泛函分析复习题2012
1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量
空间，p 为何值时，R 是赋范空间。
解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有：
),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立
即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p
若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。
2．若),(d X 是度量空间，则)1,min(1d d =，d
d d +=12也是使X 成
为度量空间。
解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(min(),(1≥=y x d y x d
和0)
,(1),(),(2≥+=
y x d y x d y x d
且当y x =时0),(=y x d ，
于是0)1),,(min(),(1==y x d y x d 和0)
,(1),(),(2=+=y x d y x d y x d
以及若
0)1),,(min(),(1==y x d y x d 或0)
,(1),(),(2=+=
y x d y x d y x d
均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =，
因此),()1),,(min()1),,(min(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),()
,(1),()
,(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=
+=
3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此
}1),,(),(min{)1),,(min(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(min()1),,(min(11z y d y x d z y d y x d +=+≤
以及设x
x x f +=
1)(，0)
1(1)(2
>+=
'x x f ，所以)(x f 单增，
所以),(),(1),(),()
,(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤
+=
)
,(),(1)
,(),(),(1)
,(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++
++=
),(),()
,(1),()
,(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=++
+≤
综上所述)1,min(1d d =和d
d d +=
12均满足度量空间的三条件，
故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
3．设H 是内积空间，H y y x x n n ∈,,,，则当x x n →，y y n →时，
),(),(y x y x n n →，即内积关于两变元连续。
解：H 是内积空间，设||||?是由其内积导出的范数，由于x x n →，
y y n →，
所以0>?ε，0n ?使得当0n n >时均有ε<-||||x x n 和
ε<-||||y y n
同时由于y y n →，故知n y 有界，H x ∈所以||||x 有限。因此可取
||)||||,(||sup 1n n y x M ∞
≤≤=
因此|),(),(),(),(||),(),(|y x y x y x y x y x y x n n n n n n -+-=-
|
),(||),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y x y x y x y x n n n n n n n -+-=-+-≤
ε
M y y M x x M y y x y x x n n n n n 2||||||||||||||||||||||||≤-+-≤-?+?-≤
故0)},(),(lim{=-∞
→y x y x n n n ，即),(),(y x y x n n →
4．设Y X ,是线性赋范空间，Y X T →:是线性算子，则T 不是连续的，当且仅当X x n ∈?，使得0→n x ，但∞→||||n Tx
解：设T 不是连续的，则T 在X 上的每一点0x 都不是连续的，因此在点00=x 也不是连续的。则T 在包含X 上0点的任何有界邻域内
均无界，
取X O S ?=)21
,0(1，则T 在1S 上无界，因此11S x ∈?，
使得1||||1>Tx 成立。 取X O S ?=)2
1,
0(2
2，则T 在2S 上无界，因此22S x ∈?，
使得2||||2>Tx 成立。 类似地过程一直进行，直到 取X O S n
n ?=)2
1,
0(，则T 在n S 上无界，因此n n S x ∈?，
使得n Tx n >||||成立。
因此，X x n ∈?，使得0→n x ，但∞→||||n Tx
另外，如果有X x n ∈，当0→n x ，有∞→||||n Tx
由于在Y 上不能找到一点Y y ∈，使得∞=||||Ty ，因此对所有的点Y y ∈，均无法使得∞=||||Ty 成立，因此，在条件0→n x 下，对于所有的点Y y ∈，Ty Tx n →||||均不成立。所以T 在X 上的0点不是连续的，故T 不是连续的。
5．对于每个有界序列)(n α，定义线性算子p
p l l T →:，
),,(|),,(221121 x x x x αα→
求?||||=T
解：由于)(n α有界，所以有0>M ，使得||sup n n
M α=
对于p
l x x x ∈=?),,(21 ，∞<=
∑∞
=1
|
|||||i p
i
p p
x
x ，
从而
p
n i p
i
x
ε
<∑∞
+=1|
|
∞<=≤=
∑∑∞
=∞=p
p p
i p
i
p
i p i i
p p
x M
x
M
x Tx |||||
|||||||1
1
α
||||||||x M Tx ≤，从而M T ≤||||
另外，有)(n α有界序列，设||sup n n
M α=，
则对0>?ε，有0n ，使得0||0
>->εαM n
可取p n
n n l snga x ∈=),,,0,0(0
)(
，所以1||||)(=n x
p n i p
i i
p
p
n x Tx
|||
|||||01
)
(αα
==
∑∞
=，
因此εα-==M Tx n p n ||||||0)
(
ε->M T ||||，由于ε的任意性，于是有M T ≥||||成立
综上所述有||sup ||||n n
M T α==
6．我们知道有命题：对于算子序列n T ，若0||||→-T T n ，则X x ∈?，
0||||→-Tx x T n 。此命题的逆命题不成立。
试考虑算子序列2
2:l l T n →，
),0,,,,(),,,,,(21121 n n n n x x x x x x x T =+。
解：2
)(l x x n ∈=?，∞<=∑∞
=211
2
)||(||||n n x x ，
所以0)||(21
2
→∑∞
=n n n x （∞→0n ）
取x Tx =，),,,0,,0,0(21 ++=-n n n x x x T Tx ，
我们有0)||(
||||21
1
2
→=-∑∞
+=n k k
n x
Tx x T （∞→n ）
另外，对每个固定的n ，我们都可以找到一个元素
2
1
1
),0,1,0,,0,0(l e n n ∈=++
，
有1||||1=+n e ，但111+++=-n n n n e e T Te ，
1||||||||111==-+++n n n n e e T Te
因此1||||≥-T T n ，n ?，故0||||→-T T n 不成立。
7．设Y X ,是线性赋范空间，Y X T →:是线性算子，则)(T G 闭，当且仅当X x n ∈?，使得0→n x ，y Tx y n n →=时，有0=y 。
解：)(T G 闭，即有X x n ∈?，0→n x ，则Y T y ∈==?00，使得0=→=y Tx y n n
另外，当X x n ∈?，0→n x ，使得0→=n n Tx y 因此对于X x n ∈?，X x x n ∈→，取X x x z n n ∈-=?， 有0→-=x x z n n ，
于是有0)(→-=-=Tx Tx x x T Tz n n n ，即Tx Tx n →， 所以)(T G 闭
8．证明1*0l c =，其中*0c f ∈时有序列1
)(l n ∈η使得
n n n
x x f ∑∞
==
1
)(η
，0)(c x x n ∈=?
解：0c 是所有极限为0的序列全体的集合，范数||sup ||||i i
x x =，
在0c 中取基元集
},2,1),,0,1,0,,0,0(|{
===n e e F n
n n
则对021),,,,(c x x x x n ∈=? ，有i
n
i i
n e
x x ∑=∞
→=1
lim
设*
0c f ∈，记 ,2,1),(==i e f i i η，所以有
i
i i i n
i i n i n
i i n i n
i i n i n i i n x x e f x e x f e x f x f ηη∑
∑
∑
∑∑
∞
==∞
→=∞
→=∞
→=∞
→=
====1
1
1
1
1
lim
)(lim
)
(lim )lim
()(
取),0,,,,(2
1
)
( n
i i i n e
e
e
x θθθ---=，其中i i ηθarg =，
则0)
(c x
n ∈
且1||||)
(=n x
，∑∑==-=
=
n
i i
i n
i i n i
e
x
f 1
1
)
(||)(η
ηθ，所以
|||||||||||||)(|||)
()
(1
f x
f x
f n n n
i i
≤?≤≤∑=η
令∞→n ，即得121),,,,(l n ∈= ηηηη，
且||||||||||1
f i i
≤=
∑∞
=η
η
再证反向不等式。对021),,,,(c x x x x n ∈=? ， 对每个121),,,,(l n ∈= ηηηη
定义i
i i
x x f η
∑∞
==
1
)(，则f 是0c 上的线性泛函，且有
||||||||||||sup |||)(|1
1
ηηη?=?≤=∑∑∞
=∞=x x x x f i i i i
i i i
所以*
0c f ∈，且||||||||η≤f 。综合两个不等式得||||||||η=f
映射
)
,,,,()),(,),(),((,
:21211
*0 n n e f e f e f f l c T ηηη=→→
使得021),,,,(c x x x x n ∈=? ，有i
i i
x x f η
∑∞
==
1
)(成立
则T 线性保距同构映射，因此1
*0l c =
9．设H 是Hilbert 空间，{}n x 是H 中正交集，则以下三条等价；
1）∑∞
=1
n n x 收敛，2）H y ∈?，),(1
y x n n ∑∞
=收敛，3）21
||||∑∞
=n n x 收敛
解：)2)1?，
已知∑∞
=1
n n x 收敛，取∑==m
n n
m x
s 1
，则m s 收敛，
||||m s 收敛于有限数。
则，H y ∈?，|||||||||),(||),(||),(|1
1
y s y s y x y x m m m
n n m n n ?≤==∑∑==
所以),(1
y x n n ∑∞
=收敛。
)3)2?，已知H y ∈?，),(1
y x n n ∑∞
=收敛，即H y ∈?，
标量列),(1
y x
m
n n
m ∑==
α收敛，
取∑==
m
n n
x
y 1
，
此时∑∑∑∑=====
=
=
m
n n
n m n n
m i i
m n n
m x
x x
x
x 1
21
1
1
||||),(),(α
由标量列m α收敛，从而21
||||∑∞
=n n x 收敛。
)1)3?若2
1
||||∑∞
=n n x 收敛，则标量列2
1
||||∑==
m
n n
m x
α收敛
设∑
==
m
n n m x s 1
，则
m
m
n n
m
n n m
n n m
n n m n n m
n n m x x x x x x s α==
=
==∑∑
∑∑∑∑
======2
11
1
1
12
12
||||),()
,(||||
||||
由标量列m α收敛，得m s 收敛，即∑∞
=1
n n x 收敛。
10．设1||<λ，考虑]1,0[C 上的积分方程)()(sin )(1
0s y dt t x s x +=?λ
其中]1,0[C y ∈，证明此方程存在唯一连续解。
解：由于]1,0[C 是完备的，映射]1,0[]1,0[:C C T →，)()(sin )(1
0s y dt t x s Tx +=?λ，所以
???-=-=-1
2110
210
121)](sin )([sin )(sin )(sin )()(dt
t x t x dt t x dt t x s Tx s Tx λλλ
??-≤-?=-1
2110
2121|)(sin )(sin ||||)](sin )([sin |||||dt t x t x dt t x t x Tx Tx λλ
|||||||)()(||
|211
21
x x dt t x t x
-?≤-≤?λλ
因为1||<λ，所以映射]1,0[]1,0[:C C T →是压缩映射 由不动点原理，]1,0[C y ∈，存在唯一的一个]1,0[*C x ∈， 使得)()(sin )(1
*
*
s y dt t x s x +=?λ
11．考虑],[b a C 上的非线性积分方程
)())(,,()(s dt t x s t K s x b
a ?λ+=?
其中],[b a C ∈?，))(,,(s s t K ω是R b a b a ??],[],[的连续函数，满足
|||||))(,,())(,,(|2121ωωωω-≤-k s s t K s s t K
证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解],[0b a C x ∈。 解：由于],[b a C 是完备的，
映射],[],[:b a C b a C T →，)())(,,()(s dt t x s t K s Tx b
a ?λ+=?
所以??-=-b
a
b a
dt t x s t K dt t x s t K s Tx s Tx ))(,,())(,,()()(2121λλ
||)(||))](,,())(,,([|
||||212121x x a b k dt t x s t K t x s t K Tx Tx b
a
--≤-?=-?
λλ
所以，当1)(||<-a b k λ时，映射],[],[:b a C b a C T →是压缩映射
由不动点原理，],[b a C ∈??，存在唯一的一个],[*b a C x ∈， 使得)())(,,()(**s dt t x s t K s x b
a ?λ+=?
12．验证：（1）开球}),(;{),(00r x x d X x r x O <∈=是开集；
（2）闭球}),(;{),(00r x x d X x r x S ≤∈=是闭集。 解：（1）),(0r x O y ∈?，则r a x y d <=),(0， 所以，),()2
,
(0r x O a r y O ?-，
即),(0r x O 是开集，故，开球),(0r x O 是开集。
（2）),(0r x S y ∈?，则r a x y d >=),(0， 所以，C
r x S r a y O ))
,(()2
,
(0?-，
即C r x S )),((0是开集，故，闭球),(0r x S 是闭集。
13．证明：有界数列集合组成的空间∞l 是完备的。
解：取}{n x 是空间∞l 中的基本点列，),,,()
(3)(2
)(1 n n n n x x x x =，空间∞l 的度量取
||sup ),(i i i
y x y x -=ρ，∞∈=?l x x i )(，∞∈=l y y i )(
由于取}{n x 是空间∞l 中的基本点列，所以0,0>?>?N ε，当
N n m >,时，有
ερ<-=||sup ),()
()
(n i
m i
i
n m x x x x
对每个固定的i ，当N n m >,时，有ε<-||)()(n i m i x x （1） 所以，数列),,,,()4()3()2()1( i i i i x x x x 是C 中的收敛列，即当∞→m 时，C x x i m i ∈→)(
由此得，),,,,(4321 x x x x x =
由（1）中，令∞→n ，则当N m >时，有ε≤-||)(i m i x x 。 又因为∞∈=l x x m i m }{)(，故存在实数m k ，对所有的i ， 满足m m i k x ≤||)( 从而对每个i 有
m m i
m i
i i k x x x x +≤+-≤ε||||||)
()
(
即}{i x 是有界数列，∞∈=l x x i }{，又ε≤-||)(i m i x x 有ερ≤-=||sup ),()(i m i i
m x x x x
故当当∞→m 时，x x i →，所以∞l 是完备的度量空间。
14．证明：)1(∞<≤p l p 是可分空间。
解：考虑集合}1,);,0,,,,{(21>∈=n Q r r r r B i n ，即B 是由至多有限个坐标不为0，且坐标都是有理数的元素构成。因此，B 是可数集。
对于p
i l x x ∈=?)(，有∞<∑∞
=)||1
i p
i x ，所以0,0>?>?N ε，当
N n >时，
p
n i p
i x )2()||1
ε
<∑∞
+=，有有理数的稠密性，可取得n r r r ,,,21 ，
使得p n
i p i i r x )2
()||1
ε
<-∑=
令p n l B r r r y ?∈=),0,,,,(21 。且
ε
ε
<<+-=+
-=-=-∑∑∑∑∑∞
+==∞
+==∞
=p
p
p
n i p i
p
n
i p
i i p
n i p i
n
i p
i i p
i p
i i x
r x x
r x y x y x /1/11
/11
/111
/11
)
)2
(2()
||(
)
||()
||||()
||(||||
即B 在)1(∞<≤p l p 中稠密。依定义知)1(∞<≤p l p 是可分的。
15．举例说明：在完备度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点的结论中，若将压缩映射改为满足),(),(y x d Ty Tx d <的映射时，其结论不成立。
解：例如，R R T →:，x x Tx arctan 2
-+
=π
，
于是由微分中值定理得：在x 和y 之间存在ξ使得
x
y x y x
x y y Tx Ty arctan arctan arctan 2
arctan 2
+--=+-
--+
=-π
π
2
22
1)
(11)
()(ξ
ξ
ξ
+-=+---=x y x y x y
因此),(||||),(y x d x y Tx Ty Ty Tx d =-<-=成立，但其不存在不动点，否则若有不动点，那么必有x Tx =成立，即x arctan 2
=π
成立，
这个显然是不正确的。
故若将压缩映射改为满足),(),(y x d Ty Tx d <的映射时，其结论不成立。
16．证明1*l c =，其中*c f ∈时有序列1)(l n ∈α和Φ∈k 使得
n n n
n n x x k x f ∑∞
=∞
→+
=1
lim )(α
，c x x n ∈=?)(
解：c 是所有收敛序列全体的集合，范数||sup ||||i i
x x =，在c 中
取基元集
},2,1),,0,1,0,,0,0(|{
===n e e F n
n n ，
c e ∈=),1,,1,1(0
对c x x x x n ∈=?),,,,(21 ，有i
n
i i
n e
x x ∑=∞
→=1
lim
且n x 收敛于
0x ，即n n x x ∞
→=lim 0，
取c x x x x ∈=),,,,(000 ， 则0c x x ∈-
设*
c f ∈，记 ,2,1),(==i e f i i η， 对Φ∈k 所以有
i
i i
i n
i i
n x kx e f x
kx x f η
∑∑∞
==∞
→+
=+=1
010)(lim
)(
取),0,,,,(2
1
)( n
i i i n e
e e
x θθθ---=，其中i i ηθarg =，则
c c x
n ?∈0)
(
且1||||)
(=n x
，∑∑==-=
=
n
i i
i n
i i n i
e
x
f 1
1
)
(||)(η
ηθ，所以
|||||||||||||)(|||)
()
(1
f x
f x f n n n
i i
=?≤=∑=η
令
∞→n ，即得
1
21),,,,(l
n ∈= ηηηη，且
||||||||||1
f i i
≤=
∑∞
=η
η
再证反向不等式。对c x x x x n ∈=?),,,,(21 ，对每个1
21),,,,(l n ∈= ηηηη
定义i
i i
n n x x k x f η
∑∞=∞
→+
=1
lim )(，则f 是c 上的线性泛函，且有
0c x x ∈-
i i x kx x f η
∑∞
=+
=1
0)(
|||lim ||lim ||)(|1
1i i i n n i
i i
n n x x k x x k x f ηη
∑∑∞
=∞
→∞
=∞
→+≤+
=
||)|||(||||||)||(|||sup 1
ηη+?=+?≤∑∞=k x k x i i i i
所以*
0c f ∈，且||||||||η≤f 。综合两个不等式得||||||||η=f 映射),,,,()),(,),(),((,:21211
*0 n n e f e f e f f l c T ηηη=→→
使得021),,,,(c x x x x n ∈=? ，有i
i i
x x f η
∑∞
==
1
)(成立
则T 线性保距同构映射，因此1
*0
l c =
17．求空间]1,1[-C 上的线性泛函??-
=
-1
00
1
)()()(dt
t x dt t x x f 的范数。
解：空间]1,1[-C 上的范数为|))((|m ax ||||1
1t x x t ≤≤-=，所以
]1,1[)(-∈?C t x 有
|||||2|)(|max )(|)(||)(||)()(||)(|1
01
10
1
1
00
1
1
1x t x dt dt dt
t x dt t x dt t x dt t x x f t ≤+
≤+
≤
-
=??????≤≤-
---
可知f 是有界线性泛函，且2||||≤f ， 另一方面，取
??
?
??∈--∈---∈=]
1,/1(1]/1,/1[)
/1,1[1)(n t n n t nt
n t t x n ，知]1,1[)(-∈C t x n ，且1||)(||=t x n 于是
2
/12)()()(1
/1/10
/1/11
1
00
1
→-=++
-
=
-
=??????----n dt ntdt ntdt dt dt t x dt t x x f n
n
n
n
n n n
从而2||||=f
18．设H 是可分的Hilbert 空间，证明是H 中任一规范正交基至多是
可列的。
证明：有题设知H 是可分的，故必有H 的开列子集{}n x ，且{}n x 在H 中稠密，
设}|{Λ∈=λλe F 是H 中的一组规范正交基，考察以一切λe 为球心，2/
1为半径的球簇，则若F 不是可列的，球簇也不是可列的。于是
至少某两个球簇含有同一个k x ，即有}{n k x x ∈F ∈'λλ,使得 2/
1||||<-λe x k ，2/
1||||<-'λe x k
于是≤-'||||λλe e +-||||λe x k 2||||<-'λe x k
另一方面由勾股定理得
211||||||||||||2
2
2
=+=+=-''λλλλe e e e
这样导出矛盾，故F 是可列的。
19．设}|{Λ∈=λλe F 是内积空间H 中的一组规范正交基，证明：
H x ∈?，x 关于F 的Fourier 系数}|),{(Λ∈λλe x 中至多只有可列多
个不为零。
证明：依照Bessel 不定式，H x ∈?，在F 中任取n 个元素n e e e ,,,21 ，
则有2
1
2
|||||),(|∑=≤n
i i x e x
于是在F 中使得n x e x i /|||||),(|≥的i e 只有有限个。
记}/
|||||),(||{n x e x e F i n ≥Λ∈=，且λλ，显然有 ∞
==
1
n n
F
E ，则
E 显然是可列集，且当)(E
F e -∈λ时，0),(=λe x ，即在x 关于F 的
Fourier 系数中非零项至多可列个。
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________
泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定
泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。
泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)
' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--
泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1),
,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（ ）. A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。 3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按积空间
泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++
(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤
泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的
川大2011年泛函分析模拟试题 一、 叙述题 1、 在度量空间(),X ρ中，列紧集、完全有界集的定义及二者之间的关系 列紧集：设A 是度量空间(),X ρ的一个子集，若{}n x A ??在X 中有一个收敛子列 {}k n x ，则称A 为列紧集； 完全有界集：M 是度量空间(),X ρ的一个子集，0ε?>，都存在M 的一个有穷ε网，则称M 为完全有界集。 关系：()A M ?列紧集一定是完全有界集，完全有界集不一定是列紧集：但在完备的度量空间中，列紧集与完全有界集等价（即A M ?） 2、 在欧式空间n R 中，有界集、完全有界集和列紧集三者之间的关系；紧集与有界闭 集的关系 在欧式空间n R 中，有界集?完全有界集?列紧集， 紧集?有界闭集 二、 证明题： 1、 线性算子T 在D 上连续?T 在D 上有界。 证 充分性：因为T 在D 上有界，故0, T M x D x M x ?>?∈≤成立 ，即 Tx T M x θθ -≤-，故T 在θ点连续，从而T 在D 上连续； 必要性：若T 在D 无界， 0,,..n n n n x D st Tx n x ?>?∈> 令 n n n x y n x = ， 则 10n n n x y n x n ==→，即0n y →。又因为T 连 续， 故0n n Ty T Ty θθ=?→→， 这与1n n n Tx Ty n x = > 矛 盾，故假设不成立，即T 在D 上有界。 2、 求证(),l X Y 为B 空间。（其中X 为* B 空间，Y 为B 空间） 证 显然(),l X Y 是一个线性空间，兹证T 是范数： ()0,000T T T x x X T ≥=?=?∈?=；
1． 对于积分方程 ()()() 1 t s x t e x t ds y t λ--=?为一给定的函数，λ为 常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。 2． 设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为 ()11,21+k k k k k k x y ξηρξη=-=-∑，其中， ()() 11,,,=,,n n x y ξξηη=??????。求证s 为 一完备的距离空间。 3． 在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>， 存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。求证{}n x 收敛。 4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的* B 空间 5． 为了()F C M ?使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的 且等度连续的函数族。 6． 设 () ,A x y ?∈，求证（1）. 1 sup x A AX ≤=，（2 ） 1 sup x A AX <=。 7． 设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数， 并存在0M >，使得( ),a x y M x y ≤，则存在唯一的()A x ?∈， 使得 ()() ,,a x y x Ay =且 ()(),0,0 ,sup x y X X x y a x y A x y ∈?≠≠=。 8． 求证()2f L ?∈Ω，方程() 0u f u ?Ω?-?=Ω?? =??在内若解存在唯一。 9． 设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ?∈≠。求 证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()() ()02.x f x x ρρ≤ 。 10． 叙述开映象定理并给出证明。 11． 叙述共鸣定理并给出证明。
某某大学考试题 课程名称：泛函分析 队别： 班次： 姓名： 第1页共2页 1、 写出下面定义或结论（每个5分）： a ）两个集合具有相同基数的定义； b ）度量空间Cauchy 序列的定义； c ）泛函序列弱*收敛的定义； d ）开映射定理. 2、 定义2:R f →，使得 1()n n n f x x α∞ ==∑ 其中2α∈。证明：f 是有界的并计算f 的范数f . 3、 X 是赋范线性空间，,x y X ∈是两个给定向量。证明：如果对任意有界线性泛函*f X ∈都有()()f x f y =，则 x y =. 4、 在[,]C a b 中定义范数 [,]||||m a x |()| t a b x x t ∈= 证明：如序列{}[,]n x C a b ?弱收敛到[,]x C a b ∈，即w n x x ??→，n →∞，则序列{}n x 在 [,]a b 上处处收敛到x ，即对任意[,]t a b ∈， l i m ()(n n x t x t →∞ =。 5、 在2中定义线性算子序列{}n T ，22:n T →：对()212,,,,n x ξζξ=∈， ()12(),,, ,n n n n T x ξξζ++= 证明： a ）n T 强收敛到零算子； b ）n T 不一致收敛到零算子. 6、 证明：在实内积空间中，x y ⊥当且仅当对任意实数α，都有 ||||||x y x α+≥. 7、 设M 是内积空间X 中的非空子集，证明：M 的正交补是X 的闭子空间。 8、 证明Bessel 不等式：设{}123,,,e e e 是Hilbert 空间的规范正交集，证明，对任意x X ∈， 221 |,|.n n x e x ∞=<>≤∑ 9、 X 是Banach 空间，{}n f X *?是有界泛函序列。如果对任意的x X ∈都有1()n n f x ∞=<∞∑，证
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的
C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间
泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．
第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞