12.3角的平分线的性质 教学设计
教学目标
1. 掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；
2. 掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式．
3. 在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考并进行简单的推理．
4. 使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题．
教学重难点
重点：探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．
难点：角平分线性质的推导过程．
课前准备
三角板、直尺、圆规、多媒体课件、几何画板
教学过程
问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
[追问1] 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？
[追问2] 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD ，BC =DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法．教师出示作图过程：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线．
作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.
(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．
教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！
【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容．
2．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS)解决问题的能力．
3．从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.
问题2 【探究1】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？
[师生活动]学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断．最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【探究2】我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法．
如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？
[师生活动]学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP＝OP，PD＝PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP 平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
[练习]练习1 下列结论一定成立的是．
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．
（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
[练习2] 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．
【设计意图】1.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.
2.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识．
3．运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质与判定．通过举例，说明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力.
问题3：例1要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处(比例尺为1∶20000)?
[师生活动]学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．
例2如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．
[思路点拨]因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
[变式]△ABC的面积是24 cm2，它的三条内角平分线的交点到AB的距离为3 cm，则△ABC的周长为________．
【设计意图】1.利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段．
2．教师注意提醒学生：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.
问题4：探究交流：你能找到OP＝OP′的条件吗？
已知点C是∠AOB平分线上一点，点P，P′分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP′，
需要添加下列条件中的某一个即可．请写出所有可能的条件的序号________．
①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC；⑤CP⊥OA且CP′⊥OB.
[解析] 这是一道角平分线的性质与三角形全等知识的综合题，可通过是否具备全等，是否具备角平分线性质中的条件来加以判断．
①如果∠OCP＝∠OCP′，又因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(ASA)，得到OP＝OP′；
②如果∠OPC＝∠OP′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(AAS)，得到OP＝OP′；
④如果PP′⊥OC，设PP′交OC于D，因为∠ODP＝∠ODP′，∠POC＝∠P′OC，OD＝OD，可证△POD≌△P′OD(ASA)，得到OP＝OP′；
⑤如果CP⊥OA且CP′⊥OB，因为∠POC＝∠P′OC，所以CP＝CP′.又因为OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(HL)，得到OP＝OP′；
③如果PC＝P′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，这样三个条件不能证明三角形全等，当CP不垂直于OA时，以C为圆心，CP为半径画弧与OP有两个交点，其中的一个交点使△OP′C≌△OPC不成立．
所以正确答案为①②④⑤.
【设计意图】1.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力．
2．培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.
问题5：课堂小结：
(1)学生自行小结角平分线性质及其判定定理和它们的区别．
(2)说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏)．
布置作业：
布置作业：课本P51中的习题12.3.
【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.
问题6 知识网络：
【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络.
第二课时
教学目标
1.探索并证明角平分线性质定理的逆定理.
2.会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
3.培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．
教学重难点
重点：角平分线性质定理的逆定理．
难点：角平分线的性质的探究.
课前准备
多媒体课件
教学过程
问题1：（1）交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
[追问]你能证明这个结论的正确性吗？
证明略
[练习]判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；（）
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；（）
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．（）
（2）在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．
a.这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？
b.若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？
C.如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE,同理PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
【设计意图】通过一步一步深入探究，由易到难理解新知识.
问题2 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
[变式1] 如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在△ABC另一个外角的平分线上．
[变式2] 如图，P 点是△ABC的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在∠BAC 的平分线上．
[变式3] 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？
【设计意图】通过实际问题的探究，使所学的知识得到熟练的应用；通过不断深入的变式，使学生掌握知识的核心.
问题3：课堂小结：
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联系是什么？
（3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？
布置作业：教科书习题12.3第3、7题．
【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.