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2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案)

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2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)(无答案)

2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题

2004年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校:复旦大学

一、填空题(每题8分,共80分)

1.设842421(1)(1)x x x ax +=+++,则a= . 2.已知|5x+3|+|5x ?4|=7,则x 的取值范围是 .

3.椭圆22

1169

x y +=内接矩形的周长最大值是 .

4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有 种取法. 5.已知等比数列{}n a 中a 1=3, ,且第l 项至第8项的几何平均数为9,则第3项为 . 6.若2(1)0x a x a -++<的所有整数解之和为27,则实数a 的取值范围是 .

7.己知

22(4)149

x y -+=,则22

49x y +的最大值为 . 8.设x 1、x 2是方程2

x ?xsin 35π+cos 35

π=0的两个实数解,那么arctanx 1+ arctanx 2= .

9.方程3

z z =的非零解是 . 10.方程112

x x

y -+=的值域是 .

二、解答题(每题15分,共120分)

1.解方程: 5log (1x =.

2.已知12sin(),13αβ+=4sin(),5αβ-=-且0,0,,2

π

αβαβ>>+<求tan 2α.

3.已知过两抛物线C1:x+1=(y?1)2,及C2:(y?1)2=?4x?a+11的一个交点的两条切线互相垂直,求a的值.

4.若存在M,使任意x∈D(D为函数f(x)的定义域),都有|f(x)|≤M.则称函数f(x)有界,函数f(x)=11 sin x x

1

0,

2

x

??

∈ ?

??

上是否有界?

5.求证:

13

+<

.

6.已知E是棱长为a的正方体

1111

ABCD A BC D

-的棱AB的中点,求点B到平面

1

A EC的距离.

7.比较

24

log25与

25

log26的大小,并说明理由.

8.已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166n n n b a b +=+,又12a =,14b =, 求:(1) ,,n n a b ;(2)1im lim

n

n n

a b →∞.

2004年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校:上海交通大学

一、填空题(每题4分,共40分)

1.已知x 、y 、z 是作负整数,且x+y+z=10,x+2y+3z=30,则x+5y+3z 的取值范围是 . 2.长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形,则矩形面积的最大值是 .

3

.函数02y x π?

=≤≤

??

的值域是 . 4.已知三角形又边的长a 、b 、c 均为正整数,且a ≤b ≤c ,b=n ,则满足条件的三角形r 的个数为 5.设x 2+ax+b 和x 2+bx+c 的最大公因式为x+1,最小公倍式为x 3+(c ?1)x 2+(b+3)x+d ,则(a,b.c,d)= 6.已知

1a ≤≤

||x =的相异实根的个数是 .

7.整数(

)

818

2004

7

36+的个位数是 .

8.已知数列{a n }满足a 1=l,a 2=2,且2132n n n a a a ++=-,则2004a = .

9.在n×n 的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 .

10.已知67xyzabc abcxyz =,则xyzabc = .

二、解答题(本大题共60分)

1.已知矩形的长、宽分别为a 、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.

2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a ∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:?:a,求二项式的次数与a 的值,以及各项的二项式系数.

3.已知f(x)=432(58)69ax x a x x a ++-+- ,证明: (1)恒有实数x,使f(x)=0,

(2)存在实数x ,使f(x)的值恒不为0.

4.已知f 1(x )=11x

x

-+ ,对于一切正整数n ,都有11()[()],n n f x f f x += 且366()()f x f x =,求28()f x .

5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.

6.已知{n a }是公差为6的等差数列,11n n n b a a ++=-(n ∈N+). (l)用a 1、b 1、n 表示数{n a }的通项公式;

(2)若a 1=b 1=a ,a ∈[27,33],求a n 的最小值及取最小值时n 的值.

2005年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校:复旦大学

一、填空题(每题5分,共50分)

1.已知集合A=22{|log (1)0,}x x x x R -->∈,B=1{|221,}x x x x R -->∈,则A R eB= . 2.设数x 满足x +

1x =?1,则300

3001x x

+= .

3.圆ρ=θ?5cos θ的圆心的极坐标为 ,其中[0,2)θπ∈.

4.设抛物线y=2x 2+2ax+a 2与直线y=x+1交于A ,B 两点, 当|AB|最大时,a = .

5.计算:n →∞

= .

6.化简:l+3+6+…+

(1)

2

n n += . 7.一个班有20个学生,其中有3个女生,抽4个人去参观展览馆,恰好抽到l 个女生的概率为 . 8.写出3

1000

在十进制中的最后4位 .

9.设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+220021x f x +??

?-??

=4015?x(x≠1), 则f(2004)= .

10.函数y =

1sin 2cos x

x

++的最大值是 .

二、解答(本大题共70分)

1.在四分之一个椭圆22

221(0,0,,0)x y x y a b a b

+=>>>上取一点P,使过点P 椭圆的切线与坐标轴所成

的三角形的面积最小.

2.在ABC ?中,已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =,求AC

AB

.

3.在单位正方体ABCD ?1111A B C D 中, E 、F 、G 分别是AD 、A 1A 、1A 1B 的中点,求: (l)点B 到面EFG 的距离;(2)二而角G ?EF ?1D 的平面角θ.

4=3的实数根.

5.已知sin cos (0a a αα+=≤≤,求sin cos n

n

αα+关于a 的表达式.

6.设直线l 与双曲线xy=l 交于P 、Q 两点,直线l 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,求证:|AP|=|BQ|.

7.已知定义在R 上的函数f(x)=442x x +,121n n S f f f n n n -??

??

??=+

++ ? ? ???

????

,n=1,2,3?,

(1)求S n ;(2)是否存在常数M>0对,对任意2n ≥,有231

111

n M S S S ++++≤ ?

2005年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校:上海交通大学

一、填空题(每题5分,共50分)

1.已知方程2

2

12x px p

--

=0(p R ∈)的两根12,x x

满足44

122x x +≤,则p= . 2.设88

41sin cos ,0,1282x x x π??

+=

∈ ???

,则x= . 3.已知,n Z ∈且1

2004

11112004n n +??

?

?+=+ ?

?????

,则n= .

4.如图,将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分,将这6部分接在一个边长为

6的正六边形上,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图.则该多面体的体积为 .

第4题图

5,,x y Q =

∈则(x,y)= .

6.化简:()()

1

2

2222

246812n n +-+-++- = .

7,若3z =1,且z ∈C ,则3z +22

z +2z+20= .

8.一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 . 9. 4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ,恰好只有一封信装错的率为 . 10.已知等差数列{a n }中,a 3+a 7+a 11+a 19=44,则a 5+a 9+a 16= 二、解答题(本大题共50分)

1.已知方程x 3+ax 2+bx +c =0的三根分别为a 、b 、c ,且a 、b 、c 是不全为零的有理数,求a 、b 、c 的值. 2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得 (l)最大角是最小角的两倍? (2)最大角是最小角的三倍?

若存在,分别求出该三角形;若不存在,请说明理由.

3.已知函数y=22

81

ax x b

x +++的最大值为9,最小值为1.求实数a 、b 的值

4.已知月利率为y,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式(假设贷款时间为2年).

5.对于数列{}n a :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ,s ,t ,使得对于任意正整数

n, 都有n a r t =+恒成立([x]表示不超过x 的最大整数)?

2006年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校:复旦大学

选择题(共150分,每题5分,答对得5分,答错例扣2分,不答得0分)

1.在(x 2?

1x

)10

的展开式中系数最大的项是_____. A .第4、6项 B .第5、6项 C .第5、7项 D .第6、7项

2.设函数y=? (x)对一切实数x 均满足? (5+x)=?(5?x),且方程? (x)=0恰好有6个不同的实根,则这6个实根的和为____.

A .10

B .12

C .18

D .30 3.若非空集合X={x |a+1≤x≤3a?5},Y={x |1≤x≤16},则使得X ?X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.

A .{a |0≤a≤7}

B .{a |3≤a≤7}

C .{a |a≤7}

D .空集 4.设z 为复数,E={z |(z ?1)2=|z ?1|2},则下列_ __是正确的 A .E={纯虚数} B .E={实数} C .{实数}?

E ?{复数} D .E={复数}

5.把圆x 2

+(y ?1)2

=1与椭圆x 2

+2

(1)9

y +=1的公共点,用线段连接起来所得到的图形为_____.

A .线段

B .等边三角形

C .不等边三角形

D .四边形

6.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小是___.

A .60°

B .75°

C .90°

D .105°

A .58

B .60

C .62

D .64

8.若向量a +3b 垂直于向量7a ?5b ,并且向量a ?4b 垂直于向量7a ?2b ,则向量a 与b

的夹角为

___ ___.

A .

2π; B .3π; C .4π; D .6

π. 9.复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛,共有十人参赛,其中一班有三位,二班有两

位,其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.

A .

120 B .140 C .160 D .190

10.已知sin α,cos α是关于x 的方程x 2?αx+α=0的两个根,这里α∈R.则3

sin α+3cos α=___.

A .?1

B .

C .?

D .2

11.设z 1,z2为一对共轭复数,如果|z 1?z 2

1

22

z z 为实数,那么|z 1|=|z 2|=____. A

B .2

C .3 D

12.若四面体的一条棱长是x ,其余棱长都是1,体积是V(x),则函数V(x)在其定义域上为____. A .增函数但无最大值 B .增函数且有最大值 C .不是增函数且无最大值 D .不是增函数但有最大值 13.下列正确的不等式是____. A .

16<

120

k =; B .

18<120

1k =; C .

20<

120

k =; D .

22<1201

k =14.设{αn }是正数列,其前n 项和为S n ,满足:对一切n ∈Z +,αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项,则lim

n

x n

→∞α=______.

A .0

B .4

C .12

D .100

15.已知x 1,x 2是方程x 2?(α?2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根,则x 12+x 22的最大值为______. A .18 B .19 C .20 D .不存在 16

.条件乙:sin

2

θ+cos 2θ

=α.则下列________是正确的.

A .甲是乙的充分必要条件

B .甲是乙的必要条件

C .甲是乙的充分条件

D .甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 17.已知函数?(x)的定义域为(0,1),则函数g(x)= ?(x+c)+?(x?c)在0

1

2

时的定义域为____. A .(?c,1+c); B .(1?c,c); C .(1+c,?c); D .(c,1?c); 18.函数

____.

A .y min =54-

,y max =54; B .无最小值,y max =54; C .y min =5

4

-,无最大值 D .既无最小值也无最大值

19.等差数列{αn }中,α5<0,α6>0且α6>|α5|,S n 是前n 项之和,则下列___是正确的. A .S 1,S 2,S 3均小于0,而S 4,S 5,…均大于0 B .S 1,S 2,…,S 5均小于0,而S 6,S 7,…均大于0 C .S 1,S 2,…,S 9均小于0,而S 10,S 11,…均大于0 D .S 1,S 2,…,S 10均小于0,而S 11,S 12,…均大于0

20.已知角θ的顶点在原点,始边为x 轴正半轴,而终边经过点

Q(y),(y≠0),则角θ的终边所在的象限为___.

A .第一象限或第二象限

B .第二象限或第三象限

C .第三象限或第四象限

D .第四象限或第一象限

21.在平面直角坐标系中,三角形△ABC 的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(?5,?2),则∠A 的平分线所在直线的方程为_____.

A .7x ?y ?17=0;

B .2x+y+3=0;

C .5x+y ?6=0;

D .x ?6y=0. 22.对所有满足1≤n≤m≤5的m ,n ,极坐标方程1

1cos n

m C θ

ρ=

-表示的不同双曲线条数为_____. A .6 B .9 C .12 D .15

23.设有三个函数,第一个是y=?(x),它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称,则第三个函数是______.

A .y=??(x);

B .y=??(?x);

C .y=???1(x);

D .y=???1(?x);

24.设?(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,?(x)=x ,则当x ∈[?2,0]时,?(x)的解析式为_____.

A .x+4;

B .2?x;

C .3?|x+1|;

D .2+|x+1|. 25.已知α,b 为实数,满足(α+b )59=?1,( α?b)60=1,则α59+α60+b 59+b 60=_____. A .?2 B .?1 C .0 D .1

26.设αn 是(2

n

的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则极限2323

222lim()n

x n →∞+++ααα…=________.

A .15

B .6

C .17

D .8 27.设x 1,x 2∈(0,

2

π

),且x 1≠x 2,不等式成立的有 (1)

1

2(tanx 1+tanx 2)>tan 122x x +; (2) 1

2(tanx 1+tanx 2)

(3)12

(sinx 1+sinx 2)>sin 122x x +; (4) 1

2(sinx 1+sinx 2)>sin 122

x x +

A .(1),(3)

B .(1),(4)

C .(2),(3)

D .(2),(4) 28.方程?(x)=2

1

3

22

2123333235

x x x x x x x x x ---------=0的实根的个数为_______.

A .1个

B .2个

C .3个

D .无实根

29.如图所示,半径为r 的四分之一的圆ABC 上,分别以AB 和AC 为直径作两个半圆,分别标有α的阴影部分面积和标有b 的阴影部分面积,则这两部分面积α和b 有_____.

A .α>b

B .α

C .α=b

D .无法确定

C

B

A

b

a

30.设a ,b 是不共线的两个向量.已知PQ =2a +k b ,QR =a +b ,RS

=2a ?3b .若P ,Q ,S 三点共

线,则k 的值为_____.

A .?1;

B .?3;

C .43-

; D .35

-;

2006年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校:上海交通大学

一、填空题(每题5分,共50分) 1.矩形ABCD 中,AD =a ,AB =b ,过A 、C 作相距为h 的平行线AE 、CF ,则AF =____.

2.一个正实数与它的整数部分,小数部分成等比数列,那么这个正实数是

_________.

3.2005!的末尾有连续________个零.

4.210(2)x x -+展开式中,3

x 项的系数为__________.

5.在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为

,,,90αβγαβγ++=?且,则塔高为______________.

6.三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为_____________;在一次游戏中,甲获胜的概率为___________.

7

.函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增,则实数a 的取值范围是________. 8.51x ω=是的非实数根,2(1)(1)ωωω++=_____________.

9.2张100元,3张50元,4张10元人民币,共可组成_______种不同的面值. 10.已知2

!(1)!(2)!

k k a k k k +=

++++,则数列{}n a 前100项和为___________.

二、解答题(第11题8分,第12、13、14题每题10分,第15题12分) 11.a ,b ,c ∈R ,abc ≠0,b ≠c ,a (b -c)x 2+b (c -a )x +c (a -b )=0有两个相等根,求证:111

,,a b c

成等差数列.

12.椭圆22

21(1)x y a a

+=>,一顶点A (0,1),是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直

角三角形,若存在,求出共有几个,若不存在,请说明理由.

13.已知|z |=1,k 是实数,z 是复数,求|z 2+kz +1|的最大值.

14.若函数形式为(,)()()()(),(),()f x y a x b y c x d y a x c x =+其中为关于x 的多项式,(),()b y d y 为关于y 的多项式,则称(,)f x y 为P 类函数,判断下列函数是否是P 类函数,并说明理由. (1) 1+xy ; (2) 1+xy+x 2y 2.

15.设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程.

2006年名牌大学自主招生考试试题(3)

适用高校:北京大学

解答题(本大题共200分) 1.(本题20分)求和

(1)7+77+777+?+7

7777n

个 (2)2005+20052005+200520052005+?+200520052005n 个2005

2.(本题15分)试构造函数f(x)、g(x),使其定义域都为(0,1),值域都为[0,1],且 (1)对于任意[0,1],()a f x a ∈=只有一解;

(2)对于任意[0,1],()a g x a ∈=有无穷多个解.

3.(本题15分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数.

4.(本题15分)对于任意*

n N ∈,12,,,n x x x 均为非负实数,且121

2

n x x x +++≤

,试用数学归纳法证明:121

(1)(1)(1)2

n x x x ---≥

成立.

5.(本题20分)求证:()()()

()

22220122n n n

n

n

n

n C C C C

C ++++=

6.(本题20分)当实数a 、b 满足何条件时,可使22122

x ax b

x x ++<++恒成立?

7.(本题20分)下列各式能否在实数范围内分解因式?若能,请作出分解;若不能,请说明理由. (1)x +1;(2)2

1x x ++; (3) 3

2

1x x x +++;(4) 4

3

2

1x x x x ++++.

8.(本题20分)解三角方程:asin(x +4

π

)=sin2x +9,其a 为实常数.

9.(本题20分)已知曲线C:2

214

x y +=, 曲线C 关于直线y=2x 对称的曲线为曲线C’,曲线C’与曲线C”关于直线y =?1

2

x+5对称,求曲线C’、C”的方程.

2006年名牌大学自主招生考试试题(4) 适用高校:清华大学

解答题(本大题共100分)

1.(本题10分)求最小正整数n ,使得n i I )3

212

1(+=为纯虚数,并求出I .

2.(本题10分)已知b a 、为非负数,44,1M a b a b =++=,求M 的最值.

3.(本题10分)已知sin sin cos θαθ、

、为等差数列,sin sin cos θβθ、、为等比数列,求1

cos 2cos 22

αβ-的值.

4.(本题10分)求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积.

5.(本题15分)随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.

6.(本题15分)2

y x =上一点P (非原点),在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、,求PQ PR

7.(本题15分)已知)(x f 满足:对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?,且1)(≤x f ,求证:)(x f 恒为零.

(可用以下结论:若M x f x g x ≤=∞

→)(,0)(lim ,M 为一常数,那么0))()((lim =?∞

→x g x f x )

8. (本题15分)已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角,它们所对的边分别a 、b 、c,求证:

2cos cos 4sin 2

a A

B C b c ++

≥+. (在所有定周长的空间四边形ABCD 中,求对角线AC 和BD 的最大值,并证明?)

2007年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:复旦大学

选择题(每题5分,共150分,答对得5分,答错扣2分,不答得0分)

1.三边均为整数,且最大边长为11的三角形,共有 个. A.20 B.26 C.30 D.36

2.若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb ,则lg(a ?1)+lg(b ?1)= . A.lg2 B.1 C.不是与a 、b 无关的常数 D.0

3.已知z ∈C ,若∣z ∣=2-4i ,则z

1

的值是 . A .3+4i B.i 5453+ C.

i 154153+ D.i 25

4

253- 4.已知函数f(x)=cos(x k 2316++π)+cos(x k 2316--)=23sin(x 23

),其中x 为实数且k 为整数.则f(x)的最小正周期为 .

A .

3π B. 2

π

C.π

D.2π 5.已知A ={(x,y)∣y≥x 2},B={(x,y)∣x 2+(y ?a)2≤1}.则使A∩B =B 成立的充分必要条件为 . A.a=

45 B.a≥4

5

C.0

D.a≥1 6.已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ,在AB 和BC 上分别取D ,E 两点使得AD =BE =

3a

,连接A ,E 两点以及C ,D 两点.则AE 和CD 之间的最小夹角为 . A. 9πa B. 3πa C. 3

π D.以上均不对

7.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4,(n≥1),且a 1=9, 其前n 项之和为S n ,则满足不等式∣S n ?n ?6∣<

125

1

的最小整数是

4

5

. A.6 b.7 C.8 D.9

8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使用一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法的总数为 .

A.120

B.260

C.340

D.420

9.设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球,且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3.已知从甲袋中摸到红球的概率为31,而将甲乙两个袋子中的球装在一起后,从中摸到红球的概率为3

2

.则从乙袋中摸到红球率为 .

A .

97 B. 4519 C. 30

13 D. 4522 10.方程f(x)=5

4342332221

23

21

---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 .

A .1个 B. 2个 C.3个 D.无实根 11.已知a,b 为实数,满足(a+b)59

=?1,(a ?b)60

=1,则∑=-60

1

)(n n n

b a

= .

A.0121

B.?49

C.0

D.23 12.a=

2

1

是“直线(a+2)x+3ay+1=0与直线(a ?2)x+(a+2)y ?3=0相互垂直”的 . A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

13.设函数y=f(x)对一切实数x 均满足f(2+x)=f(2?x),且方程f(x)=0恰好有7个不同的实根,则这7个不同实根的和为 .

A.0

B.10

C.12

D.14

14.已知α,β,γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan

2

β

α+=sinγ,则下列四个表达式:

(1)tan αt an β=1 (2)0

A.(1)(3)

B.(10(4)

C.(2)(3)

D.(2)(4)

15.设S n =1+2+…+n,n ∈N.则∞

→n lim

1

)32(2++n n

S n nS = .

A.2

B.

32

1 C. 161 D.64

16.复数z=i

i

a 212+-(a ∈R,i=1-)在复平面上对应的点不可能位于 .

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

17.已知f(x)=asinx+b 3x +4(a,b 为实数)且f [lg(lg 310)]=5,则f [lg(lg3)]= . A.?5 B.?3 C.3 D.随a,b 取不同值而取不同值 18.已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 是菱形,∠DAB =

3

π

,PD ⊥平面ABCD ,线段PD =AD ,点E 是AB 的中点,点F 是PD 的中点,则二面角P -AB -F 的平面角的余弦值= .

A .

21 B. 552 C. 1475 D. 14

73 19.在(32-)50的展开式中有 项为有理数.

A.10

B.11

C.12

D.13

20.棱长为a 的正方体内有两球互相外切,且两球各与正方体的三个面相切.则两球半径之和为为 .

A .无法确定 B.a C.

a 233- D.a 2

5

5- 21.在集合{1,2,…11}中任选两个作为椭圆方程122

22=+b

y a x 中的a 和b ,则能组成落在矩形区域

{(x,y)||x |<11,|y |<9}内的椭圆个数是 .

A.70

B.72 c.80 D.88

22.设a,b,c 为非负实数,且满足方程02562

684

495495=+?-++++c

b a c

b a ,则a+b+

c 的最大值和最

小值 .

A.互为倒数

B.其和为13

C.其乘积为4

D.均不存在

23.给定正整数n 和正常数a ,对于满足不等式a 12+a n+12≤a

的所有等差数列a 1,a 2,a 3,…,和式

∑++=1

21

1

n n i a

的最

大值= .

A .

)1(210+n a B.n a 210 C.)1(25+n a D.n a

2

5 24.设z 0(z 0≠0)为复平面上一定点,z 1为复平面上的动点,其轨迹方程为|z 1?z 0|=|z 1|,z 为复平面上另

一个动点满足z 1z=?1.则z 在复平面上的轨迹形状是 .

A.一条直线

B.以0

1

z -

为圆心,01z 为半径的圆

C.焦距为0

1

2

z 的双曲线 D.以上均不对 25.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a ,则这个球的体积为 . A.

3123a π B.343a π C. 3242a π D. 324

3a π 26.已知函数f(x)的定义域为(0,2),则函数g(x)=f(x+c)+f(x ?c) 在 0<2

1

时的定义域为 . A.(1?c,2+c) B.(c,2?c) C.(1?c,2?c) D.(c,2+c) 27.设函数f(x)=sin(2x+?),(?π

8

π

.则?的值为 . A.

4

π

B.

43π C.-4

3π D.2π 28.设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数.已知当x ∈[2,3]时,f(x)=?x,则当x ∈[-

2,0]时,f(x)的表达式为 .

A .?3+|x+1| B.2?|x+1| C.3?|x+1| D.2+|x+1|

29.当a 和b 取遍所有实数时,则函数f(a,b)=(a+5?3|cosb |)2+(a ?2)|sinb |)2所能达到的最小值为 .

A.1

B.2

C.3

D.4 30.对任意实数x,y,定义运算x oy 为x oy =ax+by+cxy ,其中a,b,c 为常数,且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算.已知1o2=3,2o3=4且有一个非零实数d ,使得对于任意实数x 均有x od=x ,则d= .

A.-4

B.-2

C.1

D.4

2007年上海交通大学冬令营数学试题 90分钟答题时间

填空题(每小题5分,共50分)

1. 设函数()f x 满足()()232361f x f x x +-=+,则()f x =_______________.

2. 设,,a b c 均为实数,且364a

b

==,则

11

a b

-=_______________. 3. 设0a >且1a ≠,则方程2

122x a x x a +=-++的解的个数为_______________.

4. 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为_______________.

5. 11!22!33!!n n ?+?+?++?= _______________.

6. 设不等式()()11x x y y -≤-与2

2

x y k +≤的解集分别为M 与N .若M N ü,则k 的最小值为

清华北大自主招生模拟试题(数学)

自主招生模拟试题--03 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ?-1,且A k ?+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】. A.5 B.6 C.7 D.8 2.若函数1463)(2 3 +++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】. A.2- B.0 C.1 D.2 3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】. A.12 B.18 C.24 D.36 4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为)12)(1(2 1 )(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害. 为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】. A.5 B.6 C.7 D.8 5.若ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是【 】. A.(0,)+∞ B.51(0, )2+ C.5151(,)22-+ D.51 (,)2 -+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】. A.55 B.89 C.109 D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x = --+--+的最大值为____________. 8.若函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________.

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一.选择题(每小题5分,共30分) 1.若M={(x ,y )| |tan πy |+sin 2πx=0},N={(x ,y )|x 2+y 2 ≤2},则M ∩N 的元素个数是( ) (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2.已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ,b 为实数),且f (lglog 310)=5,则f (lglg3)的值是( ) (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ,b 取不同值而取不同值 3.集合A ,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3},当A ≠B 时,(A ,B )与(B ,A )视为不同的对,则这样的(A ,B )对的个数是( ) (A )8 (B )9 (C )26 (D )27 4.若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ,当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,若c -a 等于AC 边上的高h ,则sin C -A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6.设m ,n 为非零实数,i 为虚数单位,z ∈C ,则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( ) 二、填空题(每小题5分,共30分) 1.二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

初中升高中-学校自主招生选拔考试-数学试题

数学试卷 一、选择题(30分) 1.在0,-2, 1,-3这四个数中,最小的数是( ). A .0 B .-2 C .1 D .-3 2. 函数中,自变量的取值范围是( ). A .x≥1 B .x≤1 C .x≥-1 D .x≤-1 3.把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( ). A . B . C . D . 4.如图,小红和小丽在操场上做游戏,她们先在地上画出一个圆圈,然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子,则投一次就正好投到圆圈内是( ). A .必然事件(必然发生的事件) B .不可能事件(不可能发生的事件) C .确定事件(必然发生或不可能发生的事件) D .不确定事件(随机事件) 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根,则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6.我们从不同的方向观察同一物体时,可以看到不同的平面图形,如图,从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A . B . C . D . 7.已知 ,我们又定义 ,, ,……,根据你观察的规律可推测出=( ). 1 0 1 0 1 0 1 0

A. B. C. D. 8.如图,在矩形中,M、N分别为边、边的中点, 将矩形沿折叠,使A点恰好落在上的点F处, 则∠的度数为( ). A.20°B.25 °C.30°D.36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况,从该年级学生中随机 抽取了4%的学生,对其参加的体育活动项目进行了调查,将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论:①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人;②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°;③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%;④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10.如图,等腰△中,∠90°,4,⊙C的半径为1,点P在斜边上,切⊙O于点Q,则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题(18分) 11.如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O

自主招生数学试卷(含答案)

中学自主招生数学试卷 一、选择题(共5小题,每题4分,满分20分) 1.(4分)下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+()2+2﹣1的结果相同的是() A.B.D. 2.(4分)如图,∠ACB=60°,半径为2的⊙O切BC于点C,若将⊙O在CB上向右滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为() A.2πB.4πC.2D.4 3.(4分)如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积,那么整数p的值可取多少个() A.4 B.5 C.6 D.8 4.(4分)小明、小林和小颖共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道,如果将其中只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多多少道() A.15 B.20 C.25 D.30 5.(4分)已知BD是△ABC的中线,AC=6,且∠ADB=45°,∠C=30°,则AB=() A.B.2C.3D.6 二、填空题(共6题,每小题5分,满分30分) 6.(5分)满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是. 7.(5分)已知三个非负实数a,b,c满足:3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1,若m=3a+b﹣7c,则m的最小值为. 8.(5分)如图所示,设M是△ABC的重心,过M的直线分别交边AB,AC于P,Q两

点,且=m,=n,则+=. 9.(5分)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个. 10.(5分)如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC=. 11.(5分)如图所示:两个同心圆,半径分别是和,矩形ABCD边AB,CD分别为两圆的弦,当矩形ABCD面积取最大值时,矩形ABCD的周长是. 三、简答题(共4小题,满分50分) 12.(12分)九年级(1)、(2)、(3)班各派4名代表参加射击比赛,每队每人打两枪,射中内环得50分,射中中环得35分,射中外环得25分,脱靶得0分.统计比赛结果,(1)班8枪全中,(2)班1枪脱靶,(3)班2枪脱靶,但三个班的积分完全相同,都是255分. 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由: 班级内环中环外环

近十年清华北大自主招生试题汇总

1.(2007清华) 对于集合2 M R ?(表示二维点集),称M 为开集,当且仅当0,0P M r ?∈?>,使得{}2 P R PP r M ∈?与集合{}(,)0,0x y x y ≥>?是否为开集,并证明你的结论。 2,(2009北大) 已知,cos cos 21x R a x b x ?∈+≥-恒成立,求max ()a b + 3,(2009清华) 已知,,0x y z >,a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。求证: 3a b c x y z ++≥。 4,(2006清华) 已知a ,b 为非负数,44M a b =+,a+b=1,求M 的最值。 5,(2008北大) 实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++,122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++,123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。求证:12312m a x (,, )m a x (,,)a a a b b b ≤。 6,(2009清华) 试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…,使得()0f x =有一根为 7,(2009清华) x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数,求证:222112n n n x y -+≥ 8,(2007北大) 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+,求f(1)+f(2)+…+f(50)。 9,(2006清华) 设正三角形1T 的边长为a ,1n T +是n T 的中点三角形,n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内

中学自主招生考试数学试卷试题

2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们,欢迎参加一六八中学自主招生考试,希望你们凝神静气,考出水平!开放的一六八中学热忱欢迎你们!本学科满分为120分,共17题;建议用时90分钟。 一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、计算= . 2、分解因式:= . 3、函数中,自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1,x2,…,x n的方差为1,则数据10x1+5,10x2+5,…,10x n+5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为(a, 0)(b, 0)(0, c),则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上,⊙、⊙的半径分别为2和1,=5,则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个. 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm, 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:

则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移,使平移后的图像过C(0,-2),交x轴于A、B两点,并且△ABC 的面积等于4,则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图,平行四边形ABCD中,P点是形内一点,且△P AB的面积等于8 cm2,△P AD的 面积等于7 cm2,,△PCB的面积等于12 cm2,则△PCD的面积是cm2. (第10题图)(第11题图) 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体,其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格,问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O,D、E分别是AB、AC的中点,延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分) 13、已知(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求:①a∶b∶c②

2019高中自主招生数学试题

2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明:(1)请各位同学注意,本试卷题目有一定的难度,你要根据自己的情况量力而行,争取用最短的时间获得最多的分数,提高自己的考试效率!考试,比的不仅是知识和能力,更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值,争取把会做的题目都做对,祝你取得好成绩! (2)请在背面的答题纸上作答。另外,答完题后注意保护好自己的答案,防止他人的不劳而获,要做到公平竞争! 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)。每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里,不填、多填或错填都得0分。 1.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图.图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ,B 点表示四月的平均最低气温约为5C o .下面叙述不 正确的是 A .各月的平均最低气温都在0C o 以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均气温高于20C o 的月份有5个 2.上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象,由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A .1x <-或5x > B .5x > C .15x -<< D .无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温

3.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A . 115 B . 815 C .18 D . 130 4.在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-,则ABC ?的面积为 A B C D 5.上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积... (表面面积,也叫全面积)为 A .20π B .24π C .28π D .32π 参考公式:圆锥侧面积S rl π=,圆柱侧面积2S rl π=,其中r 为底面圆的半径,l 为母线长. 6.如下图,在ABC ?中,AB AC =,D 为BC 的中点, BE AC ⊥于E ,交AD 于P ,已知3BP =,1PE =, 则AE = A B C D 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =,2c =,2cos 3 A =,则b = A B C .2 D .3 8.如下图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短..路径条数为 A .9 B .12 C .18 D .24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图

近年清华北大自主招生试题[1]

2010年北大自主招生试题(理科) 数学: 1.AB为正五边形边上的点,证明:AB最长为(根5+1)/2(25分) 2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点,求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。(25分) 3.向量OA与OB已知夹角,|OA|=1,|OB|=2,OP=tOA,OQ=(1-t)OB,|PQ|在t0是取得最小值,问当0

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一.选择题(36分,每小题6分) 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞,-1) (B) (-∞,1) (C) (1,+∞) (D) (3,+∞) 解:由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3,令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3,故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142,则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解:B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解:A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ,B 两点,该圆上点P ,使得⊿PAB 面积等于3,这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解:设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π ),即点P 1在第一象限的椭圆上,如图,考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方,显然在直线AB 的下方有两个点P ,故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50},若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象,且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100),则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解:不妨设b 1

2018年上中自主招生数学试卷及答案

2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解:326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法,有理根p c q = ,分子是常数项的因数,分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>,224a b ab +=,则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ,然后采用换元法;或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=,则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成;

4. 已知21()()()4b c a b c a -=--,且0a ≠,则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ,然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球(仅颜色不同),第一次从中取出一个球,记下颜 色后放回,摇匀,第二次从中取出一个球,则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9

【解析】难度简单,直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ,AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?, 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ,9AD =,12AB =,将纸片折叠,使A 、C 两点重合,折痕长是 【答案】 454 【解析】

8. 任给一个正整数n ,如果n 是偶数,就将它减半(即2 n ),如果n 是奇数,则将它乘以3 加1(即31n ),不断重复这样的运算,现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上 述规则施行变换(注:1可以多次出现)后的第八项为1,则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】

2013清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题.docx

2013 清华北大自主招生 测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题 (考试时间: 90 分钟,总分 100 分) 一、选择题:本大题共 6 小题.每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数,且 z 1 = 3, z 12 为实数,则 z 1-z 2 的值为 z 2 ( ) A . 3 B . 6 C .3 D .23 2. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上,点 Q 在曲线 x=1+y 2 上,则 PQ 的最小值为 () A .3 2 B .3 2 C . 3 2 D . 3 2 2 4 8 3. 在 ABC 中,三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = ( ) 5tan B A 。3 B 。4 C 。5 D 。6 4. 如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,∠ APC =60 °,则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为( ) A. 1 B. 1 7 7 C. 1 D. 1 P 2 2 D M C A B 5. 设 P 是函数 y=x+ 2 x>2 图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y=x 和 y x 轴作垂线,垂足分别为 A 、B ,则 PA PB = ( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2 6. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码,每周使用一种,且每

周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种,设第一周使 用 A 密码,则第七周也使用 A 密码的概率为()(用最简分数表示) A.43 B. 61 C. 48 D. 61 8124324381 选择题答题处: 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分) 7. 设函数f n x =x n1-x2在1 ,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2 (1)求数列 a n的通项公式; (2)求证:对任何正整数 n n 2 ,都有 a n1成立; 2 n+2 (3)设数列 a n的前 n 项和为S n,求证:对任意正整数 n ,都有S n<7 成16 立。

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一.集合与命题 (2) 二.不等式 (9) 三.函数 (20) 四.数列 (27) 五.矩阵、行列式、排列组合,二项式定理,概率统计 (31) 六.排列组合,二项式定理,概率统计(续)复数 (35) 七.复数 (39) 八.三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析: 交大: 题型:填空题10题,每题5分;解答题5道,每题10分; 考试时间:90分钟,满分100分; 试题难度:略高于高考,比竞赛一试稍简单; 考试知识点分布:基本涵盖高中数学教材高考所有内容,如:集合、函数、不等式、数列(包括极限)、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦: 题型:试题类型全部为选择题(四选一); 全考试时间:总的考试时间为3小时(共200道选择题,总分1000分,其中数学部分30题左右,,每题5分); 试题难度:基本相当于高考; 考试知识点分布:除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如:行列式、矩阵等; 考试重点:侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济: 题型:填空题8题左右,分数大约40分,解答题约5题,每题大约12分; 考试时间:90分钟,满分100分; 试题难度:基本上相当于高考; 考试知识点分布:常规高考内容 二、试题特点分析: 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示: 2. 注重数学知识和其它科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示: ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质,

最新全国高校自主招生数学模拟试卷一

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. 如图,在正四棱锥 P ?ABCD 中,∠APC =60°,则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为( ) A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是( ) A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3,3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于( ) A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立,则 a c b cos 的值等于( ) A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆,动圆P 与这两个定圆都相切,则圆P 的圆心轨迹不可能是 ( ) 6. 已知A 与B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与B 的元素个数相同,且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ,则集合A ∪B 的元素个数最多为( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7. 在平面直角坐标系内,有四个定点A (?3,0),B (1,?1),C (0,3),D (?1,3)及一个动点P ,则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6, 33=CA ,若2=?+?,则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1,以顶点A 为球心, 3 3 2为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d , b 1=d 2 ,且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数,则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ,则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方 格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作答)。 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) D P

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 . 4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 . 5.11!22!33!!n n ?+?+?++?= . 6.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N .若M N ?,则k 的最小值为 . 7 . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= . 8.设0a ≥,且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = . 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 . 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =,则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分,共50分)

11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当 10,4r mm h mm ==时,R 的值. 12.设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像. 13.已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:

自主招生考试试题解析——北大清华英语译古诗

北大清华自主招生用英语译古诗给歌曲挑语病 2009年第一天,北京大学、清华大学同时进行2009年保送生暨自主招生笔试、文艺特长生笔试。两校河南考点都设在郑州大学南校区,全省约400名学生参加了笔试。与高考不同,自主招生题目不仅灵活,而且“另类”,让考生们大呼“想不到”。 北大清华自主招生同时开考 1月1日上午9时,清华和北大自主招生、保送生考试同时在郑州大学南校区开考。 清华大学河南考区负责老师丁青青介绍,自2008年11月以来,全国共有1.3万名学生经过中学推荐和自我推荐的方式申请清华大学2009年保送生和自主招生,经过筛选,3000余名学生幸运地走进清华大学保送生与自主招生的考场。其中河南考生190余人。而今年报考北大自主招生的考生,全国超过了1.5万名,最终近4000人参加了考试,其中河南考生近200人。 清华的笔试有两天,1月1日上午进行的是中英文综合,下午文科考生考数学(文)和历史,理科考生考数学(理)和物理。2日上午考理科综合或文科综合。北大的笔试安排在1月1日,上午考语、数、外,下午文科考历史、政治,理科考物理、化学。每个科目分值100分,总分500分。 今年两校自主招生的优惠幅度都高于往年。北大自主招生比例将不再设定5%上限,招生比例预扩为10%左右,获得北大自主招生资格的学生优惠幅度扩大到降分30分以内。2009年清华大学认定的自主招生一般给予30分之内的优惠,对于有特殊潜能的考生,优惠幅度将不受30分限制。 清华:用英语翻译杜甫古诗 我省参加两所国内顶尖高校自主招生测试笔试的考生,都是来自我省各个高中的拔尖学生,不过今年两校的“怪题”却难倒了许多考生。 “清华的语文和英语在同一张卷子上,用英语来翻译古文,我还是头一次做这样的题。”中英文综合考完,来自郑州外国语学校的徐重说,考题里选了《汉书·艺文志》中的一段话,“小说家者流,盖处于稗官,街谈巷语,道听途说者之所造也……”先用中文解释其含义,再用英文概括其大意,并用英文评论其观点。 徐重说,古文他还勉强能翻译,但要再译成英文就太难了,“稗官”这样的词他实在不知道用英语怎么说。 在另一题中,还要求将杜甫的《旅夜书怀》翻译成英文。“把古诗翻译成英语,还要考虑押韵和工整的问题,对中英文的要求太高了。”考试结束,不少考生连连摇头,说很多题“太活”,从来没见过,“考得不好”。 北大:给《青花瓷》挑语病 和清华相比,北京大学的试题则紧扣“流行文化”。语文题中,要求给周杰伦《青花瓷》中的一句歌词“素坯勾勒出青花笔锋浓转淡,瓶身描绘的牡丹一如你初妆……”挑语病。“这首歌很多同学都会唱,但谁也没想过其中的语法有毛病。”来自洛阳一高的冯坤说,这些试题充分体现了北大的自由和人文色彩,看起来非常生活化,但想要答得好很难。

高中自主招生考试数学试卷

高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学: 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学,有雄厚的师资,优秀的学生,先进的育人理念,还有美丽的校园,相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试,请你仔细阅读下面的话: 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分,考试时间为70分钟。 2、答题时,应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上,请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题:(每个题目只有一个正确答案,每题4分,共32分) 1.计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是( ) A .2 B .2 C .1 D .3 2.如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D ''',图中阴影部分的面积为( ) A .313 - B . 33 C .314 - D . 12 3.已知b a ,为实数,且1=ab ,设11+++= b b a a M ,1 1 11++ +=b a N ,则N M ,的大小关系是( ) A .N M > B .N M = C .N M < D .无法确定 4. 一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程的 4 1 ,估计步行不能准时到达,于是他改乘出租车赶往考场,他的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1),则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A .20分钟 B.22分钟 C.24分钟 D .26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象( ) A. 向左移动1个单位,向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位,向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位,向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位,向下移动3个单位。 6.下列名人中:①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦,其中是数学家的是( ) A .①④⑦ B .②④⑧ C .②⑥⑧ D .②⑤⑥ 7.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品,这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示: 欲购买的 商品 原价(元) 优惠方式 A B C D B ' D C '

2010年北京大学自主招生数学试题(含详细答案)

2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学 三校联合自主招生考试试题 (数学部分) 1.(仅文科做)02 απ<< ,求证:sin tan ααα<<.(25分) 【解析】 不妨设()sin f x x x =-,则(0)0f =,且当02 x π<< 时,()1cos 0f x x '=->.于是 ()f x 在02x π << 上单调增.∴()(0)0f x f >=.即有sin x x >. 同理可证()tan 0 g x x x =->. (0)0g =,当02 x π<< 时,2 1()10 cos g x x '= ->.于是()g x 在02 x π<< 上单调增. ∴在02 x π<< 上有()(0)0g x g >=.即tan x x >. 注记:也可用三角函数线的方法求解. 2.AB 为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB 2 (25分) 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面 直角坐标系. ⑴当,A B 中有一点位于P 点时,知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ;当有一点位于O 点时,1 m ax AB O P PR =<; ⑵当,A B 均不在y 轴上时,知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取A 点关于y 轴的对称点A ',有AB A B '<). 不妨设A 位于线段2OR 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使A B 最大的B 点必位于线段PQ 上. 且当B 从P 向Q 移动时,A B 先减小后增大,于是max AB AP AQ =或; 对于线段PQ 上任意一点B ,都有2B R B A ≥.于是 22max AB R P R Q ==

清华北大自主招生测评试题物理自主招生物理测评试题.docx

清华北大自主招生测评试题物理 自主招生物理测评试题 (考试时间: 90 分钟,总分 100 分)试题说明: 1 、考试中不准使用计算器 2 、计算中,重力加速度一律取g10m / s2 3 、考试时间 90 分钟,试题满分100 分 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分。每个小题的四个选项中,至少有 一个正确选项。全部选对的得 4 分,选对但不全的得 2 分,有选错的得0分) 1、如图所示,电源内阻不能忽略,开关闭合后,灯泡 A 、B 均发光。现将滑动触头向右移动,下列说法正确的是 (A)A 灯变亮、 B 灯变暗 (B )A 灯变暗、 B 灯变亮 (C)电源路端一定电压增大 (D )电源的输出功率一定增大 2 、如图所示,质量为m1和 m2的两个小球固定在长为2l 的轻杆两端,m1m2。杆的中点是一水平转轴O ,系统可在竖直面内无摩擦转动,空 气阻力不计。若从杆处于水平位臵由静止释放系统,系统转过900的过程中,以下说法正确的是(重力加速度已知)

(A)该过程中系统机械能守恒 (B )球m1的机械能守恒 (C)可以求出杆竖直时两球的速率 (D )可以求出杆竖直时轴O 对杆的作用力大小 第2题图第3题图 3、如图所示,不计重力的正电粒子以一定的水平初速度射入平行金 属板间竖直的匀强电场中,则下列说法正确的是(以下各情况,粒子均 能穿过电场) (A)增大初速度大小,其他条件不变,粒子穿过电场的偏转位移变 大 (B )滑动触头向上移动,其他条件不变,粒子穿过电场的偏转位 移变大 (C)适当增大两板间距离,其他条件不变,粒子穿过电场的偏转位 移变大 (D )适当增大两板间距离,其他条件不变,粒子穿过电场的时间变 大 4、粗糙水平面上一物体以一定初速度向前滑行,从开始滑行到停止,物体的运动位移为S,运动时间为t ,运动过程中的加速度大小为a,则下列说法正确的是 (A)运动位移 S 随初速度增大而增大,随质量增大而减小

小升初自主招生考试数学试题

小升初自主招生考试数学试题 一、填空。(16分,每空1分) 1、南水北调中线一期工程通水后,北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水(横线上的数读作)。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米(横线上的数写作,省略亿位后面的尾数, 约是亿), 2、 直线上A 点表示的数是( ),B 点表示的数写成小数是( ), C 点表示的数写成分数是( )。 3、分数a 8 的分数单位是( ),当a 等于( )时,它是最小的假分数。 4、如下图,把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米,那么三角形的面积是( )平方厘米,梯形的面积是( )平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度,他们之间的换算关系是:摄 氏度×5 9 +32=华氏度。当5摄氏度时,华氏度的值是();当摄氏度的值是 ()时,华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课,如果步行需要15分钟,如果骑自行车则只需要9分钟,他骑自行车的速度和步行的速度比是( )。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形,这个圆柱的底面积是 ( )平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律,下一个数应是( ),第n 个数是( )。

二、选择。(把正确答案的序号填在括号里)(16分、每题2分) 1、一根铁丝截成了两段,第一段长37米,第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较( ) A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1,那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是( )。 A 、a <a 2<a 1 B 、 a <a 1<a 2 C 、a 1<a <a 2 D 、a 2<a <a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体,从正面看到,从上面看到, 从左面看到( )。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验,甲的成绩是85分,比乙的成绩低9分,比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是( )分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数,和是( )的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律,按此规律,第10个图形中棋子的个数为( )

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