第一章 事件与概率
1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ?；(4)BC A ?.
2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．
3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ；
（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；
（3）∑-=-++=r
a k r a
b a k b r k a C C C
0.
5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有
)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。
12、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？
13、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r 14、袋中有n 只球，记有号码n ,,2,1 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。 15、袋中装有N ,,2,1 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。 16、甲有n+1个硬币，乙有n 个硬币，双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面多的概率。 17、一颗骰子投4次至少得到一个六点，与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事，哪一个有更多的机会遇到？ 18、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。 19、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A 集中在一个人手中的概率。 20、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A 打头的同花顺次五张牌； （2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。 21、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。 22、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 23、设n A A A ,,,21 是随机事件，试用归纳法证明下列公式： ∑∑=≥>≥--++- =n i i j n n n j i i n A A A P A A P A P A A A P 1121121)()1()()()( 。 24、考试时共有N 张考签，n 个学生参加考试)(N n ≥，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。 25、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？ 26、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,，求()AB P 及() B A P 。 27、已知：()()()B A C AB C B P A P AB P ??=,,，证明：)()()(C P A P AC P ≥。 28、（1）已知1A 与2A 同时发生则A 发生，试证：)()(≥)(21A P A P A P +－1 （2）若A A A A ?321，试证：≥)(A P 2-)()()(321A P A P A P ++ 29、利用概率论的想法证明下列恒等式： a A a a A a A A A a A a A A a A =+-?-++-----+--+)1()1(12)()2)(1()1)((11 其中A ，a 都是正整数，且a A >。 30、证明Ω的一切子集组成的集类是一个-σ域。 31、证明：-σ域之交仍为-σ域。 32、向边长为 a 的正方形由任意投一点，求此点正好落在对正方形对角形上的概率? 33、在10只电子表中有2只是次品，现从中不放回的连续抽取两次，每次抽取一只，求正好抽到一个 是正品，一个是次品的概率? 34、在5双不同的鞋中任取4双，求至少能配成一双的概率? 35、在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少? 36、两人相约于7点到8点间在某地相会，约定先到者等候另一人20分钟,过时离去，试求这两人能会 面的概率是多少? 37、有10个电阻，其电阻值分别为1,2,,10 ΩΩΩ ，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一个小于 5Ω,一个大于5Ω,另一个等于5Ω，问取一次就能达到要求的概率。 38、两船欲靠同一码头，设两船独立地到达，而且各自到达时间在一昼夜间是可能的，如果此两船在码 头停留的时间分别是1及2小时，试求一船要等待空出码头的概率。 39、任意取两个正的真分数，求它们的乘积不大于1/4的概率。 40、在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。 41、设3个事件A ，B ，C ，满足AB φ=，求()P A B C 。 42、某城市中发行2种报纸A ，B 。经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的 有35%，同时订阅2种报纸A ，B 的有10%。求：（1）只订A 报的概率；（2）只订1种报纸的概率。 43、从1,2,3,4,5五个数码中，任取3个不同数码排成三位数，求：（1）所得三位数为偶数的概率；（2） 所得三位数为奇数的概率。 44、电话号码由6个数字组成，每个数字可以是0,1,2,,9 中的任一个数（但第1个数字不能为0），求 电话号码由完全不相同的数字组成的概率。 45、袋中有5个白球和3个黑球。从中任取2个球，求：（1）取得的2个球同色的概率；（2）取得的2 个球至少有1个是白球的概率。 46、证明： ()()-() ()P AB P AC P BC P A +≤ 47、证明：包含一切形如),(x -∞的区间的最小-σ域是一维波雷尔-σ域。 第一章 解答 1、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。 （2）A C ?????=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。 （3）A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。 （4）C B A BC A ???，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。 2、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ． 3、解：（1）{至少发生一个}=D C B A . （2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++. （3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB . （4）{都不发生}=D C B A D C B A =. （5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++ CD BD BC AD AC AB =. 4、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得 12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。 （2）在上式中令x=-1即得所欲证。 （3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。由于k b b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于要证∑=++-+≤≤=a k r b b a k b b r k a a r C C C 00,.利用幂级数乘法可证明此式。因为 b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边r b x +的系数即得证。 5、解：15.033 5/311151516===A A A A P 6、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以 5/2!5/!42=?=p （2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边， 剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=?=p （3）p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁 边}=10 71015252=-+. （4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P （5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=?=P 7、解：末位数吸可能是2或4。当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以 5/2/23524=?=A A P 8、解：m n m n m n m n C C C C P 33/321= 9、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红} 33.0625 20725925152562572510253==?+?+?=. 10、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n 个号码必然全不相同，N n ≤。N 个不同号码可产 生!n 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上 升排列，所以共有n N C 种按严格上升次序的排列。总可能场合数为n N ，故题中欲求的概率为 n n N N C P /=. 11、解：因为不放回，所以n 个数不重复。从}1,,2,1{-M 中取出m-1个数，从},1{N M +中取出 m n -个数，数M 一定取出，把这n 个数按大小次序重新排列，则必有M x m =。故 n N m n M N m M C C C C P /1111----=。当11-<-m M 或m n M N -<-时，概率0=P . 12、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中取出一只。所以欲求的概率为48.033 16/4121212252216===C C C C C C P 13、解：（1）有利场合是，先从n 双中取出2r 双，再从每双中取出一只。 )2(, /)(222122n r C C C P r n r r n <= （2）有利场合是，先从n 双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的1-n 双中取出22-r 双，从鞭每双中取出一只。 r n r n r r n r r n n C C n C C C C C P 2222122222212221221/2/)(------==. （3）r n r n n r C C C P 22422242/2---=. （4）r n r r n C C C P 2222/)(=r n r n C C 22/=. 14、解：（1）P{任意取出两球，号码为1，2}=2/1n C . （2）任取3个球无号码1，有利场合是从除去1号球外的1-n 个球中任取3个球的组合数，故 P{任取3球，无号码1}331/n n C C -=. （3）P{任取5球，号码1,2,3中至少出现1个}=P -1{任取5球，号码1,2,3不出现}553/1n n C C --=. 其中任取5球无号码1,2,3，有利场合是从除去1,2,3号球外的3-n 个球中任取5个球的组合数。 15、解：（1）有利场合是，前1-k 次从1-N 个号中（除1号外）抽了，第k 次取到1号球， k k k k N N N N P /)1(/1)1(11---=?-= （2）考虑前k 次摸球的情况，N A A P k N k N /1/111=?=--。 16、解法一：设A={甲掷出正面数>乙掷出正面数}，B={甲掷出反面数>乙掷出反面数}。考虑A ={={甲 掷出正面数≤乙掷出正面数}。设A 发生。若乙掷出n 次正面，则甲至多掷出n 次正面，也就是说乙掷出0次反面，甲至少掷出1次反面，从而甲掷出反面数>乙掷出反面数。若乙掷出1-n 次正面，则甲至多掷出1-n 次正面，也就是说乙掷出1次反面，甲至少掷出2次反面，从而也有甲掷出反面数>乙掷出反面数，等等。由此可得 }{乙掷出正面数甲掷出正面数≤=A B =≤=}{ 乙掷出反面数甲掷出反面数. 1)()()()(=+=+∴A P A P B P A P 显然A 与B 是等可能的，因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同，所以),()(B P A P =从而2 1)(=A P 。 解法二：甲掷出1+n 个硬币共有12+n 个等可能场合，其中有01+n C 个出现0次正面，有11+n C 个出现 1次正面，…，11++n n C 个出现 1+n 次正面。乙掷n 个硬币共有n 2个等可能场合，其中有0n C 个出现0次正面，1n C 个出现1次正面，…，n n C 个出现n 次正面。若甲掷1+n 个硬币，乙掷n 个硬币，则共 有1211222++=?=n n n n 种等可能场合，其中甲掷出正面比乙掷出正面多的有利场合数有 ++++++=+++)()(2103110210111n n n n n n n n n C C C C C C C C C m )()(10111101n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++=++-+ 利用公式11-++=r n r n r n C C C 及n n n n C C =++11得 ++++++++++= ))(())(()(2103210210101n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C m )())((101101n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ++++++++-- [] ??????++++=∑<21201210120)()(i n n n n n n C C C C C C C C +??????+++∑<3120122)(i n n n n n C C C C C ??????++??????++++∑∑∑<<-<--n i n n n n n n i n n n n n n n n n C C C C C C C C 121111121)()( + ∑∑∑≥>≥==? ?? ??=+=020*******)(i j n n i n n n n i n C C C C 所以欲求的概率为 2 12/2/12211===+n n n m P . 应注意，甲掷出1,,1,0+n 个正面的2+n 个场合不是等可能的。 17、解：事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个六点”，后者有有 利场合为，除去六点外的剩下五个点允许重复地排在四个位置上和排列数，故， P{一颗投4次至少得到一个六点}=-1{一颗投4次没有一个六点}=5177.06/5144=-. 投两颗骰子共有36种可能结果，除双六（6，6）点外，还有35种结果，故 P{两颗投24次至少得到一个双六}=-1{两颗投24次没有一个双六}=4914.036 /3512424=-. 比较知，前者机会较大。 18、解：0129.0/1352213313313513==C C C C C P 19、解：0106.041352 94313131326133913521313132613399434414=?==C C C C C C C C C C C C P . 或解为，4张A 集中在特定一个手中的概率为1352 94844/C C C ，所以4张A 集中在一个人手中的概率为 0106 .0/41352948=?=C C P . 20、解：（1）0000015 .0/4552==C P . 这里设A 只打大头，若认为可打两头AKQJ10及A2345，则答案有变，下同。 （2）取出的一张可民由K ，Q ，…，6八个数中之一打头，所以 0000123 .0/5521814==C C C P . （3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点，再从剩下48张牌中取出1张，所以 .00024.0/55244113==C C C P （4）取出的3张同点占有13个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余12个点中的一个点， 所以 .00144.0/5522411234113==C C C C C P (5)5张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中，5张牌占有13个点中5个点，所以 .00198.0/55251314==C C C P (6){异花顺次五张牌}={顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}。顺次五张牌分别以A ，K ，…，6九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以 p = P{顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}[].0000294.0/)(5 52191451419=-=C C C C C （7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点，所以.0211.0/)(55221421234113==C C C C C P （8）P{五张中有两对}=P{五张中两对不同点}+P{五张中两对同点} .0475 .0//5521411244113552141112424212=+=C C C C C C C C C C C （9）.423.0/)(55231431224113==C C C C C p （10）若记（i ）事件为i A ，则94835251,,,A A A A A A A A ????而事件95,,A A 两两不 相容，所以∑===-=??? ? ??-=9595.506.0)(11i i i i A P A P p 21、解：设x ，y 分别为此二船到达码头的时间，则 240,240≤≤≤≤y x . 两船到达码头的时间与由上述 条件决定的正方形内的点是一一对应的（如图） 设A 表事件“一船要等待空出码头”，则Ａ发生意味 着同时满足下列两不等式 4,3≤-≤-x y y x 由几何概率得，事件Ａ的概率，等于正方形ＣＤＥＦ中直线43≤-≤-x y y x 及 之间的部分面积，与正方形CDEF 的面积之比，即 27.01152/31124/21212021242222==????? ???? ???+?-=PA 22、解：设x ，y 分别为此二人到达时间，则 y 87,87≤≤≤≤y x 。显然，此二人到达时间 ),(y x 与由上述条件决定的正方形CDEF 内和 点是一一对应的(如图)。 D 设A 表事件“其中一人必须等另外一人的 时间1/2小时以上“，则A 发生意味着满足如下 0 7 8 x 不等式 2 121>->-x y y x 或。由几何概率得， 事件A 的概率等于ΔGDH 及ΔFMN 的面积之和与正方形CDEF 的面积之比，所以 4 1)11/()21212121(21)(=??+?=A P 23、证：当2=n 时，)(212121A A A A A A -= ，1A 与212A A A -两者不相容，所以 )()()()()(212121221A A P A P A P A A A P A A P -+=-= . 此即当2=n 时原式成立。 设对1-n 原式成立，现证对n 原式也成立。 }{)(1111n n n n A A A P A A A P --= }{)()(1111n n n n A A A P A P A A P ---+= }{)()(12111n n n n n n A A A A A A P A P A A P ---+= 对前后两项分别应用归纳假设得 )(11n n A A A P -? ?????-++-=--≥>≥--=∑∑)()1()()(1121111n n i j n j i i n n A A P A A P A P )(n A P + ? ? ????-++----≥>≥--=∑∑)()1()()(121111n n n j n i n i j n n j n i n i n i A A A A A A P A A A A P A A P )()1()()(21111n n i j n j i i n i A A A P A A P A P -≥>≥=-++- =∑∑. 至此，原式得证。 24、解：设考签编号为N ,,2,1 ，记事件}{号考签未被抽到第x A i =，则 n n i N N A P /)1()(-=， ),(/)2()(j i N N A A P n n j i ≠-=， 0/)()(21=-=n n N N N N A A A P ； 诸i A 相容，利用第33题公式计算得 P={至少有一张考签未被抽到}}{21N A A A P = ∑∑=≥>≥--++-=N i i j N N N j i i A A A P A A P A P 11211)()1()()( 01)1()2()1(1221+-++---=--n N N N n n N n n N N C N n C N N C ∑-=---=1 111)()1(N i n n N i N i N C . 25、解：这些比赛的可能结果，可以用下面方法表示： ,,,,,,,,,,,,aa acc acbb acbaa acbacc acbacbb bb bcc bcaa bcabb bcabcc bcabcaa 其中a 表甲胜，b 表乙胜，c 表丙胜。 在这些结果中，恰巧包含k 个字母的事件发生的概率应为 k 21，如aa 发生的概率为1/4，acbb 发生的概率为1/16等等。则 [][] ++++=)()()()()(bcabcc P acbacc P bcc P acc P c p 7 221 221 221 2963=+?+?+?= . 由于甲，乙两人所处的地位是对称的，所以)()(b p a p =，得 14 5)721(21)()(=-==b p a p . 26、解：)()()(B B A P B A P B A P -=-= q r B P B A P -=-=)()( r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( . 27、证：设21)(,C B A C C BC =-=.由B A ?可得，B A C ?， ∴21C C C =，φ=21C C （1） 又AB C ?∴AB BC A AC ==)(1 再由)()(1C P B P ≥得 )()()()()()(11C P A P B P A P AB P AC P ≥== （2） 由A C ?2并利用1)(≤A P 得 )()()()(222C P A P C P AC P ≥= （3） 由（1），（2），（3）可得 {})()()(2121AC AC P C C A P AC P ==)()()()()()(2121C P A P C P A P AC P AC P +≥+= [])()()()()(21C P A P C P C P A P =+= 28、证：（1）21A A A ?，由单调性及1)(21≤A A P 得 )()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥1)()(21-+≥A P A P . （2）321A A A A ?，两次利用（1）的结果得 1)()())(()(213321-+≥≥A A P A P A A A P A P 1)()(1)(213-++-≥A P A P A P 2)()()(321-++=A P A P A P . 29、证：设袋中有A 个球，其中a 个是白球，不还原随机取出，第k 次才首次取得白球的概率为 k A a k a A k A A A P 11--=) 1()2)(1()2()1)((+---+-----=k A A A A k a A a A a A a )1,,2,1(+-=a A k . 因为袋中有a 个白球，a A -个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为止，则至迟 到第1+-a A 次一定会取到白球；也就是说，第一次或第二次…或至迟到第1+-a A 次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以 1211+-+++=a A p p p a a A A a A a A A a A a A a )1()1(12)()1()(+-?-++--+= 等式两边同乘以a A 得 a A a a A a A A A a A a A A a A =+-?-++-----+--+)1()1(12)()2)(1()1)((11 . 30、证：记F={Ω的一切子集} （i ）Ω是Ω的子集，所以F ∈Ω。 (ii) 若F A ∈，则A 是Ω的子集，A -Ω也是Ω的子集，所以F A A ∈-Ω=。 (iii)F i A i ∈=),2,1( ，当然有 ,2,1,=?Ωi A i 。任一 i i A ∈ω。必有某一i A ，使i A ∈ω，所以Ω∈ω，从而i i A i ?Ω，即i i A i 也是Ω的一个子集，故F A i i i ∈ 。 ∴F 是-σ域。 31、证：设)(T t F t ∈是-σ域，记 T t t F F ∈=. (i) ∈Ω每一t F ，所以 T t t F ∈∈Ω，即F ∈Ω. (ii) F A ∈，则∈A 每一t F ，由t F 是-σ域得∈A 每一t F ，所以t T t F A ∈∈，从而F A ∈. (iii) F i A i ∈=),2,1( ，则诸t A 必属于每一t F ，由于t F 是-σ域，所以 i i A ∈每一t F ，即 F F A t T t i i =∈∈ . ∴f 是-σ域。 32、解： 由于点落入正方形是等可能的，此属几何概型S a Ω=2,事件A={点落于两条对角线上了的测 度0A S =, 故P(A)=S S A Ω =0 33、解: 由于此时样本点总数是90 ,有利场合数是32 ∴所求概率1645P = 34、解：记 A ={选取的样品至少配成一双}，由于样品总数是C 104 A 的有利场合数是411528()1()C C C p A P A ∴=- 813()10.6192121 P A =-=≈ 35、解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法. 其中有（4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7）种能成4位偶数. 故所求概率4987487987411098790 P ???-??+??= =??? 36、解：以,X Y 分别表示两人到达的时刻, 则(,)X Y 可能取值范围是{}G X Y X Y =≤≤≤≤(,):,060060 则两人能会面的范围{}(,):||20,0,0g X Y X Y X Y =-≤≥≥ 故能会面的概率P=g G 的面积的面积=-=60406059222 37、解：从10个电阻中取三个电阻的取法有103?? ??? 种取法 满足要求的取法有 415111?????? ??????????? 种取法 ， 故所求概率 415101/11136P ????????== ????? ????????? 38、解：设 二船到达的时刻为,x y ，则 ,x y 一切可能取值 {}(,):024;024G x y x y =≤≤≤≤ (得2分) 所求值：{(,),1,2g x y G y x x y =∈-≤-≤ 所求概率 p=g G 的面积的面积 =0121. 39、解：设x 及y 为所取的正的真分数，则{}(,);01,01;x y x y Ω=<<<< 1(,);,01,014A x y xy x y ??=≤<<< {(,): 1.2,01,0A x y x y x y =+<<<<< 故110.80.82()0.681 P A -??== 在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。 41、解：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ ()()()()()()()P A P B P C P P AC P BC P φφ=++---+ ()()()()()P A P B P C P AC P BC =++-- 42、解：（1）记事件A={订阅A 报}， B={订阅B 报}，则{只订阅A 报}可表示为A B A AB -=-。因 AB A ?，故()()()()P A B P A AB P A P AB -=-=-0.450.10.35=-=。 （2）{只订1种报}=()()A B B A AB BA --= ，要把,A B B A --分别表示为A AB -，B AB -。又这2个事件是互不相容的，由概率加法公式，有 ()()()()()()p P A AB P B AB P A P AB P B P AB =-+-=-+- 0.450.10.350.10.6=-+-= 43、解：（1）三位数总的排法是35A 种。排得偶数要求末位数是偶数，即2或4，余下的4个数任取2个 排列。因此，排得偶数的情况种数是2 4 2A 种，故2413522430.4543A p A ??===??。 （2）同（1）作类似的分析，知2423533430.6543 A p A ??===??。 注：此题也可以这样分析：{所得三位数是偶数}={三位数末位数是偶数}，又{所得三位数是奇数}={三位数末位数是奇数}。从而12230.4,0.655 p p = === 44、解：因第1个数字不能为0，故6位电话号码的数字情况总数5910N =?个，其中完全由不同数字 组成的情况数为998765136080M =?????=（个）。所以1360800.1512900000 p = =。 45、解：（1）从8个球中任取2个的取法总数为2828C =种。取得的2个球为同色，分为两种情况：2 个球皆为白色或2个球皆为黑色。这两种情况各有2253,C C 种，故取得2个球同色的情况数为 225313C C +=种，所以1130.464328 p ≈≈。 此题也可以这样解：1A ={取得的2个球皆为白色}，2A ={取得的2个球皆为黑色}，A ={取 得的2个同色}。12,A A 互不相容，且12A A A = ，而2253122288103(),()28 28 C C P A P A C C ====，故 110313()0.4643282828 p P A ==++≈ （2）令A ={取得的2个球至少有1个白球}，则A ={取得的2个球皆为黑球}，故 23228325()1()110.89292828 C p P A P A C ==-=-=-=≈ 46、证：()()-()P AB P AC P BC +()()()p AB AC P ABC P BC =?+- ≤+-=P A P BC P BC P A ()()()() 47、证：一维波雷尔-σ域{}),[b a m B =是由左闭右开区间灶产生的-σ域，{}),(~x M B -∞=是由形如) ,(x -∞区间类产生的-σ域。 因为 ),(),(),[a b b a -∞--∞= 等式左边是B ~中两个集的差，由此知B ~包含一切形如),[b a 的集，而B 是由一切形如),[b a 的集类产生的-σ域，所以B B ?~。 又由于 ∞ =+--=-∞1)1,[),(n n x n x x ， 等式右边是B 中集的可列并，由此知B 包含一切形如),(x -∞的集，与上段同理得B B ~ ?. ∴B B =~. 《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得 （1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码． 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 中北大学概率统计习题册第四章完整答案 (详解) 1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ， DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1λ ，DX = 2 1 λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ， DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则 EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。 解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。 50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 5000499910.99950000.0010.999=--?? 0155 5510!1! e e --≈--10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。 解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别为()~[0,5]X U ， 52EX = ；2512 DX =。 5.设(){ }3.02010,,10~2=< 习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ; 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(． 概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章 第四章习题解答 1．设随机变量X ～B （30， 6 1），则E （X ）＝( D ). A.6 1 ； B. 65； C.6 25； D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______． (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3 2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5．设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它 求2() ,().E X E X 解：12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??. 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑 球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +. 解 由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它 记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<- .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 第一章 1、一般事件（复合事件）：由不止一个样本点做成的事件。 以下哪些试验是随机试验。 （1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上； （2）记录某电话传呼台在一分钟内接到的呼叫次数； （3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命； （4）观察一桶汽油遇到明火时的情形； （5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置。 ：（1）（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验。2、写出下列随机试验的样本空间。 （1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数； （2）抛掷二次硬币，观察出现的结果； （3）记录某汽车站在5分钟内到达的乘客数； （4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命； （5）记录一门炮向其目标射击的弹落点； （6）观察一次地震的震源； ： （1）{1,2,3,4,5}； （2）{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； （3）{0,1,2,3,4...} （4）,其中x表示灯泡的寿命； （5）,其中x、y分别表示弹着点的横坐标、纵坐标； （6）,其中x、y、z分别表示震源的经度、纬度、离地面的深度。 3、抛掷一个骰子，观察出现的点数。用A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数大于4”，C表示“出现的点数为3”,D表示“出现的点数大于6”，E表示“出现的点数不为负数”， （1）写出实验的样本空间； （2）用样本点表示事件A、B、C、D、E； （3）指出事件A、B、C、D、E何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。 : （1）{1,2,3,4}； （2）{1，3，5}，{5，6}，{3}，，{1，2，3，4，5，6}； （3）C为基本事件，E为必然事件，D为不可能事件。 1．先抛掷一枚硬币，若出现正面（记为Z）,则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，请写出样本空间。 1．答案： 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB . )B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件 8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ? 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网概率论第一章课后习题答案
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