名校联盟数学试题

名校联盟2017-2018学年第二次联合考试

高2018级理科数学

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 01．若集合{()}2ln 82M x y x x =

=+-，集合{}3x N y y ==，则图中阴影部分的集合为（

） A

．(][)204-+?，

， B ．[]04， C ．()04， D ．(]()204-+?，， 02．已知数列{}n a 是等差数列，若1320063

a a p

+=

，则()12018cos a a +=（ ）

A ．3

B ．

22 C ．32 D ．1

2

03．设x y 、满足约束条件100

x y x y ì+?

í??≤≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）

A ．2

B ．2-

C ．1

D ．1-

04．过双曲线22

143

x y -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A B 、两点，则||AB = A ．3 B ．7 C ．21 D ．3 （ ）

05．如图,在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =，02

A p

骣琪桫，，()01C ，，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．

()

431p

- B ．

()

421p

- C ．()4

31p - D ．()421p -

第01题图 第05题图 第07题图

06．从12345、、、、

中随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和为6的三位数共有 A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 （ ）

07．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，

则最长和最短的棱的长度分别为（ ）

A ．625，

．64， C ．44， D ．52 08．下列程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．它是一种求最大

公约数的算法，原本是为约分而设计的．执行该程序框图，输入6251225a b ==，

，则输出的a = 09．2017年圣诞节前夕，网上倡导国人不过洋节并倡导国人在每年12月26日隆重纪念毛泽东。毛泽东

()1893.12.261976.9.9-，字润之,笔名子任，湖南省湘潭县人。中国人民的领袖，马克思主义者，

伟大的无产阶级革命家、战略家和理论家，中国共产党、中国人民解放军和中华人民共和国的主要缔造者和领导人，诗人，书法家．2018年12月26日是毛泽东诞辰125周年之日，下题是特为纪念

这一日子而作。设0x 为函数()sin f x x p =的零点且满足()ln 20181893001

||2

x f x e -骣++<琪

桫

，则这样的零点有（ ）

A ．247个

B ．248个

C ．249个

D ．125个

10．设函数()2

1f x x =，()()222f x x x =-，

()0129999

i i

a i =

=，，，…，，记()()10||k k k I f a f a =-+ ()()()()()219998||||12k k k k f a f a f a f a k -++-=…，，则（ ）

A ．12I I <

B ．12I I =

C ．12I I >

D ．122I I -=

11．已知A B 、

是球O 的球面上两点，90AOB ?,C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最

大值为36，则球O 的体积为（ ）

A ．288p

B ．64p

C ．144p

D ．256p

12．如图，11212323AB C B C C B C C D D D 、

、都是边长为2的等边三角形且它们的一边在同一直线3AC 上，在边33B C 上有20个不同的点()12320i P i =，，，…，，记()212320i i m AB AP i ==，，，…，，则20

1

i i m ==?

A ．303

B ．90

C ．1203

D ．360 （ ）

第08题图 第12题图

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．

13．设复数z 满足()14z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 。

14．设直线x t =与函数()2

f x x =，()ln

g x x =的图象分别交于点M N 、

，则||MN 的最小值为 。 15．若抛物线2

4x y =，过点()6P m -，

作抛物线的两条切线PA PB 、，A B 、为切点，设PA PB 、的斜率分别为12k k 、

，则12k k = 。 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90S =，15225S =，则n nS 的最小值为_ _______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分，第一问6分， 第二问6分）

如图，12

33

AD AB AC =+，1AD =，3AB =，3

ADB

p

?.

⑴求DC ；

⑵设ABD D 的外接圆面积为1S ，ACD D 的内切圆面积2S ，求

2

1

S S 的值。

18．（12分，第一问2分，第二问4分，第三问6分）

HPH 是买房幸福指数的简称，()

()

2100/m =

?月工资元买房幸福指数房价元。2018年1月，随手记、美团点评联合发布《2017年轻人消费趋势报告》，该报告基于随手记2亿用户的财务大数据以及美团

点评大数据，对国内年轻人消费生态与发展趋势进行了全景式解读，报告根据各地城市房价及人均收入比来衡量一个城市的买房幸福指数。数据指出，重庆人均月收入6584元，城市房价7195元/2m ，工资与房价比高达0.915，“买房幸福指数为91.5”，高居北京、上海、广州等十大国家级中心城市之首。随后，西南大学学生会组织部分同学，随机调查重庆市北碚区一社区500个家庭的买房幸福指数，并将调查结果得如下频率分布直方图：

⑴求这500个家庭买房幸福度的样本平均数x 和样本方差2S （同一组数据用该区间中点值作代表）； ⑵由频率分布直方图可以认为，买房幸福度Z 服从正态分布()2N m s ，，其中

m 近似为样本平均数

x ，2s 近似为样本方差2S .利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；

⑶买房幸福度不小于215的家庭称“AAA 买房幸福”家庭。用样本估计总体，用频率作概率，现在北碚区随机抽取3个买房家庭，记抽到“AAA 幸福”的家庭个数为X ，求X 的分布列和期望。 附：15012.2?

若()2Z N m s ～，，则()()0.6826220.9544P Z P Z m s m s m s m s -<<+=-<<+=，

．

19．(12分，第一问6分，第二问6分）

如图,在直角梯形ABCP 中，AP BC ∥，AP AB ^，1

62

AB BC AP ==

=，D 是AP 的中点，E F 、分别为PC PD 、的中点，G 为BC 上一动点，将PCD D 沿CD 折起，使得PD ^平面ABCD ⑴若G 为BC 的中点，求EFG D 在平面ABCD 内的俯视图的面积；

⑵设平面EFG 与平面EFD 所成锐二面角的平面角的最大值为a ，求cos a 的值。

20．（12分，第一问5分，第二问7分）

已知动点A 在圆22

19C x y +=：上，AN x ^轴于点N ，动点M 满足()2222OM AM ON +=-，

设动点M 的轨迹为曲线C .

⑴求动点M 的轨迹曲线C 的方程；

⑵过点()20-，

作直线交曲线C 于B D 、，过点()20，作直线交曲线C 于A C 、且AC BD ^于点P ，求四边形ABCD 的面积的最小值。

21．(12分)已知函数()x

f x e =（e 为自然对数的底数， 2.71828e =…），()2

()2

a g x x x

a R =-

-?. ⑴令()()()'h x f x g x =+，若()0h x ≥对任意的x R ?恒成立，求实数a 的值；

⑵在⑴的条件下，设整数p q 、

对于任意正整数n 有1

n

n

i i

p q n =骣<<琪桫?，求p 的最大值和q 的最小值.

【选考题】请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

22．（12分，第一问5分，第二问5分）【选修4-4：极坐标与参数方程选讲】

如图，在直角坐标系中，已知曲线M 的方程为2

2

39x y +=，

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求曲线M 的极坐标方程；

⑵设曲线M 上任意三点A B C 、

、满足AOB BOC COA ???，求222111

||||||

OA OB OC ++的值

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+． ⑴解不等式()5g x <；

⑵若对任意1x R ?都有2x R ?使得()()12f x g x =成立, 求实数a 的取值范围．

名校联盟2017-2018学年下期高2018级联合考试

数学试题（理科）参考解答及评分标准

题号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 答案 A D B C B D A B C B A

D

题号 13 14 15 16

答案 22 2

ln 21

21

－6 -270 三、解答题：本大题共6. 17．⑴由1233AD AB AC =

+得2BD CD =，由正弦定理知sin sin 6

AD AB

B

B ADB

p

=?D，

∴ABD D 为直角三角形，∴2BD =，1CD =

⑵设ABD D 的外接圆半径为1r ，ACD D 的内切圆半径为2r ，∴11r =，

由余弦定理知2

33AC AC =?∵()()2211123

23sin 22

234

ACD s AC AD CD r r AD CD p D =

++=+=

=，∴23

32

r =。 ∴

22121221334

S r S r p p ==- 18．⑴500个家庭买房幸福度的样本平均数x 和样本方差2s 分别为

1700.021800.091900.222000.33

2100.242200.082300.02

200

x =????+???= ()()()()()()222

2222

300.02200.09100.2200.33

100.24200.08300.02

150

s =-?-?-??+???=

⑵∵由⑴知(200150)Z N ～，

，∴(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+= ⑶∵由直方图知，随机在北碚区抽取一个买房家庭是“AAA 幸福”的家庭的概率为0.1，

∴()30.1x B ～，

，()30.10.3E x =?，x 的分布列为 x 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001

19．⑴如图，EFG D 在平面ABCD 内的俯视图为GDH D ,其面积为

2

. ⑵如图，以D 为原点，DA DC DP 、、为方向向量建立空间直角坐标系D xyz -.

则()033E ，，

，()003F ，，， 设()()6006G m m ，，≤≤，()030EF =-，，，()33EG m =-，，.

设平面EFG 的法向量为()n x y z =，，，

∴3

300330

x n EF y y n EG mx y z z m

ì=ì镒=-=?眄?镲?+-=?=?，∴(30)n m =，， 平面PCD 的一个法向量，()600DA =，，，∴2

5cos ,5

||||69DA n

DA n DA n m

×=

=

+≥，∴5

cos a =

20．⑴设动点00()()M

x y A x y ，

、，，∵AN x ^轴于点N ，∴0(0)N x ， 由题意2(222)OM AM

ON +=-得000(,)2()2)(0)x y x x y

y x +--=，，，

∴000(3232)2)0)x x y y x

--=，，，∴000322)320x x x y y ì?-=í

?-=?，∴0

32

x y y ì

=??í?

=?? 将3)2y A ，代入22

9x y +=得曲线C 的方程为22184x y += ⑵①假设直线BD 的斜率存在，设其方程为()2y k x =+，设()()1122B x y D x y ，、，

联立()222280y k x x y ì=+?í?+-=?可得()2222

128880k x k x k +++-=，∴()2

1222

1

22

81

28812k x x k k x x k ì+=-??+í*-?

=??+ ∴)22

1

||1

2k BD k +=

+

∵直线AC 的斜率为1k

-，∴同理得)22

22

1

11||221k k AC k k

+

+==++ 四边形ABCD 的面积()()()()22

2222222

1611611

64

||||29

1221222k k S AC BD k k

k k ++===骣+++++

琪

桫

≥

当且仅当222

122

1k k k +=+?时，上式取“=”号。

②若直线BD

的斜率不存在，()0A -

，(2B -，()0C ，(2D --， ||AC =||BD =1

||||82

S AC BD =

= 综上所述，四边形ABCD 面积的最小值为64

9

21．⑴∵()'1g x ax =--，∴()1x

h x e ax =--，

由()0h x ≥对任意的x R ?恒成立，即()min 0h x ≥，由()'x

h x e a =-，

①当0a ≤时()'0x

h x e a =->，()h x 的单调递增区间为()-??，，

∴()0x ??，时()()00h x h <=，∴不满足题意.

②当0a >时，由()'0x

h x e a =-=得ln x a =

∵()ln x a ?

?，时()'0h x <，()ln x a ??，时()'0h x >，

∴()h x 在区间()ln a -?，

上单调递减，在区间()ln a +?，上单调递增， ∴()h x 的最小值为()ln ln 1h a a a a =--，设()ln 1a a a a j =--，∴()0a j ≥……① ∵()'ln a a j =-，∴令()'ln 0a a j =-=，得1a =，

∴()a j 在区间()01，

上单调递增，在区间()1+?，上单调递减，∴()()10a j j =≤……② 由①②得()0a j =，则1a =.

⑵由⑴知1

0x

e x --≥，即1x x e +≤，

令()0121k

x n N k

n n

*=-?-，，，，…，，则01k n

k e n --＜≤，∴1n

n k k n k e e n --骣骣-=琪琪

桫桫

≤，

∴()()12211

1211n

n n n n

n

n n i i

n n e e e e n n n n n ------=骣骣骣骣骣-=+++++++++琪

琪琪琪琪桫桫桫桫桫?...≤ (11111)

121111n e e e e e e ----=<==+<----，∴1

2n

n

i i n =骣<琪桫?，

又∵333

123

1333

骣骣骣++>琪琪琪桫桫桫，∴p 的最大值为1，q 的最小值为2.

22．⑴曲线C 的极坐标方程为2229

cos 3sin r q q

=+

⑵设1||OA r =，2||OB r =，3||OC r =，xOA a ?，

则()1232

433A B C r a r a p r p 骣骣+琪琪桫桫，

，，，，， 222

12322

22229992244cos 3sin cos 3sin cos 3sin 3333

r r r a a

a p a p a p a p ===骣骣骣骣+++++++琪琪琪琪桫桫桫桫，， ∴22222

2

123111111

||||||OA OB OC r r r ++=++ 2222222222244

cos 3sin cos 3sin cos 3sin 3333

9

24

32sin 2sin 2sin 233

93

a a a p a p a p a p

a a p a p

骣骣骣骣+++++++++琪琪琪琪桫桫桫桫=

骣骣+++++琪琪桫桫==

23．⑴由125x -+<得5125x -<-+<，13x \-<，解得24x -<<．

∴原不等式的解集为{}|24x x -<<

⑵∵对任意1x R ?都有2x R ?使得()()12f x g x =成立，∴(){}(){}||y y f x y y g x =?，

有()()()2232233f x x a x x a x a =-++--+=+≥， 当且仅当()()2230x a x -+≤时取等号，

()122g x x =-+≥，∴32a +≥，∴1a -≥或5a -≤

∴实数a 的取值范围(][

)51-?-+?，，.

在()()4

611x y ++的展开式中，记m n

x y 项的系数为()f m n ，

，则()()()()30211203f f f f +++=，，，， A ．45 B ．60 C ．120 D ．210

【解析】∵

64

32321)(1)(201561)(4641)x y x x x y y y ++=++++++++（

∴()()()()30211203201546614120f f f f +++=+???，

，，，

12．如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是FBC D 内或EFD D 内

（包括边界）的一个动点，设()AP AF AB R l m l m =+?、，

则l m +的取值范围是( )

A.[

]13， B ．[]14， C.5

42

轾犏臌， D. 【解析】

()()112211111111012111991982

2212111121999999

99121()()99

991132981|()()||()()||()()|19999221()()2199i i i i i i i i i i i i

i i i i

i a a a a i f a f a a a I f a f a f a f a f a f a i f a f a a a a a +++++++++-=

-=+=+-=-=

?骣

+++?=-+-++-=

=琪

桫

+轾-=---=-臌，……()22120222129929831333132982999999|()()||()()||()()|2

220049

(98960298)(298)491

9999

99999999

11()()sin 2πsin 2π39999|()i i i I f a f a f a f a f a f a i i f a f a I f a f +骣-=琪桫

′=-+-++-′=

++++++=

??<创?轾骣

骣+-=??琪琪犏

桫

桫臌=-……03231399398312()||()()||()()|

125748252sin 2π2sin 2πsin 2π139999399a f a f a f a f a I I I B +-++-轾骣

骣骣=???\>>琪琪琪犏

桫桫桫臌…，，选

11．在直角梯形ABCD 中，AB AD ^，CD AD ^， 222AB AD CD ===．沿AC 折叠成三棱

锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积．4

3

p 骣琪桫

记f(x)＝ln x ＋－1(x>1)，则f ′(x)＝－＝>0，∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

又f(1)＝0，即f(x)>0，又k ≥2且k ∈N *

时，>1，∴f ＝ln ＋－1>0， 即ln>，∴

21．已知函数2

()f x x ax b =++和()()x

g x e cx d =+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点

()02P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．

⑴求a b c d 、、、

的值； ⑵若2x -≥时()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．

【命题意图】本题主要考查利用导数几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，

考查运算求解能力及应用意识，是中档题．

【解析】⑴由已知得(0)2(0)2(0)4(0)4f g f g ⅱ====，

，，， 而()2f x x b ￠=+，()()x

g x e cx d c ￠

=++，∴4222a b c d ====，，，；

⑵由⑴知2()42f x x x =++，()2(1)x

g x e x =+，

设函数()2

()()()2(1)422x

F x kg x f x ke x x x x =-=+----≥，

()2(2)242(2)(1)x x F x ke x x x ke ￠=+--=+-， 由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥，令()0F x ￠

=得1ln x k =-，22x =-， ①若21k e ≤＜，则120x -＜≤，

∴当1(2)x x ?，

时()0F x <，当1()x x ??，时()0F x >， 即()F x 在1(2)x -，

单调递减，在1()x +?，单调递增， 故()F x 在1x x =取最小值1()F x ，

而2

111111()2242(2)0F x x x x x x =+---=-+≥，

∴当2x -≥时()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立

②若2k e =，则22

()2(2)()x F x e x e e ￠

=+-， ∴当2x -≥时()0F x ￠≥，∴()F x 在()2-+?，

单调递增， 而(2)0F -=，∴当2x -≥时()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立， ③若2k e >，则2

22(2)222()0F ke

e k e ---=-+=--<，

∴当2x -≥时，()()f x kg x ≤不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为2

1e 轾臌

，.

备 用 题

10．记{}()()max x x y x y y x y ì?í=??≥，＜，{}()()

min y x y x y x x y ì?í=??≥，＜，设a b 、为平面向量，则（ ）

A ．{}{}min ||||min ||||a b a b a b +-，

≤， B ．{}{}min ||||min ||||a b a b a b +-，≥， C ．{

}

22

22

min ||||||||a b a b a b +-+，

≥ D ．{

}

22

22

min ||||||||a b a b a b +-+，≤ 【解析】∵()

2

22

2a b

a b ab ?+?，

∴不论a b 、的正负性，2

2

2a b ab ++和2

2

2a b ab +-中总有一个2

2

a b +，

即{

}

22

22

min ||||||||a b a b a b +-+，

≤，其他都不对，选D ． 12．如图，O 为ABC D 的外心，6AB =，4AC =，BAC D为钝角，

M 是边BC 的中点，则AM AO ?（ ）

A ．10-

B ．36

C ．16

D ．13

17．设ABC D 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,()()a b c a b c ac ++-+=. ⑴求证：A C p

+=；

⑵若31

sin sin A C -=,求cos()A C -的值。

解：⑴222222

12()()cos 2233a c b a b c a b c ac a c b ac B

B A

C ac p p +-++-+=?-=-?=-?+=，

⑵cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C

-=+=-+

1313cos()2sin sin 22A C A C -=++=

+? 17．如图，在ABC D 中，90ABC

?，AB =，1BC =，P 为ABC

D 内一点且90BPC ?。

⑴若PB =，求PA ；

⑵若120APB ?，令PBA a ?，求tan a 。 解：⑴由已知得o 60PBC ?，∴30PBA ?，

在PBA D 中，由余弦定理得2o 1

17323cos30424

PA =+-创=， ∴7

PA =； ⑵PBA

a ?，由已知得sin PB a =，

在PBA D 中，由正弦定理得

()

3sin sin120sin 60a a =-32sin a a =，∴3

tan 2a =．

22．在直角坐标系中，已知曲线C 的方程为2

2

39x y +=，

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． ⑴求曲线C 的极坐标方程；

⑵如图，点A B 、

是曲线C 上任意两点且OA OB ^， 直线AB 与O ⊙总相切，求O ⊙的面积． 解：⑴曲线C 的极坐标方程为2229

cos 3sin r q q

=

+

⑵设O ⊙半径为R ，1||OA r =，2||OB r =，xOA a ?,

则22

12121222212

1111

1

||22OAB S AB R R R r r r r r r r r

D ==

?=?+

，

∵()2

2121222

22

2299

9

2cos 3sin sin 3cos cos 3sin 2

2

A B p r a r a r r p p a a a a a a 骣+===琪骣骣桫+++++

琪琪桫桫，，，，， ∴222222212111cos 3sin sin 3cos 499R a a a a r r +++=+=

=，∴32R =，∴所求定圆面积为9

4

p （注：本题可利用特殊位置求出答案，可得2分） 另解：由2222

12

121122003939OA OB

x x y y x y x y ??=+=+=，，

22222211221222222222222222112211221122

22222222222222121212121212212222222212122112332211111112999(13)2(13)112222992x y x y y y p q x y x y x y x y x y x y y x y y x y y y y y y y y y x x x y x y y y y 骣

+++=+=+=++琪++++++桫骣+++-++-=+=+琪+++桫222222

121221

2222

121222

221211(13)(13)414

22949

y y y y y y y y y y y y y 轾

犏+-+-臌轾+-=+=犏+-臌 （后同方法一）