第4章 单纯形法的计算方法
单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定
为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 （1）第一种情况：若线性规划问题 max z =n
j j j=1c x ∑
1,1,2,...,0,1,2,...n
ij j i j j
a x
b i m
x j n =?==???≥=?∑
从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基
121(,,...,)n B P P P 0 0?? ?0 1 0 ?== ? ?0 0 1??
（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对
j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ? , m ; j = 1 , 2 , ? , n )进行编号, 则可得下列方
程组
11,1111
22,1122,1112.........,,...,0
m m n n m m n n m m m m nn n n
n x a x a x b x a x a x b x a
x a x b x x x +++++++++=??
+++=??
??+++=??≥?
显然得到一个m ×m 单位矩阵
121(,,...,)n B P P P 0 0?? ?0 1 0 ?== ? ?0 0 1?? 以B 作为可行基。将上面方程组的每个等式移项得
111,111222,112,11.........m m n n
m m n n
m m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---??
=---?? ??=---?
令12...0,m m n x x x ++====由上式得
(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解
12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)T
m n m T
m n m X x x x b b b --= =
个
个
（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别
对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。一般情况下, 经过迭代后可以得到：
1
(1,2,...,)n
i i ij
j j m x b a
x i m '
'
=+=-=∑
将上代入目标函数，整理后得 11
1
()m n m
i i j
i ij
j i j m i z c b c c a
x '
'
==+==+
-∑∑∑
令
01
1
,,1,...,m
m
i i j i ij i i z c b z c a j m n '
'=====+∑∑
于是
01
()n
j
j j j m z z c
z x =+=+-∑
再令
(1,...,)j j j c z j m n σ=-=+ 则
01
n
j
j j m z z x σ
=+=+
∑
(1) 最优解的判别定理
若(0)12(,,...,,0,...,0)T m X b b b '''=为对应于基B 的一个基可行解，且对于一切
1,...,,j m n =+且有0,j σ≤则(0)X 为最优解。称j σ为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理
若(0)12(,,...,,0,...,0)T m X b b b '''=为一个基可行解， 且对于一切 1,...,,j m n =+且有0,j σ≤ 又存在某个非基变量的检验数0m k σ+=，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理
若(0)12(,,...,,0,...,0)T m X b b b '''=为一个基可行解，有一个m k σ+> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ?, m ,有,i m k a + ≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
4.3 基变换
若初始基可行解(0)X 不是最优解及不能判别无界时, 需要找一个新的基可行解。具体做法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保证线性独立),得到一个新的可行基, 这称为基变换。为了换基, 先要确定换入变量, 再确定换出变量, 让它们相应的系数列向量进行对换, 就得到一个新的基可行解。
(1) 换入变量的确定 由01
n
j
j j m z z x σ
=+=+
∑看到, 当某些j σ > 0 时, j x 增加则目标函数值还可以
增大, 这时要将某个非基变量j x 换到基变量中去(称为换入变量)。若有两个以上的j σ > 0 , 则为了使目标函数值增加得快, 从直观上一般选j σ> 0 中的大者, 即
max(0)j k σσ>= 则对应的k x 为换入变量。 (2) 换出变量的确定
设12,,...,m P P P 是一组独立的向量组，它们对应的基可行解是(0)X
。将它代入约束方程组得到
(0)1m
i i i x P b ==∑
其他的向量12,,...,,...,m m m t n P P P P +++ 都可以用12,,...,m P P P 线性表示，若确定非基变量m t P +为换入变量，必然可以找到一组不全为零的数（i=1,2，...,m ）使得 ,1m
m t i m t t i P P β++==∑
在上式两边同乘一个正数θ，然后将它加到式(0)1
m
i i i x P b ==∑上，得到
(0),1
1
()m m
i i m t i m t i i i x P P P b θβ++==+-=∑∑
或
(0),1()m
i i m t i m t i x P P b θβθ++=-+=∑
当θ取适当值时, 就能得到满足约束条件的一个可行解( 即非零分量的数目不大于m 个)。就应使(0),()i i m t x θβ+-( i = 1 , 2 , ? , m ) 中的某一个为零,并保证其余的分量为非负。这个要求可以用以下的办法达到: 比较各比值
(0)
,i i m t
x β+( i = 1 ,
2 , ? , m )。又因为θ必须是正数, 所以只选择
(0)
,i i m t
x β+> 0 ( i = 1 , 2 , ? , m )
中比值最小的等于θ。按最小比值确定θ值, 称为最小比值规则。将θ=(0)
,i i m t
x β+代
入X 中便得到新的基可行解。
4.4 单纯形法的计算步骤
(1) 找出初始可行基, 确定初始基可行解, 建立初始单纯形表。
(2) 检验各非基变量j x 的检验数是 1,01,...,m
j j i ij j i c c a j m n σσ==-≤=+∑若，
则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。
(3) 在j σ> 0 , j = m + 1 , ? , n 中,若有某个k σ 对应k x 的系数列向量k
P ≤0 , 则此问题是无界, 停止计算。否则, 转入下一步。
(4) 根据max(0),j k σσ>=确定k x 为换入变量，按θ原则计算
min(0)i l ik ik lk
b b a a a θ=∣>=
可确定l x 为换出变量，转入下一步。
(5) 以lk a 为主元素进行迭代，把k x 所对应的列向量
120010k k k lk mk a a P a a ???? ? ? ? ? ? ?
=???
→ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
????
变换为 将B X 列中的l x 换为k x ，得到新的单纯形表。重复（2）~（5），直到终止。
三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表. ）（1）把原线性规划问题化为标准形式； ）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵； ）（3）目标函数非基化； ）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取 得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划 问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. ，并确定所在列的非基变量为进基变量. （1）找到最大正检验数，设为 （2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号. 主元是最大正检验数 所在列，用常数项与进基变量所对应的列向 量中正分量的比值最小者； 替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在 （3）换基：用进基变量 （4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表； （5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止. 例3 求.
解（1）化标准型：令 ，引进松弛变量 ，其标准型为 求 （2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中 的系数构成单位矩阵，故取 为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8
（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为 目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出 ，, 代入目标函数 , 经整理后，目标函数非基化了. 作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）. 最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变出基，非基变量进基. 换，基变量
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 （1）第一种情况：若线性规划问题 max z = 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基 （2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ? , m; j = 1 , 2 , ? , n)进行编号, 则可得下列方程组 显然得到一个m×m单位矩阵 以B 作为可行基。将上面方程组的每个等式移项得 令由上式得 又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解 （3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约
束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。 4.2 最优性检验和解的判别 对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。一般情况下, 经过迭代后可以得到： 将上代入目标函数，整理后得 令 于是 再令 则 (1) 最优解的判别定理 若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。称为检验数。 (2) 无穷多最优解的判别定理 若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。 (3) 无界解判别定理 若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ?, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。 4.3 基变换
单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都就是非负的(否则无解),接下来的m 列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都就是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题就是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量与主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格与新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0)、把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行与列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化与处理(本程序所用的实例用的就是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组、用于很难预先估计矩阵的行与列,所以在程序中才了动态的内存分配、需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行就是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断就是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列就是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划就是否就是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中就是否全部为正(不包括目标行)
Excel电子表格计算公式使用方法25条公式技巧总结 对于Excel表格计算公式的方法实在太多，今天就整理了一个公式大全需要对有需要的朋友有些帮助。 1、两列数据查找相同值对应的位置 =MATCH(B1,A:A，0) 2、已知公式得结果 定义名称=EVALUATE(Sheet1!C1) 已知结果得公式 定义名称=GET.CELL(6,Sheet1!C1) 3、强制换行
用Alt+Enter 4、超过15位数字输入 这个问题问的人太多了，也收起来吧。一、单元格设置为文本;二、在输入数字前先输入' 5、如果隐藏了B列，如果让它显示出来？ 选中A到C列，点击右键，取消隐藏 选中A到C列，双击选中任一列宽线或改变任一列宽 将鼠标移到到AC列之间，等鼠标变为双竖线时拖动之。 6、EXCEL中行列互换 复制，选择性粘贴，选中转置，确定即可
7、Excel是怎么加密的 （1）、保存时可以的另存为>>右上角的"工具">>常规>>设置 （2）、工具>>选项>>安全性 8、关于COUNTIF COUNTIF函数只能有一个条件，如大于90，为=COUNTIF(A1:A10,">=90") 介于80与90之间需用减，为=COUNTIF(A1:A10,">80")-COUNTIF(A1:A10,">90") 9、根据身份证号提取出生日期 （1）、 =IF(LEN(A1)=18,DATE(MID(A1,7,4),MID(A1,11,2),MID(A1,13,2)),IF(LEN(A1)=15,DATE (MID(A1,7,2),MID(A1,9,2),MID(A1,11,2)),"错误身份证号"))
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)
单纯形法 需要解决的问题： 如何确定初始基本可行解； 如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降； 如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约 束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为 初始基本可行解中的一部分基本变量。 例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵 中可以看出其中有个标准基，即 与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：
F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。 由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否 为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为 两步进行： 第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量； 第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。 选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。 在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。 当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10
图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直 角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题 它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。 单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化 使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式
第4章单纯形法的计算方法 单纯形法求解线性规划的思路：一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形每一个单纯形可以求得一组解,然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小决定下一步选择的单纯形。这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解，要首先找出初始可行基，其方法如下。 (1) 第一种情况：若线性规划问题 max z = 'n ' am 二bj = 1,2,...,m X j XO, j =1,2,...n 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基 (2)第二种情况：对所有约束条件是“W”形式的不等式,可以利用化为标准型的方法，在每个约束条件的左端加上- 一个松弛变量。经过整理，重新对 X j 及a j ( i = 1 , 2 , ?,m j = 1 , 2 ,? , n)进行编号，则可得下列方 程组 为+ a1卬十X m十+???*a1n x n j x 2 + a z’m^h X m 十 + .. .+ a2n X n = b2 X m +a m,m_h X m十+.??*a nn x n - b n X(,X2,...,X^O 显然得到一个m x m单位矩阵 n ' C j X j j=l B=(R,巳，…，P n)= 1 i- 0 1…
以B 作为可行基。将上面方程组的每个等式移项得 X =d —印小书冷出―…―a 1n X n X 2 = b 2 — a 2,^4X m+ _..^ a 2n X n 令Xm 1 ~ Xm ?2 =…=Xi =0,由上式得 X 二 b j (i =1,2,..., m) 又因b i >0,所以得到一个初始基可行解 X =(X 1,X 2，…，X m ,0,...,0) T (n -m) 个 -(b 1, 6 ,...,b m ,0, 0 (n _m) 个 (3)第三种情况：对所有约束条件是“形式的不等式及等式约束情况，若 不存在单位矩阵时，就采用人造基方法。即对不等式约束减去一个非负的剩余变 量后，再加上一个非负的人工变量；对于等式约束再加上一个非负的人工变量， 总能得到一个单位矩阵。 4.2 最优性检验和解的判别 对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、 无穷多最优解、无界解和 无可行解四种情况，为此需要建立对解的判别准则。一般情况下，经过迭代后可 以得到： , n , X i -送 a j X j (i =1,2,...,m) j zm 1 将上代入目标函数，整理后得 m - n m - Z=W C i b i +送(C j ca j )X j i =1 j h 1 if B = (P 1 ,P 2 , ...,P n ) = ‘1 0… 0 1… (T o
第4章 单纯形法的计算方法 单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 （1）第一种情况：若线性规划问题 max z =n j j j=1c x ∑ 1,1,2,...,0,1,2,...n ij j i j j a x b i m x j n =?==???≥=?∑ 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基 121(,,...,)n B P P P 0 0?? ?0 1 0 ?== ? ?0 0 1?? （2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ? , m ; j = 1 , 2 , ? , n )进行编号, 则可得下列方 程组 11,1111 22,1122,1112.........,,...,0 m m n n m m n n m m m m nn n n n x a x a x b x a x a x b x a x a x b x x x +++++++++=?? +++=?? ??+++=??≥? 显然得到一个m ×m 单位矩阵
单纯形法的解题步骤
三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表. （1）（1）把原线性规划问题化为标准形式； （2）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵； （3）（3）目标函数非基化； （4）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即 ，则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而 所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最 优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. （1）找到最大正检验数，设为，并确定
（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）. 表 6.8 x1 x2x3x4x5常数 x 3 x 4 x 51 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 （1）0 0 1 5 10 4 S′ 1 3 0 0 0 0 x 3 x 4 x2 1 0 1 0 0 （1）0 0 1 -2 0 1 0 0 1 5 2 4 S′ 1 0 0 0 -3 -12 x 3 x 1 x 20 0 1 -1 2 1 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 3 2 4 S′0 0 0 -1 -1 -14
（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为 目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出
Excel电子表格计算公式使用方法25条公式技巧 1、两列数据查找相同值对应的位置 =MATCH(B1,A:A，0) 2、已知公式得结果 定义名称=EVALUATE(Sheet1!C1) 已知结果得公式 定义名称=GET.CELL(6,Sheet1!C1) 3、强制换行 用Alt+Enter 4、超过15位数字输入 这个问题问的人太多了，也收起来吧。一、单元格设置为文本;二、在输入数字前先输入' 5、如果隐藏了B列，如果让它显示出来？ 选中A到C列，点击右键，取消隐藏 选中A到C列，双击选中任一列宽线或改变任一列宽 将鼠标移到到AC列之间，等鼠标变为双竖线时拖动之。 6、EXCEL中行列互换 复制，选择性粘贴，选中转置，确定即可 7、Excel是怎么加密的 （1）、保存时可以的另存为>>右上角的"工具">>常规>>设置 （2）、工具>>选项>>安全性 8、关于COUNTIF
COUNTIF函数只能有一个条件，如大于90，为=COUNTIF(A1:A10,">=90") 介于80与90之间需用减，为=COUNTIF(A1:A10,">80")-COUNTIF(A1:A10,">90") 9、根据身份证号提取出生日期 （1）、=IF(LEN(A1)=18,DATE(MID(A1,7,4),MID(A1,11,2),MID(A1,13,2)),IF (LEN(A1)=15,DATE(MID(A1,7,2),MID(A1,9,2),MID(A1,11,2)),"错误身份证号")) （2）、=TEXT(MID(A2,7,6+(LEN(A2)=18)*2),"#-00-00")*1 10、想在SHEET2中完全引用SHEET1输入的数据 工作组，按住Shift或Ctrl键，同时选定Sheet1、Sheet2 11、一列中不输入重复数字 [数据]--[有效性]--[自定义]--[公式] 输入=COUNTIF(A:A,A1)=1 如果要查找重复输入的数字 条件格式》公式》=COUNTIF(A:A,A5)>1》格式选红色 12、直接打开一个电子表格文件的时候打不开 “文件夹选项”-“文件类型”中找到.XLS文件，并在“高级”中确认是否有参数1%,如果没有，请手工加上 13、excel下拉菜单的实现 [数据]-[有效性]-[序列] 14、10列数据合计成一列 =SUM(OFFSET($A$1,(ROW()-2)*10+1,,10,1)) 15、查找数据公式两个(基本查找函数为VLOOKUP,MATCH) （1）、根据符合行列两个条件查找对应结果 =VLOOKUP(H1，A1：E7，MATCH(I1，A1：E1，0)，FALSE)
05 修正系数计算方法及表格 注：各地区标准不同 综合用地修正系数体系 一、综合用地深度修正 综合用地路线价深度修正系数表 二、综合用地宽深比修正 综合用地路线价宽深比修正系数表 三、综合用地容积率修正 综合用地容积率修正系数表
（续表） 注：当容积率≤2.0时，容积率修正系数为1，当容积率＞10.0，容积率修正系数为1.978 四、综合用地使用年期修正 综合用地出让转让年期修正系数表
五、综合用地街角地修正分两种情况： 1.旁街附设有路线价时，街角地修正计算公式为： 地价=正街地价+旁街地价x修正系数 综合用地路线价街角地修正系数表 2.若街角地只有正街路线价而无旁街路线价，则旁街的影响按下列公式计算： 地价=正街地价+正街地价x修正系数 综合用地路线价街角地无旁街路线价修正系数表 六、两面临街地修正 对两面临街的宗地，采用“重叠价值法”即划分高价街与低价街影响范围的分界点（亦称合致点），以合致线（合致点的连接线）将宗地分为两部分，各部分按其所面临的路线价分别计算地价，然后加总。其计算公式如下： V=(Uh x dVh x fh) + (U1 x dV1 x f1) 其中：V-----待估宗地地价 Uh------高价街路线价 dVh-------高价街临街深度修正系数 fh------高价街步行街宽深度修正系数 U1------低价街路线价 dV1------低价街临街深度修正系数 f1-------低价街临街宽深比修正系数 高、低价街临街深度修正系数根据高、低价街的影响深度确定。 高价街路线价 高价街影响深度=----------------------------------------------------X全部深度 高价街路线价+低价街路线价 低价街路线价 低价街影响深度=---------------------------------------------------X全部深度 高价街路线价+低价街路线价