2020-2021学年人教版八年级数学寒假学习精编讲义
新课衔接站04
17.2 勾股定理的逆定理
1．互逆命题与互逆定理
名称定义关系
互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样
的两个命题叫做__________．如果把其中一个叫
做原命题，那么另一个叫做它的逆命题
（1）命题有真有假，而定理都
是真命题；
（2）每个命题都有逆命题，但
不是所有的定理都是逆定理；
（3）互逆的两个命题不一定同
真或同假，互逆的两个定理都是
真命题
互逆定理一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理
2．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足__________，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理．
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：
①确定三角形的最长边；
②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．
【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角．
（2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”．3．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数．
常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．
勾股数的求法：
（1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；
7，24，25；9，40，41；11，60，61；…．
【知识汇总参考答案】
1．互逆命题2．a2+b2=c2
勾股定理的逆定理
勾股定理与其逆定理的区别：
（1）勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论相反；
（2）勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定．
考点1：勾股定理的逆定理
【例1】（2020春?荔湾区月考）若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．【解答】解：设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x；
综上所述：x的值为或，
故答案为：或．
【变式1-1】（2020春?大冶市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
【解答】解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
【变式1-2】（2020春?蔡甸区校级月考）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．6、8、10 B．9、12、15 C．7、24、25 D．、、
【解答】解：A、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（2020秋?温江区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD＝13，AB＝2，BC ＝9，DC＝12，则四边形ABCD的面积为．
【解答】解：连接BD，
∵∠C＝90°，BC＝9，DC＝12，
∴BD15，
∵AB2+AD2＝（2）2+132＝56+169＝225＝DB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°，
∴四边形ABCD的面积为：AB?AD CB?CD2139×12＝1354，
故答案为：1354．
【变式1-4】（2020秋?肃州区期末）在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
【解答】解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
∴S△ABC BC?AD21×8＝84．
因此△ABC的面积为84．
故答案为84．
【变式1-5】（2020秋?亭湖区期中）在△ABC中，三边长分别为5、12、13，则它的面积为．【解答】解：在△ABC中，三边长分别为5、12、13，
∵52+122＝132，
∴三角形是直角三角形，
∴面积为5×12＝30．
故答案为：30．
【变式1-6】（2013春?越秀区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD ＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝213．
勾股数
一组数是勾股数必须同时满足两个条件：
（1）这三个数都是正整数；
（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方，这两个条件缺一不可．
考点2：勾股数
【例2】（2019春?右玉县期末）有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是．【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82＝172，
解得：x＝15，
②172+82＝x2，
解得：x（不合题意，舍去），
故答案为：15．
【变式2-1】（2019秋?南海区月考）下列各组数为勾股数的是（）
A．6，12，13 B．10，24，26 C．3，4，7 D．8，15，16
【解答】解：A．∵62+122≠132，
∴6，12，13不是勾股数，故本选项不符合题意；
B．∵102+242＝262，
∴10，24，26是勾股数，故本选项符合题意；
C．∵32+42≠72，
∴3，4，7不是勾股数，故本选项不符合题意；
D．∵82+152≠162，
∴8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-2】（2020春?兖州区期末）若8，a，17是一组勾股数，则a＝．
【解答】解：①a为最长边，a，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，a15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
【变式2-3】（2017春?孝南区期末）我们把满足方程x2+y2＝z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（、、），（、、）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．
【解答】解：（1）写出两组勾股数：（6，8，10），（9，12，15）．
（2）证明：x2+y2
＝（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2
＝z2，
即x，y，z为勾股数．
故答案为：6，8，10；9，12，15．
【变式2-4】（2019?马鞍山二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．
观察下列两类“勾股数”：
第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；
（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．
【解答】解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；
第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；
（2）当a为奇数时，，；
当a为偶数时，，；
证明：当a为奇数时，a2+b2，
∴（a，b，c）是“勾股数”．
当a为偶数时，a2+b2
∴（a，b，c）是“勾股数”．
【变式2-5】（2018?合肥二模）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【解答】解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
勾股定理点的应用
利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．
考点3：勾股定理的应用
【例3】（2020秋?南海区期中）如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（）
A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m
【解答】解：∵AB＝2.5m．AO＝0.7m，
∴BO 2.4（m），
∵B′O＝BO﹣BB′＝2.4﹣0.4＝2（m）．
∴A′O 1.5（m），
A′A＝A′O﹣AO＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．
故梯足将滑动的距离是0.8m．
故选：C．
【变式3-1】（2019秋?郫都区期末）东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？．
【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即：折断后的竹子高度OA为4.2尺．
故答案为：4.2尺．
【变式3-2】（2020秋?达川区校级月考）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（）
A．5km B．8km C．10km D．20km
【解答】解：由题意可得：AB20（km），
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．
故选：B．
【变式3-3】（2020秋?碑林区校级月考）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200米，则共需要投入多少钱？
【解答】解：连接AC，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC25（米）．
在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2．
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC15×207×24＝234（平方米）．
∴四边形空地ABCD的面积为234平方米．
∴200×234＝46800（元）．
答：学校共需投入46800元．
【变式3-4】（2020春?海安市月考）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．
【解答】解：由勾股定理得AB12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
【变式3-5】（2020秋?沈河区校级期中）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为．
【解答】解：连接MP，根据题意可得：MP＝NP，
则在Rt△MNA中，
MN2＝AM2+AN2，
则42＝32+AN2，
解得：AN，
设NP＝x，则AP x，
则在Rt△MP A中，
MP2＝AM2+AP2，
x2＝32+（x）2，
解得：x，
故答案为：km．
【变式3-6】（2020秋?青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
【解答】解：如图所示：
过点A作AC⊥ON于点C，
∵∠MON＝30°，OA＝160米，
∴AC OA＝80米，
∵80m＜100m，
∴该小学会受到噪声影响；
（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，
∴AB＝AD＝100米，
由勾股定理得：BC（米），
∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米
∴影响的时间应是：t24（秒）；
答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．