高考必备——高中数学常用公式及常用结论
一、集合与简易逻辑 1．德摩根公式
?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )；?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )． 2．包含关系
A ∩
B ＝A ?A ∪B ＝B ?A ?B ??U B ??U A ?A ∩?U B ＝???U A ∪B ＝R .
3.集合{a 1，a 2，…，a n }的子集个数共有2n
个；真子集有2n
－1个；非空子集有2n
－1个；非空真子集有2n
－2个． 4．真值表
p
q
非p p 或q
p 且q
真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假
假
真
假
假
5.充要条件
(1)充分条件：若p ?q ，则p 是q 充分条件． (2)必要条件：若q ?p ，则p 是q 必要条件．
(3)充要条件：若p ?q ，且q ?p ，则p 是q 充要条件． 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然． 二、函数
1．二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式f (x )＝a (x －h )2
＋k (a ≠0)； (3)零点式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．函数的单调性
(1)设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，那么 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0?f x 1－f x 2
x 1－x 2＞0?f (x )在[a ，b ]上是增函数；
(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0?
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0?f (x )在[a ，b ]上是减函数．
(2)设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，则f (x )为增函数；如果f ′(x )＜0，则f (x )为减函数． 3．函数的奇偶性
(1)若函数y ＝f (x )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x －a )； (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )． 4．函数的对称性
(1)函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称 ?f (a ＋x )＝f (a －x )?f (2a －x )＝f (x )； (2)对于函数y ＝f (x )(x ∈R )，f (x ＋a )＝f (b －x )恒成立，则函数f (x )的对称轴是函数x ＝
a ＋b
2
；
(3)两个函数y ＝f (x ＋a )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝
a ＋b
2
对称；
(4)若f (x )＝－f (－x ＋a ) ，则函数y ＝f (x )的图象关于点? ??
??a
2，0对称． 5．函数的周期性(约定a >0)
(1)f (x )＝f (x ＋a )，则f (x )的周期T ＝a ； (2)f (x )＝－f (x ＋a )，或f (x ＋a )＝1
f x
(f (x )≠0)，
或f (x ＋a )＝－
1
f x
(f (x )≠0) ，
或12＋f x －f 2
x ＝f (x ＋a )，(f (x )∈[0,1])，则f (x )的周期T ＝2a . 6．图象平移
若将函数y ＝f (x )的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y ＝f (x －a )＋b 的图象；若将曲线f (x ，y )＝0的图象右移 a 、上移b 个单位，得到曲线f (x －a ，y －b )＝0的图象．
7．分数指数幂
(1)a m n
＝n
a m (a ＞0，m ，n ∈N *
，且n ＞1)．
(2)a －m n ＝1a m n
(a ＞0，m ，n ∈N *
，且n ＞1)．
8．根式的性质 (1)(n
a )n
＝a ；
(2)当n 为奇数时，n
a n
＝a ； 当n 为偶数时，n
a
n
＝|a |＝?
??
??
a ，a ≥0，
－a ，a ＜0.
9．有理指数幂的运算性质 (1)a r
·a s
＝a
r ＋s
(a ＞0，r ，s ∈Q )．
(2)(a r )s ＝a rs
(a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r
＝a r b r
(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 10．指数式与对数式的互化式 log a N ＝b ?a b
＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0) 11．对数的换底公式
log a N ＝log m N
log m a
(a ＞0，且a ≠1，m ＞0，且m ≠1，N ＞0)．
推论log a m
bn ＝n m
log a b (a ＞0，且a ＞1，m ，n ＞0，且m ≠1，n ≠1，N ＞0)． 12．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N
＝log a M －log a N ； (3)log a M n
＝n log a M (n ∈R )． 三、导数
1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．几种常见函数的导数 (1)C ′＝0(C 为常数)． (2)(x n
)′＝nx
n －1
(n ∈Q )．
(3)(sin x )′＝cos x . (4)(cos x )′＝－sin x .
(5)(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1
x ln a .
(6)(e x
)′＝e x
；(a x
)′＝a x
ln a . 3．导数的运算法则 (1)(u ±v )′＝u ′±v ′. (2)(uv )′＝u ′v ＋uv ′. (3)? ??
??
u v ′＝
u ′v －uv ′
v 2
(v ≠0)． (文)4.判别f (x 0)是极大(小)值的方法 当函数f (x )在点x 0处连续时，
(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则f (x 0)是极小值． 四、三角函数、解三角形 1．同角三角函数的基本关系式 sin 2θ＋cos 2
θ＝1；tan θ＝sin θcos θ.
2．正弦、余弦的诱导公式
sin ? ????n π2＋α＝?????
－1n
2
sin α，n 为偶数－1
n －1
2
cos α，n 为奇数
cos ? ????n π2＋α＝?
????
－1n
2
cos α，n 为偶数－1
n ＋1
2
sin α，n 为奇数
3．和角与差角公式
T α±β：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； C α±β：cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； T α±β：tan(α±β)＝tan α±tan β
1?tan αtan β.
4．辅助角公式
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)( 辅助角φ所在象限
?
??由点a ，b 的象限决定， tan φ＝b
a .
5．二倍角公式
S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；
C 2α：cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2
α. 6．三角函数的周期公式
(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R 及函数y ＝cos(ωx ＋φ)，x ∈R (A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2π
ω
；
(2)函数y ＝tan(ωx ＋φ)，x ≠k π＋π2，k ∈Z (A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝π
ω.
7．正弦定理 a sin A ＝
b sin B ＝
c
sin C
＝2R .
8．余弦定理
(1)a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ；b 2
＝c 2
＋a 2
－2ca cos B ；c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C .
(2)求角：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝b 2＋a 2－c 2
2ab
.
9．三角形面积定理
(1) S ＝12ah a ＝12bh b ＝1
2ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高)．
(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ca sin B .
10．三角形内角和定理
在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π?C ＝π－(A ＋B )
?C 2＝π2－A ＋B 2
?2C ＝2π－2(A ＋B )． 五、向量
1．实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )＝(λμ)a ； (2)第一分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)第二分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
2．向量的数量积的运算律 (1) a·b ＝ b·a (交换律)；
(2)( λa )·b ＝ λ(a·b )＝λa·b ＝ a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝ a ·c ＋b·c . 3．向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a∥b (b ≠0) ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 4．a 与b 的数量积(或内积)
a·b ＝|a||b|cos θ.
5．平面向量的坐标运算
(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)． (3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (4)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (5)设a ＝(x ，y ) ，则 |a |＝x 2
＋y 2
. 6．两向量的夹角公式
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则
cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21·x 22＋y 2
2
. 7.向量的平行与垂直
a∥b ?b ＝λa ?x 1y 2－x 2y 1＝0. a⊥b (a ≠0)?a·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.
8．两向量的夹角公式 cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21·x 22＋y 2
2
(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))． 9．三角形四“心”向量形式的充要条件
设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心?OA →2＝OB →2＝OC →2
. (2)O 为△ABC 的重心?OA →＋OB →＋OC →
＝0.
(3)O 为△ABC 的垂心?OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →
. (4)O 为△ABC 的内心?aOA →＋bOB →＋cOC →
＝0. 六、数列
1．数列的通项公式与前n 项的和的关系
a n ＝?
??
??
S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2 (数列{a n }的前n 项的和为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n )．
2．等差数列的通项公式
a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *)；
其前n 项和公式为S n ＝n a 1＋a n
2
＝na 1＋
n n －1
2
d
＝d 2n 2＋?
?
???a 1－12d n .
3．等比数列的通项公式
a n ＝a 1q n －1＝a 1
q
·q n (n ∈N *)；
其前n 项的和公式为S n ＝?????
a 11－q n
1－q ，q ≠1，
na 1， q ＝1
或S n ＝?????
a 1－a n q 1－q
，q ≠1，
na 1， q ＝1.
七、不等式 1．常用不等式
(1)a ，b ∈R ?a 2
＋b 2
≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． (2)a ，b ∈R ＋
?a ＋b
2
≥ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．
2．最值定理
已知xy 都是正数，则有
(1)若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2p ； (2)若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时积xy 有最大值14s 2
.
八、立体几何
1．柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积＝2πrl ，表面积＝ 2πrl ＋2πr 2
， 圆锥侧面积＝πrl ，表面积＝πrl ＋πr 2
，
V 柱体＝1
3Sh (S 是柱体的底面积，h 是柱体的高)． V 锥体＝13
Sh (S 是锥体的底面积，h 是锥体的高)．
球的半径是R ，则其体积V ＝43πR 3，其表面积S ＝4πR 2
.
2．证明直线与直线平行的方法
(1)三角形中位线；(2)平行四边形(一组对边平行且相等)． 3．证明直线与平面平行的方法
(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行)； (2)先证面面平行．
4．证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交．．．．直线分别与另一平面平行)． 5．证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直．
6．证明直线与平面垂直的方法
(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交．．．．
直线垂直)． (2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面)． 7．证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直)． 九、解析几何 1．斜率公式
k ＝y 2－y 1x 2－x 1
(P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2)． 2．直线的五种方程
(1)点斜式y －y 1＝k (x －x 1)(直线l 过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k )． (2)斜截式y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距)． (3)两点式
y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1 (P 1(x 1，y )、P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2，y 1≠y 2)． (4)截距式x a ＋y b
＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)． (5)一般式Ax ＋By ＋C ＝0 (其中A 、B 不同时为0)． 3．两条直线的平行和垂直
(1)若l 1∶y ＝k 1x ＋b 1，l 2∶y ＝k 2x ＋b 2
①l 1∥l 2?k 1＝k 2，b 1≠b 2；②l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1；
(2)若l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零， ①l 1∥l 2?A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2
；②l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．点到直线的距离
d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
(点P (x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 )．
5. 圆的方程
(1)圆的标准方程(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
.(圆心坐标为(a ，b )，半径为r )． (2)圆的一般方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)．
(3)圆的直径式方程(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0 (圆的直径的端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 6.点与圆的位置关系
点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
的位置关系有三种：
d ＞r ?点P 在圆外； d ＝r ?点P 在圆上；d ＜r ?点P 在圆内，其中d ＝
a －x 0
2
＋b －y 0
2
.
7．直线与圆的位置关系
直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
的位置关系有三种：
d ＞r ?相离?Δ＜0； d ＝r ?相切?Δ＝0； d ＜r ?相交?Δ＞0.
其中d ＝|Aa ＋Bb ＋C |
A 2＋
B 2
.
8．两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|＝d ， d ＞r 1＋r 2?外离?4条公切线；
d ＝r 1＋r 2?外切?3条公切线；
|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2?相交?2条公切线；
d ＝|r 1－r 2|?内切?1条公切线；
0＜d ＜|r 1－r 2|?内含?无公切线． 9．圆的切线方程
(1)已知圆x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是
x 0x ＋y 0y ＝D x 0＋x 2
＋E y 0＋y
2
＋F ＝0.
当(x 0，y 0)在圆外时，x 0x ＋y 0y ＋
D x 0＋x
2
＋
E y 0＋y
2
＋F ＝0表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为y －y 0＝k (x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y ＝kx ＋b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆x 2
＋y 2
＝r 2
.
①过圆上的P 0(x 0，y 0)点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
； ②斜率为k 的圆的切线方程为y ＝kx ±r 1＋k 2
. 10．点与椭圆的位置关系
(1)点P (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的内部?x 20a 2＋y 20
b 2＜1.
(2)点P (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的外部?x 20a 2＋y 20
b
2＞1.
11．直线与圆锥曲线相交的弦长公式 |AB |＝
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
或|AB |＝1＋k
2
x 2－x 1
2
＝|x 1－x 2|1＋tan 2
α＝|y 1－y 2|·
1＋
1
tan 2
α
(弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由方程?
??
??
y ＝kx ＋b
F x ，y ＝0消去y 得到ax 2
＋bx ＋c ＝0，Δ＞0，α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率).
12．椭圆的切线方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是x 0x a 2＋y 0y
b
2＝1.
(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外一点P (x 0，y 0)所引两条切线的切点弦方程是x 0x a 2＋y 0y
b 2＝1.
(3)椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)与直线Ax ＋By ＋C ＝0相切的条件是A 2a 2＋B 2b 2＝c 2
.
13．点与双曲线的位置关系
(1)点P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的内部?x 20a 2－y 20
b 2＞1.
(2)点P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的外部?x 20a 2－y 20
b
2＜1.
14．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1?渐近线方程：x 2a 2－y 2b 2＝0?y ＝±b
a
x .
(2)若双曲线与x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线，可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ＞0，焦点在x 轴上，λ＜0焦点在y 轴上)．
15．双曲线的切线方程
(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是x 0x a 2－y 0y
b
2＝1.
(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外一点P (x 0，y 0)所引两条切线的切点弦方程是x 0x a 2－y 0y
b 2＝1.
(3)双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线Ax ＋By ＋C ＝0相切的条件是A 2a 2－B 2b 2＝c 2
.
16．抛物线y 2
＝2px 的焦半径公式 抛物线y 2
＝2px (p ＞0)焦半径|CF |＝x 0＋p
2.
过焦点弦长|CD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p .
17.点与抛物线的位置关系
(1)点P (x 0，y 0)在抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的内部?y 2
0＜2px 0(p ＞0)． 点P (x 0，y 0)在抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的外部?y 2
0＞2px 0(p ＞0)． (2)点P (x 0，y 0)在抛物线y 2
＝－2px (p ＞0)的内部?y 2
0＜－2px 0(p ＞0)． 点P (x 0，y 0)在抛物线y 2
＝－2px (p ＞0)的外部?y 2
0＞－2px 0(p ＞0)． (3)点P (x 0，y 0)在抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的内部?x 2
0＜2py 0(p ＞0)． 点P (x 0，y 0)在抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的外部?x 2
0＞2py 0(p ＞0)． (4)点P (x 0，y 0)在抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的内部?x 2
0＜2py 0(p ＞0)． 点P (x 0，y 0)在抛物线x 2
＝－2py (p ＞0)的外部?x 2
0＞－2py 0(p ＞0)． 18. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y 2
＝2px 上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是y 0y ＝p (x ＋x 0)．
(2)过抛物线y 2＝2px 外一点P (x 0，y 0)所引两条切线的切点弦方程是y 0y ＝p (x ＋x 0)． (3)抛物线y 2
＝2px (p ＞0)与直线Ax ＋By ＋C ＝0相切的条件是pB 2
＝2AC . (文)十、概率与统计
1．平均数、方差、标准差的计算 平均数：x ＝
x 1＋x 2＋…＋x n
n
，
方差：s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]，
标准差：s ＝
1n
[
x 1－x
2
＋x 2－x
2
＋…＋x n －x
2
].
2．回归直线方程
y ＝a ＋bx ，其中
b ＝∑n
i ＝1 x i －x y i －y ∑n
i ＝1 x i －x 2
＝
∑n
i ＝1x i y i －n x y
∑n
i ＝1x 2i －n x
2
.
3．独立性检验
K 2
＝
n ac －bd 2
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
.
4．古典概型的计算
必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏，其中
P (A )＝A 包含的有利事件数基本事件总数＝m
n
.
5. 几何概型的概率计算公式
P (A )＝
构成事件A 的区域长度或面积或体积
试验的全部结果构成的区域长度或面积或体积.
6．互斥事件A ，B 至少有一个发生的概率
P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
(文)十一、复数 1．复数的相等
a ＋
b i ＝
c ＋
d i ?a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
2．复数z ＝a ＋b i 的模(或绝对值) |z |＝|a ＋b i|＝a 2
＋b 2
. 3．复数的四则运算法则
(1)(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (4)(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2
i(c ＋d i≠0)．