李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版
社
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
第一章 绪论
1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x
e x x δ-=
=
= 而ln x 的误差为()1
ln *ln *ln **
e x x x e x =-≈
进而有(ln *)x εδ≈
2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()
|
|()
p xf x C f x = 又1
'()n f x nx
-=, 1
||n p x nx C n n
-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2
((*))0.02n r x n ε∴≈
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位
的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*
20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*
57 1.0.x =?
解：*1 1.1021x =是五位有效数字；
*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。
4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***
123x x x ,(3) **
24/x x .
其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：
*4
1*
3
2*
13*
3
4*
1
51()1021()1021()1021()1021()102
x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=?
***
124***1244333
(1)()()()()
1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***
123*********123231132143
(2)()
()()()
111
1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222
0.215
x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈
**
24****
24422
*
4
33
5
(3)(/)
()()
11
0.0311056.430102256.43056.430
10x x x x x x x εεε---+≈
??+??=
?=
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少
解：球体体积为343
V R π= 则何种函数的条件数为
2
3'4343
p R V R R C V R ππ===
(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=
又(*)1r V ε=
故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)
10.333
r R ε=?≈ 6．设028Y =，按递推公式1
n n Y Y -=（n=1,2,…） 计算到100Y
27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差
解：1n n Y Y -=
10099Y Y ∴=
9998Y Y =
9897Y Y =……
10Y Y =
依次代入后，有1000100Y Y =-
即1000Y Y =，
若取27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-
*
310001()()(27.982)102
Y Y εεε-∴=+=?
100Y ∴的误差限为31
102
-
?。
7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有4位有效数字27.982=）。 解：25610x x -+=，
故方程的根应为1,228x =故
1282827.98255.982x =≈+=
1x ∴具有5位有效数字
211
280.0178632827.98255.982
x =-=
≈
=≈+
2x 具有5位有效数字
8．当N 充分大时，怎样求1
2
1
1N N
dx x
++? 解 12
1
arctan(1)arctan 1N N
dx N N x +=+-+?
设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=
1
22
11arctan(tan())
tan tan arctan
1tan tan 1arctan
1(1)1
arctan 1
N N dx x N N
N N
N N αβ
αβαβ
αβ++=-=--=++-=++=++? 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过
21cm
解：正方形的面积函数为2()A x x =
(*)2*(*)A A x εε∴=.
当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21(*)102
x ε-≤?
故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm
10．设212
S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：21,02
S gt t =>
2(*)(*)S gt t εε∴=
当*t 增加时，*S 的绝对误差增加
2*2*
(*)(*)*
(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t t
εεεε=
=
=
当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。
11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),
若0 1.41y ≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大这个计算过程稳定吗
解：02 1.41y =≈
201
(*)102
y ε-∴=?
又1101n n y y -=-
10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴=
又21101y y =-
21(*)10(*)y y εε∴=
220(*)10(*)......
y y εε∴=
10100102
8(*)10(*)1
101021
102
y y εε-∴==??=?
计算到10y 时误差为81102
?，这个计算过程不稳定。
12
．计算61)f =
，取≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好
, 3
(3-
，
99- 解：设6(1)y x =-，
若x =* 1.4x =，则*11102
x -ε()=?。
计算y 值，则 ***7
**
*7
**1
(1)
6(1)
y x x y x x y x ε()=--6?ε()+ =
ε()+ =2.53ε()
若通过3(3-计算y 值，则
**2****
**(32)6
32y x x y x x
y x ε()=-3?2?-ε() =
ε()- =30ε()
计算y 值，则 **
*4
***7
**1(32)
1
(32)
y x x y x x y x ε()=--3?ε()+ =6?
ε()+ =1.0345ε()
通过
计算后得到的结果最好。 13
．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对
数时误差有多大若改用另一等价公式。ln(ln(x x =- 计算，求对数时误差有多大 解
()ln(f x x =
, (30)ln(30f ∴=
设(30)u y f == 则*u =29.9833
*41
2
u -∴ε()=?10
故
**
*
*3
1
0.0167
y u u
u -1ε()≈-ε()30- =
ε()
≈3?10
若改用等价公式
ln(ln(x x =-
则(30)ln(30f =-+ 此时，
***
*7
1
59.9833y u u
u -1
ε()=∣-∣ε()30+ =
?ε()
≈8?10
第二章 插值法
1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：
0120121200102021101201220211,1,2,
()0,()3,()4;()()1
()(1)(2)()()2()()1
()(1)(2)
()()6
()()1
()(1)(1)
()()3
x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=
=-+--
则二次拉格朗日插值多项式为
2
20()()k k k L x y l x ==∑
0223()4()
14
(1)(2)(1)(1)23537623
l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+-
2．给出()ln f x x =的数值表
用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知，
01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144
x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-
若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
2
112
1
221
11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()
x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=
=---=+ 6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---
1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-
若采用二次插值法计算ln0.54时，
1200102021101201220212001122()()
()50(0.5)(0.6)
()()
()()
()100(0.4)(0.6)
()()()()
()50(0.4)(0.5)
()()
()()()()()()()
x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=
=----=++
500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)
x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-
3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当090x ≤≤时， 令()cos f x x =
取0110,(
)606018010800
x h ππ
===?=
令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π
=
=
当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为
11111()()
()k k
k k k k k k
x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--
插值余项为
111
()cos ()()()()2
k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=
-- 又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。
*5
**11
2111*11
11*1*1
(())102
()(())(())
(())(
)
1
(())()
(())
k k k k k k k k k k k k k k k k
k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h
f x εεεεεε-++++++++++∴=?--=+----≤+--=-+-=
∴总误差界为
12*1*12*85
5()()
1
(cos )()()(())21
()()(())211
()(())22
1
1.0610102
0.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=
---+≤?--+≤?+=?+?=?
4．设为互异节点，求证：
（1）0()n
k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =
（2）0
()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =
证明
（1） 令()k f x x =
若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为
0()()n
k n j j j L x x l x ==∑。
插值余项为(1)1()
()()()()(1)!
n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=
+ 又,k n ≤
(1)()0()0
n n f R x ξ+∴=∴=
()n
k k
j j
j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =
000
(2)()()
(())()()(())
n
k j j j n n
j i k i k j j j i n
n
i
k i
i k
j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑
0i n ≤≤又 由上题结论可知
()n
k i
j j
j x l x x ==∑
()()0
n
i k i i
k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式
∴得证。
5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：
21
max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为
10
101010
()()
()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()
()
x b x a
f a f b a b x a
--=+-- 1()()0
()0
f a f b L x ==∴=又
插值余项为1011
()()()()()()2
R x f x L x f x x x x x ''=-=
-- 011
()()()()2
f x f x x x x x ''∴=
-- []012
012102()()
1()()21()41
()4
x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????
=-=-又
∴21
max ()()max ().8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少 解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为
2111
()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=
--- 211441
()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f
x -+-≤≤'
''∴≤---
设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+
4343
21().6R x e h ∴≤=
若截断误差不超过6
10-，则
6
2
436
()10
10
27
0.0065.
R x
e h
h
-
-
≤
≤
∴≤
7．若44
2,.
n
n n n
y y y
δ
=?
求及，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
2n
n
y=
44
(1)
n n
y E y
?=-
4
4
4
4
4
4
4
4
(1)
4
(1)
4
(1)2
(21)
2
j j
n
j
j
n j
j
j j
n
j
n
n
n
E y
j
y
j
y
j
y
y
-
=
+-
=
-
=
??
=- ?
??
??
=- ?
??
??
=-?
?
??
=-
=
=
∑
∑
∑
11
44
22
()
n n
y E E y
δ-
=-
1
44
2
24
2
2
()(1)
2
n
n
n
n
E E y
E y
y
-
-
-
-
=-
=?
=
=
8．如果()
f x是m次多项式，记()()()
f x f x h f x
?=+-，证明()
f x的k阶差分()(0)
k f x k m
?≤≤是m k
-次多项式，并且1()0
m f x
+
?=（l为正整数）。解：函数()
f x的Taylor展式为
2()(1)1
111
()()()()()()
2!(1)!
m m m m
f x h f x f x h f x h f x h f h
m m
ξ
++
'''
+=+++++
+
其中(,)
x x h
ξ∈+
又()f x 是次数为m 的多项式
(1)()0
()()()m f f x f x h f x ξ+∴=∴?=+-
2()
1
1()()()2
!
m m f x h f x h f x h m '''=+
++
()f x ∴?为1m -阶多项式 2()(())f x f x ?=?? 2()f x ∴?为2m -阶多项式
依此过程递推，得()k f x ?是m k -次多项式
()m f x ∴?是常数 ∴当l 为正整数时，
1()0m f x +?=
9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+? 证明
11()k k k k k k f g f g f g ++?=-
111111111()()k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k
f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?
∴得证
10．证明11
0010
n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑
证明：由上题结论可知
1()k k k k k k f g f g g f +?=?-?
1
01
101
1
10
(())()n k k
k n k k k k k n n k k k k
k k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴?=?-?=?-?∑∑∑∑
111
0110022111100
()()
()()()
k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴?=-+-++-=-∑
1
1
0010
n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴?=--?∑∑
得证。
11．证明1
200n j n j y y y -=?=?-?∑
证明11
210
()n n j j j j j y y y --+==?=?-?∑∑
102110
()()()
n n n y y y y y y y y -=?-?+?-?++?-?=?-?
得证。
12．若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ，
证明：1100,02;(),1
k n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑
证明：
()f x 有个不同实根12,,
,n x x x
且1011()n n n n f x a a x a x a x --=++
++
12()()()()n n f x a x x x x x x ∴=---
令12()()()()n n x x x x x x x ω=--- 则11()()
k k n
n j j j j j n n j x x f x a x ω===''∑
∑
而2313()()()()()()()n
n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+--- 121()()()n x x x x x x -+
+---
1211()()()()()
()n
j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=-----
令(),k g x x =
[]121,,
,()
k n
j
n j n j x g x x x x ω=='∑ 则[]121,,,()k n
j
n j n j
x g x x x x ω=='∑ 又[]1211,,,()k n
j
n j j n
x g x x x f x a =∴='∑
1
1
00,02;(),1
k n
j
j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑
∴得证。
13．证明n 阶均差有下列性质：
（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,,,,,;n n F x x x cf x x x =
（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+ 证明： （1）
[]120011()
,,
,()
()()
()
j n
n j j j j j j j n f x f x x x x x x x x x x x =-+=----∑
[]120
011()
,,
,()
()()
()j n
n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x x =-+=----∑
0011()
()()()()
j n
j j j j j j j n cf x x x x x x x x x =-+=----∑
011()
()()()()
()
j n
j j j j j j j n f x c x x x x x x x x =-+=----∑
[]01,,,n cf x x x =
∴得证。
(2)()()()F x f x g x =+
[]00011()
,
,()
()()
()j n
n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x =-+∴=----∑
0011()()()
()()()
j j n
j j j j j j j n f x g x x x x x x x x x =-++=----∑
0011()
)()
()()
()
j n
j j j j j j j n f x x x x x x x x x =-+=----∑
+0
011()
)()
()()
()
j n
j j j j j j j n g x x x x x x x x x =-+----∑
[][]00,
,,,n n f x x g x x =+
∴得证。
14．74()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ????及018
2,2,,2F ????。
解：74()31f x x x x =+++
若2,0,1,,8i i x i == 则[]()01()
,,
,!n n f f x x x n ξ=
[](7)017()7!,,,17!7!f f x x x ξ∴===
[](8)018()
,,
,08!
f f x x x ξ==
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ξξ++=--∈
解：
若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件
33
()(),()()k k k k H x f x H x f x ''==
第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q
第7章复习与思考题
求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列 〈X k 1有极限 则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
《数值分析》作业 学院：机械学院 专业：机械工程 姓名：赵博 学号：2014520024 日期：2015年6月29日
第二章作业 问：用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 答：VB程序如下： Option Explicit Sub czfl(ByRef x() As Single, y() As Single, n As Integer, x1 As Double, f As Double) Dim i, j As Integer Dim p As Single Dim appexcel As Object Dim wbmybook As Object Dim wsmysheet As Object Set appexcel = CreateObject("excel.application") Set wbmybook = appexcel.workbooks.Add Set wsmysheet = appexcel.worksheets.Add f = 0 For i = 0 To n p = 1 For j = 0 To n If i <> j Then p = p * (x1 - x(j)) / (x(i) - x(j)) End If Next j wsmysheet.cells(i + 1, 1) = Str(p) wsmysheet.cells(i + 1, 2) = Str(p * y(i)) f = f + p * y(i) Next i wsmysheet.cells(n + 1, 3) = "最终结果" + Str(f) appexcel.Visible = True End Sub Private Sub Command1_Click(Index As Integer) Dim x() As Single
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所 给的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
数值分析第五版_李庆扬 一、课程基本信息 课程中文名称： 数值分析 课程英文名称： Numerical Analysis 课程类别： 专业基础课 开课学期： 秋 适用专业： 信息与计算科学；应用数学 总学时： 86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时） 总学分： 5（理论课3学分；上机实习2学分） 预修课程（编号）： 数学分析，高等代数，常微分方程 课程简介： 本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。是应用数学的重要分支之一。 建议教材： 《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书： [1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年； [2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年； [3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年 [4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年 [5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司2003 6、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。 二、理论课程教育目标 通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。 三、理论教学内容与要求（含学时） 第一章：计算方法的一般概念（4学时） 本章教学内容： 理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。 第二章：解线性方程组的直接法（8学时）
第一章 绪论 1设x 0,x 的相对误差为 ，求In x 的误差 进而有(In x*) 2.设x 的相对误差为2%，求x n 的相对误差。 xf '(x) 解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | | f(x) n 1 x nx n 1 又Q f '(x) nx , C p | | n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*) 且 e r (x*)为 2 r ((x*)n ) 0.02 n 3?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x ； 1.1021,x 2 0.031 , x 3 385.6, x 4 56.430,x ； 7 1.0. 解：x * 1.1021是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； X 3 385.6是四位有效数字； x 4 56.430是五位有效数字； x ； 7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： ⑴X ； X ； X ；,(2) x ；x ；x ；,(3) X ；/X 4. 其中x ；,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。 解: 解：近似值x *的相对误差为 e* x* x x* x* 而In x 的误差为e In x* In x* Inx 1 x* e*
* 1 4 (X 1) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 2) 2 10 * 1 1 (X 3) 2 10 * 1 ,亠 3 (X 4) 2 10 * 1 1 (X 5) 10 2 (2) (x ；x ；x ；) * * * X 1X 2 (X 3) 0.215 ⑶(X ；/X ；) * I * * * X 2I (X 4) X 4 (X 2) n & 4 3 解：球体体积为V - R 3 则何种函数的条件数为 C P r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*) (1) (X 1 * (X 1) 1 10 2 1.05 10 X 2 X 4) * (X 2) 4 1 2 3 10 (X 4) 3 1.1021 0.031 101 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.6 10 0.031 1 3 1 3 10 3 56.430 10 3 2 2 10 5 56.430 56.430 5计算球体积要使相对误差限为 X 2X 3 * * * X 1X 3 (x 2) 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? Rg/' V
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版 社 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位 的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,* 20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) *** 123x x x ,(3) ** 24/x x .
其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为