八年级数学全等三角形专题练习(word 版
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____.
【答案】10
【解析】
利用正多边形的性质,可得点B 关于AD 对称的点为点E ,连接BE 交AD 于P 点,那么有PB=PF ,PE+PF=BE 最小,根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF 的最小值为10.
故答案为10.
2.如图,在ABC ?中,点D 是BC 的中点,点E 是AD 上一点,BE AC =.若70C ∠=?,50DAC ∠=? 则EBD ∠的度数为______.
【答案】10?
【解析】
【分析】
延长AD 到F 使DF AD =,连接BF ,通过ACD FDB ?,根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠,AC BF =, 等量代换得BF BE =,由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠,即可得到BEF CAD ∠=∠,进而利用三角形的内角和解答即可得.
【详解】
如图,延长AD 到F ,使DF AD =,连接BF :
∵D 是BC 的中点
∴BD CD =
又∵ADC FDB ∠=∠,AD DF =
∴ACD FDB ?
∴AC BF =, CAD F ∠=∠,C DBF ∠=∠
∵AC BE =, 70C ?∠=, 50CAD ?∠=
∴BE BF =, 70DBF ?∠=
∴50BEF F ?∠=∠=
∴180180505080EBF F BEF ?????∠=-∠-∠=--=
∴807010EBD EBF DBF ???∠=∠-∠=-=
故答案为:10?
【点睛】
本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理,解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形.
3.如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =30°,点D 在边AB 上,∠ACD =15°,则AD BC
=____.
【答案】
22
. 【解析】
【分析】 根据题意作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH =DH ,连接DH ,并设AD =2x ,解直角三角形求出BC (用x 表示)即可解决问题.
【详解】
解:作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH=DH ,连接DH .
设AD=2x , ∵AB=AC ,∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12=
AD=x ,AF 3=, ∵∠ACD=15°,HD=HC , ∴∠HDC=∠HCD=15°,
∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°,
∴DH=HC=2x ,FH 3=,
∴3x ,
在Rt △ACE 中,EC 12
=AC=x 3+,AE 3=3=, ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ,
在Rt △BCE 中,BC 22BE EC =
+=2x , ∴22
22AD BC x ==. 故答案为:
22. 【点睛】
本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
4.如图,已知△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点,两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ,给出下列四个结论:
①AE=CF;
②△EPF是等腰直角三角形;
③EF=AB;
④
1
2ABC
AEPF
S S
?
=
四边形
,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).
【答案】①②④
【解析】
试题分析:∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角,
∴∠APE=∠CPF,
∵AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中点,
∴AP=CP,
∴∠PAE=∠PCF,
在△APE与△CPF中,
{?
PAE PCF
AP CP
EPA FPC
∠=∠
=
∠=∠
,
∴△APE≌△CPF(ASA),
同理可证△APF≌△BPE,
∴AE=CF,△EPF是等腰直角三角形,S四边形AEPF=1
2
S△ABC,①②④正确;
而AP=
1
2
BC,当EF不是△ABC的中位线时,则EF不等于BC的一半,EF=AP,
∴故③不成立.
故始终正确的是①②④.
故选D.
考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等腰直角三角形.
5.如图,1
AB A B
=,
1112
A B A A
=,
2223
A B A A
=,
3334
A B A A
=,…,当2
n≥,70
A
∠=?时,11
n n n
A A B
--
∠=__________.
【答案】1702n -? 【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠,232B A A ∠及343B A A ∠的度数,再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数.
【详解】
解:∵在1ABA ?中,70A ∠=?,1AB A B =
∴170BA A A ∠==?∠
∵1112A A A B =,1BA A ∠是121A A B ?的外角
∴12111211703522B A A A B A BA A ?∠=∠==
=?∠ 同理可得,2321217017.542B A A BA A ?∠=
==?∠,343131708.7582B A A BA A ?∠===?∠ ∴111702n n n n A A B ---?∠=
. 故答案为:
1
702n -? 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据特殊情况找出规律是解题关键.
6.如图,BD 是ABC 的角平分线,AE BD ⊥,垂足为F ,且交线段BC 于点E ,连
结DE ,若50C ∠=?,设 ABC x CDE y ∠=?∠=?,
,则y 关于x 的函数表达式为_____________.
【答案】80y x =-
【解析】
【分析】
根据题意,由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线,进而得到AD =ED ,求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式.
【详解】
∵BD 是ABC ?的角平分线,AE BD ⊥
∴1122
ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=?,90AFB EFB ∠=∠=? ∴1902
BAF BEF x ∠=∠=?-
? ∴AB BE =
∴AF EF =
∴AD ED =
∴DAF DEF ∠=∠ ∵180BAC ABC C ∠=?-∠-∠,50C ∠=?
∴130BAC x ∠=?-?
∴130BED BAD x ∠=∠=?-?
∵CDE BED C ∠=∠-∠
∴1305080y x x ?=-?-?=?-?
∴80y x =-,
故答案为:80y x =-.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及判定,三角形的内角和定理,三角形外角定理,角的和差倍分等相关知识,熟练运用角的计算是解决本题的关键.
7.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,以点A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB ,AC 于点M 和N ,再分别以点M ,N 为圆心,大于12
MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连接AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法:①AD 是∠BAC 的平分线;
②∠ADC =60°;③点D 在AB 的垂直平分线上;④S △DAC :S △ABC =1:3.其中正确的是__________________.(填所有正确说法的序号)
【答案】4
【解析】
【分析】
①连接NP ,MP ,根据SSS 定理可得△ANP ≌△
AMP ,故可得出结论;
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB 的度数,再由AD 是∠BAC 的平分线得出
∠1=∠2=30°,根据直角三角形的性质可知∠ADC =60°;
③根据∠1=∠B 可知AD =BD ,故可得出结论;
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°,CD =
12
AD ,再由三角形的面积公式即可得出结论.
【详解】 ①连接NP ,MP .在△ANP 与△AMP 中,∵AN AM NP MP AP AP =??=??=?
,∴△ANP ≌△AMP ,则∠CAD =∠BAD ,故AD 是∠BAC 的平分线,故此选项正确;
②∵在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,∴∠CAB =60°.
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠1=∠2=
12∠CAB =30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,∴∠ADC =60°,故此选项正确;
③∵∠1=∠B =30°,∴AD =BD ,∴点D 在AB 的中垂线上,故此选项正确;
④∵在Rt △ACD
中,∠2=30°,∴CD =
12AD ,∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ,S △DAC =12AC ?CD =14AC ?AD ,∴S △ABC
=12AC ?BC =12AC ?32AD =34
AC ?AD ,∴S △DAC :S △ABC =1:3,故此选项正确. 故答案为①②③④.
【点睛】
本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键.
8.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是__.
【答案】22
【解析】
【分析】
等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形;
【详解】
解:因为4+4=8<9,0<4<9+9=18,
∴腰的不应为4,而应为9,
∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
9.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,E、F分别在BC、CD上,且AB=BE,AD =DF,M为EF的中点,DM=3,BM=4,则五边形ABEFD的面积是_____.
【答案】12
【解析】
【分析】
延长BM至G,使MG=BM,连接FG、DG,证明△BME≌△GMF(SAS),得出FG=BE,∠MBE=∠MGF,证出AB=FG,证明△DAB≌△DFG(SAS),得出DB=DG,由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM,由五边形ABEFD的面积=△DBG的面积,可求解.
【详解】
延长BM至G,使MG=BM=4,连接FG、DG,如图所示:
∵M为EF中点,
∴ME=MF,
在△BME和△GMF中,
BM MG BME GMF
ME MF =??∠=∠??=?
, ∴△BME ≌△GMF (SAS ),
∴FG =BE ,∠MBE =∠MGF ,S △BEM =S △GFM ,
∴FG ∥BE ,
∴∠C =∠GFC ,
∵∠A +∠C =180°,∠DFG +∠GFC =180°,
∴∠A =∠DFG ,
∵AB =BE ,
∴AB =FG ,
在△DAB 和△DFG 中,
AB FG A DFG
AD DF =??∠=∠??=?
, ∴△DAB ≌△DFG (SAS ),
∴DB =DG ,S △DAB =S △DFG ,
∵MG =BM ,
∴DM ⊥BM ,
∴五边形ABEFD 的面积=△DBG 的面积=
12×BG ×DM =12
×8×3=12, 故答案为:12.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识;熟练掌握等腰三角形的判定由性质,证明三角形全等是解题的关键.
10.如图,△ABC 中,AC =DC =3,BD 垂直∠BAC 的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________.
【答案】92
【解析】
【分析】
首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ,当CD ⊥AC 时,△ACD 的面积最大.
【详解】
延长BD 交AC 于点H .设AD 交BE 于点O .
∵AD ⊥BH ,
∴∠ADB =∠ADH =90°,
∴∠ABD +∠BAD =90°,∠H +∠HAD =90°,
∵∠BAD =∠HAD ,
∴∠ABD =∠H ,
∴AB =AH ,∵AD ⊥BH ,
∴BD =DH ,
∵DC =CA ,
∴∠CDA =∠CAD ,
∵∠CAD +∠H =90°,∠CDA +∠CDH =90°,
∴∠CDH =∠H ,
∴CD =CH =AC ,
∵AE =EC ,
∴S △ABE =14S △ABH ,S △CDH =14
S △ABH , ∵S △OBD ?S △AOE =S △ADB ?S △ABE =S △ADH ?S △CDH =S △ACD ,
∵AC =CD =3,
∴当DC ⊥AC 时,△ACD 的面积最大,最大面积为12×3×3=92
. 故填:
92
. 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质,三角形中线的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)
11.如图,在射线OA ,OB 上分别截取11OA OB ,连接11A B ,在11B A ,1B B 上分别截
取1212B A B B =,连接22A B ,
按此规律作下去,若11A B O α∠=,则1010A B O ∠=
( )
A .102a
B .92a
C .20a
D .18
a 【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠,依此类推即可得到结论.
【详解】
解:1212B A B B =,11A B O α∠=,
2212
A B O α∴∠=, 同理332111222
A B O αα∠=?=, 443
12A B O α∠=, 112n n n A B O α-∴∠=
, 101092A B O α
∴∠=,
故选:B .
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,图形的变化规律,依次求出相邻的两个角的差,得到分母成2的指数次幂变化,分子不变的规律是解题的关键.
12.如图,坐标平面内一点A(2,-1),O 为原点,P 是x 轴上的一个动点,如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P 的个数为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
【答案】C
【解析】
以O点为圆心,OA为半径作圆与x轴有两交点,这两点显然符合题意.以A点为圆心,OA为半径作圆与x轴交与两点(O点除外).以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点.共4个点符合,
13.如图,ABC,分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE,连接BE、CD,BE的延长线与CD交于点F,连接AF,有以下四个结论:①BE CD
=;②FA平分EFC
∠;③FE FD
=;④FE FC FA
+=.其中一定正确的结论有()
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC,可得BE=CD,从而得出①正确;
过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD,由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN,由AAS可证△AME≌△ANC,得到AM=AN,由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC,从而得出②正确;
在FA上截取FG,使FG=FE,根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE,可得
AG=CF,即可求得AF=CF+EF,从而得出④正确;
根据CF+EF=AF,CF+DF=CD,得出CD≠AF,从而得出FE≠FD,即可得出③错误.
【详解】
∵△ABD和△ACE是等边三角形,
∴∠BAD=∠EAC=60°,AE=AC=EC.
∵∠BAE+∠DAE=60°,∠CAD+∠DAE=60°,
∴∠BAE=∠DAC,
在△BAE和△DAC中,
∵
AB AD
BAE DAC
AE AC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△BAE≌△DAC(SAS),
∴BE=CD,①正确;
过A作AM⊥BF于M,过A作AN⊥DC于N,如图1.
∵△BAE≌△DAC,
∴∠BEA=∠ACD,
∴∠AEM=∠ACN.
∵AM⊥BF,AN⊥DC,
∴∠AME=∠ANC.
在△AME和△ANC中,∵∠AEM=∠CAN,∠AME=∠ANC,AE=AC,∴△AME≌△ANC,
∴AM=AN.
∵AM⊥BF,AN⊥DC,AM=AN,FA平分∠EFC,②正确;
在FA上截取FG,使FG=FE,如图2.
∵∠BEA=∠ACD,∠BEA+∠AEF=180°,
∴∠AEF+∠ACD=180°,
∴∠EAC+∠EFC=180°.
∵∠EAC=60°,
∴∠EFC=120°.
∵FA平分∠EFC,
∴∠EFA=∠CFA=60°.
∵EF=FG,∠EFA=60°,
∴△EFG是等边三角形,
∴EF=EG.
∵∠AEG+∠CEG=60°,∠CEG+∠CEF=60°,
∴∠AEG=∠CEF,
在△AGE和△CFE中,
∵
AE AC
AEG CEF
EG EF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△AGE≌△CFE(SAS),
∴AG=CF.
∵AF=AG+FG,
∴AF=CF+EF,④正确;
∵CF+EF=AF,CF+DF=CD,CD≠AF,
∴FE≠FD,③错误,
∴正确的结论有3个.
故选C.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,正确作辅助线是解答本题的关键.
14.如图,120AOB ∠=?,OP 平分AOB ∠,且2OP =,若点M N 、分别在OA OB 、上,且PMN ?为等边三角形,则满足上述条件的PMN ?有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .无数个
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°,只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件,以此进行分析即可得出结论.
【详解】
解:如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ,作∠MPN=60°.
∵OP 平分∠AOB ,120AOB ∠=?,
∴∠EOP=∠POF=60°,
∵OE=OF=OP ,
∴△OPE ,△OPF 是等边三角形,
∴EP=OP ,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,
∴∠EPM=∠OPN ,
在△PEM 和△PON 中,
PEM PON
PE PO
EPM OPN
∠
?∠
?
?
∠
?
∠
?
=
=
=
∴△PEM≌△PON(ASA).
∴PM=PN,
∵∠MPN=60°,
∴△PNM是等边三角形,
∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形,
故这样的三角形有无数个.
故选:D.
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.
15.如图,等腰ABC
?中,AB AC
=,120
BAC
∠=,AD BC
⊥于点D,点P是BA 延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP OC
=.下列结论:
①30
APO DCO
∠+∠=;②APO DCO
∠=∠;③OPC
?是等边三角形;
④AB AO AP
=+.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
【分析】
①②连接OB,根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP,即可解题;
③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°,即可解题;
④AB上找到Q点使得AQ=OA,易证△BQO≌△PAO,可得PA=BQ,即可解题.
【详解】
连接OB,
∵AB AC =,AD ⊥BC ,
∴AD 是BC 垂直平分线,
∴OB OC OP ==,
∴APO ABO ∠=∠,DBO DCO ∠=∠,
∵AB=AC ,∠BAC =120°
∴30ABC ACB ∠=∠=?
∴30ABO DBO ∠+∠=?,
∴30APO DCO ∠+∠=.
故①②正确;
∵OBP ?中,180BOP OPB OBP ∠=?-∠-∠,
BOC ?中,180BOC OBC OCB ∠=?-∠-∠,
∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=?-∠-∠=∠+∠+∠+∠,
∵OPB OBP ∠=∠,OBC OCB ∠=∠,
∴260POC ABD ∠=∠=?,
∵PO OC ,
∴OPC ?是等边三角形,
故③正确;
在AB 上找到Q 点使得
AQ=OA ,
则AOQ ?为等边三角形,
则120BQO PAO ∠=∠=?,
在BQO ?和PAO ?中,
BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠??∠∠???
===
∴BQO PAO AAS ??≌(),
∴PA BQ =,
∵AB BQ AQ =+,
∴AB AO AP =+,故④正确.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质,本题中求证
BQO PAO ??≌是解题的关键.
16.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,在直线AC 上取一点P ,使得△PAB 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( )
A .6个
B .5个
C .4个
D .3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
解:根据题意,
∵△PAB 为等腰三角形,
∴可分为:PA=PB ,PA=AB ,PB=AB 三种情况,如图所示:
∴符合条件的点P 共有4个;
故选择:C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据等腰三角形的判定定理解答.
17.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点,则CQ+PQ 的最小值为( )
A .6
B .7.5
C .9
D .12
【答案】C
【解析】
【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点,利用点到直线的距离垂线段最短,即可求解.
【详解】
解:如图,作点C 关于直线AB 的对称点1C ,1CC 交射线BA 于
H ,过点1C 作BC 的垂线,垂足为P ,与AB 交于点Q ,CQ+PQ 的长即为1PC 的长.
∵AB=AC=6,∠BAC=120°,
∴∠ABC=30°,
易得BC=3
在Rt △BHC 中,∠ABC=30°,
∴HC=33BCH=60°, ∴163CC =
在1Rt △PCC 中,1PCC ∠=60°,
∴19PC =
∴CQ+PQ 的最小值为9,
故选:C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题,认真审题作出辅助线是解题的关键.
18.如图,P 为∠AOB 内一定点,M 、N 分别是射线OA 、OB 上一点,当△PMN 周长最小时,∠MPN=110°,则∠AOB=( )
A .35°
B .40°
C .45°
D .50°
【答案】A
【解析】
【分析】 作P 关于OA ,OB 的对称点P 1,P 2.连接OP 1,OP 2.则当M ,N 是P 1P 2与OA ,OB 的交点时,△PMN 的周长最短,根据对称的性质可以证得:∠OP 1M=∠OPM=50°,OP 1=OP 2=OP ,根据等腰三角形的性质求解.
【详解】
作P 关于OA ,OB 的对称点P 1,P 2.连接OP 1,OP 2.则当M ,N 是P 1P 2与OA ,OB 的交点时,△PMN 的周长最短,连接P 1O 、P 2O ,
∵PP 1关于OA 对称,∠MPN=110°
∴∠P 1OP=2∠MOP ,OP 1=OP ,P 1M=PM ,∠OP 1M=∠OPM ,
同理可得:∠P 2OP=2∠NOP ,OP=OP 2,
∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2(∠MOP+∠NOP )=2∠AOB ,OP 1=OP 2=OP ,
∴△P 1OP 2是等腰三角形.
∴∠OP 2N=∠OP 1M ,
∴∠P 1OP 2=180°-110°=70°,
∴∠AOB=35°,
故选A .
【点睛】
考查了对称的性质,解题关键是正确作出图形和证明△P 1OP 2是等腰三角形是.
19.如图,在ABC △中,2B C ∠=∠,AH BC ⊥,AE 平分BAC ∠,M 是 BC 中点,则下列结论正确的个数为( )
(1)AB BE AC += (2)2AB BH BC += (3)2AB HM = (4)
CH EH AC +=
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】D
【解析】
【分析】
(1)延长AB 取BD=BE ,连接DE ,由∠D=∠BED ,2ABC C ∠=∠,得到∠D=∠C ,在△ADE 和△ACE 中,利用AAS 证明ADE ACE ≌,可得AC=AD=AB+BE ;
(2)在HC 上截取HF=BH,连接AF ,可知△ABF 为等腰三角形,再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠,可得出△AFC 为等腰三角形,所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ; (3)HM=BM-BH ,所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ,再结合(2)中结论,可得
2AB HM =;
(4)结合(1)(2)的结论,
BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+.
【详解】
解:
①延长AB 取BD=BE ,连接DE ,
∴∠D=∠BED ,∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,
∵2ABC C ∠=∠,∴∠D=∠C ,
在△ADE 和△ACE 中,
DAE CAE D C AE AE ∠=∠??∠=∠??=?
,
∴ADE ACE ≌
∴AC=AD=AB+BE ,故(1)正确;
②在HC 上截取HF=BH,连接AF ,
∵AH BC ⊥,∴△ABF 为等腰三角形,