指数函数及其性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=a x
(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=a x
(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x
y =?，12x
y =，
31x y =+等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果0a =，则000x x ?>??≤??x
x
时，a 恒等于，
时,a 无意义.
②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x
y =-，当11
,,24
x x =
=???时，在实数范围内函数值不存在．
③如果1a =，则11x
y ==是个常量，就没研究的必要了．
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x
y a =与1x
y a ??
= ???
的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =
则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c
又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数
11
2,3,
(),
()23
x x x x y y y y ====的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A
B
<即可． 【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1．函数2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2
【解析】由2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，
可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠?
且解得12,
01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =．
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：
（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）4x
y =；（2）4
y x =；（3）4x
y =-；（4）(4)x
y =-；
（5）1
(21)(1)2
x
y a a a =->
≠且；（6）4x y -=． 【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x
y -==14x
??
???
，符合指数函数的定义，而（2）中底