第十一章重积分
§1
二重积分的概念1.把重积分
∫∫D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0×,并用直线网x=n i ,y=n
j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.
2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.
3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.
4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.
性质2
若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()∫+D g f =∫∫+D D g f .性质4若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则∫∫≤D D
g f ,性质7(中值定理)若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得
()D ,f f D
?ηξ=∫.5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且
210D D D ∪=,?=11D int D int ∩,试证二重积分性质3.
性质3(区域可加性)若210D D D ∪=且11D int D int ∩?=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且
∫0D f =∫∫+2
1D D f f ,6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:
(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D
>∫;(2)若在D 内任一子区域D D ?′上都有
∫′
=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。.
7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得
()()∫∫D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()∫∫D
dxdy y ,x g .
8.应用中值定理估计积分
∫∫≤?++10y x 2
2y
cos x cos 100dxdy 的值
§2二重积分的计算
1.计算下列二重积分:
(1)()∫∫?D
dxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3×;
(2)∫∫D 2dxdy xy
,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0×,(ⅱ)D=[]3,0[]2,0×;
(3)()∫∫+D
dxdy y x cos ,其中D=[]π×?????π,02,0;(4)∫∫+D
dxdy xy 1x ,其中D=[][]1,01,0×.2.
设f(x,y)=()()y f x f 21?为定义在D=[]×11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且
∫D f =∫∫?1122
b a b a 21f f .3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()∫∫D
dxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:
(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:
(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;
(3)D=(){}
1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:
(1)()∫
∫20x 2x dy y ,x f dx ;(2)()∫∫????11x 1x 122dy y ,x f dx ;(3)()∫∫1
0x 02dy y ,x f dy +()()∫∫?31x 3210dy y ,x f dx .
5.计算下列二重积分:
(1)∫∫D 2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=
2
p (p>0)所围的区域;(2)()∫∫+D 22dxdy y x
,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤,y x ≤}
x 2≤;(3)∫∫?D x
a 2dxdy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分；(4)∫∫D
dxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+;(5)∫∫D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.
6.写出积分()∫∫d
dxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:
(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;
(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;
(3)D=(){}
0x ,y y x y ,x 22≥≤+.
7.用极坐标计算二重积分:(1)∫∫+D
22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π}24π≤;(2)
()∫∫+D dxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+;(3)()∫∫+′D
22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:
(1)()∫∫??2
0x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;
(2)()dxdy y ,x f D ∫∫,其中D=(){
a y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥,若x=v cos U 4,v sin U y 4=.
(3)()∫∫dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥,若x+y=u,y=uv.
9.求由下列曲面所围立体V 的体积:
(1)v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;
(2)v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体;
(3)v 由曲面9y 4x Z 222
+=和2Z=9y 4x 2
2+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:
(1)()()∫∫?+D
dxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤?≤y x 0;
(2)∫∫+D y x y dxdy e
,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.
12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:
()≤??
????∫2b a dx x f ()()∫?b a 2dx x f a b ，其中等号仅在f 为常量函数时成立。
13.设f 为连续函数,且f(x,y)=f(y,x)
证明:()∫∫1
00,x dy y x f dx =()∫∫??x
dy y x f dx 0101,1.14.求由下列曲线所围成的平面图形面积:
(1)x+y=a;x+y=b;y=αx;y=βx,(a>b,α>β)(2)2
2222b y a x ????????+=22y x +15.设f(x,y)=sfn(x-y),试讨论函数F(y)=
()∫1
0dx y ,x f 在()∞∞?,上的连续性并作出F(y)的图像.()()()
???∈∈b a, x ,0b a, x ,x f 2§3三重积分
1.计算下列积分
(1)()∫∫∫+v
2
dxdydz z xy ,其中v=[][][]1,03,35,2×?×?;(2)∫∫∫v zdxdydz cos y cos x ,其中v=[]×??????π×2,01,0??
????π2,0;(3)()∫∫∫+++v 3z y x 1dxdydz ,其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域;(4)()∫∫∫+v dxdydz z x cos y ,其中V 是由y=x ,y=0,z=0及x+z=2
π所围成的区域.
2.试改变下列累次积分的顺序:
(1)
()∫∫∫π?+1010y x 0dz z ,y ,x f dy dx ;(2)()∫∫∫+1
010y x 022dz z ,y ,x f dy dx .
()∫∫∫+?+10x 1x 1x z 2
22
dy z ,y ,x f dz dx 3.计算三重积分:
(1)
∫∫∫v dxdydz Z 2,其中V 由2222r z y x ≤++和+2x rz z y 222≤+所确定;(2)∫∫∫???+10102222222x y x y x dz z dy dx .
4.利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积:
(1)Z=22y x +,z=2()
22y x +,y=x,y=x 2;(2)2b y a x ??????++2c z ??
????=1,(0x ≥,0y ≥,0z ≥,a>0,b>0,c>0)5.设f （x ，y ，z ）在长方体V=[][][]f ,e d ,c b ,a ××上可积,若对任何()D z ,y ∈=[][]f ,e d ,c ×定积分F(y,z)=()∫b a
dx z ,y ,x f 存在,证明F(y,z)在D 上可积,且()∫∫D
dydz z ,y F =()∫∫∫v dxdydz z ,y ,x f .6.设V=()}?
??≤++1c z b y a x z ,y ,x 22
2222计算下列积分:(1)∫∫∫???v 22
2222dxdydz c
z b y a x 1;(2)∫∫∫++v c z b y a x dxdydz e 22
2222.
.
§4重积分的应用
1.求曲面az=xy 包含在圆柱222a y x =+内那部分的面积.
2.求锥面Z=22y x +被柱面Z 2=2x 所截部分的曲面面积.
3.求下列均匀密度的平面薄板重心:
(1)半椭圆122
22≤+b
y a x ,0≥y ;(2)高为h,底分别为a 和b 的等腰梯形.
4.求下列均匀密度物体重心:
(1)221Y X z ??≤,0≥z ;
(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体.
5.求下列均匀密度的平面薄板转动惯量:
(1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量;
(2)边长为a 和b,且夹角为?的平行四边形关于底边b 的转动惯量.
6.设球体x 2z y x 222≤++上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这个球体的质量.
7.计算下列引力:
(1)均匀薄片222R y x ≤+z=0对于轴上一点(0,0,c)(c>0)处的单位质量的引力;
(2)均匀柱体222a y x ≤+,h
z 0≤≤对于P(0,0,c)(c>h)处单位质量的引力.
8.求曲面
()()??
???φ=π
≤φ≤?φ+=π≤?≤?φ+=sin a z 20 cos acos b y 20 sin cos a b x 的面积,其中a,b 常数,且b a 0≤≤.
9.求螺旋面
??
???θ=π
≤θ≤θ=≤≤θ=b z 0 rsin y a r 0 cos r x 的面积
10.求边长为I 的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点的距离成正比,且在正方形中点处密度为0ρ.
11.求边长为a 密度均匀的正方体,关于其任一棱边的转动惯量.
总练习题
1.设
()y x f ,=???为有理数
为无理数 x 2y, x ,1()D y ,x ∈=[][]
1,01,0×(1)证明f 在D 上不可积;
(2)说明()∫∫1
01
0dy y ,x f dx 存在,并求它的值;(3)说明f 在D 上先x 后y 的累次积分不存在.
2.设平面上区域D 在x 轴和y 轴上的投影长度分别为L x ,L y ,D 的面积为D ?,(α,β)为D 内任一点.证明:(1)()()D
L L
dxdy y x y x D ?≤β?α?∫∫(2)()()2y 2x D L L 4
1dxdy
y x ≤β?α?∫∫.
3.试作适当变换,把下列重积分化为单重积分:(1)
()∫∫≤++1y x 2222dxdy y x
f ;(2)()
∫∫+D 22dxdy y x f
,其中D=(){x y y ,x ≤,}1x ≤;(3)
()∫∫≤++1y x dxdy y x f ;
(4)()∫∫D
dxdy xy f ,其中D=(){x 4y x y ,x ≤≤,}2xy 1≤≤.
4.计算下列积分:
(1)
[]∫∫≤≤+2y ,x 0dxdy y x ;
(2)
()∫∫≤++?4
y x 2222dxdy 2y x sgn .5.求下列函数在所指定区域D 内的平均值:
(1)f(x,y)=y cos x sin 22,D=(){
π≤≤x 0y ,x ,}π≤≤y 0;(2)()z ,y ,x f =222z y x ++,
D=(){
222z y x z ,y ,x ++}z y x ++≤.
6.设?=0
c b a c b a c b a 3
332221
11≠求平面
1
111h z c y b x a ±=++2
222h z c y b x a ±=++3
333h z c y b x a ±=++所界平行六面体体积.
.
7.研究函数
()y F =()dx y x x yf 1
022∫+的连续性,其中f 为[0,1]上正连续函数.
10.设f:R R 3→是连续可微函数,证明函数
H(x)=()∫∫332
2b a b a dy z ,y ,x f dz 是可微函数,且()x H ′=()∫∫??3
32
2b a b a dy x z ,y ,x f dz 11.设F(x,y)=()()∫?xy
y x
dz z f yz x ,其中f 为可微函数,求()y ,x F xy .12.设f 为可微函数,求下列函数F 的导数:
(1)F(t)=
()∫∫∫≤++++2222t z y x 222dxdydz z y x f ;
(2)F(t)=()∫∫∫v
dxdydz xyz f ,其中
v=(){x 0z ,y ,x ≤,}t z ,y ≤.
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
数学教材分析 全册教材安排 ? 数与代数领域 数与代数领域的内容， 无论从课时还是从内容份量上看， 都仍然是小学数学教学 的重要内容，这方面内容也是本册教材的主要内容之一，教材共安排 7 个单元， 分为五个部分。 1. 数的认识： 第 9 单元“倍数和因数”，教学倍数与因数的含义， 2 、 5 和 3 的倍数的特征， 素数和合数，奇数和偶数。关于公倍数和公因数，将安排在五年级再学习。 2 ．数的运算： 第 1 单元“乘法”， 教学三位数乘两位数的笔算， 以及相应的口算， 即口算几百 乘几十、几百几十乘几十、几十几乘几百。 第 4
单元“混合运算”，教学三步计算的混合运算，并认识中括号。 第 7 单元“运算律”， 教学乘法分配律， 并应用乘法分配律进行简便运算， 在练 习中进一步安排三步计算的实际问题， 帮助学生掌握解题思路， 提高解决问题的 能力。 第 10 单元“用计算器探索规律”，让学生用计算器探索因数变化引起积的变化的规律和商不变的规律，并应用商不变的规律使除法笔算简便。 3 ．式与方程： 第 13 单元“用字母表示数”，教学用字母表示数，求字母式子的值，字母式子的简单加减运算。 4 ．探索规律： 第 6 单元“找规律”，主要教学简单搭配现象中的规律，解决简单的搭配问题，同时学习并初步认识简单的排列、组合问题中的规律。 5 ．解决问题： 第 11 单元“解决问题的策略”，主要教学用画图的策略寻找解题思路，并注意把列表、画图的策略结合起来应用。 ?
空间与图形领域 新课程里空间与图形领域的内容变化较大， 本册的另一个主要内容就是空间与图 形的内容，共安排 4 个单元，分三个部分。 1 ．图形的认识： 第 3 单元“三角形”,教学三角形及其特征 , 三角形的分类与三角形的内角和， 等 腰三角形和等边三角形。 第 5 单元“平行四边形和梯形”， 依次教学平行四边形和梯形及其特征， 为学习 平行四边形和梯形的面积打好基础。 2 ．测量： 第 2 单元“升和毫升”， 在教学体积之前， 把升和毫升作为计量单位单独设置单 元，体会容量的含义，认识计量单位升和毫升，以及升与毫升之间的进率，学会简单的换算。这样安排会有利于以后体积概念的建立。 3 ．图形与变换： 第 8
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：
三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；
苏教版五年级数学（下册）全册教材分析 一、教学内容 本册教材共安排八个单元：《简易方程》、《折线统计图》、《因数和倍数》、《分数的意义和性质》、《分数加法和减法》、《圆》、《解决问题的策略》、《整理与复习》。 二、教材简析 “数与代数”领域的内容是本册教材的主要内容，共安排5个单元，有第一单元的“方程”，第三个单元“公倍数和公因数”，第四单元“分数的意义和性质”，第五单元“分数加法和减法”，第七单元“解决问题的策略”。“空间与图形”领域安排是第六单元的“圆”图形的认识。“统计与概率”领域安排1个单元，是第二单元的“统计”。 “实践与综合应用”领域的内容在本册教材中同样作了富有创意的尝试，共安排三次。“积与积的奇偶性”进一步让学生体会数在日常生活中的作用，并会运用数表示事物，进行交流；“球的反弹高度”结合分数的学习，让学生通过实验记录数据，研究球的反弹高度大约是下落高度的几分之几，各中不同球的反弹高度是否相同。“蒜叶的生长”让学生围绕身边的事物，初步学会设计简单的统计活动，通过观察、记录数据。进一步熟悉统计的方法与过程。这些实践与综合应用有助于学生进一步了解数学与生活的广泛联系，加深学生对所学知识的理解，培养综合运用知识解决问题的能力，获得积极的情感体验。 三、教学目标 1、经历将实际问题抽象成式与方程的过程，会解一些简易方程，会列方程解答相关实际问题，初步体会方程的意义和思想；经历因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数的认识过程，学会求两个数得最大公因数和最小公倍数，加深对自然数的特征和相互关系的理解；经历探索和理解分数意义、性质以及加减法计算方法的过程，体会数概念的进一步扩展，丰富对运算意义的理解，形成必要的计算技能。 2、通过观察、操作、思考、交流等活动，认识圆的特征，探索并掌握圆的周长和面积公式，进一步积累图形与几何的学习经验，获得相关的基础知识和基本技能。 3、在分析数量间的相互关系，推导圆的周长和面积公式，探索最大公因数和最小公倍数的求法，归纳分数基本性质等活动中，经历与他人合作交流的过程，学会在交流中不断完善自身的思考，进一步增强合作交流的意识。
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积等于 V= ()??+β+αS ds r cos z cos y cos x 31其中αcos ,βcos , cpsr 为曲面S 的外法线方向余弦. 2.若S 为封闭曲面,L 为任何固定方向,则 ()??S ds L ,n cos =0 其中n 为曲面S 的外法线方向. 3. 证明 公式 ???V r dx dydz =()??S ds n ,r cos 21 其中S 是包围V 的曲面,n 为S 的外法线方向. r=222z y x ++,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=()(z y x 2yz ++,()z y 2x zs ++, ())z 2y x x y ++是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) ()??++S ds z y x ,其中S 为上半球面 222z y x ++=2a 0z ≥; (2) () ??+S 22ds y x ,其中S 为主体1z y x 22≤≤+的边界曲面; (3) ?? +S 22ds y x 1,其中S 为柱面222R y x =+被平面Z=0,Z=H 所截取的P 分; (4) ??S xyzds ,其中S 为平面在第一卦限中的部分.
2.计算??S 2ds z ,其中S 为圆锥表面的一部分. S:?? ???θ=θ?=θ?=cos r z sin sin r y sin cos r x D:???π≤?≤≤≤20a r 0 这里θ为常数(0<θ<2 π). 3.计算下列第二型曲面积分 (1) ()?? -S dydz z x y +dzdx x 2+()dx dy x z y 2+,其中S 为x=y=z=0,x=y=z=a 平成所围成的正方体并取处侧为正向; (2)()()()??+++++S dxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点中心,边长为2的正方体 表面并取外侧正向; (3)??++S zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体 表面并取外侧为正向; (4) ??S yzdzdx ,其中S 是球面,222z y x ++=1的上半部分并取外侧为正向; (5)?? ++S 222dxdy z dzdx y dydz x ,其中S 是球面()2a x - +()2b y -+()2c x -=R 2并取外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x 2+y 2 +z 2=4的内部流过球面的流量 5.计算第二型曲面积分 I=()??S dydz x f +()dzdx y g +()dx dy z h 其中S 是平行分面体(a x 0≤≤,b y 0≤≤,c z 0≤≤)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x 2+y 2 +z 2=a 2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) ??++S sydxdy zxdzds yzdydz ,其中S 为单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (2) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是立方体≤0x,y,z a ≤的表面取外侧; (3) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 为锥面x 2+y 2 =z 2与平面z=h 所围的空间区域(h z 0≤≤)的表面方向取外侧; (4) ??++S 332dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (5) ??++S dxdy 2ydzds xdydz ,其中S 为上半球面Z=222y x a --的外侧.
苏教版课程标准实验教科书数学五年级（上册）教材分析 全册教材安排 一、基本内容 本册教材一共安排了11个单元和三个综合综合活动内容。其中： 数与代数领域一共安排了7个单元，包括“认识负数认识小数”小数加法和减法”小数乘法和除法（一）”小数乘法和除法（二）”找规律” 和“解决问题的策略。 空间与图形领域一共安排了2个单元，多边形面积的计算和公顷和平方千米的认识。 统计与概率领域安排了1个单元，即第十单元“统计” 实践与综合应用领域一共安排了3次活动，包括“面积是多少”校园的绿化面积”和“了解周围的家庭” 各个单元主要内容的编排后面结合单元知识分析时再作介绍。 二、编排体例上的一些变化 1.以练习划分单元内部的教学内容。 例如，第三单元“认识小数” 一共安排了三个练习（练习五、练习六和练习七）。其中，练习五配合小数的意义和读写方法的教学，包括2课时内容。第一课时是配合例1、例2安排的，主要帮助学生巩固对小数意义的理解，练习小数的读写方法；第二课时是配合例3、 例4安排的，主要帮助学生巩固对小数的数位顺序、计数单位及其进率的理解，练习小数的组成及简单应用。练习六配合小数的性质和大小比较的教学，也包
括2课时。第一课时是配合例5、例6安排的，主要帮助学生巩固对小数性质的理解，练习小数的化简和改写；第二课时是配合例7安排的，主要练习小数的大小比较，并解决相关的简单实际问题。练习七配合用小数表示大数目和求小数的近似数的教学，也包括2课时内容。第一课时是配合例8安排的，主要练习用“万” 或“亿”作单位的小数表示大数目；第二课时是配合例9安排的，主要练习求小数的近似值。 上述每一课时的内容通常包括1?2道例题，相应的“试一试”和 “练一练”以及若干道练习题。例题通过精心设计的数学活动，引导 学生掌握新的数学知识和方法，一般有明确的“知识点”。“试一试”一般涉及例题学习的概念的变式，数学方法的拓宽、延伸，或应用例题学习的知识和方法尝试解决一些难度较小的新问题。“练一练”指向例题教学中最基础，也是最重要的知识和方法，起巩固和消化的作用，一般不涉及新的知识点。练习配合例题的教学，一般应在课堂上完成，主要帮助学生强化认识、形成技能、发展思维、提高能力，增强兴趣。 这样的安排主要有两点考虑。第一，“知识与技能”目标的弱化是课改以来不少教师和家长非常担心的事情之一。而练习是巩固知识、加深理解、形成技能的必要手段，是锻炼思维、培养严谨的学习态度和克服困难意志的基本途径，是学习数学的基本方式之一。适当增加练习的机会，能为实现“知识与技能”的目标提供可靠的保障。第二，由于完成每个练习通常都需要几个课时，这就为教师更加灵活地确定每课时的教学内容提供了一定的空间。 2.在一些较大的单元之后安排“整理与练习” 本册教科书一共安排了六个“整理与练习”。每个“整理与练习”的内容
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章 第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是 _______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得 极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-， 则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最 大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得 极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______， 最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为 苏教版五年级数学下册教材分析 石硐小学五年级（1）班：徐来贵 一、教学内容 （一）数与代数 数的认识 第三单元：公倍数和公因数； 第四单元：认识分数； 第六单元：分数的基本性质； 数的运算 第八单元：分数加法和减法； 式与方程 第一单元：方程； 探索规律 第五单元：找规律； 解决问题 第九单元：解决问题的策略； （二）空间与图形 图形的认识：第十单元“圆” 图形与位置：第二单元“确定位置” （三）统计与概率 第七单元：统计 （四）实践与综合应用 1、数字与信息； 2、球的反弹高度； 3、奇妙的图形密铺； 4、画出美丽的图案。 二、各单元分析 第一单元方程 教学目标： 知识与技能：使学生在具体的情境中，理解方程的含义，初步体会等式与方程的关系；初步理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程，会列方程解决一步计算的实际问题。 过程与方法：使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象成式与方程的过程，积累将现实问题数学化的经验，感受方程的思想方法及价值，发展抽象思维能力和符号感。 情感态度与价值观：使学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯；获得一些成功的经验，进一步树立学好数学的自信心，产生对数学的兴趣。 教学重难点： 理解等式的性质和用等式的性质解方程是教学重点，在具体情境中寻找等量关系列方程解决简单的实际问题是教学的难点。 课时安排： 7课时 本内容共分三段安排： 1、例1、2教学等式的含义与方程的意义，用方程表示简单情境的等量关系； 2、例3-6教学等式的性质和运用等式的性质解一步计算的方程； 3、例7教学列方程解决一步计算的实际问题。整理与练习。 线索：认识方程、理解等式的性质、用等式的性质解方程、列方程解简单实际问题。 这一单元要借助天平这一具体情境帮助学生理解方程的意义并寻找等量关系。采用循序渐进的方式教学等式的性质（一）和（二），并在相应的过程中学习解方程的方法和书写格式。通过具体情境寻找等量关系并体会列方程解决问题的数学思想。 第二单元确定位置 教学目标： 知识与技能：使学生在具体情境中认识列、行的含义，知道确定第几列、第几行的规定；初步理解数对的含义，会用数对表示具体情境中物体的位置。 过程与方法：使学生经历用数对描述实际情境中物体的位置到用数对描述方格图上点的位置的抽象过程，逐步掌握用数对确定位置的方法，丰富对现实空间和平面图形的认识，进一步发展空间观念。 情感态度与价值观：使学生积极参与学习活动，获得成功的经验，感受数对与生活实际的联系，拓宽知识视野，激发学习兴趣。 教学重点与难点： 1.初步理解数对的含义。 2.会用数对表示具体情境中物体的位置。 3.掌握用数对确定位置的方法。 课时安排：3课时 本内容分两段安排 例1教学用数对表示位置；例2教学在方格纸上用数对确定位置。其特点是：从实际情境出发，提升学生的已有经验。教材中呈现丰富的情境，留下自主探索的空间。 师要在具体情境探索中让学生掌握规则：确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。 第三单元公倍数和公因数 教学目标： 知识与技能：使学生通过具体的操作和交流活动，认识公倍数与最小公倍 苏教版数学二年级下册（第四册）教材分析 一、教材分析 1、数与代数领域 认数方面：万以内数的认识，对万以内数的认识，有助于数感的培养。 运算方面：有余数的除法、三位数的加减法、两位数乘一位数、两步计算的加减法实际问题。结合表内乘除法有利于理解有余数除法的含义，也为学习笔算除法打好基础。在两位数加减和认识万以内数的基础上学习三位数的加减。具备学习两位数乘一位数的知识基础（表内乘除法、三位数的认识）。已经学会解决一步计算的实际问题，并有解决简单两步实际问题的生活经验。 2、空间与图形领域 确定位置（确定物体的方位、简单的路线图）：通过对物体方位和简单路线的判断和表述，发展空间观念。与学生的实际生活联系紧密，可以发展学生积极的学习情感。 测量方面：认识分米和毫米。这是在学生认识了米和厘米、初步形成了长度的观念的基础上安排的。感受长度量的实际意义并加强测量的实践性。 图形的认识方面：认识角和直角。这是在认识一些简单的平面图形的基础上学习的，认识角和直角是进一步学习图形特征的基础。 3、统计与概率领域 数据统计方面：简单的统计表、不同分类进行统计。在学生初步学会收集数据、整理数据的基础上学习用简单的统计表表达数据。让学生体会可以根据不同需要进行分类统计数据。 4、实践活动领域 实践活动安排有两种类型： 操作实践型：测定方向问题研究型：了解你的好朋友 主要考虑结合学习内容相机安排相应的实践活动内容。让学生应用所学知识解决实际问题，感受数学的应用与价值。体会数学与现实世界的联系，发展学生的数学意识。培养学生探索问题的意识和解决问题的能力。 二、教学目标 1、知识技能方面 (1)在把若干个物体平均分的活动中认识“剩余”，理解余数的含义， 理解余数一定比除数小的规律。掌握有余数除法的求商方法，会列竖式计算有余数的除法。 （2）生活实际并通过学具操作，认识百位和千位，理解三位数的意义，会读、写千以内的数，会比较数的大小。会口算整百数加、减整百数，整百数加整十数及相应的减法，会应用数概念和口算进行简单的估计和判断。 （3）两位数加、减两位数的基础上探索三位数加、减笔算方法，掌握计算要领，并会估计得数大约是几百，会对加、减计算进行验算。 （4）经历探索两位数乘一位数笔算方法的过程并掌握算法，会口算整十数乘一位数和不需要进位的两位数乘一位数，会估计两位数乘一位数的积的范围。 （5）能辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状，感受在不同的位置观察同一物体的不同形状。 （6）通过有效的学习活动，在已经认识东、南、西、北的基础上继续认识东北、东南、西北、西南。能根据东、南、西、北四个方向中给定的一个方向，辨认出其余七个方向。能运用方位词语描述物体所在方向，能看懂、会设计简单的线路图。 （7）结合生活情境认识角，知道角的顶点和边，会直观地比较角的大小。 初步认识直角，会辨认锐角与钝角。 （8）在测量活动中认识分米和毫米，知道分米、毫米与米、厘米的关系。 会恰当选用长度单位测量并表述物体的长度，会进行长度单位之间的简单换算。 （9）经历统计活动的过程，学会对比较熟悉的事情按照不同的标准分类，收集整理表格，获得有意义的信息。 （10）知道填表格和描方块都是表现统计结果的方法，会利用统计结果进行简单的判断、联想、预测。 2、数学思考方面 第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：14学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ>对 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; . 即当时区间长度趋于零. ⅱ> 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2.Cantor区间套定理: 是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 Th 3 设 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列. 例1验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴ . ⑵ . 解⑴ ; ，为使，易见只要 . 对 于是取 ⑵ . 当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 一年级数学下册教材分析 一、全册教材分析 （一）教学内容的分析 在学生掌握了20以内各数的基础上，这册教材把认数的范围扩大到100以内，使学生初步理解数位的概念，学会100以内数的读法和写法，弄清100以内数的组成和大小，会用这些数来表达和交流，形成初步的数感。结合100以内数的学习，认识人民币单位元、角、分的。100以内的加、减法，分为口算和笔算两部分。这册教材出现的是口算部分，即两位数加、减一位数和整十数口算。这些口算在日常生活中有广泛的应用，又是进一步学习计算的基础，因此，应该让学生很好地掌握。同时，教材结合计算教学，安排了应用所学计算知识解决问题的内容，让学生了解所学知识的实际应用、学习解决现实生活中相关的计算问题，培养学生用数学解决问题的能力。 在学生直观认识长方体、正方体和圆柱的基础上，直观认识长方形、正方形、三角形和圆，初步感受面与体的联系，初步感知有关平面图形的基本特征。 综合实践部分。教材注意结合上述内容的学习，让学生在活动中加深对有关数学内容的体验；结合100以内数的认识，安排了《我们认识的数》，引导学生用学过的数表示日常生活中的事物，感受数与日常生活的密切联系，进一步培养数感。结合认识人民币和相关的甲酸，安排了《小小商店》，让学生在现实情境中发现并解决购物活动中的简单计算问题，体会所学知识的实际应用价值。 （二）教学措施 1．以学生的已有经验为基础设计活动内容和学习素材，提供学生熟悉的具体情景，注重学生对知识的体验，获得对知识的理解。从而激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 2．在教学中尽量体现学生学习数学的知识形成过程，让学生经历从生活中发现并提出数学问题、解决数学问题的过程。 3．体现自主探索、合作交流的学习方式，让学生在合作交流与自主探索的氛围中学习。通过活动，让学生感受和体会数学知识的含义。 华东师范大学2004数学分析试题 华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求21 2 0)2(cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y . 3、求?--dx x xe x 2) 1(. 4、求幂级数∑∞ =1n n nx 的和函数)(x f . 5、L 为过)0,0(O 和)0,2 (π A 的曲线)0(sin >=a x a y ,求?+++L dy y dx y x .)2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=1 2n n a 收敛. 5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微. 6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌 握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什 么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数 的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第 六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/d54596932.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参 阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编
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