题目：数学期望的应用
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2012年5月12日
摘要：本文从几个方面利用数学期望来简单的解决了一些问题，同时从这几个典型的例子简单的说明了数学期望的的应用，进而更清楚的认识到数学期望的广泛的应用以及它的重要性的所在。
关键词：数学期望；随机变量；应用
The application of mathematical expectation
Abstract:This paper from several aspects of the use of mathematical expectation to simple to solve some problems, at the same time from several typical examples of a simple description of the mathematical expectation of the application, and then realize the mathematical expectation of the application as well as its importance lies.
Key words:Mathematical expectation; random variables;application
1 引言
由随机变量的分布所确定的，能够刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。随机变量的数学特征在理论和实践中都具有重要意义。常用的数学特征有数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数等，这些数学特征是以数学期望的计算为基础的，因此数学期望的计算遍显得尤为重要。
2. 研究问题及成果
2.1 数学期望在实际生活的运用
1.彩票的问题
生活中许多人里面都有买彩票的，总是有一部分人想借此挣钱，一夜致富。如果通过数学期望的计算分析就不会有太高的这种希望了。
每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码（可以认为从000000到999999的每个数等可能出现），
兑奖规则如下：
兑奖号与中奖号的最后一位相同者获六等奖，奖金10元（中奖概率为0.1）；
兑奖号与中奖号的最后二位相同者获五等奖，奖金50元（中奖概率为0.01）；兑奖号与中奖号的最后三位相同者获四等奖,奖金500元(中奖概率为0.001);
兑奖号与中奖号的最后四位相同者获三等奖,奖金5000元（中奖概率为0.0001）；兑奖号与中奖号的最后五位相同者获二等奖，奖金50000元(中奖概率为0.00001）;
兑奖号与中奖号全部相同者获一等奖，奖金500000元（中奖概率为0.000001）。另外规定，只领取其中最高额的奖金，试求每张彩票的平均所得。
Eζ =10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50000*0.00001+500000*0.000001
=3.5
那么，一个开奖组（100万张）可将所筹得的500万元中的350万元以奖金形式返还给彩民。
2.投资的问题
生活中有的人会拿出一些钱去投资，投资方案很多，具体那个风险小，收益好。也可以通过数学期望去预先估算
假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？
比较两种投资方案获利的期望大小：
购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)>E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。
2.2数学期望在经济上的应用
在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。
1.收益最大化
假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。估计出售一件产品，公司可获利m元，而积压一件产品，可导致损失n元，另外，该公司预测产品的销售量X为一个随机变量，其分布为p(χ)，那么，产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。
假设该公司每年生产该产品χ件，尽管χ是确定的，但由于需求量(销售量)是一个随机变量，所以收益Ｙ是一个随机变量，它是Ｘ的函数：
公司收益的数学期望为：Eζ=pmX+(1-p)n(x-X)
问题转化为,当χ为何值时,期望收益可以达到最大值。这个问题的解决,就是
求目标函数期望的最大最小值。
2.风险方案
假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都在满负荷地工作着，为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测市场需求量增加的概率为p，同时还有1-p的可能市场需求会下降。若将已知的相关数据列于下表:
由条件可知，在市场需求增加的情况下，使员工超时工作或添加设备都是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的期望大小。用期望值判断,有:
E(A1)=30(1-p)+34p,E(A2)=29(1-p)+42p,E(A3)=25(1-p)+44p。
事实上,若p=0.8,则E(A1)=33.2（万），E(A2)=39.4（万），E(A3)=40.2(万）,于是公司可以决定更新设备，扩大生产。若p=0.5，则E(A1)=32(万），E(A2)=35.5(万），E(A3)=34.5(万），此时公司可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见，只要市场需求增长可能性在50%以上，公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。
无论单位或个人都应该具有合理的决策能力，如个人的采购、求职、投资，企业的生产或经营方案等，经常需要对事物的进展情况作出经济决策，以便用最有利的方式采取行动。由于受随机因素的影响，使得决策带有风险性当经济决策问题较为复杂时，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，经济决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者做出决策。数学期望在经济决策方面的运用会进一步的发展，以期获得最大的经济效益
2.3 数学期望在其他方面的应用
1.罚款额度确定的问题
某些不法的商贩每卖一批不合格的产品的货物可获得10000元，被查出的概率是0.2，即不被查处的概率为0.8.问：罚款额为多少时，几本上可以禁止这些商贩的不法行为？
假设罚款额为A，为了禁止该类不法行为，应该让不法商贩获利的数学期望小于0，即10000×0.8-A×0.8≤0，得到A≥40000元，则罚款额至少应是40000元，我们常说的增大不法行为被处的概率和增加罚款额度，就是为了让不法商贩
的获利为负。
2.承包工程的决策
某工程队计划承包一项工程。若三天完成可获利8000元，四天完成可5000元，五天完成要被罚款10000元。由以往经验知，该工程队三天、四天、五天完成此项工程的概率分别为0.3、0.5、0.2，获利金额的概率分布见下表。
X(元) 8000 5000 -10000 p 0.3 0.5 0.2
问，如果你是经理，愿意承包这项工程吗？计算出利润的数学期望就知道答案了。承包此项工程获利的数学期望是：8000×0.3+5000×0.5-10000×0.2=2900元就是说，虽然有被罚款的可能，但平均说来，承包这样的工程是可以获利的
3.面试方案
设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？
极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。
那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢?
最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受三次面试），2.7万。期望值为:E（A2）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05万。
这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3.05×0.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最
大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。
3 结束语
面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，富于创新，既要学习数学知识，更应该重视对所学知识的应用。数学期望的应用范围比较广，在经济活动和实际的生活中，有许多问题尤其是决策问题可以直接或间接地利用数学期望来解决，或者可以应用数学期望给出有价值的参考意见。本文仅从几个典型的方面简单的说明了数学期望的应用，同时利用数学期望简单的解决了一些问题，当然这只是数学期望应用中的一部分而已，还有更多的应用等待我们去发现。
参考文献
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