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高考数学函数的单调性和奇偶性

高考数学函数的单调性和奇偶性
高考数学函数的单调性和奇偶性

函数的单调性和奇偶性

一. 教学内容

函数的单调性和奇偶性

二. 重、难点

重点:函数单调增、减区间的意义,应用定义判断函数的单调性,奇偶性。 难点:证明函数的单调性

【典型例题】

[例1] 如果函数

解:对称轴

[例2] 判断函数

解:设1x 、22121

)2())(()()()()(2

2212121313212x x x x x x a x a x x f x f ++-=+--+-=-

当021>x x 时,02

22121>++x x x x

当021=x x 时,1x 和2x 中必有之一不为0(∵ 21x x <) ∴ 02

2212

1>++x x x x

当021

212

2212

1>-+=++x x x x x x x x 在上面讨论结合(1)和(2)有0)()(12<-x f x f ∴ 函数在R 上是减函数

[例3 ] 已知函数)(x f ,)(x g 在R 上是增函数,求证:)]([x g f 在R 上也是增函数。

证:任取1x ,R x ∈2且21x x <则因为)(x g 在R 上是增函数 所以)()(21x g x g < 又 ∵ )(x f 在R 上是增函数 ∴ )]([)]([21x g f x g f < ∴ )]([x g f 在R 上是增函数

结论:同增异减:)(u f y =与)(x g u =增减性相同(反),函数)]([x g f y =是增(减)函数。

[例4] 求函数

x x y 1

+

=的单调区间

解:首先确定义域:{}

0≠x x ∴ 在)0,(-∞和),0(∞+两个区间上分别讨论

任取1x 、2x ),0(∞+∈且21x x <

212112112212)(1

1)()(x x x x x x x x x x x f x f -+-=--+

=-

)1

1)((2112x x x x -

-=

要确定此式的正负只要确定

211

1x x -

的正负即可

这样,又需判断211

x x 大于1还是小于1,由于21x x 的任意性。

考虑到要将),0(∞+分为)1,0(与),1(∞+

(1)当)1,0(,21∈x x 时,

01

12

1<-

x x ∴ 0)()(12<-x f x f 为减函数 (2)当1x , ),1(2∞+∈x 时,

01

12

1>-

x x ∴ 0)()(2>-x f x f 为增函数

同理(3)当)0,1(,21-∈x x 时,为减函数

(4)当)1,(,21--∞∈x x 时,为增函数

[例5] 判断下列函数是否具有奇偶性

(1)2)1(3)1()(2

3

++-+=x x x f (2)3

2)(x x f = (3)11)(-+

-=x x x f

(4)2

211)(x x x f -?-=

(5)

x x

x x f -+-=11)

1()(

注:对于定义域内的任意一个x ,都有)()(x f x f =-成立,则称)(x f y =为偶函数。 对于定义域内的任意一个x ,都有)()(x f x f -=-成立,则称)(x f y =为奇函数。 解:(1)函数与定义域为R

x x x x x f 32)1(3)1()(3

2

3

+=++-+=

)(3)(3x f x x x f -=--=- ∴ )(x f 为奇函数

(2)函数的定义域为R

又 ∵ )()()(3

23

2

x f x

x x f ==-=- ∴ )(x f 为偶函数

(3)函数的定义域为{

}1 ∴ )(x f 为非奇非偶函数 (4)函数的定义域为{}1,1-,此时0)(=x f ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数

(5)由0

11≥-+x x

得11<≤-x ,知定义域关于原点不对称

∴ )(x f 既不是奇函数也不是偶函数

[例6] 函数)(x f 在),(∞+-∞上为奇函数,且当]0,(-∞∈x 时,)1()(-=x x x f ,则当

),0(∞+∈x 时,求)(x f 的解析式。

解:设),0(∞+∈x 则)0,(-∞∈-x ∴ )1()1)(()(+=---=-x x x x x f

又 ∵ )(x f 在R 上为奇函数 ∴ )1()()(+=-=-x x x f x f ∴ 当),0(∞+∈x 时,)1()(+-=x x x f ∴ )1()(+-=x x x f

[例7] 设)(x f 为奇函数,且在定义域)1,1(-上为减函数,求满足

0)1()1(2

<-+-a f a f 的实数a 的取值范围。

解:由)(x f 为奇函数知:)1()]1([)1()1(2

22-=--=--<-a f a f a f a f

由)(x f 是减函数知:112

->-a a

∴ ?????->-<-<-<-<-1

111111122

a a a a 解得10<

[例8] 设)(x f 是定义在),0(∞+上的增函数,1)2(=f 且)()()(y f x f xy f +=,求满足不等式2)3()(≤-+x f x f 的x 的取值范围。

解:

)3()3()(2

x x f x f x f -=-+ 又)4()2()2()2(22f f f f =+==

∴ 2)3()(≤-+x f x f 化为)4()3(2

f x x f ≤-

∴ ??

?

??>->≤-030432x x x x 解得43≤

【模拟试题】

一. 选择题

1.

14)(2

+-=mx x x f ,当2-≥x 时递增 ,当2-≤x 时递减,则)1(f 的值等于( ) A. 13 B. 1 C. 21 D. 3-

2. 若奇函数)(x f y =)(R x ∈的图象过点))(,(a f a ,则必过点( ) A. ))(,(a f a - B. ))(,(a f a -

C. ))(,(a f a ---

D. ))(,(a f a --

3. 函数

)1(1≠-=

k x k

y 在)0,(-∞,),0(∞+上都是增函数,则k 的取值范围( )

A. ),1()1,(∞+-∞

B. )0,(-∞

C. )1,(-∞

D. ),1(∞+

4. )(x f 在)7,4(-上是增函数,则)3(-=x f y 的增区间是( ) A. )3,2(- B. )10.1(- C. )7,1(- D. )10,4(-

二. 填空题

1. 函数

12

-=x y 的递增区间是 。 2. 若函数)(x f 是R 上的增函数,且)()(2

a x f x x f ->+对一切R x ∈都成立,则实数a 的取值范围是 。

3. 已知8)(5

6

7

++++=dx cx bx ax x f ,15)5(-=-f ,则=)5(f 。

4. 若)(x F 是奇函数,则函数)()(x F x G =,)21

11(

--x

e 的图象关于 对称。

三. 解答题

1. 已知)(x f 是偶函数,在),0(∞+上是增函数,那么)(x f 在)0,(-∞上是增函数,还是减函数?并加以证明。

2. 函数

22

++=

x ax y 在),2(∞+-上单调递增,求实数a 的取值范围。

3. 定义在]2,2[-上的偶函数)(x g ,当0≥x 时,)(x g 单调递减,若)()1(m g m g <-,求m 的取值范围。

【试题答案】

一.

1. C

2. D

3. D

4. B 二.

1. ),1[∞+

2. ),0(∞+

3. 31

4. y 轴 三.

1. 设021<-x ,02>-x 且21x x ->-

又已知)(x f 在),0(∞+上是增函数,则)()(21x f x f ->- ② 将①代入② 得)()(21x f x f >即)()(12x f x f < 故)(x f 在)0,(-∞上是减函数

2. 解:

22++=

x ax y 2)

1(22)1(2)2(+--=+--+=x a a x a x a

在),2(∞+-上单调递增

∴ 设212x x <<- 则

2)

1(22)1(221+--<+--

x a a x a a

∴ 212121+->+-x a x a ∵ 02212>+>+x x ∴ 21

2121+>

+x x

∴ 01>-a 即1>a

3. 解:∵ )(x g 为定义在]2,2[-上的偶函数,且当0≥x 时递减 ∴ )(x g 在0

∴ ?

??

??>-≤≤-m

m m m 1221 ∴

???

??>-≤≤-≤≤-22)1(221

1m m m m ∴

211<≤-m

高中数学函数的单调性

一、选择题 1.若),(b a 是)(x f 的单调增区间,()b a x x ,,21∈,且21x x <,则有( ) A . ()()21x f x f < B . ()()21x f x f = C . ()()21x f x f > D . ()()021>x f x f 2.函数()2 2-=x y 的单调递减区间为( ) A .[)+∞,0 B .(]0,∞+ C .),2[+∞ D .]2,(-∞ 3.下列函数中,在区间)2,0(上递增的是( ) A .x y 1= B .x y -= C .1-=x y D .122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()0,∞- B .()+∞,0 C .()0,1- D .()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数,则有( ) A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数,那么实数a 的取值范围是( ) A .3≤a B .3≥a C .3-≥a D .3-≤a 二、填空题 7.函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8.已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数,则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9.函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10.若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数,在区间),1(+∞- 上是增函数,则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12.判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性,并给出证明.

高考数学专题:函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求:了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画:对于给定区间上的函数()f x ,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减。 (2)定性刻画:对于给定区间上的函数()f x ,如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减。 (3)定量刻画,即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法: ①定义法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ,当21x x <时,都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕,那么就说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 与之相等价的定义:⑴()()02121>--x x x f x f ,〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。其几何意义为:增(减)函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于(或小于)0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ,〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 ②导数法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数;如果()0`a 且0≤b 。 (年广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

高一数学函数奇偶性练习题及答案解析

高一数学函数奇偶性练习题及答案解析 数学函数奇偶性练习题及答案解析 1.下列命题中,真命题是 A.函数y=1x是奇函数,且在定义域内为减函数 B.函数y=x3x-10是奇函数,且在定义域内为增函数 C.函数y=x2是偶函数,且在-3,0上为减函数 D.函数y=ax2+cac≠0是偶函数,且在0,2上为增函数 解析:选C.选项A中,y=1x在定义域内不具有单调性;B中,函数的定义域不关于原点对称;D中,当a<0时,y=ax2+cac≠0在0,2上为减函数,故选C. 2.奇函数fx在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f-6+f-3的值为 A.10 B.-10 C.-15 D.15 解析:选C.fx在[3,6]上为增函数,fxmax=f6=8,fxmin=f3=-1.∴2f-6+f-3=-2f6- f3=-2×8+1=-15. 3.fx=x3+1x的图象关于 A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 解析:选A.x≠0,f-x=-x3+1-x=-fx,fx为奇函数,关于原点对称. 4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数fx为奇函数,那么a=________. 解析:∵fx是[3-a,5]上的奇函数, ∴区间[3-a,5]关于原点对称, ∴3-a=-5,a=8. 答案:8 1.函数fx=x的奇偶性为

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:选D.定义域为{x|x≥0},不关于原点对称. 2.下列函数为偶函数的是 A.fx=|x|+x B.fx=x2+1x C.fx=x2+x D.fx=|x|x2 解析:选D.只有D符合偶函数定义. 3.设fx是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 A.fxf-x是奇函数 B.fx|f-x|是奇函数 C.fx-f-x是偶函数 D.fx+f-x是偶函数 解析:选D.设Fx=fxf-x 则F-x=Fx为偶函数. 设Gx=fx|f-x|, 则G-x=f-x|fx|. ∴Gx与G-x关系不定. 设Mx=fx-f-x, ∴M-x=f-x-fx=-Mx为奇函数. 设Nx=fx+f-x,则N-x=f-x+fx. Nx为偶函数. 4.已知函数fx=ax2+bx+ca≠0是偶函数,那么gx=ax3+bx2+cx A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

2020高考数学《函数的单调性》

函数的单调性 1.函数f (x )=|x -2|x 的单调减区间是( ) A .[1,2] B .[-1,0] C .[0,2] D .[2,+∞) 2.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为( ) A .(-∞,1] B .[3,+∞) C .(-∞,-1] D .[1,+∞) 3.函数f (x )=x 1-x 在( ) A .(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B .(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C .(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D .(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y =x +1 B.y =(x -1)2 C.y =2-x D.y =log 0.5(x +1) 5.下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )=x 12 B.f (x )=x 3 C.f (x )=? ????12x D.f (x )=3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2 -x 1)<0恒成立,设a =f ? ?? ??-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >b D .b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,f (2)=0.若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________. 9.函数()f x 的定义域为R,(1)2f -=,对任意的x R ∈,'()f x 2>,则不等式()24f x x >+的解集为( ) A()1,1- B()1,-+∞ C(),1-∞- D(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =,1()2 f x '<,则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13 ,则a +b =

高一数学函数的奇偶性练习题

1、判断奇偶性:2211)(x x x f -+-= 2、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f 3、判断函数???<≥-=) 0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

4、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数,讨论函数)(x f 的单调区间 6、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减,若)2()6(a f a f <-,则a 的取值范围是如何 7、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等 式()0

高中数学函数的奇偶性说课稿

《函数的奇偶性》说课稿 各位评委老师,上午好,我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的奇偶性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 函数是中学数学的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容,它不仅与现实生活中的对称性密切相关联,而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识起到了承上启下的作用。 二.教学目标 1.知识目标: 理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判断函数的奇偶性; 2.能力目标: 通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想. 3.情感目标: 通过函数的奇偶性教学,培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力.三.教学重点和难点: 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 四、教学方法 为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取: 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性。 2、在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念。 3、在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并顺利地完成书面表达。 五、学习方法

1、让学生利用图形直观启迪思维,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。 2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 六.教学程序 (一)创设情景,揭示课题 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列各函数有什么共性? 观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性. 2()f x x = ()||1f x x =- 2 1()x x = x x x 通过讨论归纳:函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线;函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线;函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线,各函数之间的共性为图象关于y 轴对称.观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系? 归纳:若点(,())x f x 在函数图象上,则相应的点(,())x f x -也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. (二)互动交流 研讨新知 函数的奇偶性定义: 1.偶函数 一般地,对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么

高考数学:利用导数研究函数的单调性、极值、最值

利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2)

C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0??得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为2 1x ;又l 1与l 2垂直,且00,f'(x )<0的解集得出函数的极值点. 【解析】选D. f'(x )=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x )=0,得x=-2或x=2,易知f (x )在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f (x )的极小值为f ()2,所以a=2. 二、解答题 4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f (x )=(x-2)e x +a (x-1)2 有两个零点. (1)求a 的取值范围. (2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ).

高一数学函数的奇偶性知识及例题

高一数学函数的奇偶性 提出问题 ① 如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性 对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x). 定义: 1 ?偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f( x) f (x),那么f (x) 就叫做偶函数. 2 ?奇函数:一般地,对于函数 f (x)的定义域的任意一个x,都有f( x) f (x),那么f (x) 就叫做奇函数. 1、如果函数y f (x)是奇函数或偶函数,我们就说函数y f (x)具有奇偶性;函数的奇偶性是函 数的整体性质; 2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数; 3、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) .如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数; 4、偶函数的图象关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶 函数且f(x) f (|x|)。奇函数的图象关于原点对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点 对称,那么这个函数为奇函数? 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f( x) f (x)或f ( x) f (x)是否恒成立;

(3)、作出相应结论. 若f ( x) f(x)或彳(x) f(x) 0,则f(x)是偶函数; 若 f( x) f (x)或 f ( x) f (x) 0,则 f (x)是奇函数 例?判断下列函数的奇偶性 x 3 x 2 为非奇非偶函数;(2)f (x) 为非奇非偶函数 x 1 x 1 奇函数;(4) f (x) (x 1). \ x 1 (7) f (x) .1 x 2 . x 2 1 既是奇函数又是偶函数 (8) f (x) a,a 0 为非奇非偶函数 常用结论: (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数 (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数 . ⑶.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 . 一?分段函数奇偶性的判断 1 2 —x 2 1 (x 0) 例1.判断函数的奇偶性: g(x) 2 1 2 —X 2 1 (x 0) 2 解:当x >0时,一x v 0,于是 1 2 1 2 g( x) -( x)2 1 (-x 2 1) g(x) 2 2 当x v 0时,一x > 0,于是 1 2 1 2 1 2 g( x) ( x) 1 x 1 ( x 1) g(x) 2 2 2 综上可知, g(x)是奇函数. 2 (1)f (x) x x [ 1,2] 3 (3) f (x) x x (5)f(x) =x+ 丄; x 奇函数;(6) f (x) ■, 1 x 2 2 |x 2| 奇函数

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录 课题:函数的单调性与导数 时间、地点2016年9月26日 主持人赵纯金 参与者张泽成黄翼 备课设想教材分析 本节的教学内容属导数的应 用,是在学生学习了导数的 概念、计算、几何意义的基 础上学习的内容,学好它既 可加深对导数的理解,又可 为后面研究函数的极值和最 值打好基础。由于学生在高 一已经掌握了单调性的定 义,并能用定义判定在给定 区间上函数的单调性。通过 本节课的学习,应使学生体 验到,用导数判断单调性要 比用定义判断简捷得多,充 分展示了导数解决问题的优 越性。

学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础,学生存在一些兴趣,但却容易无从下手,所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律,总结结论,熟练掌握。 教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区 间,能由导数信息绘制函数 大致图象。2.培养学生的观 察能力、归纳能力,增强数 形结合的思维意识。3.通过 在教学过程中让学生多动 手、多观察、勤思考、善总 结,引导学生养 重点难点重点:探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区 间。 难点:利用导数信息绘制函

数的大致图象。 教学方法 探究式教学,分组讨论,讲练结合等 教学策略 1.先以具体问题引入,让学生意识到用定义法、图象法 在处理一些单调性问题时难 度较大,这样易激发学生的 学习兴趣。2.本节课宜适当 采用多媒体课件等辅助手段 以加大课堂容量,通过数形 结合,使抽象的知识直观化, 形象化,以促进学生的理解. 二.教学过程: (一)复习回顾,知识梳理 1. 常见函数的导数公式: ;;;. 2.法则1 . 法则2 , . 法则3 . 3.复合函数的导数:设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x ),函数0'=C 1)'(-=n n nx x x x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '=' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ?????

年高考数学函数的单调性必考知识点.doc

2017年高考数学函数的单调性必考知识点2017年高考数学函数的单调性必考知识点 高中数学知识点:函数的单调性 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 高中数学知识点:函数的单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y,随自变量X 增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间。 高中数学知识点:函数的单调图像 高中数学知识点:求函数单调性的基本方法 解:先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的,所以判断函数的单调性、奇偶性,还有研究函数切线的斜率、极值等等,都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言,当然是立足于掌握课本上的例题,然后再找些典型例题做做就可以了,这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解,针对考试会出的题型强化一下,所谓知己知彼百战不殆。1、把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证),如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式,可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并

掌握判断复合函数单调性的方法:同增异减。 3、高三选修课本有导数及其应用,用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用,例如求极值、比较大小,还有和不等式有关的问题。 高中数学知识点:例题 判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。 设x -2x-3=t, 令x -2x-3=0, 解得:x=3或x=-1, 当x 3和x -1时,t 0, 当-1 所以得到x -2x-1对称轴是1。 根据反比例函数性质: 在整个定义域上是1/t是增函数。 当t 0时,x 3时, t是增函数,1/t是减函数, 所以(3,+ )是减区间, 而x -1时,t是减函数, 所以1/t是增函数。 因此(- ,-1)是增区间, 当x 0时, -1

高三数学 函数的单调性专题复习 教案

江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标: ①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; ②理解函数单调性的定义,掌握函数单调性的判定与证明,能利用函数的单调性解决一些问题. 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地,设函数()f x 的定义域为I : 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________,就说这个函数在这个区间M 上具有_____________(区间M 称为____________)。 3.最大(小)值 (前面已复习过) 4.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断。 (2)导数法 ①若()f x 在某个区间内可导,当'()0f x >时,()f x 为______函数;当 '()0f x <时,()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导,当()f x 在该区间上递增时,则'()f x ______0,当()f x 在 该区间上递减时,则'()f x ______0。 (3)利用函数的运算性质:如若(),()f x g x 为增函数,则①()()f x g x +为增函数; ②1 ()f x 为减函数(()0f x >);③()f x 为增函数(()0f x ≥);④()()f x g x 为增 函数(()0,()0f x g x >>);⑤()f x -为减函数。

函数的奇偶性优秀教案

1.3.2(1)函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3.学会判断函数的奇偶性; 【教学重难点】 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列各函数有什么共性? 提出问题 ①如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性. 结论:这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征? 表1 表2 结论:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x). 定义: 1.偶函数 1 / 5

2 / 5 一般地,对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么()f x 就叫做偶函数. 观察函数f(x)=x 和f(x)=x 1 的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质? 2.奇函数 一般地,对于函数()f x 的定义域的任意一个x ,都有()()f x f x -=-,那么()f x 就叫做奇函数. 注意: 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数,我们就说函数()y f x =具有奇偶性;函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数; 3、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则x -也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数; 4、偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来,如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数为偶函数 且()(||)f x f x = 奇函数的图象关于原点对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数. 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立; (3)、作出相应结论. 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数; 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 例.判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数 (2)32 ()1x x f x x -=-为非奇非偶函数 (3)x x x f +=3 )( 奇函数 (4)1 1 ) 1()(-+-=x x x x f

2006年高考第一轮复习数学:2.3函数的单调性

2.3函数的单调性 ●知识梳理 1.增函数、减函数的定义 一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)〔或都有f(x1)>f(x2)〕,那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数). 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数),就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做f(x)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间,如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画:对于给定区间上的函数f(x),函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减. (2)定性刻画:对于给定区间上的函数f(x),如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减. (3)定量刻画,即定义. 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.

●点击双基 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A.y =-x +1 B.y =x C.y =x 2-4x +5 D.y =x 2 答案:B 2.函数y =log a (x 2+2x -3),当x =2时,y >0,则此函数的单调递减区间是 A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞) 解析:当x =2时,y =log a 5>0,∴a >1.由x 2+2x -3>0 x <-3或x >1,易见函数t =x 2+2x -3在(-∞,-3)上递减,故函数y =log a (x 2+2x -3)(其中a >1)也在(-∞,-3)上递减. 答案:A 3.(2003年北京朝阳区模拟题)函数y =log 2 1|x -3|的单调递减区间是 __________________. 解析:令u =|x -3|,则在(-∞,3)上u 为x 的减函数,在(3,+∞)上 u 为x 的增函数.又∵0<2 1 <1,∴在区间(3,+∞)上,y 为x 的减函数. 答案:(3,+∞) 4.有下列几个命题:

高中数学函数单调性的判断方法

高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么,有哪些求函数单调性的方法呢? 方法一:定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x (1)当12x x <时,都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数; (2)若当12x x <时,都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如:根据函数单调性的定义,证明:函数 在 上是 减函数。 要证明函数f (x )在定义域内是减函数,设任意1212,x x R x x ∈<且,则 33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++,12x x <因为 210x x ->所以,且在1x 与2x 中至少有一个不为 0,不妨设20x ≠,那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>,12()()f x f x >所以,故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二:性质法 除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性,则在区间B 上有: 1. f(x)与c?f(x)当c >0具有相同的单调性,当c <0具有相反的单调性; 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数; 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数; 例如,已知f (x )在R 上是减函数,那么-5f (x )为____函数。 这道题很简单,我们根据单调性的性质,很容易就能判断它是增函数。 方法三:同增异减法(处理复合函数的单调性问题) 对于复合函数y =f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域), 可令 t =g(x),则三个函数 y =f(t)、t =g(x)、y =f [g(x)]中, 若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;

高一数学函数的奇偶性

高一数学函数的奇偶性 课题:§1.3.2函数的奇偶性 教学目的:(1)理解函数的奇偶性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)学会判断函数的奇偶性. 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 教学过程: 一、引入课题 1.实践操作:(也可借助计算机演示) 取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画 一可作为函数图象的图形,然后按如下操作并回答相应问题:○1 以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限) 画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中 的图形; 问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个 图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊 的关系? 答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图 象关于y轴对称;

(2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. ○2 以y轴为折痕将纸对折,然后以x轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形: 问题:将第一象限和第三象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于原点对称; (2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也一定互为相反数. 2.观察思考(教材P39、P40观察思考) 二、新课教学 (一)函数的奇偶性定义 象上面实践操作○1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数,操作○2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.1.偶函数(even function) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-

高三文科数学复习教案:函数的单调性

函数的单调性 一、基础知识梳理: 1.函数的单调性定义: 2.单调区间: 3.一些基本函数的单调性 (1)一次函数b kx y += (2)反比例函数x k y = (3)二次函数c bx ax y ++=2 (4)指数函数x a y =()1,0≠>a a (5)对数函数x y a log =()1,0≠>a a 二、基础能力强化: 1.下列函数中,在),(0∞-内是减函数的是( ) A.21x y -= B.x x y 22+= C.21x y = D.1-=x x y 2.x x x f -=1)(在( ) A.),(),(∞+∞-11 上是增函数 B.),(),(∞+∞-11 是减函数 C.),)和(,(∞+∞-11是增函数 D.),)和(,(∞+∞-11是减函数 3.函数3)1(22+--=x a x y 在区间(]1,∞-内递减,在),(∞+1内递增,则a 的值是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.-1 4.函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)∞+-,2上是增函数,在区间(]2-∞-,上是减函数,则)1(f =( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 5.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间4,(∞-]上是减函数,那么实数a 的取值范围 是( ) 3-≤a B.3-≥a C.5≤a D.3≥a 6.设函数b x a x f +-= )(12)(是R 上的增函数,则有( ) A.21>a B.21≤a C.21->a D .2 1

7.已知函数???≥+-<=) 0(4)3()0()(x a x a x a x f x ,满足对任意21x x ≠,都有0)()(2121<--x x x f x f 成立,则a 的取值范围是( ) A.??? ??41,0 B.)(,10 C.?? ????141, D.)(3,0 三、课堂互动讲练: 考点一、函数单调性的证明方法: (1)定义法: (2)求导法: (3)定义的两种等价形式: 例1:证明:函数)(x f =x x -+12在定义域上是减函数. 例2:求函数()m x x x x f ++=9-6-23的单调区间. 例3:试讨论函数)(x f =)0(>+a x a x 的单调性. 考点二、复合函数的单调性: 例1:求下列函数的单调区间,并指出其增减性。 (1))4(log 221x x y -= (2)322 12-+= x x y 练习: 1.函数322)21(-+=x x y 的单调递减区间是 ;函数)23(log 23 1x x y --=的单调递增区间是 2.已知)2(log ax y a -=在[],10上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.()1,0 B.()1,2 C.()2,0 D.[)∞+, 2

高中数学 函数的奇偶性

当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5~15分 高考 要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 奇偶性 √ 结合具体函数,了解奇偶性的含义. 北京 高考 解读 2008年 2009年 2010年(新课标) 2011年(新课标) 2012年(新课标) 第2题 5分 第13题 5分 第3题5分 第13题5分 第6题 5分 第14题 5分 第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分 第14题5分 今天我们再学一个新的函数性质——奇偶性,我们按照从直观到数学表达的顺序进行讲解.因为奇偶性的判定比较容易,所以常见函数的奇偶性以及复合函数的奇偶性都直接结合例题适当拓展总结即可,不再单独作为考点给出. 奇偶性的引入(直观) 直观:特殊的对称性.初中学过中心对称和轴对称,奇偶性正是反映这两个对称的问题的. 有些函数关于y 轴对称: ①2y x = ②y x =- ③21 y x = O x y x y O y O x 像这样的关于y 轴对称的函数叫做偶函数. 4.1函数奇偶性的定义与判别 新课标剖析 函数的奇偶性

还有一类函数呈现标准的中心对称,即关于原点的中心对称: ①y x =:② 1 y x =③3 y x = ④y 象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数. 例:根据图象判断以下函数的奇偶性: ①②③④⑤ 注意③不是偶函数,偶函数中y轴相当于一个镜子.对着镜子照,发现你有钮扣,镜子里没有;或者你带着手表,一照镜子,镜子里没有,像这种情况只有在《大家来找茬》里才有. 下面我们要从直观中寻找数学表达,先通过一些例子来总结总结规律. 例:直观判断下列函数的奇偶性(可以利用图象,或取值代入等方式) ⑴()4 f x x =;⑵()1 f x x =;⑶( )3 f x=;⑷()0 f x=;⑸() f x=⑹()2 f x x =-. 答案:⑴偶;⑵偶;⑶偶;⑷既奇又偶;⑸非奇非偶;⑹奇. 先看偶函数的数学表达: 总结:可以用数字验证,取一对相反数,若它们的值总是一样的,大概猜它是一个偶函数,这就是我们总结出来的规律.那么怎么判断一个函数是偶函数呢?换言之,我们看什么情况下这个函数是偶函数? 任取x,在它对称的地方取x -,看它们函数值是否相等,若相等就是偶函数, 从而得到偶函数的数学表达:() y f x =定义域为D, ①D关于原点对称(?任意x D ∈,有x D -∈);(如上面的图形③对应的函数就不可能是偶函数)②任意x D ∈,()() f x f x =-,称() f x为偶函数. 再看奇函数的数学表达: 任取一点x,存在另x -,使() f x与() f x -互为相反数.(这就是关于原点中心对称) ∴对于奇函数有()() f x f x -=-. 如果()() f x f x ≠-,()() f x f x -≠-,则是非奇非偶函数.

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