当前位置：文档之家› 导数__压轴题训练

导数__压轴题训练

导数压轴题训练

1．（2014 湖南）. 22．（2014 湖南）..已知常数0a >,函数()()2ln 12

f x ax x =+-

+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;

(2)若

()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.

【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数

()f x 求导可得

()()2

'12a f x ax x =-++()()()()2

224112a x ax ax x +-+=++()()()

224112ax a ax x --=++,因为

()()

120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调

递增,当1a ≤时,

()

'0f x x =?=则函数

()f x

在区间? ??

单调递减,

在?

?+∞???

单调递增的. (2) 解:(1)对函数()f x 求导可得

()()2

'12a f x ax x =-++()()()()2

224112a x ax ax x +-+=++()()()

224112ax a ax x --=++,因为

()()

120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调

递增,当1a <时,

()

'0f x x =?=则函数

()f x 在区间

? ??

单调递减,

在?

?+∞???

单调递增的.

2.（20）（2014江苏）（本小题满分14分）已知函数

()x f x x ae =-()a R ?，x R ?.已知函数

()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.

（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明

x x 随着a 的减小而增大；

（Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.

（2014四川卷）21（2014四川卷）．已知函数

2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈，

2.71828

e =为自然对数的底数。

（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；

（2）若

(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围

解：（1）因为

2()1x f x e ax bx =--- 所以()()2x g x f x e ax b '==-- 又()2x g x e a '=-

因为[0,1]x ∈，1x

e e ≤≤ 所以：

①若12

≤

，则21a ≤，()20x

g x e a '=-≥，所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，min ()(0)1g x g b ==-

②若

122

a <<，则12a e <<，于是当0ln(2)x a <

<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时()20x g x e a '=->，

所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单减，在区间[ln(2),1]a 上单增，

min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a b ==--

③若2

e a

≥

，则2a e ≥，()20x

g x e a '=-≤ 所以函数()g x 在区间[0,1]上单减，min ()

(1)2g x g e a b ==--

综上：()g x 在区间[0,1]上的最小值为min 11,,21()22ln(2),,222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ?

-≤??

=--<

--≥??

（2）由(1)0f =?10e a b ---=?1b e a =--，又(0)0f =

若函数

()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间

由（1）知当12a ≤

或2

a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。

若

122

a <<，则min ()22ln(2)32ln(2)1g x a a a

b a a a e =--=--- 令3

()ln 12

h x x x x e =---（1x e <<）则1()

ln 2h x x '=

-。

由1

()ln 02

h x x x '=->?<

所以()h x

在区间上单增，

在区间)e 上单减

max ()110h x h e e ==

--=--<即min ()0g x <恒成立于是，函数

()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间?

(0)20(1)10g e a g a =-+>??

=-+>?2

a e a >-???

122

a << 所以21e a -<< 综上，a 的取值范围为(2,1)e -

3.（2014陕西卷）.（本小题满分14分）设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()

f x 是

()f x 的导函数.11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；

（2）若

()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +

+与()n f n -的大小，并加以证明.

21.

4.【2014年重庆卷（理20）】已知函数22()(,,)x

x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()

f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -. （1）确定,a b 的值；（2）若3c =，判断

()f x 的单调性；

（3）若

()f x 有极值，求c 的取值范围.

解：（1）22'()22x x

f x ae be

c -=+-，由'()'()f x f x -=恒成立知： 222242222(22)(22)0x x x x x ae be c ae be c a b e b a --+-=+-?-+-≡，故a b =

另外'(0)2242f a b c c a b =+-=-?+= 联立解出1a b ==

（2）此时222'()2232()10x

x x x f x e

e e e --=+-=-+>，故()

f x 单调递增。（3）等价于22'()220x x

f x e e

c -=+-=有非最值解，设20x t e =>，则等价于方程

22t c t

+=在0t >时有非最值解，由双钩函数知：22[4,)t t +∈+∞ 所以4c >，故c 的取值范围为(4,)+∞

5.（2014山东）.( 本小题满分13分）设函数())ln 2

(2x x

k x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828

e =是自

然对数的底数）（I ）当0k

≤时，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数

()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。

()()()）。

的取值范围为（综上则）令（单调递增。时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2

,:1ln 0ln ln 2

022,0)2(0

1)0(,01)0(ln ,)(2)(),2()()2,0(2

,0)(0e 0,kx 0k )

0())(2()

12(2)(12

ln 2

'''x 3

242'

e e e e

k k k k e k g e k k e g k e g g k g k

x k e k

e x g kx e x g x

f x x f x x x f kx x x kx e x x

x k x xe x e x f k

x x x x x x >∴>∴<-=<

∴>-=>-=>=<-===∴-=-=+∞∈∈∴==>-∴≤≤>--=+---?=

6..（ 2014年课标I ） (本小题满分12分)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，

(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. （I ）求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

．【解析】(Ⅰ) 设()

,0F

c ，由条件知

2c =

得c = 又c a =，所以a=2，222

1b a c =-= ,故E 的方程2214

x y +=. ……….6分

（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y

将2y kx =-代入2

214

x y +=，得()221416120k x kx +-+=，

当2

16(43)0k ?=->，即2

k >时，1,2x =

从而

22143

k PQ x -=-=

又点O 到直线PQ 的距离

d =

所以?OPQ 的面积12OPQ

S d PQ ?== ，

t =，则0t >，2

144OPQ t S t t t

=≤++，

当且仅当2t

=，k =，且满足0?>，所以当?OPQ 的面积最大时，l 的方程为：

2y x =- 或2y x =-. …………………………12分

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型 1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ，显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内，设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1 t ＋2＋t ＝ 1＋t 2 t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。（1）121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f =

2014年高考导数压轴题汇编解析

2014年高考导数压轴题汇编 1.[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝ 2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围． 21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12 时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2 时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12