衡水中学2010—2011学年度第二学期期末考试
高二年级理科数学试卷
第I 卷 选择题 （共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1、已知集合{}{}
=>=>-<=B A x x B x x x A 则或,0log ,112（ ） A ．{}
1>x x
B ．{}0>x x
C ．{}1- D ．{} 11>- 2、已知向量a =(3,4),b =(2,-1),如果向量b x a +与b -垂直，则x 的值为（ ） A.52- B.323 C. 23 3 D.2 3、已知3 332 21 2 , () , ()52 P Q R -===，则 P 、 Q 、 R 的大小关系是（ ） A ．P Q R << B ．Q R P << C ．Q P R << D ．R Q P << 4、（原创）已知{}n a 是等差数列，245710,22a a a a +=+=，则62S S -等于（ ） A ．26 B ．30 C ．32 D ．36 5、在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ） A. ?????==''213)(y y x x A B. ?? ? ??==y y x x B 213)('' C.?????==' '23)(y y x x C D.?????==y y x x D 23)('' 6、下列函数中，图像的一部分如右上图所示的是（ ） A ．sin()6 y x π =+ B ．sin(2)6y x π =- C ．cos(4)3y x π =- D ．cos(2)6 y x π =- 7.给出如下四个命题： ①||||yz xy z y x >?>>；②y x y a x a >?>2 2 ；③d b c a abc d d c b a >? ≠>>0,,；第7题图 ④ 201 1b ab b a 8、如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ） A. ,A B A B x x s s >> B. ,A B A B x x s s <> C. ,A B A B x x s s >< D. ,A B A B x x s s << 9、（原创）右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率是（ ） A. 25 B. 710 C. 45 D.9 10 10、一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如右图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（ ） A ． 4 22243πππ++和 B ．222ππ+和43 π C ．4223ππ和 D ．8223 ππ和 11、若直线42y kx k =++与曲线24x y -=有两个交点，则k 的取值范围是（ ）． A ．[1,+∞) B ． [-1,-43) C ． (4 3 ,1] D ．(-∞,-1] 12、定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ? ? ?>---≤-0),2()1(0 ),1(log 2x x f x f x x ，则f （2012）的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．2 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13、已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则 11 3x y +的最小值是 第10题图 14、(改编)在区间[0,2]上随机取一个数x ，sin 2 x π的值介于0到 3 2 之间的概率为__________ 15、如右图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径， O CD AB = ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点. 异 面直线SA 与PD 所成角的正切值为 . 16、（原创）已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在四边形ABCD 的内部（包括边界），则z=2x-5y 的 取值范围是___________； 三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分） 17、（本题满分10分）设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边长分别为,,a b c ，且4 cos 5 B = ，2b =。 （1）当30A =时，求a 的值. （2）当ABC ?的面积为3时，求a c +的值. 18、（本题满分12分）为了让学生等多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，统计结果见下表。请你根据频率分布表解答下列问题： （1）填充频率分布表中的空格。 （2）为鼓励学生更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？ 第15题图 （3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S 的值. 19、（本题满分12分）过点? ?? ? ? ?0,210P 作倾斜角为α的直线与曲线1222=+y x 交于点N M ,，求PN PM 最小值及相应的α值. 20、（本题满分12分） 如图所示，已知AD 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ， 延长DA 交ABC ?的外接圆于点F ，连接FB,FC （1）求证：FC FB = （2）求证：FD FA FB ?=2 （3）若AB 是ABC ?外接圆的直径，0 120=∠EAC BC=6cm,求AD 的长. 21、（本题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且有 12-=n n b S （1）求{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若n n n b a c =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T . 22、（本题满分12分）对于函数)(x f y =，若存在R x ∈0，使得00)(x x f =成立，称0x 为不动点，已 知函数)0(),1()1()(2 ≠-+++=a b x b ax x f （1） 当2,1-==b a 时，求函数)(x f 不动点； （2） 若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3） 在（2）的条件下，若)(x f y =图象上A ，B 两点的横坐标是函数)(x f 不动点，且B A ,两点 关于直线1 212 ++ =a kx y 对称，求b 的最小值. 衡水中学2010—2011学年度第二学期期末考试（理科答案）1-12AABCB DBBCA BC 13、4 14、2 3 15、216、[]20.14 - 17、 18、 19、解：设直线方程为?? ??? =+=ααsin cos 2 10t y t x ，将其代入122 2=+y x ，并整理得， ()02 3 cos 10sin 12 2 =+ ++ααt t ，则)sin 1(23221α+= =t t PN PM 又直线与曲线相交，则0)sin 1(2 3 4cos 1022 ≥+??-=?αα 得41sin 2 ≤ α 而当)0(21sin παα<<=，即6 56π πα或=时， PN PM 有最小值5 6 20. （1）证明：∵AD 平分AEC ∠，∴DAC EAD ∠=∠, ∵ 四边形AFBC 内接与圆，∴FCB FAB EAD ∠=∠=∠ ∴FCB FBC ∠=∠ ∴ FC FB = (2) ∵FCB FAB FBC ∠=∠=∠ BFD AFB ∠=∠ ∴FBA ?与FDB ?，FB FA FD FB = ,∴FD FA FB ?=2 (3) AB 是ABC ?外接圆的直径，∴0 90=∠ACB ∵0 120=∠EAC ,∴0602 1 =∠= ∠EAC DAC ,060=∠BAC ∴0 30=∠D ∵,6=BC 32=AC ,342==AC AD 21、解：（1）∵{}n a 是等差数列，且53=a ，137=a ，设公差为d 。 ∴?? ?=+=+1365211d a d a ， 解得???==2 1 1d a ∴12)1(21-=-+=n n a n （* ∈N n ） …2分 在{}n b 中，∵12-=n n b S 当1=n 时，1211-=b b ，∴1 1=b 当2≥n 时，由12-=n n b S 及1211-=--n n b S 可得 122--=n n n b b b ，∴12-=n n b b ∴{}n b 是首项为1公比为2的等比数列 ∴12-=n n b （* ∈N n ） …4分 （2）1 2)12(-?-==n n n n n b a c 1 22)12(25231-?-++?+?+=n n n T ① n n n n n T 2)12(2)32(2523212132?-+?-++?+?+?=- ② ①-②得 n n n n T 2)12(222222112?--?++?+?+=-- n n n 2)12(2 1) 21(2211?----? +=- n n n 2)12()12 (411 ?---+=- n n 2)32(3?---= ∴32)32(+?-=n n n T （* ∈N n ） -----8分 22、解：（1）当2,1-==b a 时，3)(2 --=x x x f ，令32--=x x x ，解之得3,121=-=x x 所以)(x f 的不动点是-1，3 （2）)1()1()(2-+++=b x b ax x f 恒有两个不动点，所以)1()1(2 -+++=b x b ax x ， 即0)1(2 =-++b bx ax 恒有两个相异实根，得0442 >+-=?a ab b 恒成立。于是 ()01642 '<-=?a a 解得10< 所以a 的取值范围为10< （3）由题意，A 、B 两点应在直线x y =上， 设A ()()2211,,,x x B x x ，因为AB 关于直线1 212 ++ =a kx y 对称，所以1-=k 设AB 中点为M ()00,y x ，因为21,x x 是方程0)1(2 =-++b bx ax 的两个根。
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