x
y
O
x
y
O
第十章 质心运动定理 动量定理 习题解
[习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。
解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即：
0=∑ix
F
，
设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+
0])([＝－人B B A A v m m v m +
B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t
s m m t
s m B A
)
(6人+=-
s m m s m B A )()6(人+=-
s s )5.03.1()6(4.2+=-
s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37
24m s ==
[习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
r
C v 3C v →
x
y
解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。
→
→
→
+=1212C C C C v v v
ωl v r C =2
12cos C x C v t l v -=ωω
→
→
→
+=1313C C C C v v v ωl v r C 23=
13cos 2C x C v t l v -=ωω
因为质点系在水平方向上不受力，所以 0==
∑ix
x F
F
由动量定理得：
t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω
t m m m m m l v C ωωcos )(3
21321+++=
A
x
t m m m m m l dt
dx C ωωcos )(321321+++=
tdt m m m m m l dx C ωωcos )(3
21321+++=
tdt m m m m m l x C ωωcos )(321321?+++=
)(cos )(321321t td m m m m m l x C ωω?+++=
t m m m m m l x C ωsin )(321321+++=
t P P P P P l x C ωsin )(3
21321+++=
这就是电动机的水平运动方程。
[习题10-3] 浮动起重机起吊重kN P 201=的重物，起重机重kN P 2002=，杆长m OA 8=，开始时杆与铅垂位置成060角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆OA 转到与铅垂位置成0
30角时，求起重机的位移。
解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。 因为质点系在水平方向不受力，所以0=x F
0)(==x Cx F dx
mv d
const v Cx ＝ 0|0==const v t Cx ＝ 0＝Cx v
0=dt
dx C
const x C ＝。即OA 运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。
当OA 杆转到与铅垂位置成0
30角时，质点系质心的横坐标为：
x
2
12112
1m m x m x m x C C C ++=
200
20)2(200)60cos 8(200
2
12112
1++
?+-?-=
++=
b
a a P P x P x P x C C C
220
10020080201b a a x C ++-=
220
801002201-+=
b a x C
11
4
5111-+=
b a x C
当OA 杆转到与铅垂位置成030角时， 质点系质心的横坐标为：
200
20)2(200)30cos 8(200
212122
1++
?+-?-=
++=
b
c c P P x P x P x C C C
220
100200380
202b c c x C ++-=
220
3
80
1002202-+=
b c x C
11
3
45112-+=
b c x C
因为质心守恒，所以 21C C x x =，即：
11
3
451111
4
511-+=-+b c b a
345114511-+=-+b c b a 3411411-=-c a
)13(4)(11-=-a c
)(2662.0)13(11
4)(m a c =-=
-
x
y F N
F
故，当起重杆OA 转到与铅垂位置成030角时，起重机向左移动了0.2662米。
[习题10-4] 匀质圆盘绕偏心轴O 以匀角速度ω转动。重P 的夹板借右端弹簧推压面顶在圆盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重W ，半径为r ，偏心距为e ，求任一瞬时作用于基础和别螺栓的动反力。
解：设机座的重量为G ，则当偏心轮转动时， 质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时， 水平约束力不存在，此时的反力为静反力： G P W F N ++=；当偏心轮转动时，存在
动反力：x F 和y F 。质点系的受力与运动分 析如图所示。
当偏心轮转动时，偏心轮的动量为： g
We v g W P C ω=
=
11
当偏心轮转动时，夹板的动量为： 22C v g
P P =
因为夹板作平动，所以其质心的速度 等于夹板与偏心轮的切点的速度。切 点的运动方程为： t e e x ωcos -=
t e t e v x ωωωωsin )sin (0=--=，即：
t e v C ωsin 2=，故：
g
t
Pe v g
P P C ωωsin 22=
=
当偏心轮转动时，机座的动量为： 0032=?=
=
g
G v g G P C
质点系的动量为：
→
→→→++=321P P P P g
t
e P W g
t
Pe g t
We P P P P x x x x ωωωωωωsin )(0sin sin 321+=
++
==
++=
g
t
We g
t
We P P P P y y y y ωωωωcos 00cos 321=
++=
++=
G P W F F dt
dP N x x ---+=
式中，G P W F N ++=，故：
t e g
P W g
t
P W e g
t
e P W dt
d F x ωωωωωωcos cos )(sin )([2
2
+=
+=
+=
，即：
t e g
P W F x ωωcos 2
+=
y y F dt
dP = t e g
W g
t
W e g
t
W e dt
d dt
dP F y y ωωωωωωcos sin )cos (2
2
-
=-==
=
，即
t e g
P W F x ωωcos 2
+=
[习题10-5] 大直角锲块A 重P ，水平边长为a ，放置在光滑水平面上；小锲块B 重Q ，水平边长为b （b a >），如图放置在A 上，当小锲块B 完全下滑至图中虚线位置时，求大锲块的位移。假设初始时系统静止。 解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在 水平方向不受力，即0=x F ，所以：
0==x Cx F ma 0=Cx a
0=dt
dv C
y
y
1C v C =
0|10===C v t C ，故： 0=C v
0=dt
dx C
const x C =，即质心守恒： 21C C x x =
)
(323231Q P bQ Pa g
Q g
P b g Q a g P
x C ++=
+
?
+?=
Q
P b s a Q s a P x C +-
-+-=
)
3
()3
(
2
)
(3)
33()3(2Q P b s a Q s a P x C +--+-=
)
(33332Q P Qb
Qs Qa Ps Pa x C +--+-=
，故：
)
(3333)
(32Q P Qb
Qs Qa Ps Pa Q P bQ Pa +--+-=
++
bQ Qa s Q P bQ -++-=3)(32 bQ Qa s Q P 33)(3-=+
Q
P Q b a s +-=)( （A 锲块各左移动的位移）
[习题10-6] 匀质杆AB 长l 2，其B 端搁置于光滑水平面上，并与水平成0?角，当杆倒下时，求杆端A 的轨迹方程。
解：由于AB 杆在水平方向上不受力，所以其质心的x 坐标守恒。 即：00cos ?l x x C Ct ==
x
y
A
N
x
y
A
N
x y
x
y
质心C 沿0cos ?l x =直线向下运动。 设任意时刻A 的坐标为),(y x A ，则： ??cos cos 0l l x +=
??cos cos 0l l x =-
?sin 2l y = ?sin 2
l y =
消去?得：
l y l x =+-22
02
()cos (?，为一椭圆。
[习题10-7] 图示系统中，kg m A 4=，kg m C 2=，030=θ。设当A 在斜面上作无初速地向下滚过cm 40时，斜面在光滑的水平面上移过cm 20。求B 的质量。
解：以A 、B 、C 构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力， 所以0=Cx a ，即：
0=dt
dv Cx
1C v Cx =
0|10===C v t Cx ，故： 0=Cx v
const dt
dx C =，即质心守恒：
12C C x x =
C
B A
B C
A C m m m c b m b
m a m x +++++=
)
(3
21
B
B B
B C m c b m b
a m c
b m b
a x ++++
=
++++?+=
6)(34424)
(3
2241 B
B C m c b m b
a x +++++++-+=
24)
20()203
2(
2)32020(42
B B B
C m m c b m b
a x +++++++
-+=
2420)(40343808042 B
B B
C m m c b m b
a x ++++++
-+=
2420)(3438012042，由12C C x x =得： B
B
B B
B m m c b m b
a m c
b m b
a +++++
-+=
++++
620)(3438012046)
(3
44
B m 20380
1200+-=
B m +-=3460
)(928.0634kg m B =-=
[习题10-8] 质量为m ，半径为R 的匀质半圆板，受力偶作用在铅垂面内绕O 轴转动，转动的角速度为ω，角速度为α。C 点为半圆板的质心，当OC 与水平线成任意角?时，求此瞬时轴O 约束力（π
34R OC =
）。
解： 在法向应用牛顿第二定理得：
???sin cos sin mg F F F ma
x y n n
--==
???ωsin cos sin 2
mg F F OC m x y --=??
???π
ωsin cos sin 342
mg F F Rm x y --=
π
ω???34sin cos sin 2
Rm mg F F x y +
=-
?
πω
?sin 34cot 2
Rm mg F F x y +
=- (1)
质点系的动量： π
ωω34m R OC m mv P C =??==
π
ω34m R P t =
在切向应用动量定理得：
t t F dt dP =
???cos sin cos mg F F F dt
dP x y t t +--==
???πωcos sin cos )34(
mg F F m
R dt d
x y +--=
???ω
πcos sin cos 34mg F F dt d Rm x y +--=
???π
α
cos sin cos 34mg F F Rm x y +--= πα
???34cos sin cos Rm mg F F x y -
=+ ?
πα?cos 34tan Rm mg F F x y -
=+ (2)
)
10
/(2
s -N
F /)1()2(-得：
)sin cos (
34)cot (tan 2
?
ω
?
απ
??+
-
=+Rm F x
sin cos cos sin (34sin cos cos sin 2
2
2
?
??ω?απ????+-=+Rm F x
)sin cos (342
?α?ωπ
+-
=Rm F x
上式代入（2）得： ?
πα?cos 34tan Rm mg F F x y -
=+
??παtan cos 34x y F Rm mg F --
=
?
??α?ωπ?παcos sin )
sin cos (34cos 342
++
-
=Rm Rm mg F y
cos sin sin (34cos 342
2
?
?α
?ωπ
?πα++-
=Rm Rm mg F y
)cos sin sin cos (
342
2
?
?α
?ω?
απ
++-+
=Rm mg F y
]cos cos sin )1(sin
[
342
2
?
?
?ω?απ
+-+=Rm mg F y
cos cos sin cos [342
2
?
?
?ω?απ+-+=Rm mg F y
)cos sin (342
αα?ωπ
-+
=Rm mg F y
[习题10-9] 重2N 的物体以5m/s 的速度向右运动，受到按图示随时间变化的方向向左的力F 作用。试求受此力作和后，物体速度变为多大。 解：s m v /51=（向右）
?
?
?
-=)04.0(60006000t t F s t s t ]04.0,02.0[]02.0,0[∈∈（向左） 根据动量定理得：
N
dt F v m v m t t ?
→
→
→=
-0
dt F m
v v t t ?→
→
→
+
=0
01
上式在水平方向（x 轴）的投影为： ])04.0(60006000[1
04
.002.002
.00
0dt t tdt m v v t -+-=??
}]5.004.0[6000][3000{1504
.002.0202.002t t t m v t -+-=
}]5.004.0[][5.0{6000504
.002.0202.002t t t m v t -+-=
)]
02.05.002.004.0()04.05.004.004.0(02.05.0[8.9/2600052
22?-?-?-?+?-=t
v 2
0004
.08.960005??-
=t
v 76.115-=t v
)/(76.6s m v t -= ，负号表示此时重物的速度方向左。
[习题10-10] 在物块A 上作用一常力F ，使其沿水平面移动，已知物块的质量为kg 10，F 与水平面的夹角030=θ。经过5秒钟，物块的速度从s m /2增至s m /4。已知摩擦因数15.0=f ，试求F 的大小。
解：物块A 的受力如图所示。
根据动量定理得：
dt F v m v m t t ?
→
→
→
=
-0
上式在x 轴上的投影为：
dt F mg f F mv mv t )]30sin (30
cos [5
0?
--=
-
5)]5.08.910(15.0866.0[)24(10??-?-?=-?F F )5.098(15.0866.04F F --=
F F 075.07.14866.04+-= 7.18941.0=F
)(87.19N F =
)
(a
)
(b )
(c
M
BOA 的总质量为杆
x
)
(d [习题10-11] 计算下列刚体在图示已知条件下的动量。 解：)(a 图所示刚体的动量为：
0v g
P p =
，方向与→
0v 相同。
)(b 图所示刚体的动量为：
ωe g
P v g
P p C =
=
方向与垂直于OC ，斜向下。 )(c 图所示刚体的动量为：
→
→
→
+=21p p p
ωωMa a m v m p C x 3
2111=== ωωωMa a M a m v m p C y 612
132
222=
=
?
==
→
→
→
+
=
j Ma i Ma p ωω6
13
2 ωωMa Ma p p p y x 6
1736
19
42
2=?+=
+=
004.1425.0arctan 3
2
6
1
arctan
arctan
====x
y p p θ )(d 图所示刚体的动量为：
→
→
=C v m p
θπ?-=
2
?
?
-==θ?ω
?
--=-=θω)()(r R r R v C
])([cos ?
---=-=θθr R v v C Cx
θθθcos )(cos ?
-=-=r R v v C Cx
y
θθθsin )(sin ?
--=-=r R v v C Cx
→
→
→
+=j mv i mv p Cy Cx
→
?
→
?
→
---=j r R m i r R m p θθθθsin )(cos )(
[习题10-12] 计算下列系统在图示已知条件下的动量。 解：)(a
?
==
x dt
dx v A
???cos )(]sin )([?
?
++=++==
r l x r l x dt d dt dx v B Bx
???sin )(]cos )([?
+=+-==
r l r l dt d dt dy v B By
???cos 2
)sin 2
(?
?
+
=+
=
=
l x l x dt d dt dx v C Cx
???sin 2
)cos 2
(?
=
-
==
l l dt
d dt
dy v C Cy ?
==x M Mv
p A
Ax
0=Ay p
]cos )([???
?++==r l x M Mv p Bx Bx
??sin )(?
+==r l M Mv
P By
By
]cos 2
[???
?
+==l x m mv p Cx Cx
??sin 2
?
=
=ml mv p Cy Cy
→
→
→
+=j p i p p y x
→
??→
????
?
→
++?
+++++
+=j r l M l m i r l x M l x m x M p ]sin )(sin 2
[]}cos )([)cos 2
({????????
y
的重量不计
滑块A )
(b 滑块A 作复合运动。 动点：A
动系：固连于T 字杆上的坐标系。 静系：固连于地面上的坐标系。 绝对速度：A 相对于地面的速度。 相对速度：A 相对于T 形杆的速度。 牵连速度：T 形杆中与A 相重点
（牵连点）相对于地面的速度。
→
→
→
+=r e a v v v
t l t v v a e ωωωsin sin == t l v v e Cx ωωsin -=-=
0=Cy v
t l x B ωcos 2
=
t l t l dt
d dt
dx v B Bx ωωωsin 2
)cos 2
(-=?==
t l y B ωsin 2
=
t l t l dt
d dt
dy v B By ωωωcos 2
)sin 2
(
=
?==
→
→
→
+=j p i p p y x
→
→→
?+?--=j t l g P i t l g P t l g W
p )cos 2
()sin 2sin (ωω
ωωωω
→
→
→
+
+-
=j t l g
P i t l g
W P p ωωωωcos 2sin 22
→
→
→
+=j p i p p y x
→
→
→
+
+
++-
-
-
=j
t l g
P t l g
P t l g
P i t l g
P t l g
P t l g
P p )cos 2cos 20cos 2(
)sin 2sin 2sin 20(112112ωωωωωωωωωωωω→
→
→
+
+
+++
+
-=j t l g
P g
P g
P i t l g
P g
P g
P p ωωωωcos )2202(
sin )222(
112112
→
→
→
++
+-
=j t l g
P P i t l g
P P p ωωωωcos 245sin 2452
12
1
[习题10-13] 质量为m 的子弹A 以速度A v 射入同向运动的质量为M 、速度为B v 的物块B 内，不计地面与物体之间的摩擦。求：（a ）若子弹留在物块B 内，则物块与子弹的共同速度u ；（b ）若子弹穿透物块并以A u 继续前进，则物块的速度B u 。 解：（a ）若子弹留在物块B 内，求物块与子弹的共同速度u 。
由动量定理得：
00)()(=?==+-+t t F Mv mv u M m x B A
M
m mv
Mv
u A
B ++=
（b ）若子弹穿透物块并以A u 继续前进，求物块的速度B u 。 由动量定理得： 00)()(=?==+-+t t F Mv mv Mu mu
x B A B A
0)(=+-+B A
B
A
Mv mv
Mu mu
M
mu
mv Mv
u A
A
B
B -+=
第10章 动量定理习题 1.是非题（对画√，错画×） 10-1.质点的动量与冲量是等价的物理量。（ ） 10-2.质点系的动量等于外力的主矢量。（ ） 10-3.质点系动量守恒是指质点系各质点的动量不变。（ ） 10-4.质心运动守恒是指质心位置不变。（ ） 10-5.质点系动量的变化只与外力有关，与内力无关。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 10-6.各均质物体，其质量均为m ，其几何尺寸及运动速度和角速度，如图所示。则各物体的动量为（a ） ；(b) ；（c ） ；(d) 。 题10-6图 (a) (b) (C) (d) 10-7.一质量为m 的质点作圆周运动，如图所示。当点位于点A 点时，其速度大小为1v ，方向为铅垂向上，当运动到点B 时，其速度大小为2v ，方向为铅垂向下，则质点从点A 点运动到点B 时，作用在该质点上力的冲量大小为 ；冲量的方向为 。 A B 2 题10-7图 题10-9图
3.简答题 10-8.质点作匀速圆周运动，则质点的动量守恒吗？ 10-9.两物块A 、B ，质量分别为A m 、B m ，初始静止。如A 沿斜面下滑的相对速度为r v ，如图所示。若物块B 的速度为v ，则根据动量守恒，有 v m cos v m B r A =θ 对吗？ 10-10.小球沿水平面运动，碰到铅直墙壁后返回，设碰撞前和后小球的速度大小相等，则作用在小球上力的冲量等于零。此说法对吗？为什么？ 10-11.刚体受有一群力的作用，无论各力的作用点如何，刚体质心的加速度都不变吗？ 4.计算题 10-12.有一木块质量为2.3kg ，放在光滑的水平面上。一质量为0.014kg 的子弹沿水平方向射入后，木块以速度3m/s 前进，试求子弹射入前的速度。 10-13.跳伞者质量为60kg ，从停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将伞打开。设开伞前的空气阻力忽略不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经5s 后跳伞者的速度减为4.3m/s ，试求阻力的大小。 10-14.电动机的质量为M ，放在光滑的基础上，如图所示。电动机的转子长为l ，质量为1m ，转子的另一端固结一质量为2m 的小球，已知电动机的转子以匀角速度ω转动，使求：（1）电动机定子的水平运动方程；（2）若将电动机固定在基础上，作用在螺栓上的水平和竖直约束力的最大值。 题10-14图 题10-15图 10-15.如图所示的曲柄滑块机构，设曲柄OA 以匀加速度ω绕O 轴转动，滑块B 沿水平方向滑动。已知OA=AB=l ，OA 及AB 为均质杆，其质量均为1m ，滑块B 的质量为2m 。 试求：（1）系统质心的运动方程；（2）质心的轨迹；（3）系统的动量。 10-16.如图所示质量为1m 的小车A ，悬挂一质量为2m 的单摆B ，单摆的摆长为l ，按规律kt sin o ??=摆动，其中k 为常数。不计水平面的摩擦和摆杆的质量，试求小车的运动方程。
第十一章动量定理 11-1如图所示，质点的质量为ｍ，以匀速率ｖ沿圆周逆钟向运动。经过一定的时间后，质点由点Ａ运动到Ｂ点，则作用在该质点上的力在此时间内的冲量大小为多少？（答：S x= -m v；S y= -m v） 11-2如图所示匀质圆盘质量为ｍ，半径为Ｒ，可绕轮缘上垂直于盘面的轴转动，转动角速度为ω。试计算圆盘在图示瞬间的动量，并标出其方向。（答：mRω竖直向上） 11-3如图所示机构中，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ和连杆ＡＢ皆可视为质量为ｍ、长为２ｒ的匀质细杆，图示瞬时，连杆ＡＢ水平，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ铅直。曲柄Ｏ１Ａ角速度为ω，试计算系统的动量，并标出其方向。（答：4mωv） 11-4物体Ａ和Ｂ各重ＧＡ和ＧＢ，ＧＡ＞ＧＢ；滑轮重Ｇ，并可看作半径为ｒ的匀质圆盘。不计绳索的质量，试求物体Ａ的速度是ｖ时整个系统的动量。（答：K x=0；K y= -（G A-G B）v/g）
11-5正方形框架ABCD的质量是m1，边长为ｌ，以角速度ω１绕定轴转动；而匀质圆盘的质量是m2，半径是ｒ，以角速度ω２绕重合于框架的对角线ＢＤ的中心轴转动。试求这物体系的动量。（答：K=（m1+m2）lω/2，方向为垂直框架平面，顺着ω前进方向。） 11-6跳伞者质量为60kg，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经５ｓ后跳伞者的速度减为4.3ｍ／ｓ。求阻力的大小。（答：1068N） 11-7水流以速度V０=2m/s流入固定水遭，速度方向与水平面900角。如图所示；水流进口截面积为0.02m ２，出口速度V 0角．求水作用在水道壁上的水平和铅垂的附加压力。 1=4m/s。它与水平面成30 （答：F x=-138.6N，F y=0）
第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
习 题 10-1 计算图10-7所示各种情况下系统的动量。 (1) 如图10-7a 所示，质量为m 的匀质圆盘沿水平面滚动，圆心 O 的速度为0 v ；(2) 如图10-7b 所示，非匀质圆盘以角速度ω绕O 轴 转动，圆盘质量为m ，质心为C ，偏心距OC=a ；(3) 如图10-7c 所示，胶带轮传动，大轮以角速度ω转动。设胶带及两胶带轮为匀质的；(4) 如图10-7d 所示，质量为m 的匀质杆，长度为l ，绕铰O 以角速度ω转动。 图10-7 (a) 0v p m =； (b) ω ma p =（方向与C 点速度方向相同）； (c) 0=p ； (d) 2ωml p = （方向与C 点速度方向相同）。 10-2 如图10-8所示，椭圆规尺AB 的质量为2m 1，曲柄OC 的质量为m 1，而滑块A 和B 的质量均为m 2。已知：OC =AC =CB = l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O 轴转动的角速度ω为常量。当开始时，曲柄水平向右，试求此时质点系的动量。 图10-8 方法一
C AB C OC B B A A m m m m v v v v p ++ +=2 C C B A m m m m v v v v 112222+++= C B A m m v v v 122 5)(+ += 因 )c o s s i n (j i v ??ω+-=l C j v ?ωcos 2l A = i v ?ωs i n 2l B -= 故 )cos sin (2 5)sin 2cos 2(12j i i j p ??ω?ω?ω+-+ -=l m l l m )cos sin (2 452 1j i ??ω+-+= l m m (与v C 方向相同) 方法二 规尺AB 、滑块A 和B 质心C 处，质量为2(m 1+m 2) 因此系统质心在OC 上，离O 轴距离 m l m m m l m m l m 2 45)(22 2 1211+= ++? = ξ 质心速度 ω ξωξl m m m m 2 452 1+= ==v p (方向垂直于OC ) 10-3 跳伞者质量为60kg ，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重
第10章 动量定理 10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？ (A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。 (B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。 (C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。 (D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。 答：（C ）。 10-2 以下说法正确吗？ （1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。 （2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。 （3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。 答：（1）× （2）× （3）√。 10-3 试求图中各质点系的动量。各物体均为均质体。 答：(a) ? ?? ??++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←）， (c) K =0， (d) v )2(1m m K +=（→）， (e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←）， v m K y 1=（↓）， v m m K 2 221+=。
题10-3图 10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。 答：S x = 200 ?2 N?s（→），S y = 246 ?7 N?s（↓）。 题10-4图题10-5图 10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s， 另一部分偏离一角α。忽略水重和摩擦，试确定角α和水对薄板的压力，假设水柱速度υ1 ＝υ2＝υ＝28m/s，总流量Q＝21L/s。 答：α= 30?，F N = 249N。 10-6扫雪车（俯视如图示）以4.5m/s的速度行驶在水平路上，每分钟把50吨雪扫至 路旁，若雪受推后相对于铲雪刀AB以2.5m/s的速度离开，试求轮胎与道路间的侧向力F R 和驱动扫雪车工作时的牵引力F T。 答：F R =1975 N，F T = 30377 N。
（物理）物理动量定理练习题20篇及解析 一、高考物理精讲专题动量定理 1．如图所示,固定在竖直平面内的4光滑圆弧轨道AB与粗糙水平地面BC相切于B点。质量m=0.1kg的滑块甲从最高点A由静止释放后沿轨道AB运动,最终停在水平地面上的C 点。现将质量m=0.3kg的滑块乙静置于B点,仍将滑块甲从A点由静止释放结果甲在B点与乙碰撞后粘合在一起,最终停在D点。已知B、C两点间的距离x=2m,甲、乙与地面间的动摩擦因数分别为=0.4、=0.2,取g=10m/s,两滑块均视为质点。求: (1)圆弧轨道AB的半径R; (2)甲与乙碰撞后运动到D点的时间t 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】 （1）甲从B点运动到C点的过程中做匀速直线运动，有：v B2=2a1x1； 根据牛顿第二定律可得： 对甲从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒： 解得v B=4m/s；R=0.8m； （2）对甲乙碰撞过程，由动量守恒定律：； 若甲与乙碰撞后运动到D点，由动量定理： 解得t=0.4s 2．如图甲所示，物块A、B的质量分别是m A＝4.0kg和m B＝3.0kg．用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触．另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不分开，C的v－t图象如图乙所示．求： （1）C的质量m C； （2）t＝8s时弹簧具有的弹性势能E p1 （3）4—12s内墙壁对物块B的冲量大小I 【答案】(1) 2kg (2) 27J (3) 36N s× 【解析】
（1）由题图乙知，C与A碰前速度为v1＝9m/s，碰后速度大小为v2＝3m/s，C与A碰撞过程动量守恒 m C v1＝(m A＋m C)v2 解得C的质量 m C＝2kg． （2）t＝8s时弹簧具有的弹性势能 E p1＝1 2 (m A＋m C)v22=27J （3）取水平向左为正方向，根据动量定理，4~12s内墙壁对物块B的冲量大小 I=(m A＋m C)v3-(m A＋m C)（-v2）=36N·s 3．一质量为m的小球，以初速度v0沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30°的固 定斜面上，并立即沿反方向弹回．已知反弹速度的大小是入射速度大小的3 4 .求在碰撞过程 中斜面对小球的冲量的大小． 【答案】7 2 mv0 【解析】 【详解】 小球在碰撞斜面前做平抛运动，设刚要碰撞斜面时小球速度为v，由题意知v的方向与竖直线的夹角为30°，且水平分量仍为v0，由此得v＝2v0.碰撞过程中，小球速度由v变为反 向的3 4 v，碰撞时间极短，可不计重力的冲量，由动量定理，设反弹速度的方向为正方 向，则斜面对小球的冲量为I＝m 3 () 4 v－m·(－v) 解得I＝7 2 mv0. 4．在距地面20m高处，某人以20m/s的速度水平抛出一质量为1kg的物体，不计空气阻力（g取10m/s2）。求 （1）物体从抛出到落到地面过程重力的冲量； （2）落地时物体的动量。 【答案】（1）20N?s，方向竖直向下（2）202kg m/s ，与水平方向的夹角为45°
C v ? A B C r v 1 v 1 v 1 ω?(a) C C ωC v ωO (a) 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45o（图a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上作 纯滚动，图示瞬时角速度为 （图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2 121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10－2图 习题10－3图 B v A C θ (a) v O ω A 习题10－1图 (b) (c) A
x y O x y O 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 [习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。 解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： 0=∑ix F ， 设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+ 0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t s m m t s m B A )(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37 24 m s == [习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
r C v 3C v → x y 解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 → → → +=1212C C C C v v v ωl v r C =2 12cos C x C v t l v -=ωω → → → +=1313C C C C v v v ωl v r C 23= 13cos 2C x C v t l v -=ωω 因为质点系在水平方向上不受力，所以 0==∑ix x F F 由动量定理得： t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω t m m m m m l v C ωωcos ) (3 21321+++=
【典型例题】 1.关于冲量、动量与动量变化的下述说法中正确的是（ ） A ．物体的动量等于物体所受的冲量 B ．物体所受外力的冲量大小等于物体动量的变化大小 C ．物体所受外力的冲量方向与物体动量的变化方向相同 D ．物体的动量变化方向与物体的动量方向相同 2.A 、B 两个物体静止在光滑水平面上，当分别受到大小相等的水平力作用，经相等时间，则正确的是（ ） A ．A 、 B 所受的冲量相同 B ．A 、B 的动量变化相同 C ．A 、B 的末动量相同 D ．A 、B 的末动量大小相同 3.在光滑的水平面上, 两个质量均为m 的完全相同的滑块以大小均为P 的动量相向运动, 发生正碰, 碰后系统的总动能不可能是（ ） A ．0 B ． p 2/m C ． p 2/2m D ．2p 2/m 4.2005年7月26日，美国“发现号”航天飞机从肯尼迪航天中心发射升空，飞行中一只飞鸟撞上了航天飞机的外挂油箱，幸好当时速度不大，航天飞机有惊无险.假设某航天器的总质量为10 t ，以8 km/s 的速度高速运行时迎面撞上一 只速度为10 m/s 、质量为5 kg 的大鸟，碰撞时间为1.0×10-5 s ，则撞击过程中的平均作用力约为（ ） A.4×109 N B .8×109 N C.8×1012 N D.5×106 N 5.在光滑的水平面的同一直线上，自左向右地依次排列质量均为m 的一系列小球，另一质量为m 的小球A 以水平向右的速度v 运动，依次与上述小球相碰，碰后即粘合在一起，碰撞n 次后，剩余的总动能为原来的1/8，则n 为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6.如图所示，质量为m 的小车静止于光滑水平面上，车上有一光滑的弧形轨道，另一质量为m 的小球以水平初速沿轨道的右端的切线方向进入轨道，则当小球再次从轨道的右端离开轨道后，将作（ ） A ．向左的平抛运动； B ．向右的平抛运动； C ．自由落体运动； D ．无法确定. 7.质量M ＝100 kg 的小船静止在水面上，船首站着质量m 甲＝40 kg 的游泳者甲，船尾站着质量m 乙＝60 kg 的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者同时在同一水平线上甲朝左、乙朝右以3 m/s 的速率跃入水中，则（ ） A ．小船向左运动，速率为1 m/s B ．小船向左运动，速率为0.6 m/s C ．小船向右运动，速率大于1 m/s D ．小船仍静止 8.如图所示，两个质量都为M 的木块A 、B 用轻质弹簧相连放在光滑的水平地面上，一颗质量为m 的子弹以速度v 射向A 块并嵌在其中，求弹簧被压缩后的最大弹性势能。 【针对训练】 1.A 、B 两球质量相等，A 球竖直上抛，B 球平抛，两球在运动中空气阻力不计，则下述说法中正确的是（ ） A ．相同时间内，动量的变化大小相等，方向相同 B ．相同时间内，动量的变化大小相等，方向不同 C ．动量的变化率大小相等，方向相同 D ．动量的变化率大小相等，方向不同 2.在水平地面上有一木块，质量为m ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ。物体在水平恒力F 的作用下由静止开始运动，经过时间t 后撤去力F 物体又前进了时间2t 才停下来。这个力F 的大小为（ ） A ．μmg B ．2μmg C ．3μmg D ．4μmg 3.甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是p 甲=5 kg ·m/s ，p 乙=7 kg ·m/s ，甲追乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为p 乙′=10 kg ·m/s ，则关于甲球动量的大小和方向判断正确的是( ) A ．p 甲′=2kg ·m/s ，方向与原来方向相反 B ．p 甲′=2kg ·m/s ，方向与原来方向相同 C ．p 甲′=4 kg ·m/s ，方向与原来方向相反 D ．p 甲′=4 kg ·m/s ，方向与原来方向相同 4.篮球运动员接传来的篮球时，通常要先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球迅速引至胸前．这样做可以( ) A ．减小球对手的冲量 B ．减小球的动量变化率 C ．减小球的动量变化量 D ．减小球的动能变化量
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,= ??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4) 4(R W 412222,+= ?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → → → →?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
三 动量定理的应用 姓名 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1、在下列各种运动中，任何相等的时间内物体动量的增量总是相同的有（ ） A 、匀加速直线运动 B 、平抛运动 C 、匀减速直线运动 D 、匀速圆周运动 2、质量为5 kg 的物体，原来以v=5 m/s 的速度做匀速直线运动，现受到跟运动方向相同的冲量15 N ·s 的作用，历时4 s ，物体的动量大小变为 ( ) A.80 kg ·m/s B.160 kg ·m/s C.40 kg ·m/s D.10 kg ·m/s 3、用力拉纸带，纸带将会从重物下抽出，解释这些现象的正确说法是：（ ） A 、在缓慢拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力大； B 、在迅速拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力小； C 、在缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大； D 、在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量小． 4、从同一高度的平台上，抛出三个完全相同的小球，甲球竖直上抛，乙球竖直下抛，丙球平抛．三球落地时的速率相同，若不计空气阻力，则（ ） A 、抛出时三球动量不是都相同，甲、乙动量相同，并均不小于丙的动量 B 、落地时三球的动量相同 C 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量都不同 D 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量不都相同 5、若质量为m 的小球从h 高度自由落下，与地面碰撞时间为 ，地面对小球的平均作用力大小为F ，则在碰撞过程中（取向上的方向为正）对小球来说（ ） A 、重力的冲量为 B 、地面对小球的冲量为 C 、合力的冲量为 D 、合力的冲量为 6、一物体竖直向上抛出，从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t,上升的最大高度是H ，所受空气阻力大小恒为F,则在时间t 内 A.物体受重力的冲量为零 B.在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量 小 C.物体动量的增量大于抛出时的动量 D.物体机械能的减小量等于FH 7.恒力F 作用在质量为m 的物体上，如图8—1所示，由于地面对 物体的摩擦力较大，没有被拉动，则经时间t ，下列说法正确的是 A.拉力F 对物体的冲量大小为零 B.拉力F 对物体的冲量大小为Ft C.拉力F 对物体的冲量大小是Ftcos θ D.合力对物体的冲量大小为零 *8、物体在恒定的合力F 作用下作直线运动，在时间Δt 1内速度由0增大到v ，在时间Δt 2内速度由v 增大到2v 。设F 在Δt 1内做的功W 1，冲量是I 1；在Δt 2内做的功W 2，冲量是I 2。那么 （ ） A ．I 1 梁坤京理论力学动量矩定理课后答案
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为： t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v t mab ωω3 cos 2= 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 轮子角速度 R v A = ω 质心C 的速度 )(e R R v C B v A C +==ω 轮子的动量 A C mv R e R mv p += =（方向水平向右） 对B 点动量矩 ω?=B B J L 由于 222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 [] R v e R m me J L A A B 22)( ++-= （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωω ωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子
O ω R r A B θ 习题9－2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9－1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。 2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解：1、2 s m L O ω=（逆） 2、（1） )1()(R e mv e v m mv p A A C +=+==ω（逆） R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B )()()(22 -++=++=ω （2）)(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解： ω)(22r m R m J L B A O O ++= 9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6 565== =l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l mg l mg J O ?+?=22 α 222232)2(212 1 31 ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532=α 2rad/s 17.865==g l α g l a D 36 256 5t =?=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t 4491211 362533==-=mg g m mg F Oy N （↑） 0=ω，0n =D a ， 0=Ox F (a) O M v ω ω A B C R v A (b) 习题9－1图
【物理】物理动量定理练习题及答案 一、高考物理精讲专题动量定理 1．2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．某滑道示意图如下，长直助滑道AB 与弯曲滑道BC 平滑衔接，滑道BC 高h =10 m ，C 是半径R =20 m 圆弧的最低点，质量m =60 kg 的运动员从A 处由静止开始匀加速下滑，加速度a =4.5 m/s 2，到达B 点时速度v B =30 m/s ．取重力加速度g =10 m/s 2． （1）求长直助滑道AB 的长度L ； （2）求运动员在AB 段所受合外力的冲量的I 大小； （3）若不计BC 段的阻力，画出运动员经过C 点时的受力图，并求其所受支持力F N 的大小． 【答案】（1）100m （2）1800N s ?（3）3 900 N 【解析】 （1）已知AB 段的初末速度，则利用运动学公式可以求解斜面的长度，即 22 02v v aL -= 可解得:22 1002v v L m a -== （2）根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的该变量所以 01800B I mv N s =-=? （3）小球在最低点的受力如图所示 由牛顿第二定律可得：2C v N mg m R -= 从B 运动到C 由动能定理可知： 221122 C B mgh mv mv = -
解得;3900N N = 故本题答案是：（1）100L m = （2）1800I N s =? （3）3900N N = 点睛：本题考查了动能定理和圆周运动，会利用动能定理求解最低点的速度，并利用牛顿第二定律求解最低点受到的支持力大小． 2．如图甲所示，平面直角坐标系中，0≤x ≤l 、0≤y ≤2l 的矩形区域中存在交变匀强磁场，规定磁场垂直于纸面向里的方向为正方向，其变化规律如图乙所示，其中B 0和T 0均未知。比荷为c 的带正电的粒子在点（0，l ）以初速度v 0沿+x 方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）若在t =0时刻，粒子射入；在t <0 2 T 的某时刻，粒子从点（l ，2l ）射出磁场，求B 0大小。 （2）若B 0= 02c v l ，且粒子从0≤l ≤02 T 的任一时刻入射时，粒子离开磁场时的位置都不在y 轴上，求T 0的取值范围。 （3）若B 0= 02c v l ，00l T v π=，在x >l 的区域施加一个沿-x 方向的匀强电场，在04 T t =时刻 入射的粒子，最终从入射点沿-x 方向离开磁场，求电场强度的大小。 【答案】（1）0 0v B cl =；（2）00 l T v π≤；（3）()2 0421v E n cl π=+()0,1,2n =L . 【解析】 【详解】 设粒子的质量为m ，电荷量为q ，则由题意得 q c m = （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设运动半径为R ，根据几何关系和牛顿第二定律得： R l =
第十一章 动量定理 §11—1 动量与冲量 一、动量 质点的质量与速度的乘积。 单位：kg ·m/s 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。 质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。 如图1所示，几种几何形状规则的均质刚体和刚体系动量。 图 1 C C i i v m r m dt d r m dt d p ===∑i n i i m ∑==1 i i i i i i m dt d dt r d m m ∑∑∑===m m i i C ∑= m =
二、冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。 若力F 为变量，在d t 时间间隔内，力F 的冲量称为元冲量 力在时间t 内的冲量为 单位：N ·s 例1 OA 杆绕O 轴逆时针转动，均质圆盘沿OA 杆纯滚动。已知圆盘的质量m ＝20 kg ，半径R ＝100 mm 。在图示位置时，OA 杆的倾角为30o ，其角速度ω1＝1 rad/s ，圆盘相对OA 杆转动的角速度ω2＝4 rad/s ，求圆盘的动量。 解： 取C 为动点，动系与OA 固连 于是 所以 方向水平向右。 ?=t dt dt d =t =120.210.2m/s 0.140.4m/s e r v OC v R ωω=?=?===? =sin 600.40.3464m/s 2C a r v v v ===?=200.3464 6.93N s C p mv ==?=?
§11—2 动量定理 一、质点的动量定理 二、质点系的动量定理 三、质点系的动量守恒定理 （1）当作用在质点系上外力的主矢量等于零时，即∑==n i e i 10F ，质点系动 量=P 恒矢量，则质点系动量守恒。 （2）当作用在质点系上外力的主矢量在某一轴上投影等于零时，例如 01 =∑=n i e xi F ，质点系沿该轴x 的动量=x P 恒量，则质点系沿该轴x 的动量守恒。 () I dt F v m v m m dt d t ==-=?00() ()()()()dt dt dt m d i i e i i i e i i i +=?? ? ??+=() () () ∑∑∑===+=n i i i n i e i n i i i dt F dt F v m d 1 1 1 () ∑==-n i e i I p p 1
二 动量定理 姓名 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1、关于冲量和动量，下面说法错误的是（ ） A ．冲量是反映力和作用时间积累效果的物理量 B ．动量是描述运动状态的物理量 C ．冲量是物体动量变化的原因 D ．冲量的方向与动量的方向一致 2、物体在恒力作用下运动，下列说法正确的是（ ） A ．动量的方向与受力的方向相同 B ．动量的方向与冲量的方向相同 C ．动量的增量方向与受力的方向相同 D ．动量变化率的方向与速度方向相同 3、从同一高度落下的玻璃杯掉在水泥地面上易碎，而掉在软垫上不易碎，这是因为落到水泥地上时（ ） A ．受到的冲量大 B ．动量变化快 C ．动量变化量大 D ．受到地面的作用力大 4、如图所示，物体受到大小为10牛，与地面成60°夹角的拉 力F 的作用在光滑的地面上滑行，在F 作用的3s 时间内（ ） A ．F 的冲量大小为30Ns B ．F 的冲量大小为15Ns C ．物体的动量变化为30kg ·m · D ．物体质量不知，故上述情况无法确定 5、对物体所受的合外力与其动量之间的关系，叙述正确的是：（ ） A 、物体所受的合外力与物体的初动量成正比； B 、物体所受的合外力与物体的末动量成正比； C 、物体所受的合外力与物体动量变化量成正比； D 、物体所受的合外力与物体动量对时间的变化率成正比． 6、动量相等的甲、乙两车，刹车后沿两条水平路面滑行，若两车质量之比m 1/m 2=1/2，路面对两车的阻力相同，则两车滑行时间之比为 （ ） A ．1：1 B ．1：2 C ．2：1 D ．1：4 7、甲、乙两个质量相同的物体，以相同的初速度分别在粗糙程度不同的水平面上运动，乙物体先停下来，甲物体又经较长时间停下来，下面叙述中正确的是（ ）． A 、甲物体受到的冲量大于乙物体受到的冲量 B 、两个物体受到的冲量大小相等 C 、乙物体受到的冲量大于甲物体受到的冲量 D 、无法判断 8、跳高运动员在跳高时总是跳到沙坑里或跳到海 绵上，这样做是为了（ ） A 、减小运动员的动量变化 B 、减小运动员所受的冲量 C 、延长着地过程的作用时间 D 、减小着地时运动员所受的平均冲力 *9．在行车过程中，如果车距不够，刹车不及时，汽车将发生碰撞，车里的人可能受到伤害，为了尽可能地减轻碰撞所引起的伤害，人们设计了安全带。假定乘客质量为70 kg ，汽车车速为108 km/h （即30 m/s ），从踩下刹车到车完全停止需要的时间为5 s ，安全带对乘客的作用力大小约为 （ ）
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==? 杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω2 3 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=