当前位置：文档之家› 导数的综合问题

导数的综合问题

1.导数压轴题大致可以分为以下几种类型：（1）考查函数的单调性，极值

与最值；（2）考查函数零点的讨论；（3）考查不等式的证明；（4）考查不等式恒成立或有解，求参数的取值范围等等。

2.解决导数压轴题的常规思路无非是构造函数，分类讨论，数形结合，转化

与划归。

一·套路

二·脑洞

1.本题第（1）问，讨论含参函数的单调性，没有什么可说的，直接求导后，

对参数进行分类讨论，从而得出结论。

2.本题第（2）问，考查不等式的证明，我们给出3中方法。前两种方法将

结论进行等价转化，构造新函数，结合第（1）问，利用函数的单调性加以证明。

事实上，这两个方法本质上是一样的，差别仅仅在于变量的选取不同而已。另外

本题属于递进式设问，设计十分巧妙，构造的新函数恰好可以利用第（1）问的结论，从而使得题目更加紧凑，也大大降低了运算量。

3.第三种方法借助对数平均不断等式，堪称秒杀。值得说明的是，对数平均

不等式不能直接使用，需要先进行证明，其证明过程如下：

三·迁移

导数的综合应用教学设计(正式版)

导数的综合应用一、教材分析我们在复习过程中，发现学生对于导数能够运用，但在具体运用过程中，问题比较多的是如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或解法不是很灵活。因此，我通过本堂课进一步巩固这部分内容，利于学生进一步地掌握导数知识的运用：确定单调性、求极值、求最值、求切线的斜率从而解决恒成立与不等式问题应用。二、学情分析根据教材结构与内容分析，结合高考考纲要求，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。三、教学目标知识与技能：通过高考中涉及到导数的常见题型，在学生掌握求曲线斜率，判断函数单调性，及如何求极值，最值的基础上，总结出两种常见题型。过程与方法：通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。通过问题的探究体会数形结合，分离变量，构造函数的数学思想。情感、态度与价值观：通过常见题型的常见解决方法，是学生认识到解决有关导数的综合问题并不复杂，从而激发学生的学习兴趣。四、教学重点、难点教学重点：利用导数判断函数单调性，极值，最值。教学难点：以导数为工具处理恒成立问题，及证明不等式。教学过程本节课教学过程主要分为：知识回顾，典例示范，知识小结，考点测评，高考赏析五个板块【知识回顾】（重在对知识的进一步理解和掌握。有利于构建知识网络，回归教材而高于教材） 1.导数定义，判断函数单调性，求极值，最值的方法。【注】由学生自己来归纳，目的是加强学生的印象。

2.课前热身：（1）已知直线 ax-by-2=0 与曲线在点（1，1）处的切线互相垂直，则 = ，（2）函数，在上的最大值和最小值分别为【注】（1）学生阅读并回顾知识要点，巩固基础。（2）导数的几何意义，考察函数的单调区间、极值、最值等性质。这是导数运用过程中最常用的。（3）注意极值不一定是最值，要考虑函数区间的开闭及单调性。【典例示范】例一：已知函数（1）求f(x)的最小值。（2）若对所有x 1都有，求实数a 的取值范围。解析：需先求出定义域【注】在求最值之前须讨论函数的定义域，利用分离变量的方法解决恒成立问题。这也是本节课的重点。【注】当某区间只有一个极大（小）值时，该值就是最大（小)值例二：已知向量若函数在区间上是增函数，求t 的取值范围。解析：由f(x)在(-1,1)上单调递增，可知恒成立，即移项有令只须求g(x)在的最大值 . 3 y x =a b 32 23125y x x x =--+[]0,3()ln f x x x =≥()1f x ax ≥-'''min 10110,11()()()()()e e e x f e e f x f x f x f ><==- 且=lnx+1,令，则x>,则00,可知g(x)在1,+单调递增，所以g(x)(1)=1,得a 1g

导数综合应用复习题

导数综合应用复习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

导数综合应用复习题一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内：（1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥；（2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='；（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤：（1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=；（3）判断出函数的单调性；（4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值；在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤：利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。二、例题解析：例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。（2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减，若存在，请求a 的取值范围。解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立，即()()11201120 f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增，在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ，若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

导数的综合应用题型及解法修订稿

导数的综合应用题型及解法 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；题型二：利用导数几何意义求切线方程 2．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 3．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 4．已知三次函数 32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 5．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．题型四：利用导数研究函数的图象 6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ） 7．函数的图像为14313+-=x x y ( A ) x y o 4 -2 4 -2 - -x y o 4 -2 4 -2 --x y y 4 -2 4 -2 --6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为（A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0

导数综合应用复习题经典

导数综合应用复习题经典 RUSER redacted on the night of December 17,2020

导数综合应用复习题一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内：（1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥；（2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='；（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤：（1）分析)(x f y =的定义域；（2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=；（3）判断出函数的单调性；（4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值；在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤：利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。二、例题解析：例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。（2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减，若存在，请求a 的取值范围。解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立，即()() 11201120f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。（2）若对[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。（3）若对[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。（4）若对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，

导数综合应用

2014年12月27日导数综合组卷一．选择题（共16小题） 1．（2014?郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）． 2．（2014?郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D． 3．（2014?西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（） 4．（2014?陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（） 3 6．（2014?江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（） D 7．（2014?湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2， 3 2 ．D． 10．（2013?安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af （x）+b=0的不同实根个数是（）

11．（2013?辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）．．．D． 13．（2009?安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（） [][[ 14．（2009?天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成 15．（2014?上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有 16．（2013?文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为．C D 二．填空题（共9小题） 17．（2014?江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是_________．18．（2014?江苏模拟）各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′（x），则f′（）=_________． 19．（2014?萧山区模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=_________． 20．（2014?沈阳二模）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），且f′（0）=4，则a2+2b2的最小值为_________． 21．（2014?孝感二模）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，），那么曲线y=f （x）任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是_________． 22．（2014?长葛市三模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为_________．

导数综合应用

函数的最值． 4．四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝cos x . (2)(cos x )′＝－sin x . (3)(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (4)(log a x )′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)． (5)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (6)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0). 考点一导数几何意义的应用例1 (1)过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52 的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________． (1)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为________． (2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________. 考点二利用导数研究函数的性质例2 设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间； (2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .

已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．考点三利用导数解决与方程、不等式有关的问题

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程：（1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式；（Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值；求实数 f (x) 总有两个不同的极值（2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ）

3 （A ）（B ）（C ）（D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间（2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. （1）求实数 a 的取值范围；（2）设 x 0 ≥1， f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .

5章培优2 导数与零点、不等式的综合运用(精讲)(原卷版)

5章培优2导数与零点、不等式的综合运用考点一零点问题 1．（2020·河南高三月考（文））已知函数()32 2312f x x x x m =--+.（1）若1m =，求曲线()y f x =在()() 1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围.【一隅三反】 1．（2020·山西运城·）已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

2．（2020·陕西安康·高三三模（理））已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>. （1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 3．（2020·甘肃武威）设函()()1f x x a nx x a =+-+，a R ∈．（1）设()()g x f x ='，求函数()g x 的极值；（2）若1e a ，试研究函数()()1f x x a nx x a =+-+的零点个数．考点二导数与不等式【例2】．（2021·湖南湘潭·月考（理））已知函数ln 1()x x f x e += ．（1）求()f x 的最大值；（2）当1≥x 时，2(ln 1)x ax x e +<恒成立，求a 的取值范围．不等式恒成立求解参数范围的方法：（1）分离参数并构造函数解决问题；（2）采用分类讨论的方式解决问题.

【一隅三反】 1．（2019·广东湛江·高二期末（文））已知函数()(1)ln ()a f x x a x a R x =- -+∈．（1）当01a <≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x x ≤恒成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．2．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知函数()ln (0)f x x x x =>. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意23(0,),()2 x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.3．（2020·安徽省含山中学月考（理））已知函数211()ln (,0)22 f x x a x a R a =--∈≠.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 5章培优2导数与零点、不等式的综合运用

导数综合应用答案

11.导数的综合应用（含答案）（高二） 1.（15理科）已知函数()1ln 1x f x x +=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ?? >+ ?? ?；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ?? >+ ??? 对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 试题解析：（Ⅰ） 2 12 ()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x +''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y - =；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ?? >+ ??? ，即不等式3 ()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ?∈成立，设 33 1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则 4 2 2()1x F x x '=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈，

3 ()2()3 x f x x >+ 成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ?? >+ ??? 成立，()01x ∈，，等价于3 1()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，； 42 22 22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令4 02 ()0,(0,1)k F x x k -' == ∈， ()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 2．（15年理科）设函数2 ()f x x ax b =-+. （1）讨论函数(sin )22 f x ππ 在(-,)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2 0000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22 ππ (-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取2 000,D 14 a a b z b ===- ≤求满足时的最大值。【答案】（Ⅰ）极小值为2 4 a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-；（Ⅲ）1.

导数的综合应用公开课教案

§3.4 导数的综合应用基础知识自主学习要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b);

(4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )

导数的综合应用练习题及答案

导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-，使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-，使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0 f ξ'==，解出2ξ=。解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a =>

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲导数与函数的综合应用教案理(含解析)新人教A版

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲导数与函数的综合应用教案理（含解析）新人教A版第4讲导数与函数的综合应用基础知识整合 01优化问题，一般地，对于实际1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为□ 问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路： 3．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 1．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法． 2．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想． 1．(2019·四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为( ) A．(1,5)B．[1,5) C．(1,5]D．(－∞，1)∪(5，＋∞) 答案 A 解析由题意知f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内恰有一根(且在根两侧f′(x)异号)?f′(1)·f′(－1)＝(5－a)(1－a)<0?1

2．(2019·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞) 答案 B 解析由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.故选B. 3.若函数f (x )＝x 3 －3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0， ∴x ＝±1.三次方程f (x )＝0有3个根?f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. ∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点． ∴??? ?? f －1＝2＋a >0，f 1＝a －2<0， ∴－22f (1) 答案 C 解析由题设，f (x )为R 上任意可导函数，不妨设f (x )＝(x －1)2 ，则f ′(x )＝2(x －1)，满足(x －1)·f ′(x )＝2(x －1)2 ≥0，且f (0)＝1，f (1)＝0，f (2)＝1，则有f (0)＋ f (2)>2f (1)；再设f (x )＝1，则f ′(x )＝0，也满足(x －1)·f ′(x )≥0，且有f (0)＋f (2)＝2f (1)，即1＋1＝2×1. 5．(2019·贵阳模拟)若关于x 的不等式x 3 －3x 2 －9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7] 答案 B 解析令f (x )＝x 3 －3x 2 －9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2 －6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1