高等数学期末试题含答
案
This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
高等数学检测试题
一 .选择题 （每题4分，共20分）
1.
=?
-dx x 1
1
（ ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
（B ）
2，极限242
(,)(0,0)2lim
x y x y
x y →=+ A ，0 B ，1 C, D ，不存在
（D ）
3.积分=-?
dx x
11( )
A.c x x +--1ln
B. c x x +--)1ln (2
C.c x x +-+1ln
D. -c x x +-+)1ln (2
（D ）
4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a
()
lim
2f x x a
→'=-，则 （ ） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点
C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点
D.x=a 不是f(x)的极值点
(A)
5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=，
则?=0
x
(t)dt x F'd （ ）
A. (x)dx xF'-
B. (x)dx xF'
C. (x)dx]xF'[F(x)+-
D. (x)]dx xF'[F(x)+-
（D ）
二．填空：（每题4分，共20分）
1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=
??dxdy y x D （ 21 ）
2、2
lim()01
x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ； 3．设由方程
=-xyz e z
确定的隐函数
()=
??=x z
y x f z 则 ,,（ ()1-z x z ） 4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0
，常数），若2
3D
π=，则a= (-1)
5 数列极限
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
π
π .
三．解答题 （每题5分，共20分）
1. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=?，试求出)(x F ''
解：
2. 求不定积分
=
+?
dx x x 1
59
3．求极限4
20
sin 1lim
2x tdt
t x x ?
+→（5分）
解：21
sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim
224032404
20
2=+=?+=+→→→?x
x x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）
4．求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积
解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件
2(xyyzxz )a 2
下求函数Vxyz 的最大值
构成辅助函数
F (x y z )xyz λ(2xy 2yz 2xz a 2)
解方程组
???????=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(a xz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z
y x λλλ?
得
a
z y x 66=== 这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在
所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时
3
366a V = 四．计算题．（共20分）
1．求由曲线x
x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋
转所成旋转体体积．（10分）
解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x
e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1
-e ）,所围平面图形如图阴影部分，
取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为
dx
e e S x x )(1
--=?-----
2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）------------- 所求旋转体体积为
)
)21
1
2dx e
dx e V x
x
-??-=ππ--- 2(2|)2121(2
21022-+=+=--e e e e x x ππ）-
2.计算 ?
∞
+- 1
10
1
x x dx
（10分）
解：?
∞
+- 1
10
1
x x dx
?-=1
104t 1dt t
?-=1 0 105t
1)d(t
51 五．证明题：（共20分）
1．．试证：??π
π=20
20
)(cos )(sin dx x f dx x f （8分） 证明：
令x=
u -2
π则????==-=20
20
2
2
)(cos )(cos )(cos )(sin ππ
π
πdx x f du u f du u f dx x f
2．设函数)(x f 在[]π,0上连续，且
)(0
=?πx d x f ，
cos )(0
=?π
dx x x f .证明：
在()π,0内方程f(x)=0至少存在两个根。（12分）
（提示：设
?=
x
dx x f x F 0
)()(）
证：构造辅助函数：
π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0
。其满足在],0[π上连续，在),0(π上可
导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
????+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有?=π
0sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .