数学三角函数公式大全
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
铝三角习题分析
“ 铝 三 角” 的 图 像 分 析 及 计 算 知识点一、铝三角 1、三角关系：A|3+、AI(0H )3与AIO 2—相互转化的关系 Al * AO 2、铝三角的应用 ① 制取AI(OH )3 常用弱碱与可溶的铝盐反应： A|3+ + 3NH 3 ? HO == AI(OH) 3； +3NM 也可以用偏铝酸盐与弱酸反应： AIO 2- + CQ + 2H 20 == AI(OH) 3 ； + CQ 2- 知识点二、铝的化合物的有关图象 1、基本图象 ①向铝盐溶液中逐滴滴加强碱性溶液直至过量 水又是怎样的图像？ 现象：先产生沉淀，后沉淀消失。 AI 3+ + 30H - = AI(OH) 3； 离子方程式: AI(OH) 3 + OH = AIO 2- +2HO 如若将强碱性溶液换成氨水又是怎样的图像？ ③向偏铝酸盐溶液中逐滴滴加强酸溶液直至过量 通入CO )又是怎样的图像？ 现象： 离子方程式： 2、基本图象的拓展 ①过量O H ②过量H + ⑥0H AI(OH) 3 如若将强碱性溶液换成氨 现象： 将强酸溶液换成弱酸(如 现象： 离子方程式：
①若AICI 3溶液中混有MgC 2，向此溶液中逐滴滴加NaOH 溶液直至过量，发生了什么 反应？图象是怎样的？ 现象：开始产生沉淀，之后沉淀部分溶解 写出涉及的离子方程式： M 6+ + 2OH 丄 Mg (OH )2； AI + 3OH — = AI(OH) 3； AI(OH) 3 + OH — = AIO 2— +2HO ② 若AICI 3溶液中除混有外 MgC 2，还混有盐酸，向此 溶液中逐滴滴加NaOH 溶液直至过量，发生的反应有何 不同，图象有什么样的变化？ 现象：开始无沉淀，之后产生沉淀，之后沉淀部 分溶解 Mf + 2OH — = Mg (OH )2； AI 3+ + 3OH — = AI(OH) 3； AI(OH) 3 + OH — = AIO 2— +2HO ③ 若AICI 3溶液中除混有MgC 2和盐酸外，还混有NHCI ，向此溶液中逐滴滴加NaOH 溶液直至过量，发生的反应又有何不同，图象又有什么样的变化? 加适量水溶解，再加入KOH 容液,析出 现象: 离子方程式: Mc j + + 2OH — = Mg (OH )2； H + + OH — = H O f W
三角恒等变换知识点和例题
三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），
(完整版)高三一轮复习金属及其化合物知识点总结
高三化学总复习――金属及其化合物知识点总结 5.18一．金属的通性 1．位置：金属元素位于周期表的左下角，最外层电子数大部分少于4个。 2．物理通性：大部分有延展性、金属光泽，都有导热导电性等。 3．化学性质：易失电子，被氧化，金属表现还原性。 4．钠、铝、铁、铜单质的重要性质 钠铝铁铜 与非金属单质O24Na+O2＝2Na2O O2+2Na Na2O2 4Al+3O22Al2O33Fe+2O2Fe3O42Cu+O2 2CuO Cl22Na+Cl22NaCl 2Al+3Cl22AlCl32Fe+3Cl22FeCl3 Cu+Cl2 CuCl2 S 2Na+S Na 2 S 2Al+3S Al2S3Fe+S FeS 2Cu+S Cu2S H2O 2Na+2H2O=2NaOH+H2↑2Al+6H 2 O 2Al(OH)3+3H2↑3Fe+4H2O Fe3O4+4H2 不反应 HCl溶液2Na+2HCl＝2NaCl+H2↑2Al+6HCl＝2AlCl3+3H2↑Fe+2HCl＝FeCl2+H2↑不反应NaOH溶液与水反应2Al+2NaOH+2H2O＝ 2NaAlO2+3H2↑ 不反应不反应 CuSO4溶液2Na+2H2O+CuSO4＝ Na2SO4+Cu(OH)2↓+H2↑ 较复杂较复杂不反应 制备 2NaCl 2Na+Cl2↑2Al2O34Al+3O2↑Fe2O3+3CO 2Fe+3CO2 CuO+CO Cu+CO2 二．钠及其化合物 1．钠 ⑴钠的物理性质 状态颜色硬度密度熔点导电、导热性 固体银白色较小(比水大）较小(比水小）较低（用酒精灯加热，很快 熔化） 是电和热的良导体 ⑵钠的化学性质 ①钠与非金属单质的反应 A：与氧气：4Na+O2＝2Na2O(变暗)；O2+2Na Na2O2(燃烧生成淡黄色固体) B：与氯气：2Na+Cl22NaCl； C：与S：2Na+S Na2S ②钠与水的反应（水中先滴入酚酞） 2Na+2H2O=2NaOH+H2↑ 现象概述现象描述原因浮浮在水面钠的密度比水小 游四处游动钠与水反应产生气体 熔融化成银白色小球钠的熔点较低，且该反应放出大量热响发出咝咝的响声钠与水反应剧烈 红溶液由无色变为红色生成了碱性物质
三角恒等变换知识点总结
、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ]
知识讲解-三角恒等变换-基础
三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；
ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是 的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)
镁铝及其化合物知识点整理
镁、铝及其化合物知识点整理 Ⅰ.课标要求 1.通过海水制镁的事例了解镁及化合物的性质. 2.通过合金材料了解铝及化合物的性质. 3.能列举合金材料的重要应用. Ⅱ.考纲要求 1.掌握镁铝及化合物的性质. 2.了解镁铝及化合物在生活.生活中的应用. Ⅲ.教材精讲 一.Mg、Al的化学性质 1．与非金属反应 （1）与O2反应：常温下与空气中的O2反应生成一层致密的氧化物薄膜，所以镁、 铝都有抗腐蚀的性能。镁能在空气中燃烧：2Mg+O 22MgO ，铝在纯氧中燃烧：4Al+ 3O 22Al2O3 （2）与卤素单质、硫等反应：Mg+ Cl 2MgCl2 2Al+ 3Cl 22AlCl3 2Al+ 3S Al2S3 （用于工业制备）Mg+ S MgS [特别提醒]：①镁在空气中用酒精灯火焰点燃即可燃烧，而铝在空气中需要高温点燃才能燃烧。镁在空气中燃烧时有三个反应发生：2Mg+O 22MgO 3Mg+N 2Mg3N22Mg+CO 22MgO+C ②燃烧时都放出大量的热，发出耀眼的白光。利用镁的这种性质来制造照明弹。 ③集气瓶底部都要放一些细纱，以防止集气瓶炸裂。 2．与H2O反应
Mg、A1和冷水都不反应，但在加热条件下与水反应生成氢氧化物和氢气 Mg+2H 2O（沸水）Mg(OH)2+H2↑2A1+6H2O2A1(OH)3+3H2↑ 3．与酸反应置换出H2 Mg、A1与浓、稀盐酸、稀硫酸、磷酸等酸反应置换出H2，其中铝在冷浓H2SO4，冷浓硝酸中发生钝化现象。所以可用铝制容器贮存冷的浓硫酸或浓硝酸。 4．与某些氧化物反应 （1）镁与二氧化碳反应：2Mg+CO 22MgO+C [特别提醒]：“CO2不能助燃”的说法是不全面的，CO2对绝大多数可燃物是良好的灭火剂，而对K、Ca、Na、Mg等可燃物却是助燃剂。 （2）铝热反应：2Al+ Fe2O32Fe+ Al2O3 铝热反应可用于焊接钢轨和冶炼某些难熔金属，如：V、Cr、等。 [特别提醒]：①铝热剂是指铝粉和某些金属氧化物的混合物，金属氧化物可以是：Fe2O3、FeO、Fe3O4、Cr2O3、V2O5、MnO2等。 ②铝热反应的特点是反应放出大量的热，使生成的金属呈液态。 ③要使用没有氧化的铝粉，氧化铁粉末要烘干。 ④KClO3作为引燃剂，也可以用Na2O2代替。实验时可以不用镁条点燃，而用在氯酸钾和白糖的混合物上滴加浓硫酸的方法来点燃。 5．与碱反应 镁不与碱反应，铝与碱液反应：2Al+2NaOH+6H 2O2NaAlO2+4H2O+3H2↑ 简写：2Al+2NaOH+2H 2O2NaAlO2+3H2↑ 二.氢氧化铝 1．物理性质：A l(O H)3是几乎不溶于水的白色胶状固体，具有吸附性。 2．化学性质
必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类的总结
三角函数知识点总结 1、任意角： 正角： ；负角： ；零角： ； 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份， 再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距 离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
三角函数公式大全
三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
铝三角习题分析
① 过量OH — ②过量H + ③H + ④OH — ⑤H + ⑥OH — “铝三角”的图像分析及计算 知识点一、铝三角 1、三角关系：Al 3+、Al(OH)3与AlO 2— 相互转化的关系 2、铝三角的应用 ①制取Al(OH)3 常用弱碱与可溶的铝盐反应：Al 3+ + 3NH 3·H 2O == Al(OH)3↓+3NH 4+ 也可以用偏铝酸盐与弱酸反应：AlO 2- + CO 2 + 2H 2O == Al(OH)3↓+ CO 32- 知识点二、铝的化合物的有关图象 1、基本图象 ①向铝盐溶液中逐滴滴加强碱性溶液直至过量 如若将强碱性溶液换成氨水又是怎样的图像？ 现象：先产生沉淀，后沉淀消失。 现象： Al 3+ + 3OH － = Al(OH)3↓ 离子方程式： Al(OH)3 + OH － = AlO 2－ +2H 2O 如若将强碱性溶液换成氨水又是怎样的图像？ ③向偏铝酸盐溶液中逐滴滴加强酸溶液直至过量 将强酸溶液换成弱酸（如通入CO 2）又是怎样的图像？ 现象： 现象： 离子方程式： 离子方程式： Al 3+ Al(OH)3 AlO 2—
2、基本图象的拓展 ①若AlCl 3溶液中混有MgCl 2，向此溶液中逐滴滴加NaOH 溶液直至过量，发生了什么反应？图象是怎样的？ 现象：开始产生沉淀，之后沉淀部分溶解 写出涉及的离子方程式： Mg 2+ + 2OH － = Mg (OH)2↓ Al 3+ + 3OH － = Al(OH)3↓ Al(OH)3 + OH － = AlO 2－ +2H 2O ②若AlCl 3溶液中除混有外MgCl 2，还混有盐酸，向此溶液中逐滴滴加NaOH 溶液直至过量，发生的反应有何不 同，图象有什么样的变化？ 现象：开始无沉淀，之后产生沉淀，之后沉淀部 分溶解 H + + OH － = H 2O Mg 2+ + 2OH － = Mg (OH)2↓ Al 3+ + 3OH － = Al(OH)3↓ Al(OH)3 + OH － = AlO 2－ +2H 2O ③若AlCl 3溶液中除混有MgCl 2和盐酸外，还混有NH 4Cl ，向此溶液中逐滴滴加NaOH 溶液直至过量，发生的反应又有何不同，图象又有什么样的变化？ 现象： 离子方程式： H + + OH － = H 2O Mg 2+ + 2OH － = Mg (OH)2↓ Al 3+ + 3OH － = Al(OH)3↓ NH 4+ + OH － NH 3·H 2O Al(OH)3 + OH － = AlO 2－ +2H 2O 【变式训练1】Al 2(SO 4)3和MgSO 4混和, 加适量水溶解,再加入KOH 溶液,析出 的沉淀量(W)与KOH 溶液体积(V)的关系如图, 则Al 2(SO 4)3和MgSO 4的物质的量之比是 A . 2:1 B . 1:2 C . 1:1 D . 1:3 【典型例题】 例1 向30 mL 1 mol·L －1 的AlCl 3溶液中逐渐加入浓度为4 mol·L －1 的NaOH 溶液，若产生0.78 g 白色沉淀，则加入的NaOH 溶液的体积可能为 ( ) A ．3 mL B ．7.5 mL C ．15 mL D ．17.5 mL
三角恒等变换知识点总结详解
第三章 三角恒等变换 一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） ． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．2 2 2 )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=． ⑶2 2tan tan 21tan α αα = -． 3、 ? （后两个不用判断符号，更加好用） 4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]cos α·sin β=21 [sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sin α·sin β= -2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sin α+sin β= 2 cos 2 sin 2β αβ α-+sin α-sin β=2 sin 2 cos 2β αβ α-+ αααα ααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-± =+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 2 2α α αααα万能公式+-=+=
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
三角函数公式总结)
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
