2019年绍兴市高考数学模拟试卷(及答案)

2019年绍兴市高考数学模拟试卷(及答案)

一、选择题

1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）

A ．14

-

B ．

14

C ．23

-

D ．

23

2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）

C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg

3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+

D ．0.3 4.4y x =-+

4．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +

D ．12i -+

5．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）

A ．由两个圆锥组合成的

B ．由两个圆柱组合成的

C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的

6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是

（ ）

A ．①③④

B ．②④

C ．②③④

D ．①②③

7．设双曲线22

22:1x y C a b

-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别

交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

8．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种

C ．18种

D ．20种

9．函数()1

ln 1y x x

=

-+的图象大致为( ) A ． B ．

C ．

D ．

10．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3

4

，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ．

12

B ．

512

C ．

14

D ．

16

11．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺

序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

12．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角

P AC B --的平面角为γ，则（ ）

A ．,βγαγ<<

B ．,βαβγ<<

C ．,βαγα<<

D ．,αβγβ<<

二、填空题

13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2

21y ax a x =+++相切,则

a= ．

14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为

2，4，则球O 的表面积为__________．

16．函数()f x =________．

17．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 18．已知1OA =，3OB =0OA OB ?=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设

OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则

m

n

=__________． 19．若函数2

()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．

20．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===，则ABC △的面积为__________.

三、解答题

21．已知()ln x

e f x a x ax x

=+-.

（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1a =-时，若不等式1()()0x

f x bx b e x x

+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．

22．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α

α=+??=-?

（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，

x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1

sin 2cos θθρ

-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.

23．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的一个焦点为

)

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2）记,,

2n

n n

a C n

b *=

∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N

25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B

10

30

40

20

100

如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：

6

1

96i

i y

==∑ 6

1

371i i i x y ==∑

参考公式：回归直线方程???y

bx a =+，其中()()()

()1

1

2

2

2

1

1

?=

n n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nxy

b x x x

nx ====---=--∑∑∑∑

26．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =?.

（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,

则()()()222

3241

cos 2324

k k k C k k

+-=

=-?? ，选A.

2．D

解析：D 【解析】

根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；

该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；

该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．

3．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心

，故排除选项B ；故选A ．

考点：线性回归直线.

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线

y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.

【详解】

复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，

所以向量OB 对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】

该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】

根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】

由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】

本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】

结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则

则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=

代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,

01245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到

(

)(

)

()()()

2

2

2

02222cos45a c a ++-=+?,解得c

e a

=

= 故选B. 【点睛】

本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．

8．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】

0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，

1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．

故选：A. 【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．

10．B

解析：B 【解析】

记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，

即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况， 则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512

故选B.

11．C

解析：C 【解析】

【分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】

由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，

当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】

本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】

方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作

//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α=

==<=β，即αβ>，tan tan PD PD

ED BD

γ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.

方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.

方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得

333222

cos sin ,sin ,sin 6633

α=

?α=β=γ=

，故选B. 【点睛】

常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.

二、填空题

13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】

解析：8 【解析】

试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111

|1|2x x y x

===+

='，所以切线方程为；曲线2

(2)1y ax a x =+++的导函数的为

，因与该曲线

相切，可令

，当

时，曲线为直线，与直线

平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点

，代入切线方程即

可求得

.

考点：导函数的运用.

【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．

14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)

【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得

44

33

b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知4013

4343b b -?

≤

，解得57b <<

15．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为

6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π

【解析】 【分析】

本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。 【详解】

设球半径为R ，球心O 到上表面距离为x ，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式()2

22224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+= 因而表面积2480S R ππ== 【点睛】

本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。

16．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题

解析：[2，+∞） 【解析】

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为

[2,)+∞.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.

17．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令

解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】

由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】

由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为

24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径

=22

(2)10x y -+=.

【点睛】

本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

18．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则

解析：3 【解析】

因为30AOC ∠=，所以3

cos cos30OC OA AOC OC OA

?∠=

==

?，从而有22223

||2OA n OB mn OA OB OA

=

++??

?

．因为

1,3,0OA OB OA OB ==?==，化简可得2223

34m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则

3m

n

= 19．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的

解析：1

8

【解析】 【分析】

由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到

22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结

果. 【详解】

函数()2

1ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增

()210a

f x x x

'∴=-+

≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()2

2g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14

x =

时， ()max 18g x =

1

8a ∴≥

，故实数a 的最小值是18

本题正确结果：1

8

【点睛】

本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.

20．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学

式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去

解析：【解析】 【分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-???=， 即212c =

解得c c ==-

所以2a c ==

11

sin 22ABC S ac B ?=

=?= 【点睛】

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

三、解答题

21．（1）见解析；（2）1

[,)e

+∞. 【解析】 【分析】

（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2

1x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即

可；

（2）由题意可知()10x

b x e lnx --≥在[

)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情

况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】

（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ∵()()()2

1x x e ax f x x --'=

，0a <，

∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增.

（2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ??+--

- ???

()1x

b x e lnx =-- 由题意，()10x

b x e lnx --≥在[

)1,+∞上恒成立

①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x

b x e lnx --≤恒成立；不符题意.

②若0b >，记()()1x

h x b x e lnx =--，则()1x

h x bxe x

'=-

, 显然()h x '在[

)1,+∞单调递增， （i ）当1

b e

≥

时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[

)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥=

（ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1

110b h e b e b ?

?=-> ?'->??

∴存在01x >，使()0h x '=.

当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1

,e ??+∞????

【点睛】

本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22．（1）2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】 【分析】

（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ

ρθ=??

=?

，整理

即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】 （1）由3212x cos y sin αα=+??

=-?，得3212x cos y sin α

α-=??-=-?

，

两式两边平方并相加，得()()2

2

314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.

将y sin x cos ρθρθ

=??=?代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=

所以曲线C 的极坐标方程为2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1

sin 2cos θθρ

-=

，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=

所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离()23111

65

5

d ?+-?+==

， 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为65

25

d r +=+. 【点睛】

本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.

23．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知

55

3a =?=，且有2235b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

22000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

， 化简得()2

2

00

940y kx k ---=，即()()2

2

20

00

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

20

00

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

24．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；

(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】

(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=?

?

??+=+??

，解得：102a d =??

=?， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212

n n n S n

n +-?=

=-.

则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：

()()()()2

1112n n n n n b n n b n n b ++=-+?+++????????????，

据此有：

()()()()()()()()2

222

121112121n n n n n

n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，

故()()()()

()22112121(1)(1)(1)(2)

n n n n n n b n n n n n n n n n +--++=

=++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：

2n C =

=<=<=，

则(

)(

)

(

)

122

102

212

12n C C C n n n +++<-+-+

+--=

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

25．(1) ?29y

x =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】

(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果. 【详解】

（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，

即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得123456

3.56

x +++++=

=，

6111

91666

i

i y ==?=∑ 所以()

12

2

1

?n

i i i n i i x y nxy

b

x n x ==-==-∑

∑

37163.516

217.5

-??=，

1??62 3.59?a

y bx =-=-?=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为?29y

x =+. 当11x =时，211931?y

=?+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.

（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，

应该采购B 型新材料. 【点睛】

本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样

本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数??,a

b ；④写出

回归直线方程为???y

bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 26．(1) T π= ；26k x ππ

=

+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36

ππ-和2[

,]3

π

π 【解析】 【分析】

（1）化简得()1

sin 262

f x x π??=++ ??

?，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,3

6

k k π

π

ππ-+

] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.

【详解】

解：（1）()2

3sin cos cos f x a b x x

x =?=+

111cos2sin 22262x x x π?

?=

++=++ ??

? 所以()f x 的周期22

T π

π==, 令26

2

x k π

π

π+

=+

（k Z ∈），即26

k x ππ

=

+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26

k x ππ

=+（k Z ∈）. （2）令2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-≤+

≤+

（k Z ∈）

解得36

k x k π

π

ππ-

≤≤+

（k Z ∈），由于(]

,x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时，

得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ??-- ??

?，,36ππ??-????和2,3ππ??

????

. 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.