2020-2021学年四川省成都市树德中学高一上学期月考数学
试题
一、单选题
1．设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所示的集合为（ ）
A ．()M P S
B ．()()U M P
C S C ．()
M
P S
D ．()
()U M
P C S
【答案】B
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合的元素一定不在集合S 中，因此在U C S ，且在集合M 与集合P 的交集中．
【详解】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x ?S ，∴x ∈U C S ，且x ∈M ∩P ，因此x ∈（U C S ）∩（M ∩P ）． 故选：B ．
【点睛】本题考查了集合与韦恩图的对应关系，分析元素的特点是关键，属于基础题． 2．不等式2520ax x +->的解集是122x x ??
<
，则不等式22510ax x a -+->的解集是（ ） A ．132x x ?
?-<<
????
B ．123x x ??-<<
????
C ．132x x x ??-????
或
D ．123x x x ?
?<->???
?或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】2
520ax x +->的解集是122x x ??<
， 0,a ∴<
且
1
,22
是方程2520ax x +-=的两根， 根据一元二次方程根与系数关系得：1222a
-?=，解得2a =-； 所以有：
2225302530x x x x --+>?+-<1
32
x ?-<<
， 故不等式2
2
510ax x a -+->的解集13,2??- ??
?
故选：A 3．函数1
()f x x x
=-的图象关于（ ） A ．
轴对称
B ．直线对称
C ．坐标原点对称
D ．直线
对称
【答案】C 【解析】1
()f x x x
=
-是奇函数，所以图象关于原点对称． 4．函数{}{}:1,21,2f →，则满足“若12x x ≠，则()()12f x f x ≠”的函数()f x 的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．0
【答案】B
【分析】根据映射的概念，利用列举法一一列举，即可求解.
【详解】满足“若12x x ≠，则()()12f x f x ≠”的函数()f x 的映射是一个一一映射， 所以函数()f x 可以为()11,f =()22f =或()()12,21f f ==共两个函数. 故选：B.
5．已知函数(),f x x A ∈，那么集合()(){}(){},,,|M x y f x x A x y x a ==∈?=中
所含子集的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．0或1
D ．1或2
【答案】D
【分析】根据函数的定义，可得集合M 的元素的个数，即可判断集合M 的子集；
【详解】解：由已知可得函数()()y f x x A =∈的图象与x a =这条直线至多有一个交点， 故集合
()(){}(){},,,x y y f x x A x y x a =∈?=中所含的元素个数为0个或1个，
所以集合M 的子集个数为1或2, 故选：D
6．若关于x 的不等式2230ax ax -+<无解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤或3a > B ．03a ≤≤ C ．0a ≤或3a ≥ D ．03a <≤
【答案】B
【分析】由题意可知，关于x 的不等式2230ax ax -+≥对任意的x ∈R 恒成立，对实数a 进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式（组），综合可得出实数a 的取值范围.
【详解】2230ax ax -+<无解2230ax ax +?-≥恒成立， 当0a =时，03≥恒成立； 当0a ≠时，则有2
4120
a a a >???=-≤?，解得03a <≤. 综上03a ≤≤. 故选：B.
【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()2
0f x ax bx c a =++≠
①()0f x >在R 上恒成立，则0
0a >???
；
②()0f x <在R 上恒成立，则0
a
?
③()0f x ≥在R 上恒成立，则0
0a >??
?≤?； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0
a
?≤?.
7．下列命题中正确的是（ ） A ．若A
B =?，则A =?或B =?
B ．若()()A B A
C ???，则A B =
C ．若A B A C ?=?，则A C =
D ．若A B ?，则A B B ?= 【答案】D
【分析】根据交集的定义可判断A 选项的正误；利用()()A C A A
B ??可判断B
选项的正误；求出A B A C ?=?的等价条件，可判断C 选项的正误；利用韦恩图法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，A B =?，表示集合A 与B 没有共同的元素，不一定A =?
或B =?，A 错误； 对于B 选项，
()()A C A A B ??，则A 、B 可为任意集合，B 错误；
对于C 选项，若A B A C ?=?，则B C =或B 、C 均为A 的子集，C 错误； 对于D 选项，若A B ?，根据图形可知A B B ?=正确.
故选：D.
8．若函数()2
2f x x ax =-+与()1
a
g x x -=
+在区间[]1,2上都是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0),(01-
B ．(,0)-∞
C ．()0,1
D ．()
(]1,00,1-
【答案】B
【分析】利用二次函数和反比例函数的单调性求出答案即可.
【详解】函数()2
2f x x ax =-+的图象开口朝下，且以直线x a =为对称轴，
若在区间[]1,2上是减函数，则1,a ≤
()1a g x x -=
+的图象由a
y x
-=的图象左移一个单位得到， 若在区间[]1,2上是减函数，则0,a < 综上可得：a 的取值范围是(,0)-∞. 故选：B
9．已知定义在R 上的函数()f x 的定义域为[]1,4，值域为[2,3]-，则函数(21)f x -的值域为（ ） A ．51,2??????
B ．[]1,7
C ．[]2,3-
D ．[]5,5-
【答案】C
【分析】根据抽象函数的定义域的求法，求得函数(21)f x -的定义域，结合函数的图象变换，即可求得函数的值域.
【详解】因为()f x 的定义域为[]1,4，值域为[2,3]-， 令1214x ≤-≤，解得512x ≤≤
，即函数(21)f x -的定义域为51,2??
????
，
由()y f x =的图象上的各点横坐标缩短为1
2
倍，得到()2y f x =， 再将()2y f x =向右平移
1
2
个单位，得到(21)y f x =-， 所以函数(21)y f x =-的值域为[2,3]-. 故选：C.
10．已知函数()5
)0(b
x ax a x
f b =+
≠，对任意,0()m n R m n ∈≠≠，都有()()
0m m f f n n
>--，若120x x +<，且120x x ?<，则()()12f x f x +的值（ ）
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负
【答案】A
【分析】由条件得出()f x 的单调性和奇偶性，然后可判断出答案.
【详解】
对任意, 0()m n R m n ∈≠≠，都有
()()
0m m f f n n
>--
()50(b
f x ax ab x
∴=+≠）在定义域内单调递增，
由120x x +<得12x x <-，()()12x f x f <-∴， 又()()()5
5b b
f x a x ax f x x x
-=-+
=--=--， ()f x ∴为奇函数， ()()120f x f x ∴+<恒成立.
故选：A
11．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,x y 都满足：
()()()1f x y f x f y +=+-，且()01f =；当0x >时，()1f x >.则不等式
1)22(1x f x f ??
+???-<的解集是（ ）
A ．()1,0,12??-∞? ??
? B ．(),0-∞
C ．()0,∞+
D ．1,2?
?-∞ ??
?
【答案】B
【分析】令y ＝﹣x 得到f （x ）+f （﹣x ）＝2，令x 1＜x 2，由条件推出f （x 1）＜f （x 2），
即可判断f （x ）的单调性，不等式(
)2121x f x f ??
+???
-<等价于2111x f x ?
+? ??
?-<，
利用单调性解出不等式即可.
【详解】令y x =-，则()()()011f f x f x =+--=，()()2f x f x +-=，令12x x <，则210x x ->，
0x
时()1f x >，
()211f x x ->，即()()()212110f x f x f x x -=-->，
()()210f x f x ∴->，即()()12f x f x >，
()f x ∴在R 上是增函数.()1211121x f f f x x x -+=????
∴ ? ????
?-++，
不等式()2121x f x f ??
+???-<等价于12112f x x ?
? ???-++<，即
2111x f x ?
+? ??
?-<，
()1210f x f x ?
? ??
?∴-+<，
()f x 在R 上是增函数，1
210x x
∴-+
<，解得0x <. 故选：B.
【点睛】思路点睛：
（1）利用定义法判断抽象函数()f x 在R 上的单调性，
（2）不等式(
)2121x f x f ??
+???
-<等价于()12110x f x f ?
? ??
解得x 的取值范围.
12．已知定义在R 上的偶函数()f x ，且当0x ≥时()f x 是单调函数，若满足方程
()311x f a f x ?
?
- ? ?-??
=的实数x 有4个，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()(),33,-?-∞+∞
B ．()()()()1,,3,0,130-∞?-?-?+∞
C ．()()1,03,-?+∞
D ．()
()0,13,+∞
【答案】B
【分析】由条件可得31
1x a x -=±-有4个实数解，设()311
x g x x -=-，作出其图像，数形结合可得答案. 【详解】
()f x 为偶函数，()f x 在[)0,+∞上为单调函数，
()311x f a f x ??
- ? ?-??
=有4个实数解，
31
1
x a x -∴
=±-有4个实数解， 令()31(01)31131
1(01)1x x x x x g x x x x x x -?≥≠?-?-=
=?+-?<≠-?+?且且23(01)1
23(01)1
x x x x x x ?
+≥≠??-=??-<≠-?+?且且 画出()g x 的图象，
则()y g x =与y a =±有4个交点， 则3a >或01a <<，
3a ∴>或3a <-或01a <<或10,a -<<
即()(),31,0()()0,13,a ∈-?-∞-??+∞， 故选：B .
【点睛】方法点睛：已知函数零点个数或有零点(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法分析图象的交点个数从而得到答案.
二、填空题
13．已知集合{}1A =，集合B 满足{}1,2A B ?=，则集合B 有______________个. 【答案】2
【分析】利用并集的概念求解. 【详解】
{}1A =，且{}1,2A B ?=，
∴集合B 可以为{}{}2,1,2，
∴集合B 有2个.
故答案为：2.
14．已知函数()y f x =的定义域10{|}A x x =-≤<，值域{|04}B x x b =≤≤且
()R C A B C ??，()2(),1,C b ?=∞-+∞，则实数b 的取值范围是：____________.
【答案】{}[)04,?+∞
【分析】先求出A B ，得出()R C A B ?，再由()R C A B C ??可得240b b
b ?≥?≥?
，得出
答案.
【详解】由条件10{|}A x x =-≤<，{|04}B x x b =≤≤，则0b ≥
{}14A B x x b ?=-≤≤， (){1R C A B x x ∴?=<-或}4x b >
()R C A B C ??，所以240b b
b ?≥?≥?
解得0b =或4,b ≥ 故答案为：{}[)04,?+∞ 15．关于x 的不等式：11x x
x x
--≥的解集为___________. 【答案】{}
0x x ≠
【分析】由不等式
11x x x x -->，分
10x x -≥和10x x
-<两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，不等式
11x x x x
-->， ①当
1
0x x -≥时，即0x <或1≥x 时，此时10x x
-≤， 不等式转化为
11x x
x x
--≥恒成立，即不等式的解集为{|0x x <或1}x ≥； ②当
10x x
-<时，即01x <<时，此时不等式可化为11x x
x x --≥恒成立， 即不等式的解集为{|01}x x <<， 综上可得，不等式的解集为{}
0x x ≠. 故答案为：{}
0x x ≠.
16．有限集合S 中的元素个数记作()card S ，设,,,A B C D 都为有限集合，则易知： （1）()()()()card A B card A card B card A B ?=+?-. （2）
()card A B C ??=
()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C ++-?-?-?()card A B C +??
问（3）()card A B C D ???=___________. 【答案】()()()()card A card B card C card D +++
()()()card A B card A C card A D -?-?-? ()()()card B C card B D card C D -?-?-?
()()()card A B C card A B D card A C D +??+??+?? ()()card B C D card A B C D +??-???
【分析】根据（1）（2）中的规律即可写出. 【详解】解：()card A B C D ???
()()()()card A card B card C card D =+++ ()()()card A B card A C card A D -?-?-?
()()()card B C card B D card C D -?-?-?
()()()card A B C card A B D card A C D +??+??+?? ()()card B C D card A B C D +??-???.
故答案为：()card A B C D ???
()()()()card A card B card C card D =+++ ()()()card A B card A C card A D -?-?-? ()()()card B C card B D card C D -?-?-?
()()()card A B C card A B D card A C D +??+??+?? ()()card B C D card A B C D +??-???.
三、解答题
17．已知集合{}
2
560A x x x =--=，{
}
2
2
120B x x ax a =++-=，若B A A ?=，
求实数a 的取值范围. 【答案】()
(),44,-∞-+∞.
【分析】根据B A A ?=，得到B A ?，对B 进行分类讨论，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：
{}
{}25601,6A x x x =--==-，
若B A A ?=， 则B A ?，
则B =?或{}{}1,6B B =-=，或{}1,6B =-，
{}
22120B x x ax a =++-=，
B =?，即判别式()222
4123480a a a ?=--=-+<，
即216a >， 解得4a >或4a
，
若{}1B =-，即2348012
a a ??=-+=?
?-=-??，
即242a a a ==-??=?
或，
解得：2a =，
若{}6B =，即23480
62
a a ??=-+=?
?-=??，
即2412a a a ==-??=-?
或，此时无解，
若{}1,6B =-，即223480
161612a a a ??=-+>?
-+=-??-?
=-?
，
即445a a a ?-<
=-??
=?，此时无解， 综上所述：若B A ?，则4a >或4a ，
故a 的取值范围为()
(),44,-∞-+∞.
【点睛】易错点点睛：本题易忽略对空集的讨论.
18．已知全集(),U R A x f x ???
===
???
，()(){}
4,,}B f x f x x x a a R a R ==-+-∈∈.
（1）若2a =，求A B .
（2）若U
A B ?
，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）[)2,4A
B =；（2）(][),08,a ∈-∞?+∞.
【分析】（1）将函数()f x 的解析式化简，求出函数()f x 的值域，即可得B 的范围，A
中列不等式求解x 的范围，判断交集；（2）分类讨论4a >，4a =与4a <三种情况，求解出函数()f x 的值域，从而得
U
B ，再利用包含关系列不等式求解.
【详解】（1）()(){}
2,42a B f x f x x x ===-+-，
()42f x x x =-+-62,2
2,2426,4x x x x x -≤??
=<
，
()[)2,f x ∴∈+∞，即[)2,B =+∞，
(
)A x f x ???
==
???
，[)2
40,0,4x x x ∴-+>∈， ()0,4A =，所以[)2,4A B =.
（2）由（1）可知：()0,4A =，
()4f x x x a =-+-，
①4a >时，()42,44,424,a x x f x a x a x a x a +-≤??
=-<
，
())4,[f x a ∈-+∞，4,[)B a =-+∞，U ,4()a B -∞=-，
U
A B ?
，即44,8a a -≥≥；
②4a =时，()82,4
2428,4
x x f x x x x -≤?=-=?
->?
()[)0,f x ∈+∞，[)0,B =+∞，U ,0()B -∞=，不符合题意； ③4a <时，()42,4,424,4a x x a f x a a x x a x +-≤??
=-<
，
())4,[f x a ∈-+∞，U [),(4,,)4B a a B -∞=∞=-+-，
44,0a a -≥≤.
综上，(][),08,a ∈-∞?+∞. 【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 19．已知函数()2
(0,)a
f x x x a R x
=+
≠∈. （1）判断函数()f x 的奇偶性.
（2）当4a =时，证明函数()f x 在区间[)2,+∞是增函数.
【答案】（1）当0a =时，()f x 为偶函数，当0a ≠时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用性质法判断函数的奇偶性，根据a 的取值不同，奇偶性不同进行分类讨论；
（2））当4a =时，()2
4
f x x x
=+
，利用定义法证明函数的单调性. 【详解】（1）当0a =时，()2
f x x =，函数为偶函数， 当0a ≠时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数. （2）当4a =时，()2
4
f x x x
=+
， 设212x x >≥，
()()2212121244f x f x x x x x ????
-=? ????-+?+
()()12121212
4x x x x x x x x -+-????
=
因为212x x >≥， 所以则120x x -<， 又12124,4x x x x +>>， 所以()121216x x x x +>，
()1212 1042x x x x >->+， ()()120f x f x ∴->，
f x 在区间[)2,+∞是增函数.
20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x 万元的关系
分别为1y a =，2=y bx ，（其中,,m a b 都为常数），函数12,y y 对应的曲线1C 、
2C 如图所示．
（1）求函数1y 与2y 的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 【答案】（1）1441(0)55y x x =+≥，21
(0)5
y x x =≥；（2）该商场所获利润的最大值为1万元.
【分析】（1）分别将()0,0与88,5??
???
代入解析式中,即可求得m ,a ,b ,需注意标出x 范围 ；
（2）设总利润12y y y =+,设甲商品投资x 万元,乙投资()4x -万元,分别代入1y ,2y ,可得441
1(4)(04)555y x x x =
++-≤≤,利用换元法,1(15)x t t +=≤≤,则2141
555
y t t =-++,即可求得最大值.
【详解】(1)由题意,将()0,0与88,5??
???代入11y m x a =+得,08
35m a
m a =+???=+??,解得44,55m a ==-,∴144
1(0)55
y x x =+≥
将88,5?? ???代入2=y bx 中,可得818,55
b b =
∴=,21
(0)5y x x ∴=≥；
(2)设销售甲商品投资x 万元,则乙投资()4x -万元,则0x ≥,40x -≥,04x ∴≤≤ 设总利润12441
1(4)(04)555
y y y x x x =+=
++-≤≤, 1(15)x t t +=≤≤,则21x t =-,
∴()
2241141
41555555
4y t t t t ??=
-+--=-++??
当2t =即3x =时,y 取到最大值为1.
答：该商场所获利润的最大值为1万元.
【点睛】本题考查由图象求解析式,考查函数的应用问题,考查函数的最值问题,考查运算
能力
21．解关于x 的不等式：210kx k -+<. 【答案】答案见解析
【分析】结合一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）当0k =时，不等式等价于10<，此时不成立，即不等式的解集为φ； （2）当0k >时，不等式转化为2
1
k x k
-<， ①若01k <≤时，可得1
0k k -≤，此时不等式21k x k
-<的解集为φ； ②当1k >时，可得
x <<
，即解集为
(；
（3）当0k <时，不等式转化为2
1k x k ->
，解得x <
x >，
即不等式的解集为
??? ?-∞?+∞ ????
?. 综上可得，不等式的解集为： 当01k ≤≤时，不等式的解集为φ；
当1k >
时，不等式的解集为
(；
当0k <
时，不等式的解集为
??? ?-∞?+∞ ????
?. 22．已知函数：(),,f x x a x a x R R =-∈∈. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间. （2）当[]0,1x ∈时，求()f x 的最大值.
【答案】（1）() f x 单调递增区间为(,1]-∞和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2；
（
2）(
)2max
1(2)
22)4
1(2)a a a
f x a a a ?-≤??=<
.
【分析】（1）求出解析式，讨论2x ≥，2x <时去绝对值得分段函数，利用二次函数的性质即可求单调区间；
（2）()()2
2
()
x ax x a f x ax x x a ?-≥?=?-
根据二次函数的性质分类讨论，当0a ≤时，2a a ≤，()f x 在(],a -∞单调递增，在,
2a a ?
? ???单调递减，在,2a ??
+∞ ???
单调递增，此时()f x 在[]0,1上单调递增，当0a >时，02a
>，比较区间端点1和a ，2
a 的大小关系，即可求出[]0,1x ∈时的最大值.
【详解】（1）2a =时，()()2
2
2(2)
222x x x f x x x x x x ?-≥?=-=?-
当2x ≥时，()2
2f x x x =-开口向上的抛物线，对称轴为1x =，所以此时()f x 在
[)2,+∞单调递增，
当2x <时，()2
2f x x x =-开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以此时()f x 在
(,1]-∞单调递增，在()1,2单调递减，
所以()f x 的单调递增区间为(,1]-∞和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2
（2）()()2
2()x ax x a f x ax x x a ?-≥?=?-
2
222424a a x x a a a x x a ???--≥? ????=??
??--+< ???
?? 若0a ≤，则2a a ≤
，()f x 在(],a -∞单调递增，在,2a a ?? ???
单调递减，在,2a ??
+∞ ???单调递增，所以此时()f x 在[]0,1上单调递增，()()2
2
max
12411a f x a
f a ??--= ???
==-，
若2a ≥时，
12a ≥，()f x 在,2a ??-∞ ??
?单调递增，在,2a a ??
???单调递减，在(),a +∞单
调递增，所以此时()f x 在[]0,1上单调递增，
()()2
2
11124max
a a
f f a x ??==--+=- ???
，
若01,a <≤则1022a <
<，()f x 在0,2a ?? ???单调递增，在,2a a ??
???
单调递减，在(),1a 上
单调递增，所以()()2,1max f max f x f a ??
????
?
???=?
2,14a max a -=??
????
2
21)41(02)a a a a ?<≤?=??-<≤?
若12a <<，
1122a <<，()f a 在0,2a ??
????
上单调递增， 在,12a ??
???
上单调递减， ()()2
1224
max
a a
f x f a ??∴==<< ???，
综上，(
)2max
1(2)22)4
1(2)a a a
f x a a a ?-≤??=<
【点睛】关键点点睛：求()f x x x a =-在[]0,1x ∈的最大值，关键是讨论比较a ，2
a
，
1和0的大小关系，判断区间与对称轴2
a
x =
的关系，以及区间与a 的大小关系，可以选择正确的解析式以及利用单调性求出最值.