2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题
2004年名牌大学自主招生考试试题(l)
适用高校:复旦大学
一、填空题(每题8分,共80分)
1.设842421(1)(1)x x x ax +=+++,则a= . 2.已知|5x+3|+|5x ?4|=7,则x 的取值范围是 .
3.椭圆22
1169
x y +=内接矩形的周长最大值是 .
4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有 种取法. 5.已知等比数列{}n a 中a 1=3, ,且第l 项至第8项的几何平均数为9,则第3项为 . 6.若2(1)0x a x a -++<的所有整数解之和为27,则实数a 的取值范围是 .
7.己知
22(4)149
x y -+=,则22
49x y +的最大值为 . 8.设x 1、x 2是方程2
x ?xsin 35π+cos 35
π=0的两个实数解,那么arctanx 1+ arctanx 2= .
9.方程3
z z =的非零解是 . 10.方程112
x x
y -+=的值域是 .
二、解答题(每题15分,共120分)
1.解方程: 5log (1x =.
2.已知12sin(),13αβ+=4sin(),5αβ-=-且0,0,,2
π
αβαβ>>+<求tan 2α.
3.已知过两抛物线C1:x+1=(y?1)2,及C2:(y?1)2=?4x?a+11的一个交点的两条切线互相垂直,求a的值.
4.若存在M,使任意x∈D(D为函数f(x)的定义域),都有|f(x)|≤M.则称函数f(x)有界,函数f(x)=11 sin x x
在
1
0,
2
x
??
∈ ?
??
上是否有界?
5.求证:
13
+<
.
6.已知E是棱长为a的正方体
1111
ABCD A BC D
-的棱AB的中点,求点B到平面
1
A EC的距离.
7.比较
24
log25与
25
log26的大小,并说明理由.
8.已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166n n n b a b +=+,又12a =,14b =, 求:(1) ,,n n a b ;(2)1im lim
n
n n
a b →∞.
2004年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校:上海交通大学
一、填空题(每题4分,共40分)
1.已知x 、y 、z 是作负整数,且x+y+z=10,x+2y+3z=30,则x+5y+3z 的取值范围是 . 2.长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形,则矩形面积的最大值是 .
3
.函数02y x π?
=≤≤
??
的值域是 . 4.已知三角形又边的长a 、b 、c 均为正整数,且a ≤b ≤c ,b=n ,则满足条件的三角形r 的个数为 5.设x 2+ax+b 和x 2+bx+c 的最大公因式为x+1,最小公倍式为x 3+(c ?1)x 2+(b+3)x+d ,则(a,b.c,d)= 6.已知
1a ≤≤
||x =的相异实根的个数是 .
7.整数(
)
818
2004
7
36+的个位数是 .
8.已知数列{a n }满足a 1=l,a 2=2,且2132n n n a a a ++=-,则2004a = .
9.在n×n 的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 .
10.已知67xyzabc abcxyz =,则xyzabc = .
二、解答题(本大题共60分)
1.已知矩形的长、宽分别为a 、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.
2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a ∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:?:a,求二项式的次数与a 的值,以及各项的二项式系数.
3.已知f(x)=432(58)69ax x a x x a ++-+- ,证明: (1)恒有实数x,使f(x)=0,
(2)存在实数x ,使f(x)的值恒不为0.
4.已知f 1(x )=11x
x
-+ ,对于一切正整数n ,都有11()[()],n n f x f f x += 且366()()f x f x =,求28()f x .
5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.
6.已知{n a }是公差为6的等差数列,11n n n b a a ++=-(n ∈N+). (l)用a 1、b 1、n 表示数{n a }的通项公式;
(2)若a 1=b 1=a ,a ∈[27,33],求a n 的最小值及取最小值时n 的值.
2005年名牌大学自主招生考试试题(l)
适用高校:复旦大学
一、填空题(每题5分,共50分)
1.已知集合A=22{|log (1)0,}x x x x R -->∈,B=1{|221,}x x x x R -->∈,则A R eB= . 2.设数x 满足x +
1x =?1,则300
3001x x
+= .
3.圆ρ=θ?5cos θ的圆心的极坐标为 ,其中[0,2)θπ∈.
4.设抛物线y=2x 2+2ax+a 2与直线y=x+1交于A ,B 两点, 当|AB|最大时,a = .
5.计算:n →∞
= .
6.化简:l+3+6+…+
(1)
2
n n += . 7.一个班有20个学生,其中有3个女生,抽4个人去参观展览馆,恰好抽到l 个女生的概率为 . 8.写出3
1000
在十进制中的最后4位 .
9.设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+220021x f x +??
?-??
=4015?x(x≠1), 则f(2004)= .
10.函数y =
1sin 2cos x
x
++的最大值是 .
二、解答(本大题共70分)
1.在四分之一个椭圆22
221(0,0,,0)x y x y a b a b
+=>>>上取一点P,使过点P 椭圆的切线与坐标轴所成
的三角形的面积最小.
2.在ABC ?中,已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =,求AC
AB
.
3.在单位正方体ABCD ?1111A B C D 中, E 、F 、G 分别是AD 、A 1A 、1A 1B 的中点,求: (l)点B 到面EFG 的距离;(2)二而角G ?EF ?1D 的平面角θ.
4=3的实数根.
5.已知sin cos (0a a αα+=≤≤,求sin cos n
n
αα+关于a 的表达式.
6.设直线l 与双曲线xy=l 交于P 、Q 两点,直线l 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,求证:|AP|=|BQ|.
7.已知定义在R 上的函数f(x)=442x x +,121n n S f f f n n n -??
??
??=+
++ ? ? ???
????
,n=1,2,3?,
(1)求S n ;(2)是否存在常数M>0对,对任意2n ≥,有231
111
n M S S S ++++≤ ?
2005年名牌大学自主招生考试试题(2)
适用高校:上海交通大学
一、填空题(每题5分,共50分)
1.已知方程2
2
12x px p
--
=0(p R ∈)的两根12,x x
满足44
122x x +≤,则p= . 2.设88
41sin cos ,0,1282x x x π??
+=
∈ ???
,则x= . 3.已知,n Z ∈且1
2004
11112004n n +??
?
?+=+ ?
?????
,则n= .
4.如图,将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分,将这6部分接在一个边长为
6的正六边形上,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图.则该多面体的体积为 .
第4题图
5,,x y Q =
∈则(x,y)= .
6.化简:()()
1
2
2222
246812n n +-+-++- = .
7,若3z =1,且z ∈C ,则3z +22
z +2z+20= .
8.一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 . 9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ,恰好只有一封信装错的率为 . 10.已知等差数列{a n }中,a 3+a 7+a 11+a 19=44,则a 5+a 9+a 16= 二、解答题(本大题共50分)
1.已知方程x 3+ax 2+bx +c =0的三根分别为a 、b 、c ,且a 、b 、c 是不全为零的有理数,求a 、b 、c 的值. 2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得 (l)最大角是最小角的两倍? (2)最大角是最小角的三倍?
若存在,分别求出该三角形;若不存在,请说明理由.
3.已知函数y=22
81
ax x b
x +++的最大值为9,最小值为1.求实数a 、b 的值
4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式(假设贷款时间为2年).
5.对于数列{}n a :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ,s ,t ,使得对于任意正整数
n, 都有n a r t =+恒成立([x]表示不超过x 的最大整数)?
2006年名牌大学自主招生考试试题(l)
适用高校:复旦大学
选择题(共150分,每题5分,答对得5分,答错例扣2分,不答得0分)
1.在(x 2?
1x
)10
的展开式中系数最大的项是_____. A .第4、6项 B .第5、6项 C .第5、7项 D .第6、7项
2.设函数y=? (x)对一切实数x 均满足? (5+x)=?(5?x),且方程? (x)=0恰好有6个不同的实根,则这6个实根的和为____.
A .10
B .12
C .18
D .30 3.若非空集合X={x |a+1≤x≤3a?5},Y={x |1≤x≤16},则使得X ?X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.
A .{a |0≤a≤7}
B .{a |3≤a≤7}
C .{a |a≤7}
D .空集 4.设z 为复数,E={z |(z ?1)2=|z ?1|2},则下列_ __是正确的 A .E={纯虚数} B .E={实数} C .{实数}?
E ?{复数} D .E={复数}
5.把圆x 2
+(y ?1)2
=1与椭圆x 2
+2
(1)9
y +=1的公共点,用线段连接起来所得到的图形为_____.
A .线段
B .等边三角形
C .不等边三角形
D .四边形
6.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小是___.
A .60°
B .75°
C .90°
D .105°
A .58
B .60
C .62
D .64
8.若向量a +3b 垂直于向量7a ?5b ,并且向量a ?4b 垂直于向量7a ?2b ,则向量a 与b
的夹角为
___ ___.
A .
2π; B .3π; C .4π; D .6
π. 9.复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛,共有十人参赛,其中一班有三位,二班有两
位,其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.
A .
120 B .140 C .160 D .190
10.已知sin α,cos α是关于x 的方程x 2?αx+α=0的两个根,这里α∈R.则3
sin α+3cos α=___.
A .?1
B .
C .?
D .2
11.设z 1,z2为一对共轭复数,如果|z 1?z 2
1
22
z z 为实数,那么|z 1|=|z 2|=____. A
B .2
C .3 D
12.若四面体的一条棱长是x ,其余棱长都是1,体积是V(x),则函数V(x)在其定义域上为____. A .增函数但无最大值 B .增函数且有最大值 C .不是增函数且无最大值 D .不是增函数但有最大值 13.下列正确的不等式是____. A .
16<
120
k =; B .
18<120
1k =; C .
20<
120
k =; D .
22<1201
k =14.设{αn }是正数列,其前n 项和为S n ,满足:对一切n ∈Z +,αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项,则lim
n
x n
→∞α=______.
A .0
B .4
C .12
D .100
15.已知x 1,x 2是方程x 2?(α?2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根,则x 12+x 22的最大值为______. A .18 B .19 C .20 D .不存在 16
.条件乙:sin
2
θ+cos 2θ
=α.则下列________是正确的.
A .甲是乙的充分必要条件
B .甲是乙的必要条件
C .甲是乙的充分条件
D .甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 17.已知函数?(x)的定义域为(0,1),则函数g(x)= ?(x+c)+?(x?c)在0 1 2 时的定义域为____. A .(?c,1+c); B .(1?c,c); C .(1+c,?c); D .(c,1?c); 18.函数 ____. A .y min =54- ,y max =54; B .无最小值,y max =54; C .y min =5 4 -,无最大值 D .既无最小值也无最大值 19.等差数列{αn }中,α5<0,α6>0且α6>|α5|,S n 是前n 项之和,则下列___是正确的. A .S 1,S 2,S 3均小于0,而S 4,S 5,…均大于0 B .S 1,S 2,…,S 5均小于0,而S 6,S 7,…均大于0 C .S 1,S 2,…,S 9均小于0,而S 10,S 11,…均大于0 D .S 1,S 2,…,S 10均小于0,而S 11,S 12,…均大于0 20.已知角θ的顶点在原点,始边为x 轴正半轴,而终边经过点 Q(y),(y≠0),则角θ的终边所在的象限为___. A .第一象限或第二象限 B .第二象限或第三象限 C .第三象限或第四象限 D .第四象限或第一象限 21.在平面直角坐标系中,三角形△ABC 的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(?5,?2),则∠A 的平分线所在直线的方程为_____. A .7x ?y ?17=0; B .2x+y+3=0; C .5x+y ?6=0; D .x ?6y=0. 22.对所有满足1≤n≤m≤5的m ,n ,极坐标方程1 1cos n m C θ ρ= -表示的不同双曲线条数为_____. A .6 B .9 C .12 D .15 23.设有三个函数,第一个是y=?(x),它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称,则第三个函数是______. A .y=??(x); B .y=??(?x); C .y=???1(x); D .y=???1(?x); 24.设?(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,?(x)=x ,则当x ∈[?2,0]时,?(x)的解析式为_____. A .x+4; B .2?x; C .3?|x+1|; D .2+|x+1|. 25.已知α,b 为实数,满足(α+b )59=?1,( α?b)60=1,则α59+α60+b 59+b 60=_____. A .?2 B .?1 C .0 D .1 26.设αn 是(2 n 的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则极限2323 222lim()n x n →∞+++ααα…=________. A .15 B .6 C .17 D .8 27.设x 1,x 2∈(0, 2 π ),且x 1≠x 2,不等式成立的有 (1) 1 2(tanx 1+tanx 2)>tan 122x x +; (2) 1 2(tanx 1+tanx 2) (3)12 (sinx 1+sinx 2)>sin 122x x +; (4) 1 2(sinx 1+sinx 2)>sin 122 x x + A .(1),(3) B .(1),(4) C .(2),(3) D .(2),(4) 28.方程?(x)=2 1 3 22 2123333235 x x x x x x x x x ---------=0的实根的个数为_______. A .1个 B .2个 C .3个 D .无实根 29.如图所示,半径为r 的四分之一的圆ABC 上,分别以AB 和AC 为直径作两个半圆,分别标有α的阴影部分面积和标有b 的阴影部分面积,则这两部分面积α和b 有_____. A .α>b B .α C .α=b D .无法确定 C B A b a 30.设a ,b 是不共线的两个向量.已知PQ =2a +k b ,QR =a +b ,RS =2a ?3b .若P ,Q ,S 三点共 线,则k 的值为_____. A .?1; B .?3; C .43- ; D .35 -; 2006年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:上海交通大学 一、填空题(每题5分,共50分) 1.矩形ABCD 中,AD =a ,AB =b ,过A 、C 作相距为h 的平行线AE 、CF ,则AF =____. 2.一个正实数与它的整数部分,小数部分成等比数列,那么这个正实数是 _________. 3.2005!的末尾有连续________个零. 4.210(2)x x -+展开式中,3 x 项的系数为__________. 5.在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为 ,,,90αβγαβγ++=?且,则塔高为______________. 6.三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为_____________;在一次游戏中,甲获胜的概率为___________. 7 .函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增,则实数a 的取值范围是________. 8.51x ω=是的非实数根,2(1)(1)ωωω++=_____________. 9.2张100元,3张50元,4张10元人民币,共可组成_______种不同的面值. 10.已知2 !(1)!(2)! k k a k k k += ++++,则数列{}n a 前100项和为___________. 二、解答题(第11题8分,第12、13、14题每题10分,第15题12分) 11.a ,b ,c ∈R ,abc ≠0,b ≠c ,a (b -c)x 2+b (c -a )x +c (a -b )=0有两个相等根,求证:111 ,,a b c 成等差数列. 12.椭圆22 21(1)x y a a +=>,一顶点A (0,1),是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直 角三角形,若存在,求出共有几个,若不存在,请说明理由. 13.已知|z |=1,k 是实数,z 是复数,求|z 2+kz +1|的最大值. 14.若函数形式为(,)()()()(),(),()f x y a x b y c x d y a x c x =+其中为关于x 的多项式,(),()b y d y 为关于y 的多项式,则称(,)f x y 为P 类函数,判断下列函数是否是P 类函数,并说明理由. (1) 1+xy ; (2) 1+xy+x 2y 2. 15.设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程. 2006年名牌大学自主招生考试试题(3) 适用高校:北京大学 解答题(本大题共200分) 1.(本题20分)求和 (1)7+77+777+?+7 7777n 个 (2)2005+20052005+200520052005+?+200520052005n 个2005 2.(本题15分)试构造函数f(x)、g(x),使其定义域都为(0,1),值域都为[0,1],且 (1)对于任意[0,1],()a f x a ∈=只有一解; (2)对于任意[0,1],()a g x a ∈=有无穷多个解. 3.(本题15分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数. 4.(本题15分)对于任意* n N ∈,12,,,n x x x 均为非负实数,且121 2 n x x x +++≤ ,试用数学归纳法证明:121 (1)(1)(1)2 n x x x ---≥ 成立. 5.(本题20分)求证:()()() () 22220122n n n n n n n C C C C C ++++= 6.(本题20分)当实数a 、b 满足何条件时,可使22122 x ax b x x ++<++恒成立? 7.(本题20分)下列各式能否在实数范围内分解因式?若能,请作出分解;若不能,请说明理由. (1)x +1;(2)2 1x x ++; (3) 3 2 1x x x +++;(4) 4 3 2 1x x x x ++++. 8.(本题20分)解三角方程:asin(x +4 π )=sin2x +9,其a 为实常数. 9.(本题20分)已知曲线C:2 214 x y +=, 曲线C 关于直线y=2x 对称的曲线为曲线C’,曲线C’与曲线C”关于直线y =?1 2 x+5对称,求曲线C’、C”的方程. 2006年名牌大学自主招生考试试题(4) 适用高校:清华大学 解答题(本大题共100分) 1.(本题10分)求最小正整数n ,使得n i I )3 212 1(+=为纯虚数,并求出I . 2.(本题10分)已知b a 、为非负数,44,1M a b a b =++=,求M 的最值. 3.(本题10分)已知sin sin cos θαθ、 、为等差数列,sin sin cos θβθ、、为等比数列,求1 cos 2cos 22 αβ-的值. 4.(本题10分)求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积. 5.(本题15分)随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数. 6.(本题15分)2 y x =上一点P (非原点),在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、,求PQ PR . 7.(本题15分)已知)(x f 满足:对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?,且1)(≤x f ,求证:)(x f 恒为零. (可用以下结论:若M x f x g x ≤=∞ →)(,0)(lim ,M 为一常数,那么0))()((lim =?∞ →x g x f x ) 8. (本题15分)已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角,它们所对的边分别a 、b 、c,求证: 2cos cos 4sin 2 a A B C b c ++ ≥+. (在所有定周长的空间四边形ABCD 中,求对角线AC 和BD 的最大值,并证明?) 2007年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:复旦大学 选择题(每题5分,共150分,答对得5分,答错扣2分,不答得0分) 1.三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有 个. A.20 B.26 C.30 D.36 2.若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb ,则lg(a ?1)+lg(b ?1)= . A.lg2 B.1 C.不是与a 、b 无关的常数 D.0 3.已知z ∈C ,若∣z ∣=2-4i ,则z 1 的值是 . A .3+4i B.i 5453+ C. i 154153+ D.i 25 4 253- 4.已知函数f(x)=cos(x k 2316++π)+cos(x k 2316--)=23sin(x 23 +π ),其中x 为实数且k 为整数.则f(x)的最小正周期为 . A . 3π B. 2 π C.π D.2π 5.已知A ={(x,y)∣y≥x 2},B={(x,y)∣x 2+(y ?a)2≤1}.则使A∩B =B 成立的充分必要条件为 . A.a= 45 B.a≥4 5