普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]
2.1.1合情推理
教学目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例, 了解合情推理的含义, 能利用归纳和类比等进行简单的推理, 体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学重点：
了解合情推理的含义, 能利用归纳和类比等进行简单的推理, 体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学过程
一、引入新课
1归纳推理
(一)什么是归纳推理
归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题, 而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围, 因此, 归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的, 而是或然性的。也就是说, 其前提真而结论假是可能的, 所以, 归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧, 人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来, 这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病, 第二次, 第三次, ……都治好了这一种病, 于是人们就把这几次经验积累起来, 做出结论说, “这种草能治好某一种病。”这样, 一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。
(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系
归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先, 从思维运动过程的方向来看, 演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论, 即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论, 即从特殊过渡到一般。其实, 从前提与结论联系的性质来看, 演绎推理的结论不超出前提所断定的范围, 其前提和结论之间的联系是必然的, 即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确, 那么, 其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围, 其前提和结论之间的联系不是必然的, 而只具有或然性, 即其前提真而结论假是有可能的。也就是说, 即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。
归纳推理与演绎推理虽有上述区别, 但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的, 两者互相依赖、互为补充, 比如说, 演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来, 从这个意义上我们可以说, 没有归纳推理也就没有演绎推理。当然, 归纳推理也离不开演绎推理。比如, 归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的, 这只有借助于理论思维, 依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导, 而这本身就是一种演绎活动。而且, 单靠归纳推理是不能证明必然性的, 因此, 在归纳推理的过程中, 人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说, 没有演绎推理也就不可能有归纳推理。
(三)观察与实验
归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然, 人们在进行归纳推理的时候, 总是先要搜集到一定的事实材料, 有了个别性的、特殊性的知识作为前提, 然后才能进行归纳推理。而搜集事实材料则必须运用经验的认识方法, 主要是观察和实验的方法。
1．观察
人们在对象或现象的自然状态下, 有目的地通过感官去研究对象或现象, 这就叫做观察。
为了使观察获得的材料比较可靠和比较准确, 还应注意两个问题：(1)必须坚持观察的客观性和全面性, 切忌主观的随意性和片面性。(2)尽可能地借助于有关的仪器设备来进行, 以克服感觉器官认识的局限性。
2．实验
人们在控制对象或现象的条件下有目的地通过感官去认识对象或现象, 就叫做实验。具体而言, 实验是人们根据研究的目的, 利用科学方法、设备, 人为地控制或模拟自然现象的条件, 排除干扰因素, 突出主要因素, 在相对的纯粹状态下研究自然现象的认识活动。例如, 要研究某一植物在某种条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况, 人们可以在实验室中, 人为地控制大自然对植物生态的影响, 只就酸碱度这一特定的因素进行考察。
实验是自然科学研究中最基本的研究方法。它和观察比较起来有以下优点：(1)实验可根据研究工作的需要, 使被研究的对象或现象在极其纯粹的状态下再现出来, 并借助于人工的隔离条件, 使其依照一定的顺序, 不断地重复出现。这就便于人们观察某种对象或现象的发生过程以及对象或现象间的因果关系。例如, 我们看见铁球与鸡毛从塔顶上同时往下落, 在空气中它们下落的速度是不一样的。这与空气有关还是无关?这是由于空气的阻力作用还是由于地球的引力作用呢？在自然状态下, 由于许许多多的对象或现象错综复杂地交织在一起, 我们是不能弄清楚这些问题的。为此, 我们可以做“自由落体”的实验：把铁球和鸡毛都放在抽掉空气的圆筒形的透明容器中, 看它们从同一高度同时下落的速度是否一样。这样, 就容易发现铁球与鸡毛在空气中下落的速度不一样与空气阻力作用的关系。在这个实验中, 我们人为地抽掉了空气这个因素, 排除偶然因素的干扰, “纯化”了被研究的现象。(2)可以把容易消失的自然现象或在自然条件下不易出现的自然现象, 人为地引发出来, 并使之重复出现, 以便于人们进行观察。例如, 天空中的闪电, 一闪即逝, 不易观察出究竟来。我们在物理实验室里可以采取人工模拟的办法, 引发闪电现象的重复出现, 以便反复地进行观察。
(四)一些整理经验材料的方法
在搜集材料的过程中, 还要对材料进行整理和研究。也就是说, 人们还要对经验材料进行思维加工, 这就需要运用理论思维的方法, 即比较、分析和综合等等。
1．比较法
比较法是在思维中用以确定对象之间相同点和相异点的逻辑方法。比较法的基本功用是辨同和别异。在进行比较时, 必须注意以下几点：首先, 必须在同一关系下进行比较。比如, 一个国家在使用旧货币时期的物价与币制改革后使用新货币时的物价, 就不能直接地加以比较。其次, 要就对象的实质方面进行比较, 不要因某种表现上的相同, 而忽略实质上的差异；也不要因表面上的差异, 而忽略实质上的相同。
2．分析法与综合法
分析是在思维中把对象的整体分解为各个部分、方面、特性和因素而加以认识的逻辑方法；综合是在思维中将已有的关于对象的各个部分、方面、特性和因素的认识联结起来, 形成关于对象的统一整体的认识的逻辑方法。分析是综合的基础, 而综合则是分析的发展。
(五)完全归纳推理和不完全归纳推理
1．完全归纳推理
先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候, 他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的, 而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此, 他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论, 就是运用完全归纳推理得出的。
可见, 完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察, 发现它们每一个都具有某种性质, 因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。
根据完全归纳推理的这一定义, 它的逻辑形式可表示如下(S表示事物, P表示属性),
S1——P
S2——P
……………
Sn——P
(S1,S2……Sn是S类的所有分子)
所以, S——P
从公式可见, 完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象, 而不是某一部分对象, 因此, 其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的, 即其前提与结论的联系是必然的。就此而言, 完全归纳推理具有演绎的性质。
由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察, 所以, 它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人, 学生), 它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。
2．不完全归纳推理
不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察, 发现它们具有某种性质, 因而得出结论说, 该类事物都具有某种性质。
第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质, 而没有发现相反的情况。比如：
■《内经?针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴, 一次不慎碰破足趾, 出了一点血, 但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发, 又偶然碰破原处, 头疼又好了。这次引起了注意, 以后头疼时, 他就有意刺破该处, 都有效应(这个樵夫碰的地方, 即现在所称的“大敦穴”)。
现在我们要问, 为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见, 这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论。在这里, 就其所运用的推理形式来说, 就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的：
第一次碰破足趾某处, 头痛好了,
第二次碰破足趾某处, 头痛好了,
(没有出现相反的情况, 即碰破足趾某处, 而头痛不好。)
所以, 凡碰破足趾某处, 头痛都会好,
如用公式表示则是：
S1——P
S2——P
Ss——P
……………
Sn——P
(S1, S2, Ss, ……, Sn是S类部分对象, 枚举中未遇相反情况。)
所以, S——P
这种仅仅根据在考察中没有碰到相反情况而进行的不完全归纳推理, 我们就称为简单枚举归纳推理或简称枚举归纳推理。
第二种情况。不是对某类事物的部分对象, 碰到哪个就考察哪个(简单枚举归纳推理就是如此), 而是按照事物本身的性质和研究的需要, 选择一类事物中较为典型的个别对象加以考察；通过这种对部分对象的考察而作出某种一般性的结论时, 也不只是根据没有碰到例外相反的情况, 而是分析和发现所考察过的某类事物的部分对象何以具有某种性质的客观原因和内在必然性。建立在这种对事物进行科学分析基础上的不完全归纳推理, 我们就称之为科学归纳推理。
两种不完全归纳推理的根据是完全不同的, 因而它们所得出结论的性质也是不同的。简单枚举归纳推理所依据的仅仅是没有发现相反的情况, 而这一点对于作出一个一般性的结论来说, 是必要的, 但并不是充分的。因为, 没有碰到相反的情况, 并不能排除这个相反情况存在的可能性。而只要有相反情况的存在, 无论暂时碰到与否, 其一般性结论就必然是错的。科学归纳推理则不同, 它所根据的是对事物何以存在某种性质的必然原因进行科学的分析, 因而它的结构是比较可靠的。
(六)探求因果联系的逻辑方法
排除归纳法是求因果联系的一个常用方法, 其基本思路是：考察被研究现象出现的一些场合, 在它的先行现象或恒常伴随的现象中去寻找它的可能的原因, 然后有选择地安排某些事例或实验, 根据因果关系的上述特点, 排除一些不相干的现象或假设, 最后得到比较可靠的结论。
为了检查的某种因果关系是否为真, 最可靠的实验方法是改变原因后, 看结果是否不同, 即进行对比实验, 对比实验的关键是让实验对象的其他方面的条件相同。又比如, 有时两组数据之间的数据因果并不一定有原理因果, 可能两组数据都是由其它某一种数据决定的, 这就是所谓表面因果与事实因果不符。
Ⅰ、现象间的因果联系
客观世界是一个有内在联系的统一整体, 其中各个对象或各个现象是互相密切联系着, 互相依赖着, 互相制约着的。因果联系是指原因和结果之间的联系。如果一个现象的出现必然引起另一个现象的出现, 那么, 这两个现象之间就有着因果联系。引起另一现象出现的现象叫原因, 被引起的现象叫结果。
因果联系是世界万物之间普遍联系的一个方面, 科学研究的一个重要任务就是要把握事物之间的因果联系, 以便掌握事物发生、发展的规律。因果关系的主要特点有：一是普遍必然性, 指任何现象都有其因, 也有其果, 且同因必同果, 但同果却不一定同因；二是共存性, 指原因和结果总是共同变化的；三是先后性, 即所谓的先因后果, 但先后关系并不等于因果关系；四是复杂多样性, 指因果联系是多种多样的, 固然有“一因一果”, 但更多的时候是“多因一果”。
原因和结果在时间上是先后相继的, 原因总在结果之前, 而结果总是在原因之后。因此, 我们在探求因果联系时, 只能从先行的情况中去找原因, 从后行的情况中去找结果。不过需要注意的是：两个现象在时间上的先后相继并非都存在着因果联系。例如, 白昼和黑夜, 在时间上虽是先后相继的, 但它们之间并不具有因果联系, 它们都是由于地球自转和绕太阳旋转所引起的结果。因此, 在探求因果联系时, 如果只是根据两个现象在时间上是先后相继的,
就作出它们之间具有因果联系的结论, 那么, 这就犯了“以先后为因果”的逻辑错误。
因果联系是完全确定的。在同样的条件下, 同样的原因必然产生同样的结果。例如, 在通常的大气压力的条件下, 把纯水加热取摄氏一百度, 它就必然会产生气化的结果。
因果联系是复杂的多样的。一个现象的产生, 可以是一个原因引起的, 也可以是多种原因引起的。例如, 日光、二氧化碳和水是使植物叶子能进行光合作用的原因, 而这三者则是植物的叶子能进行光合作用的不可缺少的条件, 这种原因叫做复合原因。忽视原因的多样性, 在实践上会导致有害的后果。例如, 一块地里的农作物生长不好的原因, 可以是水分不足, 也可以是肥料太少, 也可以是病虫害等等。如果我们忽略了原因的多样性, 只注意一种原因, 比如, 只注意施肥料, 那就可能会导致减产的后果。因此, 人们在探求因果联系时, 特别应当注意复杂现象的构成原因或结果。
Ⅱ、探求现象间因果联系的方法
1.求同法(或称契合法)
我们常常发现一些同志身体很好, 很结实。原因是什么呢?他们的情况各不相同, 有的是教师, 有的是学生, 有的是工人；有的原来体质较好, 有的原来体质较差；他们的工作条件、生活条件、学习条件也各不相同……。但发现他们却有一个共同的情况, 他们都持之以恒地锻炼身体。由此, 我们可以作出结论, 持之以恒地锻炼身体是他们身体好的原因, 至少是身体好的部分原因。这里就有着求同法的应用。
可见, 求同法是这样一种方法, 当我们发现某一现象出现在几种不同的场合, 而在这些场合里, 只有一个条件是相同的(其他条件均不相同), 这样, 我们就可以推断说, 这个相同条件就是各个场合出现的那个共同现象的原因。可以用这样一个公式来表示它：场合先行情况被研究现象
(1) A、B、C a
(2) A、D、E a
(3) A、F、G a
… … …
所以, A是a的原因(或结果)
下面再举两个求同法的例子：
例：在十九世纪, 人们还不知道为什么某些人的甲状腺会肿大, 后来人们对甲状腺肿大盛行的地区进行调查和比较时发现, 这些地区的人口、气候、风俗等状况各不相同, 然而有一个共同情况, 即土壤和水流中缺碘, 居民的食物和饮水也缺碘, 由此作出结论：缺碘是引起甲状腺肿大的原因。
例：某人晚上看了两小时书, 喝了几杯浓茶, 结果失眠了；第二天他同样看书, 抽了许多烟, 也失眠了；第三天他也看了两小时书, 喝了大量咖啡, 也失眠了。看来晚上看书容易引起失眠。
应用求同法所得到的认识(即找出的原因)并不都是正确的。因为在各种不同场合里存在的共同条件可能不止一个, 而作为真正原因的某一共同条件可能正好被忽视了。因此, 通过求同法所得到的认识, 应当通过实践或用其他方法去进一步检验。但是, 求同法为我们提供了找到现象原因的线索。所以, 它作为一种发现现象因果联系的方法, 在科学研究和日常生活中经常被人们应用着。
2.求异法(或称差异法)
求异法是这样一种方法：如果某一现象在一种场合下出现, 而另场合下不出现, 但在这两种场合里, 其他条件都相同, 只有一个条件不同(在某现象出现的场合里有这个条件, 而在某现象不出现的那一场合里则没有这个条件), 那么, 这唯一不同的条件, 就是某现象产生的原因。
求异法可用下述公式来表示：
场合先行情况被研究现象
(1) A、B、C a
(2) -、B、C -
所以, A是a的原因(或结果)
求异法在科学研究中, 特别是科学试验中, 是一种被广泛运用的方法。下面举例说明：■据报导, 在一些国家里, 大气污染极为严重, 不仅严重影响人们的身体健康, 也影响农作物的产量和树木的成长, 如使白杨树提早落叶等等。有一个国家的研究人员曾在环境暴露室中的两间实验室里做过下面的一个实验：将大气中被污染的空气放入一间实验室里, 而在另一间的入气孔上装上活性碳过滤器等清除污染物的装置, 使送入的空气变为洁净的空气。两间实验室中的土壤、水分、湿度、日照时间等与植物生长有关的其他条件完全相同。在两间实验室里, 分别栽上同样的白杨十五株。四个月之后, 在空气洁净的实验室里, 十五株白扬新长出的茎平均高二米九五, 而在污染室中, 新茎的平均高度只有二米零九；叶数前者平均为七十一片, 后者仅为二十六片。而且, 前者在九月上旬叶子还在继续生长, 而后者在八月初即开始落叶。这清楚表明：白杨树提早落叶的原因是大气污染。
■我们可以在种植同一作物的同一块田上, 一部分用某种肥料, 一部分不用。因此, 就可以清楚地通过作物的不同增产结果来判明施放这种肥料后的显著效果。
3.求同求异并用法
求同求异并用法是这样一种方法, 考察两组事例, 一组是由被研究现象出现的若干场合组成的, 称之为正事例组；一组是由被研究现象不出现的若干场合组成的, 称之为负事例组。如果在正事例组的各场合中只有一个共同的情况并且它在负事例组的各场合中又都不存在, 那么, 这个情况就是被研究现象的原因。下面是求同求异并用法的一个例子：■很久以来, 人们发现有些鸟能远航万里而不迷失方向。原因是什么呢?人们对此曾作过不少的猜测, 但都没有得到证实。近年来, 科学工作者发现每当天晴能见到太阳时, 这些鸟都能确定其飞行的正确方向；反之, 每当天阴见不到太阳时, 它们就迷失方向。由此, 科学工作者作出结论说, 有些鸟能远航万里而不迷失方向的原因是利用太阳来定向的。
4.共变法
共变法是指：在其他条件不变的情况下, 如果一个现象发生变化, 另一个现象就随之发生变化, 那么, 前一现象就是后一现象的原因或部分原因。比如, 气温上升了, 放置在器皿中的水银体积就膨胀了；气温下降了, 水银体积就缩小了。根据气温与水银体积的共变关系, 我们就可推断说, 气温的升降是水银体积膨胀或收缩的原因。
共变法可用下述公式来表示：
场合先行情况被研究现象
(1) A1、B、C、D a1
(2) A2、B、C、D a2
(3) A3、B、C、D a3
… …… …
所以, A是a的原因(或结果)
下例也是共变法的应用：
■地区磁场发生磁暴的周期性经常与太阳黑子的周期一致。随着太阳黑子数目的增加, 磁暴的强度增大。当太阳黑子的数目减少时, 磁暴的强度降低。所以科学家推测, 太阳黑子的出现可能是磁暴的原因。
■在50年代, 我国森林覆盖率为19％, 60年代为11％, 70年代为6％, 80年代不到4％。随着森林覆盖率的逐年减少, 植被大量破坏, 削弱了土地对雨水的拦蓄作用, 一下暴雨, 水
卷泥沙滚滚而下, 使洪涝灾害逐年严重。可见, 森林资源的破坏, 是酿成洪灾的原因。
以下哪项使用的方法与上文最类似?
A、敲锣有声, 吹箫有声, 说话有声。这些发声现象都伴有物体上空气的振动, 因而可以断定物体上空气的振动是发声的原因。
B、把一群鸡分为两组, 一组喂精白米, 鸡得一种病, 脚无力, 不能行走, 症状与人的脚气病相似。另一组用带壳稻米喂, 鸡不得这种病。由此推测带壳稻米中某些精白米中所没有的东西是造成脚气病的原因。进一步研究发现, 这种东西就是维生素B1。
C、意大利的雷地反复进行一个实验, 在4个大口瓶里, 放进肉和鱼, 然后盖上盖或蒙上纱布, 苍蝇进不去, 一个蛆都没有。另4个大口瓶里, 放进同样的肉和鱼, 敞开瓶口, 苍蝇飞进去产卵, 腐烂的肉和鱼很快生满了蛆。可见, 苍蝇产卵是鱼肉腐烂生蛆的原因。
D、在有空气的玻璃罩内通电击铃, 随着抽出空气量的变化, 铃声越来越小, 若把空气全抽出, 则完全听不到铃声。可见, 声音是靠空气传播的。
[解题分析] 正确答案：D
因为D和题干都使用求因果联系的共变法。
5.剩余法
所谓剩余法指的是：如果某一复合现象是由另一复合原因所引起的, 那么, 把其中确认有因果联系的部分减去, 则剩下的部分也必然有因果联系。
■自然科学史上有这样一个例子：1846年前, 一些天文学家在观察天王星的运行轨道时, 发现它的运行轨道和按照已知行星的引力计算出来的它应运行的轨道不同——发生了几个方面的偏离。经过观察分析, 知道其他几方面的偏离是由已知的其他几颗行星的引力所引起的, 而另一方面的偏离则原因不明。这时天文学家就考虑到：既然天王星运行轨道的各种偏离是由相关行星的引力所引起的, 现在又知其中的几方面偏离是由另几颗行星的引力所引起的, 那么, 剩下的一处偏离必然是由另一个未知的行星的引力所引起的。后来有的天文学家和数学家并据此推算出了这个未知行星的位置。1846年按照这个推算的位置进行观察, 果然发现了一颗新的行星——海王星。
在这个过程中就有剩余法的明显运用。就这个例子来说, 复合现象指天王星运行轨道的各处偏离(设为甲、乙、丙、丁四处偏离), 复合原因指各行星对天王星的引力(设为A、B、C、D四颗行星), 通过观察, 已经知道偏离甲由行星A所引起, 偏离乙由行星B所引起, 偏离丙由行星C所引起。那么剩下的部分, 即偏离丁必为未知行星D所引起。
剩余法可用下述公式来表示：
已知复合现象F(A、B、C)是被研究现象K(a、b、c)的原因
已知, B是b的原因
C是c的原因
所以, A是a的原因(或部分原因)
剩余法也是科学研究中常用的一种逻辑方法。比如：
■居里夫人对镭的发现就是运用这一方法的又一典型例子。居里夫人在对沥青铀矿的实验研究中, 发现它所放出的射线比纯铀放出的强得多, 纯铀不足以说明这种复杂现象, 还有一个剩余部分, 这剩余部分必然还有另外的原因(这原因必然存在于沥青铀矿中)。据此, 她再反复研究, 后来果然发现在沥青铀矿中还有一种新的放射性元素——镭。
对求因果联系的方法现再举一例说明, 请认真体会：
■有人作过一个十分有趣的统计：过去几百年间流传至今的466幅圣母玛利亚的画像中, 有373幅里的耶苏是在左边吸吮圣母的乳汁的, 这一数字大约是全部被统计画幅的80%左右。
艺术是生活的概括, 如果你稍微注意的话, 就会发现, 大多数母亲喂奶时, 也是把婴儿
抱在自己的左边。据心理学家统计, 80%的母亲都是把婴儿抱在左边的。
为什么会这样？为此, 有个心理学家做了以下的两个实验：
一个实验是让一些婴儿间断地听每分钟72次心跳录音。结果发现, 这些婴儿在不听录音时啼哭时间是60%, 而在听录音时, 就比较安静, 啼哭的时间降至38%。
另一个实验是任选四组婴儿, 每组人数相同, 把他们放在声音环境不同的房间里。第一个房间保持寂静；第二个房间放催眠曲；第三个房间放模拟的心跳声；第四个房间放真实的心跳声的录音。用这样的方法, 试验一下哪一个房间的婴儿最先入睡。结果是第四个房间的婴儿, 只用了其他房间中婴儿入睡所需时间的一半, 就进入梦乡。然后依次是第三个房间、第二个房间、第一个房间里的婴儿先后入睡。这个实验不但证明心跳声是一种有很强镇静作用的外界刺激, 而且表明模拟的心跳声的效果不如真的心跳声的效果。
分析：在这两个实验中, 心理学家所作的第一个实验运用的是求同法, 第二个实验运用的共变法。通过实验证明听到母亲的心跳声对婴儿有某种抚慰的作用。
2类比推理
类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同, 推断出它们在另外的属性上(这一属性已为类比的一个对象所具有, 另一个类比的对象那里尚未发现)也相同的一种推理。
据科学史上的记载, 光波概念的提出者, 荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较, 发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态, 由此, 惠更斯作出推理, 光也可能有呈波动状态的属性, 从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。类比推理的结构, 可表示如下：
A有属性a、b、c、d
B有属性a、b、c
所以, B有属性d
类比推理的客观根据是什么呢?在客观现实里, 事物的各个属性并不是孤立的, 而是相互联系和相互制约的。因此, 如果两个事物在一系列属性上相同或相似, 那么, 它们在另一些属性上也可能相同或相似。类比推理的结论是否可靠呢?这要看进行类比的两个或两类事物所具有的共同属性与类推属性之间是否有必然的联系。如果有, 用类比推理所得到的认识就是可靠的, 否则就是不可靠的。由此可见, 类比推理的结论只具有或然性, 即可能真, 也可能假。类比推理尽管其前提是真实的, 也不能保证结论的真实性。这是因为, A和B毕竟是两个对象, 它们尽管在一系列属性上是相同的, 但仍存在着差异性, 这种差异性有时就表现为A对象具有某属性, 而B对象不具有某属性。如何提高类比推理的结论的可靠性呢?第一, 前提中确认的相同属性愈多, 那么结论的可靠程度也就愈大；第二, 前提中确认的相同属性愈是本质的, 相同属性与要推出的属性之间愈是相关的, 那么结论的可靠程度也就愈大。
要特别注意, 不能将两个或两类本质不同的事物, 按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论, 否则就要犯机械类比的错误。例如, 基督教神学家们就曾用机械类比来“证明”上帝的存在。在他们看来, 宇宙是由许多部分构成的一个和谐的整体, 正如同钟表是由许多部分构成的和谐整体一样, 而钟表有一个创造者, 所以, 宇宙也有一个创造者——上帝。这就是把两类根本性质不同的对象, 按其表面相似之处, 机械地加以类比。这种类比显然是
错误的, 不合逻辑的。
例1、一般人总会这样认为, 既然人工智能这门新兴学科是以模拟人的思维为目标, 那么, 就应该深入地研究人思维的生理机制和心理机制。其实, 这种看法很可能误导这门新兴学科。如果说, 飞机发明的最早灵感是来自于鸟的飞行原理的话, 那么, 现代飞机从发明、设计、制造到不断改进, 没有哪一项是基于对鸟的研究之上的。
上述议论, 最可能把人工智能的研究, 比作以下哪项?
A. 对鸟的飞行原理的研究。
B. 对鸟的飞行的模拟。
C. 飞机的不断改进。
D. 飞机的设计制造。
[解题分析] 正确答案：D。
题干所作的类比分析是：飞机的发明、设计制造和改进并非基于对鸟的研究, 因此, 人工智能的研究也不应基于对人思维的生理和心理机制的研究。显然, 这里, 把对人思维的生理和心理机制的研究, 比作对鸟的研究；把人工智能的研究, 比作飞机的发明、设计制造和改进。D项和C项都和题干的上述类比相关, 但显然D项比C项作为题干中人工智能研究的类比对象更为恰当。
例2、小光和小明是一对孪生兄弟, 刚上小学一年级。一次, 他们的爸爸带他们去密云水库游玩, 看到了野鸭子。小光说：“野鸭子吃小鱼。”小明说：“野鸭子吃小虾。”哥俩说着说着就争论起来, 非要爸爸给评评理。爸爸知道他们俩说得都不错, 但没有直接回答他们的问题, 而是用例子来进行比喻。说完后, 哥俩都服气了。
以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？
A. 一个人的爱好是会变化的。爸爸小时候很爱吃糖, 你奶奶管也管不住。到现在, 你让我吃我都不吃。
B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫, 耗子就没了。但是, 如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。
C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好, 若是陌生人喂, 怎么也不吃。
D. 你们兄弟俩的爱好几乎一样, 只是对饮料的爱好不同。一个喜欢可乐, 一个喜欢雪碧。你妈妈就不在乎, 可乐、雪碧都行。
[解题分析] 正确答案：D。
在题干中, 两人说的“野鸭子吃小鱼”和“野鸭子吃小虾”都有可能性, 可能一部分野鸭子吃小鱼, 另一部分野鸭子吃小虾, 也可能是野鸭子既吃小鱼又吃小虾。所以两个孩子的话并不矛盾, 他们只是片面地看到了野鸭子某一种行为, 各执一词, 争论不休。在D中, 爸爸用哥俩各有偏好和妈妈既喝可乐又喝雪碧的例子进行类比, 说明同一个群体的不同个体可能有不同偏好, 一个主体也可以有不同的行为。由于比喻恰当, 哥俩也就服气了。选项C、D 用的不是比喻, 与题干不符。选项A虽然用了比喻, 但是说的是小孩和大人的区别, 而题干中并未讨论小鸭子和大鸭子。选B不妥, 因为B变的是事物的两面性, 含有人的主观评价, 与题干的含义相距较远。
小结：本节课学习了归纳推理与类比推理.
课堂练习：第62页练习A、B, 66页
课后作业：第69页A:1, 2,
合情推理与演绎推理测试题 本卷共100分，考试时间90分钟 一、选择题 (每小题4分，共40分) 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．． 是 （A ）94H C （B ）114H C （C ）104H C （D ）124H C 2. 四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上（如图），第一次前后排动物互换位置，第二次左右列互换座位，……，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔的位置对应的是（ ） 开始 第一次 第二次 第三次 A.编号1 B.编号2 C.编号3 D.编号4 4. 记集合3124234{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},{,1,2,3,4}10101010 i a a a a T M a T i ==+++∈=，将 M 中的元素按从大到小排列，则第2011个数是（ ） 2345573. 10101010A +++ 2345572.10101010B +++ 2347989.10101010C +++ 2347991.10101010 D +++ 5. 黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第2011个图案中 ， 白 色 地 面 砖 的 块 数 是 ( ) A ．8046 B ．8042 C ．4024 D ．6033
6. 如图.五角星魅力无穷,移动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动,当第一次结束回到A 处时,数字为6,按此规律无限运动,则数字2010应在 A. B 处 B. C 处 C. D 处 D. E 处 7. 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数 都超过50人； B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质； C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平 分； D.在数列}{n a 中，)1 (21,11 11--+= =n n n a a a a ，由此归纳出}{n a 的通项公式. 8. 已知0x >，由不等式322211444 22,33,,2222x x x x x x x x x x x x +≥?=+=++≥??=L 可以推出结论：*1(),n a x n n N a x +≥+∈则=（ ） A ．2n B ．3n C ．n 2 D ．n n 9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为}{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中 201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信 息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是 .A 11010 .B 01100 .C 10111 .D 00011 10. 下列推理过程是演绎推理的是（ ） A.两条直线平行，同旁内角互补，由此若,A B 行是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则180A B ???
2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，
小学数学中的合情推理 (2009-07-29 16:35:15) 分类：教学 标签： 杂谈 合情推理，是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念，它是指“观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正和调控等方法”。波利亚在致力改变美国数学落后状态的工作中，大力倡导合情推理的方法，并获得成功。 在数学学科教学中，我们重视和加强了双基教学，但学生在校所学到的学科知识，随着他们离开学校，多数会逐渐忘掉，甚至有的会忘得“一干二净”。如果说“教育是所有学会的东西都忘却以后，仍然留下来的那些东西”（M?劳厄），学生学习数学获得的不仅仅是知识，除此之外，更为重要的是思想与方法。而在研究探究性学习的今天，我们的教学一直在研究如何组织和组织的形式上，对在发展过程中使用的合情推理等方法没有予以足够的重视，而这些恰恰是人的优秀文化素质的重要组成部分。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。 一、合情推理在数学能力发展中的功能和作用 《数学课程标准（实验稿）》在课程的具体目标中明确提出了“培养和发展学生的合情推理能力”。合情推理，它“是在认知过程中，主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验，经过非演绎（或非完全演绎）的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式”。其主要表现在：“它可能是……”（猜测），“做出来看一看”（实验），“由上所述可得……”（归纳），“将人心比自心”（类比），“可以想象”（联想）等。 合理推理与通常所说的论证推理是不相同的。论证推理是可靠的；而合情推理是根据经验、知识、直观与感觉得到的一种可能性结论的推理，它推出的结论不一定都正确，却和论证推理一样在数学和生活中都有广泛的应用。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理。一些科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。事实证明，合情推理的这两种主要推理方式…归纳?和…类比?，不受逻辑规则的约束具有强烈的创造性质，它推动了数学的进步和发展。尽管由类比、归纳得出的结论不一定正确，必须加以论证才能确立，但它在数学教学中突出发展学生创造性思维的
高中数学推理与证明 高中数学推理知识点 1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。这个推理是由特殊推到一般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮子里确实都是水果，那么你就猜对了;如果篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。所以才会有证明。 2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论显然是不对的，香蕉并没有什么水分。但如果你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。(这个例子中指的都是正常水果)显然，这个推理方式是一个由特殊推特殊的过程，也不一定正确。 3、演绎推理：一般推特殊，一定对。例如，f(x)=1，那么f(1)=1 高中数学证明知识点 1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件一直往下推。 例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。 证明：因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 ____________所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量 ____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。 2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成立。
同样上面的例子的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2*1菠萝重量=2*80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。 因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。 3、反证法：先假设结论相反，然后根据已知推导，最后发现和已知不符，收!这是一个战胜自己的过程! 4、数学归纳法： 解题过程： A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础; B.假设在n=k时命题成立; C.证明n=k+1时命题也成立 高中数学推理与证明 一、公理、定理、推论、逆定理： 1.公认的真命题叫做公理。 2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。 3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。 4.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。 二、类比推理： 一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。
2019-2020年高中数学选修1-2合情推理 教学目标： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点： 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学过程 一、引入新课 1归纳推理 (一)什么是归纳推理 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。 拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 (二)归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。 归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 (三)观察与实验 归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示
四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )
小学数学教学中的合情推理 在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息经常需要作出选择和判断，进而进行推理、作出决策。因而，义务教育《数学课程标准》指出：“数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的推理能力。”推理分论证推理和合情推理两种。数学对发展推理能力的作用，人们早已认同并深信不疑。但是，长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的论证推理能力，忽视了合情推理能力的培养。应当指出，数学需要论证推理，更需要合情推理。 一、合情推理的含义 合情推理是一种合乎情理、好像为真的推理，它是数学发现的方法之一。合情推理，不全都依据数学公理体系和数学定理进行推理，而是运用了一些特殊的推理方法，从所得命题的真假性来看，不像论证推理所得的命题那样严密和稳定。似真非真和似真确真这两种情况都有可能发生。因此，合情推理又被称为似真推理。数学中的合情推理是多种多样的，其中归纳推理和类比推理是两种用途最广的特殊合情推理。法国数学家拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。” 二、发展学生合情推理的意义 首先，是实施新课标的需要。《数学课程标准》中明确：归纳和类比是合情推理的主要形式，并指出：第一学段“初步学
会选择有用的信息进行简单的归纳和类比”，第二学段“进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”，第三学段“体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力，但小学阶段以发展学生初步的合情推理能力为主要目标。 其次，是由小学生的认知特点决定的。鉴于小学生的年龄与认知特点，他们不可能通过具有严格标准的逻辑推理来发现和掌握数学原理和概念。因此，在小学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。再次，是学生学习数学的过程要求。波利亚说过：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”费赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的再创造的过程。数学学习本质是学生的再创造。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以再创造的方式进行。因此，在数学学习的过程中，应给学生提供具有充分再创造的通道，以激励学生进行再创造的活动。把数学知识学习的过程展开、还原，让学生经历观察、比较、归纳、类比……即合情推理提出猜想，然后再通过演绎，推理证明猜想正确或错误。数学网 三、发展学生合情推理的策略
1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：
第36讲 合情推理与演绎推理 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理． ②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别 __ 到__ 一般__的推理． (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理． ②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__. ③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×) 解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理． (2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适． (3)正确．因为大前提错误，所以结论错误． (4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确． 2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C) A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B) A．28B．32 C．33D．27 解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x－20＝12，因此x＝32. 4．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是(B) A．0B．1 C．2D．3 解析只有③正确． 5．观察下列不等式： 1＋1 22＜3 2， 1＋1 22＋1 32＜ 5 3，
小学数学教学中如何培养小学生的推理能力小学生在数学课上学习一点有关推理的知识，是《课标》指定的一个重要的教学内容。《数学课程标准》中指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人学习和生活经常使用的思维方式。推理一般的包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。在小学阶段，主要学习合情推理，即归纳推理和类比推理。而归纳推理又多表现为不完全归纳推理”。数学推理，是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程，它是数学发现的重要途径，也是帮助学生理解数学抽象性的有效工具。在小学数学教学中，如能重视强化学生的推理意识，培养学生的推理能力，既有利于帮助学生形成言必有据一丝不苟的良好习惯，也有利于学生掌握科学的思维方法，促进已有知识、经验、技能的有效迁移，提高学生的学习效率。在小学数学教学中如何培养小学生的推理能力？下面谈谈我在教学中的一些体会。 一、在小学数学教学中，要让学生说理，养成学生推理有据的好习惯 语言是思维的外壳，组织数学语言的过程，也是教给学生如何判断的推理过程，而与语言最密不可分的是演绎推理，小学生解题时大多是不自觉地运用了演绎推理，因此教学中教师必须追问为什么，要求学生会想、会说推理依据，养成推理有据的习惯，例如：14和15是不是互质数时一定要学生这样回答：公因数只有1的两个数叫做互质数，因为14和15 只有公因数1，所以14和15是互质数。这样运用演绎推理方法，经常进行说理训练，有利于培养学生的演绎推理能力。 二、教给学生正确的推理方法 小学生学习模仿性大，如何推理、需要提出范例，然后才有可能让学生学会推理。小学数学中不少数学结论的得出是运用了归纳推理，教学时就要有意识地结合数学内容为学生示范如何进行正确的推理。例如，在教乘法交换律时，我是这样引导学生学习的，计算多组算式：5×3=15、3×5=15所以5×3=3×5还有：15×4=4×15引导学生观察、分析，找出这些算式的共同点：左、右两边因数相同，交换因数的位置积不变，归纳出乘法交换律。 三、要把培养学生的推理能力贯穿在日常的数学教学中 能力的发展决不等同于知识技能的获得。知识可以用“懂”来描述，技能可以用“会”来描述，都可以立竿见影。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因此教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，并把推理能力的培养有机地结合在这一过程中。例如；在讲《分数的初步认识》这一课时时，学生在认识了二分之一，三分之一，四分之一……这些分数后，提出问题：二分之一和三分之一哪个分数大？先让学生说出自己的的猜想，接着验证：取两张相同的纸片，一个折出二分之一，另一个折出三分之一，再比较大小，一目了然，二分之一大于三分之一。接着再推理三分之一和四分之一哪个分数大？从而得出结论：分子为一的分数，分母小的分数大。这样再完成教学任务的同时，不知不觉中培养了学生的推理能力。 四、要把推理能力的培养植根于学生熟悉的生活实践中 要想促进学生推理能力更好地发展，除了书本知识外，还有很多活动能有效地发展学生的推理能力，例如：①大树与影子有什么关系，成什么比例，计算糖水里含糖量可能用什么比例解答，在解答之前，要用变化规律进行猜想，得到合情推理，再进行验证。②用举反例的方式证明结论不成立，如给小明家打电话，若多次接通但无人接听，则由此得出“小明不在家”的判断。③开展一些有趣的游戏或活动，培养学生的推理能力，如分圆比赛，就能得出“圆的周长与∏有关系”这一结论。
§2.1.1 合情推理（1） 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. ~ P30，找出疑惑之处） 28 在日常生活中我们常常遇到这样的现象： （1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 学习探究 探究任务：归纳推理 问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 . 新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理. 典型例题 例1 观察下列等式：1+3=4=， 1+3+5=9=， 1+3+5+7=16=， 1+3+5+7+9=25=， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ 变式：观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100，
…… 你能猜想到一个怎样的结论？ 例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式. 变式：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式. 动手试试 练1. 应用归纳推理猜测的结果.
练2. 在数列{}中，，（）,试猜想这个数列的通项公式. 三、总结提升 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 知识拓展 1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 学习评价 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2.若，下列说法中正确的是（）. A.可以为偶数 B.一定为奇数 C.一定为质数 D.必为合数 3.已知，猜想的表达式为（）. A. B. C. D. 4.，经计算得猜测当时，有__________________________. 5.从中得出的一般性结论是_____________ . 课后作业 1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.
高中数学合情推理与演 绎推理专题自测试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题 【梳理自测】 一、合情推理 1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27 2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高 2 ，可推知扇形面积公式 S 扇 等于( ) A.r2 2 B. l2 2 C.lr 2 D．不可类比 3．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°. 答案：1.B 2.C 3.B 4.①②④ ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
小学数学教学中培养学生合情推理能力 内容摘要数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用。因此，课堂教学中，教师应该根据教材内容对学生进行合情推理能力的培养。它不仅能够提高课堂教学质量，更重要的是有助于学生创新意识的培养和创新能力的提高。 关键词小学数学教学合情推理能力培养 质疑：我过去认为新教材轻视了对概念的准确定义以及定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去记概念、定理，讲求会用就行，这叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：如教学“三角形的内角和等于180°”时，教师先出示三角形的某一个角（其余两个角用纸板遮住），让学生说出是什么类型的三角形？①露出一只钝角时；②露出一只直角时；③露出一只锐角的时候。当出示了第③种情况时，有的说是锐角三角形，有的说是直角三角形，但老师拿出的却不是他们所猜测的三角形，这是什么原因呢？有什么办法才能知道、判断准确呢。而是让学生用剪纸拼接实验来加以说明，这是逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，而失去了数学的严谨性。通过认真解读《数学课程标准》而消除了误解，课标中提出“学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。” 数学家波利亚说:“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫做推理。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性
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第二节 合情推理与演绎推理 高考试题 考点一 合情推理 1.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55 =3125,56 =15625,57 =78125,…,则52011 的末四位数字为( ) (A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125 解析:∵55 =3125,56 =15625,57 =78125,58 =390625, 59 =1953125,510 =9765625,…, ∴5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化, 记5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数为f(n), 则f(2011)=f(501×4+7)=f(7), ∴5 2011 与57 的末四位数字相同,均为8125. 答案:D 2.(2012年湖北卷,理13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则 (1)4位回文数有 个; (2)2n+1(n ∈N +)位回文数有 个. 解析:1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有 1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共90个,5位回文数中,首末位数字不能为0,有9种选法,第2、4位数字有10种选法,第3位数字有10种选法,故5位回文数共有9×102 =900个,故猜想2n+1(n ∈N +)位回文数有9×10n 个. 答案:(1)90 (2)9×10n 3.(2013年陕西卷,理14)观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12 -22 +32 -42 =-10, … 照此规律,第n 个等式可为 . 解析:观察规律可知,第n 个式子为12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1)n+1 ()12 n n +. 答案:12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1) n+1()12 n n + 4.(2012年陕西卷,理11)观察下列不等式 1+212<32, 1+212+213<53, 1+ 212+213+214<74 , …
第六讲推理综合 ——学而思叶彬彬老师知识点回顾： 1、”>””<”比较法 2、表格法 3、假设法 4、矛盾分析法 一、比较型 方法：“>”“<” 二、“是非”型 方法：表格法（“是”：画√，“不是”：画×） 关键：一一对应时每行每列只有一个√ 注意：隐藏条件 三、真假型 1、半真半假：假设法 2、矛盾分析法 矛盾的两者为一真一假 先找矛盾或一致，再假设 【例】 甲乙丙三位小朋友分别喝三种不同的饮料，有另外三个小朋友猜他们喝的各是什么。当当猜：“甲喝可乐，乙喝芬达。” 东东猜：“乙喝雪碧，丙喝可乐。” 琳琳猜：“丙喝芬达，乙喝可乐。” 已知每人只猜对了一半，那么甲乙丙三位小朋友各喝什么饮料？ 分析： 由于不知道他们哪半句话是对，哪半句是错，我们可以假设其中一句话是对的，再来推后面的，如果最终推出矛盾，就说明我们假设错了。可以将他们三人的话先用表格表示出，以直观分析： 第二种假设推出矛盾了，丙喝两种饮料。 故假设当当说的第一句话为真是正确的，那么甲喝的是可乐，乙的是雪碧，丙的是芬
达。 总结： 像这种有半句真半句假的真假型推理题，我们就可以先假设其中一种情况是真的，如果推出来的结果中没有矛盾，即每个人都找到了一种情况，而且是合理的，那么我们做的这个假设就是正确的，从它推出来的结果就是我们想找的正确结果。 每周一练 1、三个小朋友分别是8岁，9岁，10岁，小蕾的年龄比小慧大，小玲的年龄也比小慧大，但不是9岁，小蕾今年（）岁，小玲是（）岁，小慧是（）岁． 2、妈妈买了苹果、香蕉、橘子3钟水果，大明说每个人只吃一种水果，并且他不吃苹果，小明说他不吃苹果，不吃橘子，小小明想让大家猜一猜他们都各自吃了什么水果？ 3、小南和小北是好朋友，他们中一位是教师，一位是医生，一位是司机，现在我们只知道，小北比司机年龄大，小东和医生不同岁，医生比小南年龄小，那么，谁是教师，谁是医生，谁是司机呢？ 4、甲乙丙三位老师正在谈话，一位是生物老师，一位是外语老师，一位是语文老师。甲老师上课说汉语，丙老师是生物老师的哥哥，外语老师是优秀的女老师，你能判断出谁是生物老师吗？ 5、为了给老鼠妈妈过生日，老鼠爸爸订做了一盒蛋糕，但没等到鼠妈妈下班回家，鼠爸爸发现蛋糕被吃掉了。鼠爸爸很生气，把四个孩子叫到面前问是什么情况，老大说：“是老二吃的。”老二说：“是老四吃的。”老三说：“我没有吃。”老四说：“老二在说谎！”他们四人中只有一人说了真话，其余的人全在撒谎，你能猜出是哪个淘气鬼偷吃了蛋糕吗？ 参考答案 1、小蕾9岁，小玲10岁，小慧8岁。 2、小明不吃苹果，不吃橘子，所以小明吃香蕉，余下两种水果大名不吃苹果，所以大
《合情推理—归纳推理》教学设计 （人教A版高中课标教材数学选修1—2第二章2.1第一课时） 2016年10月
《归纳推理》教学设计 一、教学内容分析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1—2第二章《推理与证明》2.1《合情推理与演绎推理》的第一课时《归纳推理》，归纳推理为合情推理的一个类型.本课作为本章节的起始课要了解推理的含义，通过实例进一步了解归纳推理的含义，通过对归纳推理过程的感知，了解推理过程，进而能利用归纳进行简单的推理. 归纳推理是合情推理的一个重要类型，数学发现的过程往往包含有归纳推理的成分，在人类文明、创造活动中，归纳推理也扮演了重要的角色.归纳推理是作为一种思维活动存在的，教学的内容不是学习某一具体知识，而是感悟一系列的思维过程，逐步形成一种“思维习惯”，作为起始课形成习惯是困难的，但体验“过程”是相对容易的，“体验之旅”将成为本节课的主线.归纳推理的过程我们概括为“观察—分析—归纳—猜想”，对于“证明”我们暂不做要求，因此重点感悟归纳推理的过程，证明做适当引导. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，这本身就体现了特殊与一般的数学思想，由于猜想结果超出了前提界定的范围，前提与结论之间的联系不是必然的，这又体现了必然与或然的数学思想.本课中的实例在数学史中都是赫赫有名的，“四色猜想”、费马数、哥德巴赫猜想、问题4中的毕达哥拉斯平方数等，这些实例展现了一代代数学家对于数学的好奇心和想象力体现了他们不畏困难，坚持不懈的探索精神，抓住这些内容可以培养学生“勇于探究”的精神，这一精神正是新一轮课程改革强调的学生核心素养中“科学精神”的重要体现。新一轮的课程改革即将到来，作为普通教师也有必要在教学中未雨绸缪，避免大寒索裘.数学思想和数学文化将作为本课的一条暗线穿插于教学内容之中. 本节课的教学重点：了解归纳推理的含义，通过实例，掌握“观察—分析—归纳—猜想”的推理过程. 二、教学目标设置