《光的衍射》计算题
1.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系？
(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？ 解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得
由题意可知21θθ= , 21sin sin θθ=
代入上式可得212λλ= 3分
(2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……)
222sin λθk a =(k 2 = 1, 2, ……)
若k 2 = 2k 1，则θ1 = θ2，即λ1的任一k 1级极小都有λ2的2k 1级极小与之重合．2分
2.波长为600 nm (1 nm=10-9m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度?x 0；
(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2． 解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin ?1≈λ 因?1很小，故tg ?1≈sin ?1 = λ / a
?x 0 = 2f tg ?1=2f λ / a = 1.2 cm 3分
(2) 对于第二级暗纹，有a sin ?2≈2λ
x 2 = f tg ?2≈f sin ?2 =2f λ / a =1.2 cm2分
3.在用钠光(λ=589.3 nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm ，透镜焦距f =700 mm ．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=10-9m) 解：a sin ?= λ2分
a f f f x /sin tg 1λφφ=≈==0.825 mm2分
?x =2x 1=1.65 mm1分
4.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm ．缝后放一个焦距f =400 mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm ，求入射光的波长．
解：设第三级暗纹在?3方向上，则有
a sin ?3 = 3λ
此暗纹到中心的距离为x 3 = f tg ?32分
因为?3很小，可认为tg ?3≈sin ?3，所以
x 3≈3f λ / a ．
两侧第三级暗纹的距离是 2 x 3 = 6f λ / a =8.0mm
∴λ = (2x 3) a / 6f 2分
1分
5.用波长λ=632.8 nm(1nm=10?9
m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a =0.15 mm ，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm ，求此透镜的焦距．
解：第二级与第三级暗纹之间的距离
?x = x 3 –x 2≈f λ / a ．2分
∴f ≈a ?x / λ=400 mm 3分
6.(1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，λ1=400 nm ，λ2=760 nm (1
nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =1.0×10-2 cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．
(2) 若用光栅常数d =1.0×10-3 cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．
解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知
()1112
31221
sin λλ?=+=
k a (取k ＝1 ) 1分 ()2222
3
1221sin λλ?=+=k a 1分
f x /t
g 11=? , f x /tg 22=?
由于11tg sin ??≈ , 22tg sin ??≈
所以a f x /23
11λ=
1分 a f x /2
3
22λ=1分
则两个第一级明纹之间距为
a f x x x /2
3
12λ?=
-=?=0.27 cm2分 (2) 由光栅衍射主极大的公式
2221sin λλ?==k d 2分
且有f x /tg sin =≈??
d f x x x /12λ?=-=?=1.8 cm2分
7.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，λ1=440 nm ，λ2=660 nm (1 nm
= 10-9
m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d ． 解：由光栅衍射主极大公式得
2
1
2122112132660440sin sin k k k k k k =??==λλ??4分
当两谱线重合时有?1= ?2 1分
即6
9462321===k k ．．．．．．．1分 两谱线第二次重合即是
4
6
21=k k ，k 1=6，k 2=42分 由光栅公式可知d sin60°=6λ1
60
sin 61λ=
d =3.05×10-3
mm2分 8.一束具有两种波长λ1和λ2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长λ1的第三级主极大
衍射角和λ2的第四级主极大衍射角均为30°．已知λ1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求: (1) 光栅常数a ＋b
(2) 波长λ2
解：(1) 由光栅衍射主极大公式得
cm 1036.330
sin 34
1-?==
+
λb a 3分 (2) ()2430sin λ=+
b a
()4204/30sin 2=+= b a λnm 2分
9.用含有两种波长λ=600 nm 和='λ500 nm (1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有200
条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm 的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距?x ．