2012年高考数学二轮精品复习资料 专题06 不等式（教师版）
【考纲解读】
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.
从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.
【考点预测】
本章知识的高考命题热点有以下两个方面：
1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。
2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。
3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。 【要点梳理】
1.不等式的性质与证明：
(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。
2.不等式的解法:
(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法
(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案. 对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值. 3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题. 【考点在线】
考点一 不等式的性质
例1.（2011年高考浙江卷文科6)若,a b 为实数,则“01ab <<”是“1b a
<
”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件 【答案】 D
【解析】112,,(0,1)42
a b ab =-=-=∈则
11124b a =-
<=-
1b a
≠><
不充分
11,,2b a =-=
1b a <
则1124b a
=>=- 01ab ≠><<不必要条件，故选D.
【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.
【备考提示】：不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考，不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查，熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.
练习1:（2011年高考全国卷文科5)下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是( ) （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞
【答案】A 【解析】1a b +?＞10a b a b ->?-> ,1a b a b a b ∴>>->反之不能推出故选
A.
【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式.
【备考提示】：熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键. 练习2: 2010年高考山东卷文科14）已知,x y R +∈，且满足134
x y +=，则xy 的最大值为 .
【答案】3
【解析】因为134x y =
+≥，所以
112
4
xy ≤
，解得3xy ≤，故xy 的最大值为3.
考点三 解不等式
高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段，“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等），其基本思想是转化思想．转化的方法是: 超越式→分式→整式（高次）→整式（低次）→一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.
不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法．
例3. (2011年高考辽宁卷理科9)设函数f （x ）=?
??≤，＞，，
，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）
（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞） 【答案】 D
【解析】不等式等价于11,22
x x -≤??≤?或21,
1log 2,x x >??-≤?解不等式组，可得01x ≤≤或1x >，即0x ≥，故选D.
【名师点睛】本题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式.
【备考提示】：不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式.
练习3：(2011年高考广东卷文科5)不等式2210x x -->的解集是（ ）
A ． 1(,1)2
-
B.(1,)+∞
C ． (,1)(2,)-∞?+∞
D ． 1(,)(1,)2
-∞-
?+∞
【解析】由题得,2
110)1)(12(0122
-
<>∴>-+∴>--x x x x x x 或所以选D.
考点四 线性规划
线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.
例4. (2011年高考安徽卷文科6)设变量x,y 满足,
x y 1x y 1x +≤??
-≤??≥0?
,则x y +2的最大值和最小值分别为( )
（A ） 1，-1 (B) 2，-2 (C ) 1，-2 (D)2，-1
【解析】1,1,0x y x y x +=-==三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入x y +2，得最大值为2，最小值为－2.故选B.
【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题.
【备考提示】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可. 练习4：（2011年高考山东卷文科7)设变量x ，y 满足约束条件250
200x y x y x +-≤??
--≤??≥?
，则目标函数231z x y =++的
最大值为( )
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】B
【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线得最大
231z x y =++平移至点A(3,1)时, 目标函数231z x y =++取值为10,故选B.
考点五 不等式的证明
高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高
中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在
高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.
例5.已知a ，b ∈R ，且a+b=1.求证：()()2
25222
2
≥
+++b a
证法一：比较法，作差消b,化为a 的二次函数,
也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同. 证法二：（放缩法）∵1a b +=, ∴左边＝()()
()()2
22
222222a b a b +++??
+++≥????
()2
12542
2
a b =
++=
????＝右边
证法三：（均值换元法）∵1a b +=，所以可设t a +=
2
1，t b -=
21，
∴左边＝()()
22
2
2
1
1
22(2)(2)22a b t t +++=+++-+2
2
255252522222t t t ???
?=++-=+≥ ? ????
?＝右边 当且仅当t=0时，等号成立.
证法四：（判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有1322)3()2(222+-=-++=a a a a y ， 所以013222=-+-y a a ，因为R a ∈，所以0)13(244≥-??-=?y ，即2
25≥y
故()()225
222
2
≥
+++b a .
【名师点睛】：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.
【备考提示】：证明不等式的方法有许多，关键是靠平常的善于总结. 5. 已知1,0,0=+>>y x y x ，求证：4
4
y x +≥
8
1．
【解析】∵1,0,0=+>>y x y x ，∴2
2
y x +≥xy 2， 两边同加上22y x +得，)(222y x +≥1)(2
=+y x ．
又4
4
y x +≥2
2
2y x ，两边同加上44y x +得，)(244y x +≥2
22)(y x +≥4
1，
∴4
4
y x +≥
8
1．
【考题回放】
1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为( ) （A ）[-5.7] （B ）[-4,6]
（C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞
【答案】D
【解析】1111ab ab a b b b a a
---
=-
=或则2
11
11(1)
()()ab ab ab a b b a b a ab
-----=?=
因为01ab <<所以2
(1)0ab ab
-> 即11()()0a b b a
--
>于是11()()0a b b
a
-->所以11a b b
a
<>或成立，充分条件；
反之11a b b
a
<
>
或成立，即111
100ab ab a b b
b
a a ---
=
<-=>或则11()()a b b a --2
(1)0ab ab -=<,
故
0ab <，不必要条件。故选A.
3.（2009年高考山东卷文科第5题）在R 上定义运算e :2a b ab a b =++e ,则满足(2)0x x - A.(0,2) B.(2,1)- C.(,2)(1,)-∞-?+∞ D.(1,2)- 【答案】B 【解析】由题意知: 2 (2)(2)2220x x x x x x x x -=-++-=+- 4. (2011年高考天津卷文科5)已知2log 3.6,a =4log 3.2,b =4log 3.6,c =则（ ） A.a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >> 【答案】B 【解析】因为1a >,,b c 都小于1且大于0,故排除C,D;又因为,b c 都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以b c <,故选B. 5．(2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x x x = ++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 【答案】C 【解析】由题得），，（）函数的定义域为（ 且∞+∴≠->∴?? ?>+≠-11,1-110 10 1 x x x x 所以选C. 6．(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ?≤≤? ≤?? ≤?给定，若() ,M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为) ，则z OM OA =? 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ． D ． 【答案】B 【解析】由题得不等式组对应的平面区域D 是如图所示的直角梯形 OABC,||||cos |cos |z O M O A O M O A AO M O M AO M O N =?=?∠= ∠= ， 所以就是求||ON 的最大值，||ON 表示 数形结合观察得当点M 在点B 的地方时，||ON 才最大。 2 cos AOM AOM ?∴∠= = 在中，,所 以423 263max =??= z ，所以选择B 7.（2011年高考福建卷文科10)若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x 3-ax 2-2bx+2在1x =处有极值，则a b 的最大值等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】2 '()1222f x x ax b =--,所以()f x 在1x =处有极值,所以'(1)12220f a b =--=,即6a b +=,又 0,0a b >>,所以a b +≥即6≤,所以9a b ≤,当且仅当3a b ==时等号成立,所以a b 的最大值 为9,选D. 当7,5 x y =??≤?时，m ax 450735054900z =?+?=； 当6,6 x y =?? ≤?时，m ax 450635064800z =?+?=，越往下的临界值越小，故选C. 9．（2011年高考湖南卷文科3)"1""||1"x x >>是的( ) A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】因"1""||1"x x >?>，反之 "||1""11"x x x >?><-或，不一定有"1"x >。 10．（2011年高考湖北卷文科 8)直线与不等式组0, 0, 2,4320 x y x y x y ≥?? ≥?-≥-? +≤?表示平面区域的公共点有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【答案】B 【解析】画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4), C(5,0) ,D(0, 203 ), E(0,10),故由图知有唯一交点，故选B. 11.(2011年高考安徽卷文科13) 函数y =的定义域是 . 【答案】（－3,2） 【解析】由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<. 12．（2011年高考江西卷文科15)对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为_______. 【答案】}0{≥x x 【解析】两种方法，方法一：分三段，当x<-10时， -x-10+x-28≥,φ 当210≤≤-x 时， x+10-x+28≥, 20≤≤x 当x>2时， x+10-x+28≥,x>2,0x ≥∴综上： 方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为=1d 10，到2的距离为=2d 2，821=-d d ，并当x 往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x 的范围是0≥x . 13. （2011年高考海南卷文科14)若变量,x y 满足约束条件32969 x y x y ≤+≤??≤-≤?,则2z x y =+的最小值 为 . 【答案】-6 【解析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6. 14．（2011年高考浙江卷文科16)若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 . 【答案】 3 【解析】2 222 2 1()1()( )12 x y x y xy x y xy x y +++=?+-=?+- ≤3 x y ?+≤ . 15. (2011年高考天津卷文科12)已知22log log 1a b +≥,则39a b +的最小值为 . 【解析】设坐标原点 的直线方程为(0)y kx k =>,则由2 y kx y x =?? ?= ?? 解得交点坐标为k 、(k - ，即为P 、Q 两点， 所以线段PQ 长为4≥=，当且仅当1k =时等号成立，故线段PQ 长的最小值是4. 【高考冲策演练】 一、选择题： 1.（2010年高考天津卷文科7）设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈?=?若，则实数a 的取值范围是 (A){}a |0a 6≤≤ (B){}|2,a a ≤≥或a 4 (C){}|0,6a a ≤≥或a (D){}|24a a ≤≤ 【答案】C 【解析】因为{}|11A x a x a =-<<+，A B ?=?，所以11a +≤或15a -≥，解得 实数a 的取值范围是{}|0,6a a ≤≥或a ，故选C. 2．（2010年高考福建卷文科5）设x,y R ∈,且x 1 x-2y+30y x ≥?? ≥??≥? ,则z=x+2y 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.5 D.9 【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域如图阴影所示， 当直线z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取得最小 值3，故选B 。 3．(2010年高考江西卷文科1)对于实数,,a b c ，“a b ＞”是“22ac bc ＞”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当0c =时，a b >不能得22ac bc >，22ac bc >?a b >. 4．(2010年高考江西卷文科2)若集合{}1A x x =≤，{}0B x x =≥，则A B = ( ) A ．{}11x x -≤≤ B ．{}0x x ≥ C ．{}01x x ≤≤ D ．? 【答案】C 【解析】{|11}{|0}{|01}A B x x x x x x =-≤≤≥=≤≤ . 5．(2010年高考江西卷文科5)不等式22x x --＞的解集是( ) A ．(,2)-∞ B ．(,)-∞+∞ C ．(2,)+∞ D ．(,2)(2,)-∞+∞ 6. (2010年高考浙江卷文科6)设0＜x ＜ 2 π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为0＜x ＜2 π，所以sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，结合xsin 2 x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案 选B. 7. (2010年高考宁夏卷文科11)已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是( ) （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20） 【答案】B 【解析】由已知条件得(0,4)AB D C D =?- ，由25z x y =-得255 z y x =-，所以当直线经过点B （3，4） 时，5z -最大，即z 取最小为14-；当直线经过点D （0，4-）时，5 z -最小，即z 取最大为20，又由于点(,) x y 在四边形的内部，故(14,20)z ∈-． 8．（2010年高考广东卷文科8）“x >0 ”是“ ”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件 9．（2010年高考陕西卷文科6）“a ＞0”是“a ＞0”的( ) (A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 10．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是( ) (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a = ，所以a+b=1a a + 又0 =+ 1 a 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞). 【解析2】由0 11x y xy < ，化为求z x y =+的取值范围 问题，z x y y x z =+?=-+，2 111y y x x '= ?=- <-?过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞ 11．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科10）设1 23log 2,ln 2,5a b c -===则( ) （A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a << 【解析】由2x ≥且2y ≥可得224x y +≥，但反之不成立，故选A. 二．填空题： 13．（2011年高考陕西卷文科12)如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为 . 【答案】1 【解析】令:20l x y -= ，A B k = D C k = 所以l 过(1,1)C 时在轴上截距最大，即1,1x y ==时 2x y -有最小值为2111?-= 14．（2011年高考重庆卷文科15)若实数,,222,2222 ,a b a b a b c a b c a b c c ++++=++=满足则的最大值是 【答案】22log 3- 15．（2011年高考湖南卷文科14)设1,m >在约束条件1y x y m x x y ≥?? ≤??+≤? 下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的 值为 ． 【答案】3 【解析】画出可行域，可知5z x y =+在点1( ,)11m m m ++取最大值为4，解得3m =. 16．（2010年高考天津卷文科16）设函数f(x)=x-1x ,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】(,1)-∞- 【解析】因为对任意x [1,)∈+∞，f(m x)+m f(x)=2m x- 10m m x x - <恒成立，所以 当0m <时，有222210m x m -->对任意x [1,)∈+∞恒成立，即222110m m ?-->，解得21m >，即1m <-；当0m >时，有222210m x m --<对任意x [1,)∈+∞恒成立，x 无解，综上所述实数m 的取值范围是1m <-. 三．解答题： 17．(2011年高考安徽卷理科19) （Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明111x y xy xy x y ++ ≤++， （Ⅱ）1a b c ≤≤≤，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 【证明】(Ⅰ)由于1,1x y ≥≥，所以 要证明：111x y xy xy x y ++≤++ 只要证明：2 ()1()xy x y y x xy ++≤++ 只要证明：2 ()1()()0xy x y xy x y -++-+≥ 只要证明：(1)(1)0xy xy x y -+--≥ 只要证明：(1)(1)(1)0xy x y ---≥ 由于1,1x y ≥≥，上式显然成立，所以原命题成立。 (Ⅰ)当 0200 x ≤≤时，求函数()v x 的表达式； (Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()() f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时） 【解析】（Ⅰ）由题意：当020x ≤ ≤时，()60 v x =；当20200 x ≤ ≤时，设()v x ax b =+ 再由已知得 { 2000,2060.a b a b +=+=，解得1,3200 . 3a b ? =-???=? 故函数()v x 的表达式为60,020, ()1(200),20200.3 x v x x x ≤ =?-≤≤?? （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020, ()1 (200),20200.3 x f x x x ≤ =?-≤≤?? 当020x ≤ ≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200； 当20200 x ≤≤时， 211(200)10000 ()(200)[],3 323 x x f x x x +-= -≤= 当且仅当200x x =-，即100 x =时，等号成立. 所以，当100x =时，()f x 在区间[20,200]上取得最大值100003 . 综上，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值 100003333 3 =. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 19．（2010年高考辽宁卷文科24）已知a ,b ,c 均为正数，证明：a 2+b 2+c 2+2 111a b c ?? ++ ??? ≥ 6 ，并确定a ,b ,c 为何值时，等号成立. 【解析】证明：(证法一) 因为a ,b ,c 均为正数，由平均值不等式得 a 2+ b 2+ c 2≥2 33()abc ① 111a b c ++≥13 3() abc - 所以2 111a b c ?? ++ ??? ≥239()abc -. ② 故a 2+b 2+c 2+2 1 11a b c ??++ ??? ≥233()abc 2 39()abc -+ 又2 3 3()abc 23 9() abc - +≥= ③ 所以原不等式成立.当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当223 3 3()9() abc abc -=时, ③式等号成立.即 当且仅当a =b =c =1 43时,原式等号成立. (证法二) 因为a,b,c 均为正数,由基本不等式 a 2+b 2≥2ab , b 2+ c 2≥2bc c 2+a 2≥2ac . 所以a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac ① 同理 2 2 2 111a b c + +≥ 111ab bc ac + + ② 故a 2+b 2+c 2+(111a b c ++ )2 ≥ab+bc+ac+31 ab +31 b c +31a c ≥6 ③ 所以原不等式成立 当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(b c )2=(ac )2=3时,③式等号成立.即当且仅 当a =b =c =1 43时,原式等号成立. 20．（2010年高考广东卷文科19）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 【解析】设为该儿童分别预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为F ，则F y x 45.2+=，由题意知： 64812≥+y x 4266≥+y x 54106≥+y x 0,0>>y x 画出可行域： 变换目标函数：4 85F x y + - = 21. （2009年高考江苏卷第19题）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出 该产品的单价为m 元，则他的满意度为 m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为 n n a +.如果 一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ， .现假设甲 生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙.(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设3 5A B m m =， 当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？ 试说明理由。【解析】(1) 当35 A B m m = 时，h = = 甲 h = = 乙 h 甲=h 乙 （3）（方法一）由（2） 知：0h 5 由05 h h ≥= 甲得： 1255 2 A B A B m m m m ++?≤， 令 35, ,A B x y m m ==则1[ ,1]4 x y ∈、，即：5(14)(1)2 x y ++≤ 。 同理，由05 h h ≥= 乙得：5(1)(14)2 x y ++≤ 另一方面，1 [,1]4x y ∈、141x x +∈+∈5、1+4y [2,5],、1+y [ ,2],2 55(14)(1),(1)(14),2 2 x y x y ++≥++≥ 当且仅当14 x y == ，即A m =B m 时，取等号。 所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立。 22．设a 为实数，函数2 ()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【解析】（1）若(0)1f ≥，则2 ||111a a a a a （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+2 2 m in (),02,0() 2(),0,033 f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??< ?? 当x a ≤时，22 ()2,f x x ax a =+-2 m in 2 (),02,0 ()(),02,0 f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==?? < m in 2,0 ()2,03 a a f x a a ?-≥? =? 3210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ?=--=- 当2 2 a a ≤- ≥ 时，0,(,)x a ?≤∈+∞； 当2 2 a -<< 时，△>0, 得：(0 3 3 x x x a ??-- ≥? ?>? 讨论得：当, 2 2 a ∈时，解集为(,)a +∞; 当(22 a ∈- -时，解集为(, )3 3 a ?+∞; 当[,2 2 a ∈- 时，解集为)3 +∞. 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值． B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值； 第一节集合 考纲下载 1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 2.集合间的基本关系 B A B 3.集合的基本运算 4.集合的运算性质 (1)A ∪B ＝A ?B ?A ，A ∩B ＝A ?A ?B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩?＝?； (3)A ∪A ＝A ，A ∪?＝A ； (4)A ∩?U A ＝?，A ∪?U A ＝U ，?U (?U A )＝A . 1．集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？ 提示：这4个集合互不相同，A 是以方程x 2＝0的解为元素的集合，即A ＝{0}；B 是函数y ＝x 2的定义域，即B ＝R ；C 是函数y ＝x 2的值域，即C ＝{y |y ≥0}；D 是抛物线y ＝x 2上的点组成的集合． 2．集合?，{0}，{?}中有元素吗？?与{0}是同一个集合吗？ 提示：?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．?与{0}不是同一个集合． 高考数学第二轮复习 压轴题 高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题. 这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔. 第一讲 函数、不等式与导数型压轴题 【调研1】设2 1()log 1x f x x +=-,1 ()()2F x f x x =+- (1)试判断函数()y F x =的单调性，并给出证明； (2)若()f x 的反函数为1()f x -,证明 对任意的自然数(3)n n ≥,都有1 ()1 n f n n -> +； (3)若()F x 的反函数1()F x -,证明 方程1()0F x -=有惟一解. 分析：第（1）问先具体化函数()y F x =后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化1()f n -，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式212n n >+的证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明. 解析：（1）∵2 1()log 1x f x x +=-，1()()2F x f x x =+- ∴211 ()log 12x F x x x +=+-- ∴函数()y F x =的定义域为(1,1)-. 解法一：利用定义求解 设任意1x ，2x (1,1)∈-，且12x x <，则 21()()F x F x -＝21222211 1111( log )(log )2121x x x x x x +++-+---- ＝212221211111 ( )(log log )2211x x x x x x ++-+-----＝21122 1212(1)(1)log (2)(2)(1)(1) x x x x x x x x --++--+- ∵210x x ->，120x ->，220x -> ∴ 1212(1)(1) 0(1)(1) x x x x -+>+- ∴ 211221212(1)(1) log 0(2)(2)(1)(1) x x x x x x x x --++>--+- ∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数 解法二：利用导数求解∵211 ()log 12x F x x x +=+-- ∴()F x '＝ 22121(1)ln 2(1)(2)x x x x -?++--＝22 21 ln 2(1)(2)x x +?-- 2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法 运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。 2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习 中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合 高考数学第二轮复习计划参考 高考数学第二轮复习计划范例参考 (一).明确主体，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考考什么，怎样考，应了若指掌. 第二轮复习的形式和内容 1.形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。 (1)集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 (2)三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 (3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 (4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 (5)解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 (6)不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 (7)排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。 (9)高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 (二)、做到四个转变。 1.变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用. 2.变全面覆盖为重点讲练，突出高考热点问题. 3.变以量为主为以质取胜，突出讲练落实. 4.变以补弱为主为扬长补弱并举，突出因材施教 5.做好六个重在。重在解题思想的分析，即在复习中要及时将四种常见的数学思想渗透到解题中去;重在知识要点的梳理，即第二轮复习不像第一轮复习，没有必要将每一个知识点都讲到，但是要将重要的知识点用较多的时间重点讲评，及时梳理;重在解题方法的总结，即在讲评试题中关联的解题方法要给学生归类、总结，以达触类旁通的`效果;重在学科特点的提炼，数学以概念性强，充满思辨性，量化突出，解法多样，应用广泛为特点，在复习中要展现提炼这些特点;重在规范解法，考生在平时的解题那怕是考试中很少注意书写规范，而高考是分步给分，书写不规范，逻辑不连贯会让考生把本应该得的分丢了。 (三)、克服六种偏向。 1.克服难题过多，起点过高.复习集中几个难点，讲练耗时过多，不但基础没夯实，而且能力也上不去. 2.克服速度过快.内容多，时间短，未做先讲或讲而不做，一知半解，题目虽熟悉，却仍不会做. 高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三 三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; 高考数学第二轮复习计划安排 高考数学第二轮复习计划安排 高考数学第二轮复习计划安排 1、研究高考大纲与试题，明确高考方向，有的放矢 对照《考试大纲》理清考点，每个考点的要求属于哪个层次；如何运用这些考点解题，为了理清联系，可以画出知识网络图。 2.、仍旧注重基础 解题思路是建立在扎实的基础知识条件上的，再难的题目也无非是基础知识的综合或变式。复习过程中，一定要吃透每一个基本概念，对于课本上给出的定理的证明，公式的推导，重点掌握。 3.、针对典型问题进行小专题复习 小专题复习要依据高考方向，研究近几年出题考点和题型，针对实际练习考试中出现的某一类问题，可在老师或者课外辅导的帮助下，总结类型并针对练习，这种方法一般时间短、效率高、针对性好、实用性强。 4、注意方法总结、强化数学思想，强化通法通解 我们可以把数学思想方法分类，更好的指导我们的学习。一是具体操作方法，解题直接用的，比如说常见的换元法，数列求和的裂项、错位相减法，特殊值法等；二是逻辑推理法，比如证明题所用的.综合法、分析法、反证法等；三是宏观指导意义的数学思想方法，比如数形结合、分类讨论、化归转化等。我们把这些思想方法不断的渗透 到平时的学习中和做题中，能力会在无形中得到提高的。 5、针对实际情况，有效学习 对于基础不太好的，可以重点抓选择前8个、填空前2个、解答题前3个以及后面题的第一问；基础不错的，可以适当关注与高等数学相关的中学数学问题。 6、培养应试技巧，提高得分能力 考试时要学会认真审题，把握好做题速度，碰到不会的题要学会舍弃，有失才有得，回过头来再看之前的题，许多时候会有豁然开朗的感觉。 第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题) 热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________． 答案x2 3－y 2＝1 解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2， 双曲线C：x2 a2－y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程为y＝±b a x，即ay±bx＝0， 又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2 ＋b 2 ＝1， 解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 23 －y 2 ＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 2 4＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A 解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23， 由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3. 跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作 工程學院基礎數學題庫 第五章空間中的直線與平面 第六章球面方程式 第七章矩陣與行列式 第五章 空間中的直線與平面 5-1.空間中直線與平面的概念 1.設ABCD 為正四面體，各面均為正三角形，其稜長為1，為M 的CD 中點， 求 AB 與CD 兩歪斜線間的距離？ 若∠AMB ＝θ，求cos θ＝？ 【 a 22； 3 1 】 【解】 a a a 2 2 )2()23( 22=- 餘弦定理a 2＝θcos 23232434322??? -+a a a a ,cos θ＝3 1 2.四面體A-BCD 中,2,4======BD CD BC AD AC AB ， 求四面體A-BCD 之體積？ 【 3 11 2 】 【解】G 是△ABC 重心3 3232== DE DG 3 44 )332( 42 2=-=AG ，體積＝311234433131=??=???AG BCD 3.如圖，OA 垂直平面E ，AB 垂直直線L ，已知OA ＝9，AB ＝12， BC ＝20，求OC ＝？【三垂線定理】 【 25 】 【解】2222129AB OA OB +=+=＝15,222 22015BC OB OC +=+=＝25 4.空間中O 點在平面E 的垂足為A 點，OA ＝3，L 為平面E 之 直線，由A 作直線L 的垂線交於B 點，AB ＝2，C 為直線L 之 點，已知OC ＝7，求BC ＝？ 【三垂線定理】 【 6 】 【解】1323AB OA OB 2222=+=+=,)13(-7OB -OC BC 22 2==＝6 5.有一四面體OABC ，它的一個底面ABC 是邊長4的正三角形， 且知OA ＝OB ＝OC ＝a ，如果直線OA 與直線BC 間的公垂線段長 (亦即此兩直線間的距離)是3，則a ＝？(以最簡分數表示) 【 3 8 】 【解】4a OM 2-=,作AO MN ⊥於點N 設ON ＝a －3，222OM MN ON =+2222)4a ()3()3a (-=+-，a ＝3 8 6.設ABCD 為四面體，底面為BCD ，側稜AB ＝4，AC ＝AD ＝5， 底邊BC ＝BD ＝5，CD ＝6，令平面ACD 與平面BCD 所定的兩面角 度量為銳角θ，求cos θ＝？ 【 21 】【解】△ABM 為正三角形，θ＝60°，則cos60°＝2 1 7.長方體如圖,若3,3,2===AE AD AB ，若△ABD 與△BDE 所在平面 第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________． (2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝??? cos πx ，x ∈[0，1 2 ]， 2x －1，x ∈(1 2 ，＋∞)，则不等式 f (x －1)≤1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0， 所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示． ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1 2.设与曲线交 于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1 2]， ∴πx ＝π3，∴x ＝1 3 . 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34 . 根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1 3. ∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1 2上及其下方的图象满足， ∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1 3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同 2019年高考数学第二轮复习策略与重点 ?数学第二轮复习阶段是考生综合能力与应试技巧提高的阶段。在这一阶段，老师将以“数学思想方法”、解题策略和应试技巧为主线。老师的讲解，不再重视知识结构的先后次序。首先，着重提高考生采用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论、数学模型”等方法解决数学问题的能力。其次，考生要注意用一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高解题速度和应对策略。要在这一阶段得到提高，应做到以下几点： 首先，要加强基础知识的回顾与内化。由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，加上一模的试题起点不会很高，这就要求同学们课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理；回顾基本的数学方法与数学思想；回顾疑点，查漏补缺；回顾老师教学时或自己学习时总结出来的正确结论，联想结论的生成过程与用法；回顾已往做错的题目的正确解法以及典型题目，以达到内化基础知识和基本联系的目的。 其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。 另外，在做题过程中，还要注意几点：1、不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。2、提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段。指导思想是巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力。针对第二轮复习的特点，同学们需注意以下几个方面： 1.加强复习的计划性。由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。 2.提高听课的效率。深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高。 3.加强基础知识的灵活运用。要做到这一点，至关重要的是加强理论的内化，通过第二轮的复习，进一步有意识地强化对书本上定义、定理、公式、法则的理解，对这些东西理解水平的高低决定了你能否灵 高考数学二轮专题复习 数学思想方法 【考纲解读】 1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系. 【考点预测】 1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。 2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n 项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。 3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。 【要点梳理】 1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数. 3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比1q =和1q ≠、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a 分为1a >和01a <<两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。 4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。 【考点在线】 考点一 函数与方程思想 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f -1 (x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐 高考数学二轮复习专题选讲 数列 一.考试内容与要求 1．考试内容 数列、等差（比）数列的定义、性质的应用及其通项公式、前n项和公式. 2．考试要求 知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项. （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力. 二．热点透视 1．命题热点 纵观近几年的全国数学高考试题，数列约占总分的10%—15%，考查的重点是等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，在选择、填空题中，突出了“小、巧、活”的特点； 解答题以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容。试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法。 2．考查热点 回顾过去，展望未来，数列在今后高考中，仍将以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式的综合应用，更要特别重视数列的应用性问题。 三、本专题计划四课时 课时一等差数列与等比数列 一、 教学目标、重点、难点： 1、掌握等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式、中项、性质，并能在解题中灵活运用。 2、注重等差数列与等比数列的区别和联系，类比与转化。 3、重视数列的相关运算经验与技巧的总结并练好运算基本功。 二、 训练反馈： 1．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次 方程bx 2－2ax+c=0（ ） A ．无实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个同号的相异的实数根 D ．有两个异号的相异的实数根 2．某人为了观看20XX 年奥运会，从20XX 年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储 蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到20XX 年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ） A ．7 )1(p a + B ．8 )1(p a + C ． )]1()1[(7p p p a +-+ D ． ()()[] p p p a +-+118 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,0122 11==-+-+-m m m m S a a a ，则 m 等于（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 4．数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n ∈N*满足以下运算性质：（1）2*2=1，（2）（2n+2）*2=3（2n*2）.则2n*2用含n 的代数式表示为 . 5．设数列｛n a ｝，｛n b ｝分别为正项等比数列，T n ，R n 分别为数列｛lg n a ｝与｛lg n b ｝ 的前n 项和，且1 2+=n n R T n n ，则log 5b 5a 的数值为 ． 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{ x |x －1<0}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，1） B ．(－2，1） C ．(－3，－1） D ．(3，＋∞） 2．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB ＝(2,3），AC ＝(3，t ），BC ＝1，则AB BC ?＝ A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++． 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B 2 1 2M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3M R M 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b ）>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学总复习讲义：积分 知识讲解 一、函数定积分 1.定义：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把 区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-， ，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==?∑． 当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定 积分，记作()b a f x dx ?，即1 00()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑?．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2.曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ， 上的定积分，即()b a S f x dx =?． 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间[]a b ， 中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -?=-， 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和． y=f (x )O y x b a2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
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