平面的基本性质（第二课时）
班级姓名小组
一、学习目标
1．理解推论1、2、3的内容
2．会用图像语言和符号语言表示推论1、2、3
3．会应用推论1、2、3证明线、面关系
二、学习重点与难点
重点：理解推论1、2、3的内容
难点：会应用推论1、2、3证明线、面关系
三、导学流程
基础感知：
思考2：公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？
1、判断下列命题是否正确：
（1）如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面．( ) （2）经过一点的两条直线确定一个平面．( )（3）经过一点的三条直线确定一个平面．( ) （4）平面和平面交于不共线的三点A，B，C. ( )
2、直线l1//l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确_____个平面．
3、命题“平面αβ
、相交于经过点M的直线a”可用符号语言表述为．4．如图，若直线l与四边形ABCD的三条边AB，AD，CD分别交于点E，F，G．求证：四边形ABCD为平面四边形．
5.
已知直线l与三条相互平行的直线a，b，c都相交.求证：这四条直线共面.
五、展示设计
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出过M、N、P 三点的截面。
l
C
D
A
B
G
F
E
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
1.2.1节平面的基本性质（一） 学习目标: 初步了解平面的概念；了解平面的基本性质（公理3 1 ）；能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题． 重点难点: 正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质. 一、课前预习 1. 直线的特征：______,________,_________ 直线的画法： 直线的表示方法：平面的特征：______,________,________ 平面的画法 平面的表示方法： 2．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：点与直线的位置关系： 点与平面的位置关系： 直线与平面的位置关系： 3．平面的基本性质： 公理1：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为： 公理2：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为： 公理3：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为：
二、课堂研讨 例1. 按照给出的要求，完成两个相交平面作图，线段AB 是两个平面的交线 例2．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 A 1C 1，A 1 B 1，B 1 C 1，分别记作γβα,,，试用适当的符号填空． 111____,___)4(BB B A ==γββα γβα________,______,_____)5(11111B A BB B A 例3.已知：Q BC R AC P AB ABC =?=?=??αααα,，外，在平面 求证：P,Q,R 三点共线。 ,_______)1(1αA α_______1B ,_______)2(1γB γ_______1C ,_______)3(1βA β_______1D P A B C R Q α
高中立体几何教案第一章直线和平面平面的基本性质之一教案 教学目标 1．了解三个公理及公理3的三个推论； 2．了解推论1的证明过程． 教学重点和难点 公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点． 教学设计过程 师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质． （当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题） 师：直线与平面有几种位置关系？ 生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内． 师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？ 生：有且只有一个公共点． 师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？ 生：只要有两个公共点． 师：对，这就是公理1．（同时板书） 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1） 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以： 点A在直线a上，记作A∈a； 点A在平面α内，记作A∈α； 所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则 公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题． 师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？ 生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线． （这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说） 师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书） 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）
1.2.1 平面的基本性质 一、填空题 1．下列命题： ①书桌面是平面； ②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m，宽是20 m； ④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为________． 2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条． 4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)． ①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β； ②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN； ③A∈α，A∈β?α∩β＝A； ④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合． 5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线；②一点和一直线； ③一个三角形；④三个点． 6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个． 7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上． (1)AD/∈α，a?α________． (2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________． (3)a?α，a∩α＝A________． (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________． 8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________． 9．下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面； ④在空间两两相交的三条直线必共面． 其中正确命题的序号是________． 二、解答题 10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
平面的基本性质（一） 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的． 1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法． 3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法． 4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述． （二）能力训练点 1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力． 3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．
资源信息表
（3）平面及其基本性质 ——三个公理三个推论的应用 上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析 本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课 的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个 公理三个推论进行证明. 公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线. 它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公 共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公 共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是 这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把 空间问题转化为平面问题的条件. 二、教学目标设计
理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点 利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题 四、教学流程设计 五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α? C 、AB α? D 、AB C α?= 2）判断 ①若直线a 与平面α有公共点，则称a α?. （×）
②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D 、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. （二）证明 1、共面问题 例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ?=?=?=?= l 3 l 2 B C l 1 A
1．2.1平面的基本性质 基础巩固 知识点一平面的概念及符号表示 1．下列说法中，正确的有________(填序号)． ①一个平面长4 m，宽2 m； ②2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是25 cm2； ④一条直线的长度比一个平面的长度大； ⑤圆和平行四边形都可以表示平面． 解析：根据平面定义，前4个说法均不正确，⑤正确． 答案：⑤ 2．点M在直线a上，且直线a在平面α内，可记为________． 解析：点、线、面的关系采用集合中的符号来记． 答案：M∈a?α 3．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CDα，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F AB. 由题意画图形如下：
知识点二平面基本性质三条公理 4．平面α、β有公共点A，则α、β有________个公共点． 解析：根据公理2. 答案：无数 5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D ，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过点________． 解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上． 答案：C和D 6．空间任意四点可以确定________个平面． 解析：若四点共线，可确定无数个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面． 答案：1个或4个或无数． 知识点三平面基本性质三条推论 7．下列命题说法正确的是________(填序号)． ①空间中不同三点确定一个平面； ②空间中两两相交的三条直线确定一个平面； ③一条直线和一个点能确定一个平面； ④梯形一定是平面图形．
教学过程 —、复习预习 思考：1、直线的性质,平面的性质 2、直线在一个平面内的判定？ 3、直线与直线相交与两个平面相交的区别 4、三角形的稳走性指的是什么？ 二知识讲解 考点］ 公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内? 考点2 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线? 考点3 公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面? 推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面； 推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理的用途
公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内? 公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点? 公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题? 考点4 公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立. 考点5 异面直线的判走异面直线所成的角 三.例题精析 【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、 CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、 F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、F G、BD三线共点. 1 〃— 证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ; 又. CG : GD= AH : HD=3 : l t 丄 .-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH , ???四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG r FG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r .??PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点. 【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H?
1.2.1 平面的基本性质与推论 典题精讲 例1根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系. 图1-2-1-4 图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:___________________________________________. 思路解析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出. 答案：图1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为: α∩β=AB,aα,bβ,a∥AB,b∥AB. 图1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B MN,C MN. 绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求之一.要正确解决此类问题需要从两个方面入手:一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形;二是正确理解对应符号的含义,可以结合集合的含义加以理解. 变式训练1(1)观察下面的三个图形,说出它们有何异同; (2)用虚线画出图1-2-1-5(4)正方体和图1-2-1-5(5)三棱锥中被遮挡的棱,完成图形. 图1-2-1-5 思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的,可以结合实物加以理解. 答案：(1)图(1)可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图；图(2)是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图(3)是MN凹在里面的一个空间图形的直观图. (2)补充后如图1-2-1-6: 图1-2-1-6
平面的基本性质及推论 一 教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程： （一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 1、直线与平面的位置关系 2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈, 点A 在平面α内,记作α∈A , 直线a 在平面α内,记作α?a （二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =?βα. （三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四） 问题： (1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? (3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页 练习A 、B 小结： 本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业：略 平面的基本性质及推论 二 教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程：
§1.2.1 平面的基本性质(2) 教学目标： 1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象． 2．初步学习立体几何中的证明． 教学重点： 三个推论的理解和应用． 教学难点： 推论的正确理解和正确应用． 教学过程： 1．复习引入 复习：回顾平面的基本性质的三个公理：公理1、公理2、公理3． 问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么， ○ 1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ○ 2两条相交直线呢？ ○ 3两条平行直线呢？ 为什么？ 推论1： 推论2： 推论3： 3．例题讲解 例1．已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈?，求证：直线,,AD BD CD 共面。 练习：（1）求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。 （2）已知：平面AB D ∩平面BCD=BD ，AE AB = CH BC = 13 ,AF AD = CG CD = 12 求证：BD 、EF 、GH 共点。 例2．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。 A B C D l α A B C D E H F G
变式：若l α β=，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。 4．练习 (1)若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 条； (2)四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 个； (3)给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是__________． (4)在正方体1111ABCD A B C D -中，○ 11AA 与1CC 能够确定一个平面？ ○2点1,,B C D 能否确定一个平面？ ○3画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线； ○4P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。 A 1A 1B 1C A C B A D C C 1 D 1 B 1 A 1
平面的基本性质（1） 教学目标： 1．了解立体几何研究的对象及方法，初步建立空间的概念； 2．掌握平面的概念，平面的画法及其表示法，掌握平面的基本性质公理1、2、3； 3．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化． 教学重、难点：平面的基本性质公理1、2、3，空间概念的建立． 教学过程： （一）新课讲解： 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分． 2．平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的两倍。画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画． ②一般用一个希腊字母α、β、γ----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示 如平面α，平面AC等． 3．空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：
4．平面的基本性质： 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 推理模式： A A B B ααα∈? ???∈? ． 如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内．模式：a A A a α α???∈? ∈?． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 一条直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一． 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上． 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ? ? ∈???∈? 不共线与β重合． 应用：①确定平面；②证明两个平面重合． （二）例题分析： 例1 将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；
2019-2020年高中数学必修2平面的基本性质(1) 教学目标 （1）了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法； （2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化； （3）了解平面的基本性质：公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题． 教学重点 平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质． 教学难点 平面的基本性质及其简单应用． 教学过程 一、问题情境 1．情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以平面的形象。 2．问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？ 二、学生活动 将平面的概念与直线的概念加以对照，以加深对平面概念的理解。 三、建构数学 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。 思考：①一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？ ②演示：将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公 共点呢？为什么？ 2．平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍。 ②一般用一个希腊字母、、----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面，平面等。 3．图形语言、符号语言、文字语言的相互转化：
4．平面的基本性质： 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 推理模式：．如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内。模式：． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。 说明：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。 推理模式：且。如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。如图示： 说明：过不共线三点的平面通常记作“平面”。 推理模式： ,, ,, ,, A B C A B C A B C αα β ? ? ∈? ? ? ∈? 不共线 与重合。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合。 四、数学运用 1．例题： 例1．将下列文字语言转化为符号语言，图形语言：（1）点在平面内，但不在平面内；
《平面的基本性质与推论》教案 教学目标 1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。 2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。 3、能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 教学重难点 重点：平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。 难点：自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。 教学过程 一、导入 生活中的图形由哪些元素组成？点线面作为基本图形，他们之间有什么关系呢？ 二、平面的基本性质 1、关于公理1 （1）三种数学语言表述： 文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 图形语言表述：如图1所示 图1 符号语言表述： （2）内容剖析： 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。 （3）公理1的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平
面。 2、关于公理2 （1）公理2的三种数学语言表述： 文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 图形语言表述：如图2所示 图2 符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使. （2）内容剖析： 公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。 公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。 （3）公理2的作用： 作用一是确定平面； 作用二是可用其证明点、线共面问题。 3、关于公理3 （1）公理3的三种数学语言表述： 文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形语言表述：如图3所示。
1 / 1 §1.2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质与推论 一、基础过关 1． 下列图形中，不一定是平面图形的是 ( ) A ．三角形 B ．菱形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形 2． 空间中，可以确定一个平面的条件是 ( ) A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．一个三角形 D ．三个点 3． 已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条 C ．1条或3条 D ．1条或2条或3条 4． 给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________． 5． 已知α∩β＝m ，a ?α，b ?β，a∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________． 6． 如图，梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出 平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由． 7． 空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于 一点． 二、能力提升 8． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 9． 已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是 ( ) A ．A ∈ a ，A ∈ β， B ∈ a ，B ∈ β ? a ? β B ．M ∈ α，M ∈ β，N ∈ α，N ∈ β ? α ∩ β＝MN C ．A ∈ α，A ∈ β ? α ∩ β ＝ A D ．A 、B 、M ∈ α，A 、B 、M ∈ β，且A 、B 、M 不共线?α、β重合 10．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________． 11．如图所示，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ，BC ，DC ，AD(或延长线)分别与平面α相交于E ，F ，G ，H ，求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 三、探究与拓展 12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点． 求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；2)E 、C 、D 1、F 四点共面．
平面的基本性质 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解平面基本性质的3个推论, 了解它们各 自的作用. 2.能运用平面的基本性质解决一些简单的问 题. 【课堂互动】 自学评价 1．推论１： . 已知： 求证： 解答：见书22页推论１ 2．推论２： 已知： 求证： 听课随笔
３．推论３： 符号表示： 仿推论1、推论2的证明方法进行证明。 【精典范例】 一、如何证明共面问题． 例1：已知: 如图A ∈l , B ∈l , C ∈l , D l , 求证: 直线AD 、BD 、CD 共面. 解答：见书22页例１ 思维点拔： 简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂ 例2.如图: 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, P 为棱BB 1的中点, 画出由A 1 , C 1 , P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线. 解答：见书2３页例２ 追踪训练一 证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内． 已知： A B D C l α C A 1
求证： 证明： （１）如图，设直线a,b ，c 相交于点 Ｏ，直线d 和a,b ，c 分别交于M,N,P 直线d 和点Ｏ确定平面α，证法如例１ (2) 设直线a,b ，c, d M,N,P,Q,R,G ∵直线a 和b 确定平面α ∴a ∩c=N,b ∩c=Q ∵N,Q 都在平面α内 ∴直线c 平面α，同理直线d 平面α ∴直线a,b ，c, d 共面于α 【选修延伸】 如图, 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E 、F AC ∩BD=P , A 1C 1∩EF=Q , 求证: (1) D 、B 、F 、E 四点共面’ (2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点, 则P 、Q 、R 证明略 C A 1M N o P d α a c b N G P α d c M a b R
2019-2020年高中数学 1.2.1平面的基本性质及推论2教案新人教B版 必修2 教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程： （一）公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 1、直线与平面的位置关系 2、符号:点在直线上,记作, 点在平面内,记作, 直线在平面内,记作 （二）公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作. （三）公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四）问题： (1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? (3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页练习A、B 小结： 本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共 线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业：略 平面的基本性质及推论二
教学资料范本 【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2 编辑：__________________ 时间：__________________ 1.2.1 平面的基本性质
1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点) 2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1平面的概念及表示 阅读教材P 21～P 22 公理2以上部分内容，完成下列问题． 1．概念 平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的． 图1－2－1 2．表示 (1)图形表示 平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)． (2)字母表示 平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等． 3．点、线、面位置关系的符号表示 位置关系符号表示 点P在直线AB上P∈AB
点C 不在直线AB 上 C ?AB 点M 在平面AC 内 M ∈平面AC 点A 1不在平面AC 内 A 1?平面AC 直线AB 与直线BC 交于点B AB ∩BC ＝B 直线AB 在平面AC 内 AB ?平面AC 直线AA 1不在平面AC 内 AA 1?平面AC 如果直线a ?平面α，直线b ?平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号) ①l ?α；②l ?α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ?α，b ?α， ∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ?α.故填①. 【答案】 ① 教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 用符号表示为： ? ?? A∈αB∈α?AB ?α. (2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 用符号表示为： ? ?? P∈αP∈β?α∩β＝l 且P ∈l . (3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论 (1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
“平面的基本性质”教案、教案说明及点评 张宏海执教（内蒙古包头市第一中学） 章建跃点评（人民教育出版社中学数学室） 教案 一、立体几何中的符号语言 创设情境 板书：一加一等于二 1+1=2 师：如果让你选择其中一种方法表示，你更喜欢哪一种？ ……
师：为什么？ …… 师：好，这就体现了我们数学中的一种简约美，这种简约美在立体几何中也有很好的体现。我们可以把线、面看成是点的集合，这样的话，点与直线、点与平面的位置关系就是元素与集合的关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系就是集合与集合之间的关系，那么，我们能用已经学过的集合语言来描述一下空间中的点、线、面的位置关系吗？ 请看题： 组织活动：（实物投影） 点A 在直线l 上 （l A ∈） B 点B 在直线l 外 （B l ?） A l 点A 在平面α内 （α∈A ） B 点B 在平面α外 （α?B ） α A 直线a 和直线b 相交于点O a O （a b O = ） b 平面α与平面β相交于直线l α （l =βα ） β （或.βα??l l 且） 学生在下面练习，可以互相讨论。把学生答案通过实物投影展示。 构建符号 空间图形位置关系，可以用集合符号来表示。
尝试应用： 公理1的内容（即条件和结论）是什么？图形表示是什么？怎样运用符号来表示？ 公理1： ααα??? ??∈∈AB B A 直线 师：任何事物都是相对的，符号语言是很简洁，但也不是万能的，有时需要辅以必要的文字说明。以公理3为例让学生体会。 公理3： A 、B 、C 三点不共线?? ???∈∈∈?ααααC B A ，使有且只有一个平面 回顾反思： 立体几何的研究对象是立体图形，图形直观地反映了空间点、线、面的位置关系，文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简单化和再次抽象，对于研究对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，学习立体几何的过程中，要求同学们能够将三种语言进行熟练的转化，文字语言或是图形语言转化为符号语言的时候，一定要做到既不重复又不遗漏且符合原意，有时符号与文字共用，这说明任何事物都是辩证的。 二、确定平面的方法 创设情境 公理3的作用是什么？并以教室的门为实例，分析“有且只有一个”是“确定”的意思。所谓“确定”就是固定住了。 师：公理3用不共线的三点确定了一个平面，那么，根据大家的生活实践经验，还有其它确定平面的方法吗？ 组织活动： 学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。 要求学生动手实验，如何把垫板固定住？ 探索发现： 派学生代表上讲台交流实验发现的结果。 师：如果把两根竹签抽象成两条直线，垫板抽象成一个平面，那么我们会得到什么样的结论？ 学生：思考 构建理论： 引导学生归纳总结得出结论： 1. 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 师：公理是无需证明的，但对于上述结论的正确性，还是需要进行严格的证 明。 分析：（1）与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是： 第一步：根据题意作图，写出已知、求证。 第二步：写出证明过程。