2018年清华等五校（华约）自主招生试题??通用基础测试
数学
一、选择题
1．若P 为ABC ?内部任一点（不包括边界），且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则ABC ?必
为（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点
P 在圆锥底面内（包括圆周）．若MA MP ⊥，则P 点形成的轨迹的长度为（ ）
A 77
C ．3
D ．32
3．某种型号的计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0,1,2,,1n -L 中的任意一个数．如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9,99,999都出现的概率是（ ）
A ．
4
1
10 B ．
5110 C ．6110 D ．7
110 4．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x y
αβαβ
+=++与
1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++=（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．2 5．若正整数集合A k 的最小元素为1，最元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A U 中的元素个数为
A ．119
B ．120
C ．151
D ．154 6．三角式
111
cos0cos1cos1cos 2cos88cos89
+++o o o o o o
L 化简为 A ．cot1csc1o o B ．tan1csc1o o C ．cot1sec1o o D ．tan1sec1o o
7．设k<3，k≠0，则二次曲线
22
13x y k k
-=-与22152x y +=必有 （A ）不同的顶点 （B ）不同的准线 （C ）相同的焦点
（D ）相同的离心率
8．若P 为椭圆
22
1169
x y +=在第一象限上的动点，过点P 引圆x 2＋y 2=9的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则S MON ?的最小值为（ ）
A ．
92
B
C ．
274
D
9． 设x 1、x 2是实系数一元二次方程ax 2
＋bx ＋c=0的根，若x 1是虚数，2
12
x x 是实数，则
2
4
8
2007
11111222221x x x x x S x x x x x ??????
??=++++++ ? ? ? ?
????????
L 的值为
A ．0
B ．?1003
C ．1004
D ．?1004 10．函数f:R →R ，对任意的实数x 、y ，只要x+y≠0，就有f （xy ）=()()
f x f y x y
++成立，
则函数f （x ）（x ∈R ）的奇偶性为
A ．一定是奇函数
B ．一定是偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．既不是奇函数，又不是偶函数
二、解答题
11． 系统内有2k ?1（k ∈N+）个元件，每个元件正常工作的概率为p （0
12．已知2()12!!
n
n x x f x x n =++++L （*n N ∈），求证：当n 为偶数时，方程()0n f x =无解；当n 为奇数时，方程()0n f x =有唯一解n x ，且2n n x x +<．
13．已知锐角三角形ABC 中，BE ⊥ AC 于点E ，CD ⊥ AB 于点D ，且BC=25，CE ＝7，BD =15，若BE 、CD 交于点H ，联结DE ，以DE 为直径作圆，该圆与AC 交于另一点F ，求AF 的长度．
14．已知有n （n ≥2）位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n 的所有可能值·
15．已知动点P 在y 轴上投影为H ，A （?2，0），B （2，O ），满足2
2||AP BP PH =u u u r u u u r u u u r g ．
（1）求点P 的轨迹方程C ；
（2）已知一条直线过点B ，且与曲线C 交于x 轴下方两点C 、D ，M 为CD 中点，求M 与点
Q （0，?2）连线的斜率取值范围．