不等式
题组一
一、
选择题
1. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件??
?
??≤≥+≥+-3005x y x y x ，
则y x z 42+-=的最小值是（ ▲ ）
A ．15
B ．－18
C ．26
D ．－20 答案 B. 2．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设,x y 满足约束条件：
112210
x y x x y ≥???
≥??+≤??，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．6
B ．－６ Ｃ．1
2 Ｄ．－７
答案 B. 3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若0a b >>，则
A ．2
2
()a c b c c R >∈ B ．
1b
a > C ．lg()0a
b ->
D ．11()()22
a b
<
答案 D.
4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式
26
01
x x x ---＞的解集为( )
A.{}
2,3x x x -＜或＞ B.{}
213x x x -＜，或＜＜ C.{}
213x x x -＜＜，或＞ D.{}
2113x x x -＜＜，或＜＜ 答案 C.
5.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）设双曲线12
2
=-y x 的两条渐近线与
直线2
2
=
x 围成的三角形区域（包含边界）为D ， P （y x ,）为D 内的一个动点，则目标函
数y x z 2-=的最小值为
（A ）2- （B ）22- （C ）0 （D ）2
23 答案 B.
6．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）不等式2()0f x ax x c =-->的解集为
{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）
答案 C.
7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式
26
01
x x x ---＞的解集为( )
A.{}
2,3x x x -＜或＞ B.{}
213x x x -＜，或＜＜ C.{}
213x x x -＜＜，或＞ D.{}
2113x x x -＜＜，或＜＜ 答案 C. 8．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0 ＜3a B ．log 3a >log 3b C (lga)2 <(lgb)2 D ．( 1e )a <(1e )b 答案 A. 9．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设1100,x z x y z t y t ≤≤≤≤≤+则 的最小值是 （ ） A ．2 B ． 12 C ． 15 D ． 110 答案 C. 二、 填空题 10．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知二次项系数为正的二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （si nx ，2），=b （2si nx ， 2 1），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，不等式f （?a b ）＞f （?c d ）的解集为 。 答案 } 4π34 π|{< 11．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）若1x 和2x 是方程022 =--mx x 的 两个实根，不等式 2 1235x x a a -≥-- 对任意实数[]1,1-∈m 恒成立，则a 的取值范围 是 答案 12．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）不等式 12 1x x +≥ 的解集为 。 答案 13．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）区域D 的点(,)P x y 满足不等式组 1 122x y y x y x +≤?? -≥??-≤? ，若一个圆C 落在区域D 中，那么区域D 中的最大圆C 的半径r 为 。 答案 14、（湖北省武穴中学2011届高三12月月考理）若a+1>0,则不等式2x 2x a x x 1 --≥-的解集 为 答案 15.（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 . 答案 [0,4] . 解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b | |a |恒成立， 而 |a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b | |a | ＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 16．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） 已知实数y x z y x x y x y x 203 5,+=?? ? ??≥+≤≥+-则目标函数满足的最小值为 ． 【答案】3-。 【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。 【解析】不等式组5030x y x x y -+≥?? ≤??+≥? 所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点(3,3)B -处 取得最小值3-。 【考点】不等式。 【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。 三、 解答题 17.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理） (本题13分)已知函数?? ? ??<+=>+-=)0()0()0(2)(22x bx x x a x x x x f 为奇函数。 (1)求b a ,并写出函数的单调区间； (2)解不等式)2()(->f x f 答案 14. 18．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 （I ）已知,x y 都是正实数，求证：3 3 2 2 x y x y xy +≥+； （II ）设函数|4||12|)(--+=x x x f ，解不等式2)(>x f ． 答案 （1）证明：（Ⅰ）∵3 3 2 2 2 2 ()()()()x y x y xy x x y y y x +-+=-+- 222()()()()x y x y x y x y =--=-+， 又∵,x y R + ∈，∴2 ()0,0x y x y -≥+>，∴2 ()()0x y x y -+≥， ∴3 3 2 2 x y x y xy +≥+． …………（5分） 法二：∵2 2 2x y xy +≥，又∵,x y R + ∈，∴0x y +>， ∴2 2 ()()2()x y x y xy x y ++≥+，展开得3 3 2 2 2 2 22x y x y xy x y xy +++≥+， 移项，整理得3 3 2 2 x y x y xy +≥+． …………（5分） 不等式选讲．解：（法一）令y =|2x +1|-|x -4|，则 y =5,0.533,0.545,4x x x x x x --≤-??--< 它与直线2y =的交点为(72)-，和5 23?? ??? ， ．…… 4分 所以2142x x +-->的解集为),3 5()7,(+∞?--∞．…5分 解：（法二）()?? ???>+≤≤---<--=)4(5)42/1(33) 2/1(5x x x x x x x f 19．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） （本小题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d （米）与车速v （千米/小时）需遵循的关系是21 2500 d av ≥（其中a （米）是车身长,a 为常量）,同时规定2a d ≥ ． （1）当2 a d =时，求机动车车速的变化范围； （2）设机动车每小时流量1000v Q a d =+，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q 最大． 【分析】（1）把2a d = 代入212500 d av ≥，解这个关于v 的不等式即可；（2）根据d 满足的不等式，以最小车距代替d ，求此时Q 的最值即可。 【解析】（1） 2a =2500 1 a v 2, v=252, ∴ 0 （2） 当v≤252时, Q =a v 231000, Q 是v 的一次函数，v=252，Q 最大为a 3250000， 当v>252时, Q =)250001(1000v v a +≤a 25000 , ∴当v=50时Q 最大为a 25000 ．………12分 【点评】不等式 【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距d 有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个 限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于2a ，当车速大于212500 av 。 20．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|21||23|.f x x x =++-（I ）求不等式6)(≤x f 的解集；（II ）若关于x 的不等式a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。 【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；（2）问题等价于max ()f x a >。 【解析】（I ）原不等式等价于 313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ??>-≤≤??? ???++-≤+--≤??或或12(21)(23)6 x x x ?<- ???-+--≤? 3分 解，得3131 212222 x x x <≤-≤≤-≤<-或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x 6分 （II ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x 8分 4<∴a 10分 【考点】不等式选讲 【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式6)(≤x f ，等价于13 322 x x ++-≤，其几何意义是数轴上的点x 到点12 , 23 -距离之和不大于3，根据数轴可知这个不等式的解区间是[]1,2-。 21. （甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题） (12分)已知函数2 ()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-且对于任意x R ∈, 恒有 ()2f x x ≥成立. (1) 求实数b ,a 的值; (2) 解不等式()5f x x <+. 答案 （1） 由,2)1(-=-f 知, ,01lg lg =+-a b …① ∴ .10=b a …②又x x f 2)(≥恒成立, 有0lg lg 2≥+?+b a x x 恒成立,故0lg 4)(lg 2 ≤-=?b a ． 将①式代入上式得:01lg 2)(lg 2 ≤+-b a , 即,0)1(lg 2 ≤-b 故1b lg =． 即10=b , 代入② 得,100=a ． （2）,14)(2++=x x x f ,5)(+ <-+x x 解得: 14<<-x , ∴不等式的解集为}14|{<<-x x ． 22.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题） (12分)已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ?? ∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围 答案 22.(1)3,2;(2)(1,4) 23．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）（12分）已知函数22 3)32ln()(x x x f - +=． （1）求)(x f 在[]1,0上的最大值； （2）若对任意的实数?? ????∈2 1,61x ，不等式[]03)(ln |ln |>+'+-x x f x a 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[]1,0上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围． 答案 （1）23)13)(1(33323)(+-+-=-+= 'x x x x x x f ，令0)(='x f ，得3 1=x 或1-=x （舍） 当310< ≤x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当131 ≤ 1 3ln )3 1(- =∴f 是函数在]1,0[上的最大值 （2）3|ln |ln 23a x x ->-+对11 [,]62 x ∈恒成立 若3ln 0,23x >+即11 [,)63 x ∈，恒成立 由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得x x a 323ln ln +->或x x a 323 ln ln ++< 设x x x x g x x x x x h 323 ln 323ln ln )(,332ln 323ln ln )(2+=++=+=+-= 依题意知)(x h a >或)(x g a <在11 [ ,]32 x ∈上恒成立 )(),(,03262)(,0)32(2)(2 x f x g x x x x h x x x g ∴>++='>+= ' 都在11[,]32 上递增 )21(h a >∴或1()3a g <，即127 ln >a 或1ln 3 a < （3）由b x x f +-=2)(知022 3)32ln(2 =-+- +b x x x ， 令b x x x x -+-+=22 3)32ln()(2 ?，则x x x x x 329723323)(2+-=+-+='? 当]37, 0[∈x 时，0)(>'x ?，于是)(x ?在]37,0[上递增；当]1,3 7 [∈x 时，0)(<'x ?，于是)(x ?在]1,37[ 上递减，而)0()37(??>，)1()3 7 (??> b x x f +-=∴2)(即0)(=x ?在]1,0[上恰有两个不同实根等价于 ?? ? ? ?? ?? ? ≤-+=>-+-+≤-=0215ln )1(037267)72ln()37(02ln )0(b b b ???，解得37267)72ln(215ln +-+<≤+b 24.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理） 设3x =是函数2 3()()()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。 （Ⅰ）、求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）、设0a >，2 25()()4 x g x a e =+。若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决 问题的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2 ＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－x , 由f `(3)=0，得 －[32 ＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3 ＝0，即得b ＝－3－2a ， 则 f `(x)＝[x 2 ＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3－x ＝－[x 2 ＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－x . 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则 在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a ＋3）e 3 <0，f (4)＝（2a ＋13）e －1 >0，f (3)＝a ＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3 ，a ＋6]. 又2 25()()4 x g x a e =+ 在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2 ＋ 425，（a 2＋4 25）e 4 ]， 由于（a 2 ＋ 425）－（a ＋6）＝a 2 －a ＋4 1＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须 （a 2 ＋ 4 25