△，∴ABC为等边三角形 C△．在ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形 D△．在ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°△，∴ABC为等边三角形 8△．在ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是60°． 9．如图△，在ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°△.求证：ADC是等边三角形． 证明：∵DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°. 又∵AD＝DC， ∴△ADC是等边三角形． 10．如图所示△，锐角ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：
一．学习目标：（重难点） 1．掌握等边三角形的定义。 2．理解等边三角形的性质与判定定理。 3．让学生体会等边三角形的对称美。 二．预习导学：（学一学） 1．自读课本79—80内容（多读几遍）。 2．思考： ⑴等边三角形的定义： ⑵等边三角形有哪些性质？ 角： 边： ⑶在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，你能得到AB = BC = AC吗？为什么？ ⑷已知在△ABC中，AB = AC，∠A = 600。 ①求证：△ABC是等边三角形。 ②如果把∠A = 600，改为∠B = 600或∠C = 600，结论 还成立吗？ ③由上你可以得到什么结论？ 三．预习收获和障碍： 四．合作交流议一议： （一）预习交流（处理预习中的问题） 1．等边三角形的定义： 2．等边三角形的性质： 3．等边三角形的判定： （二）课堂训练（展示才能说一说，先练后展） 1．分小组思考并解答课本54页“探究”内容。 2．完成课本80页练习1，2。 3．已知，如图等边三角形ABC，点D、E、F分别是各 边上的一点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形． 4．已知，如图等边三角形ABC，点D是AC的中点， 且CE＝CD，DF⊥BE。求证：BF＝EF． 五．反思提升（想一想） 六．课堂检测（小试牛刀做一做） 1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则 ∠BIC等于( )A．600B．900C．1200D．1500 2．下列三角形：①有两个角等于600；②有一个角等于 600的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都 相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三 角形，其中是等边三角形的有( ) A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④ 3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且 AD＝BE = CF，则△DEF的形状是( ) A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 4．在三角形中，任何一个角的平分线都垂直于这个角所 对的边，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．钝角三角形C．直角三角形D、等边三角形 5．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝。 6．已知AD 是等边△ABC 的高，BE是AC边的中线， AD与BE交于点F，则∠AFE＝。 7．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴， 分别是。 8．已知，如右图，△ABC是等边三角形，BD是中线， 延长BC到E，使CE = CD，不添辅助线，请你写出三个正确 结论(1) (2) (3) 自我评价：教师评价： 日期： 陇县城关镇中学“导学单”设计稿 八年级班姓名：科目：数学课题：《等边三角形的性质和判定》课型：展示主备人：周鹏审核：周鹏组名：
相似三角形判定练习题 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______．4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形． 5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由． 9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）?和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC ． 12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ． 13．在 ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ． （1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求 FN NE 的值． 14．在△ABC 中，M 是AB 上一点，若过M 的直线所截得的三角形与原三角形相似，?试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明． 15．为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m ，他与镜子的距离是2.1m 时，刚好能从镜子中看到楼顶B ，已知他的眼睛到地面的高度CD 为1.6m ，结果他很快计算出大楼的高度AB ，你知道是什么吗？试加以说明．
新知：等腰三角形 1.等腰三角形的定义： 2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 7.等腰三角形的判定： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2.在同一三角形中，等角对等边 8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 9.等边三角形的性质： ⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。 ⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。 ⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一） ⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 10.等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义） ⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 (4)两个内角为60度的三角形是等边三角形 (5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。 (6)等边三角形的性质与判定理解：
11、三角形中的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 等腰三角形的性质应用及判定 例1如图，△ABC 中，D 、E 分别是位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 例一：AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD. 1.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） 2.选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形 例2如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D,又延长BA 到E ，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE 为等腰三角形 A E B C O D E