江西理工大学《线性代数》考题
填空题（每空3分，共15分）
[a 1 b〔 c〔['a-i b1 d1
1.设矩阵A = a 2 b? C2 ,B = a2b2 d2且A =4, B| =1 贝U A+
B
- a
3
b
3
C
3
1
a3 b3 d3 _
2.二次型f （X i,X2,X3）=x「+X22-tX2X3 +4X32是正定的，则t的取值范围_____________
1 1*
3.A为3阶方阵，且|A|=q，贝U （3A）」—2A = ____________
4.设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是________________
5.设A为n阶方阵，r「2「「n为A的n个列向量，若方程组AX二0只有零解，则向量组（r「2,…X）的
秩为_______
二、选择题（每题3分，共15分）
b/ -ax2= -2ab
6.设线性方程组-2CX2 3bX3二be，则下列结论正确的是（）
CX i ' ax3 — 0
（A）当a,b,c取任意实数时，方程组均有解（B）当a= 0时，方程组无解
7. A.B同为n阶方阵，则（）成立
(B)AB 二BA
[a n a12 a13 a21 a22 a23 _0 1 01
8.设A = a21 a22 a23 ，B = an a12 a13 ,R
:
- 1 0 0
a31 a32 a33 1.an *a31 a12 * a 32 a13 *833
-
0 0 1
一
(C) AB = BA (D) (A B) —A’ B*
（C）当b= 0时，方程组无解（D）当c= 0时，方程组无解
(A)A P1P2 (B)AP2P (C)P1P2A (D)P2RA
9. A, B均为n阶可逆方阵，则AB的伴随矩阵（AB）*二（）
）成立
(A) A*B* (B) AB A斗B 斗(C) B^A一(D) B* A*
10.设A 为n n 矩阵，r(A) = r < n ，那么A 的n 个列向量中()
(A) 任意r 个列向量线性无关
(B) 必有某r 个列向量线性无关
(C) 任意r 个列向量均构成极大线性无关组
(D) 任意1个列向量均可由其余n —1个列向量线性表示
三、计算题(每题 7分，共21分)
『3 0 0、
11.设 A = 1 4 0 。求(A_2E)」
3 0 3
1 -1 1 X —
1
1 -1 X 十1 -1
12.计算行列式
1 X —1 1 -1
X +1 -1 1 -1
(-2 0 0、 f 10 0、
13.已知矩阵A = 2 a 2 与B = 0 2 0 相似，求a 和b 的值 < 1 1丿 3 0 b 丿
四、计算题(每题 7分，共14分)
S 1 1
14.设方阵A = 1 2 1 的逆矩阵A 」的特征向量为己= k J 1 2丿
J
丿
(1 ⑴ ￡
线性无关(2)当口 1?2?3线性无关
时，将［表示成它们的线性组合
五、证明题(每题7分，共14分)
|x 1 ' 2x 2 - 2x 3 二 0
16. 设3阶方阵B = 0 , B 的每一列都是方程组 2X1 -X2 * X = 0的解 3x 1 X 2 一 X 3 = 0
1,0=1 (1)问人为何值时,
,求k 的值 15.设：-J 3 - ：2
17. 已知冷，「2,〉3, ： 4为n 维线性无关向量，设
fci \ fa \ fa y （a. \
E l = 1汕2 = 2 “3 = 3 “4 = 4 ，证明：向量?1^2^3^4线性无关 J 丿 3丿 J 丿 I 0丿
六、解答题（10分）
"（1 + 扎）x<| +x 2 + x 3 = 0
18. 方程组x-i （^ ■■■）x 2 x 3 =3，满足什么条件时，方程组
x 1 x 2 （1 " ；■ ）x 3 = ■
（1）有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解
七、解答题（11分）
19.已知二次型f （X 1,X2X ）=x 「+2x ?2+3X 32 -4^X 2-4X 2X 3，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次 型为标准型。
（二） ACCDB
（1）求■的值（2）证明: =0
1、20
2、 -4 t 4 16
27 n, 2 5、_n 0
10 0
（三）11、 1 1 0 12、（x4）13、（a=0,b = —2）
_2 2
0 0 1
1J
（四）14、
（k = —2 或
k =
0）
15、（（1）
^-1
1 1 1
（2用=尹1_沙—1）°2+严）
（五）16 （
⑴
人
=1 ⑵略）17略
（六）18、（（1）■- -3且■ -0;（2）■ =0;（3） 1. - -3,解略）（七）19、C =-1,2,5,其余略）