当前位置：文档之家› 高中数学函数专题(定义域、值域、对称性、奇偶性)讲解

高中数学函数专题(定义域、值域、对称性、奇偶性)讲解

高考复习之函数专题

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义注意：○

3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．的实数的集合；○

2函数定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断(两点必须同时具备)

一．常见函数（基本初等函数）：

1． 2．y=kx+b(k≠0)

23．y=ax+bx+c(a≠0) 4．y=

a1 x5．幂函数：y=x(a∈Q)（包括前四个函数）

6．指数函数：y=a(a>0且a≠1)

7．对数函数：y=logax(a>0且a≠1)

8．三角函数：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx

由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：

y=ax+bx+cx+d，32x

y=sinx+

二、定义域 11x+5，y=，试着分析以上函数的构成。 log2xx

(x+1)0

x-x1、函数f(x)=的定义域是（）

A.{x|x<0}

B. {x|x>0}

C. {x|x<0且x≠-1}

D. {x|x≠0且x≠-1}

2、f(x)=1的定义域是（） 2-x

A.[-1,+∞)

B. [2,+∞)

C. (-1,2)

D. {x|x≥-1且x≠2} x+1+

4x+8的定义域是（） 3x-2

22?? A.[,+∞) B. ?x|x≠? C. [2,+∞) D. (-∞,-1] 33??

f(2x)4、若函数f(x)的定义域[0，2]，则函数g(x)=的定义域是（） x-1

A [0，1]

B [0,1)

C [0,1)?(1,4]

D (0,1) 3、f(x)=

5、已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其中a<0b，则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是（）

A (-b,b]

B (-a,b]

C [-b,b]

D [-a,a]

6、已知函数f(x)=1+xf(x)?的定义域为A，函数y=f?的定义域为B，则（）

??1-x

(A)A B=B (B)A?B (C)A=B (D)A B=B

7、已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是_________

8、（1

）f(x)2

+lg(3x+1) （2）f(x)=sinx+log1(25-x2) 2

3x-x2

(3)y=; (4)y=25-x2+lncosx |x-1|-1

9、设f(x)=lg

10、f(2-x)=2+xx2，则f()+f()的定义域为 2-x2x4-x2，f(x)的定义域

3函数值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.

三、值域

1、求下列函数的值域：

（1）y=3x-x+2；（2

）y=；（3）y=

（4

）y=x+ （5

）y=x （6）y=|x-1|+|x+4|；

23x+1； x-2

1-sinx2x2-x+22x2-x+11(x>)；（9）y=（7）y=2；（8）y= 2-cosx2x-12x+x+1

2?x≥1，?x2、设f(x)=?g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，∞+)，则g(x)的值域是（） x<1，??xA．(-∞，-1] [1，∞+)

3、设函数f(x)=log2B．(-∞，-1] [0，∞+) C．[0，∞+) D．[1，∞+) x+1+log2(x-1)+log2(p-x)， x-1

（1）求函数的定义域；

（2）问f(x)是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由4、已知f(x)=2+log3x(1≤x≤9)，求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的最值。 81 4．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：○

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

f(x1)

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f(x1)－f(x2)；○

3 变形（通常是因式分解和配方）

4 定号（即判○；○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）断差f(x1)－f(x2)的正负）；○．

(B)图象法(从图象上看升降)

（C）导数法

(D)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

四、单调性

1、已知f(x)=??(3a-1)x+4a,x<1是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是（）

?logax,x>1

3111（D）[,1) 737

2、已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)

1g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]．若y=g(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是（）D 2

A．[2,+∞) B．(0,1) (1,2) C．[,1) D．(0,]

3.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下述命题：

①f(x)有最小值；

②当a=0时，f(x)的值域为R；

③当a>0时，f(x)在区间[2,+∞)上有反函数；

④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4

则其中正确的命题是_____________（要求：把正确命题的序号都填上）

24.设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x-2（1-a）的单调性。

5.函数f(x)对任意的m,n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且当x>0时，f(x)>1，

⑴求证：f(x)在R上是增函数；

⑵若f(3)=4，解不等式f(a+a-5)<2

5．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有注意：○

奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也○

一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 21212

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○

2 确定f(－x)与f(x)的关系；○

3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则对称；○

f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或

f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

五、奇偶性

1、已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数. 当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当

x∈(0,+∞)时，f(x)= .

2.设函数f(x)=x2-x+a为偶函数,则实数a=________________________

3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x-x，则f(1)=

4.已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)= ．

5.设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f（-a）=_______

6、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○

2 利用图象求函数的最大（小）值○

3 利用函○

数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数

y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

函数的性质与函数图象的特点

六、综合题

1.已知偶函数f (x)，对任意x1，x2∈R，恒有：

f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2x1x2+1．（1）求f (0)，f (1)，f (2)的值；（2）求f (x)；（3）判断F(x)=[f(x)]2-2f(x)在（0，+∞）上的单调性

ax2+1

2.已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且

bx+c

f试求函数f(x)的解析式；

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

3.(1) 函数f(x)=ax+1(a,b,c∈Z)是奇函数，又f(1)=2,f(2)<3，求a,b,c的值.

bx+c

(2) 设偶函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，求不等式f(x)>f(2x+1)的解集.

4.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：(1) f(x+2)=f(x);

(2) 当x∈[0，1]时，f(x)=3-x-1，求f(log1

31)的值. 32

5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求f(0)的值；(2)证明函数f(x)是周期函数；

(3)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈R时，f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)的一个周期的图象．

6.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)，

且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.

（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 4327.已知函数f(x)=x－4x+ax－1在区间［0,1)上单调递增，在区间［1，2）上单调递减.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图

象上；

2（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g(x)=bx－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在，请求出

实数b的值；若不存在，试说明理由.

8.已知函数f(x)=a+x-2 (a>1) x+1

(1)函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数;

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根x

9.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－11)=0,当x>－时，22

f(x)>0(1)求证f(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证

1（1） f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3；（2）f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)+2x(-x)+1，

又f(x)=f(-x)，f (0) = -1，故f(x)=x2-1；（3）F(x)=x4-4x2+3．用定义可证明F(x)在［2 ，+∞）上是增函数，在（02］上为减函数

ax2+1ax2+1=-?bx+c=bx-c 2解∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即bx+c-bx+c

ax2+1a1a=x+∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2， bxbbxb2

当且仅当x=a12时等号成立，于是2=2,∴a=b, 2ab

5a+15b2+1512由f(1)＜得＜即＜,∴2b－5b+2＜0,解得＜b＜2，又

b∈N,∴b=1,∴a=1,∴b2222b

f(x)=x(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，?x02+1=y0则??x0?2?(2-x0)+1=-y0?2-x0?消去y0得x0－2x0－1=0,x0=1

∴y=f(x)图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称

3 解： (1) 由f (－x)＝－f (x)

得－bx＋c＝－(bx＋c)

∴c=0.又f (1)＝2，得a＋1＝2b，而f (2)<3,得

4a+1< 3?－1< a< 2，又a∈Z a+1

(2) 由题意，不等式可化为f(x)>f(2x+1)，又f(x)在[0,+∞)上为减函数，所以不等式可化为所以a＝0或a＝1，当a＝0时，b＝（舍去）,当a＝1时，b＝1，

∴a=b=1,c=0.

1． 3

3x<2x+1?x<-1或x>－所以，不等式的解集为(－∞，－1)∪(－，＋∞).

4∵ f (x)是周期函数，2是它的一个周期

∵ 1111< < ，∴ 3 < log1< 4 328132273

令3≤x≤4，∴－1≤x－4≤0?0≤4－x≤1

f (x)的周期是2，且是偶函数

∴ x∈[3，4]，f (x)＝f (x－4)

x－4 f [－(x－4)]＝f (4－x)＝3－1

∵ x＝log1

3111，x－4＝log1－log1 32328133

8132＝log3 3281

32＝log13log332491∴ f (log1)＝381－1＝－1＝－ 3281813

5 解：①f (x)是R上的奇函数?f(-x)=-f(x)令x＝0 f(-0)=-f(0)?f(0)=0

②依题意有：

?f(-x)=-f(x)??f(1-x)=-f(-2+x)??f(1+x)=-f(-1-x)??f(x)=-f(-2+xx)?

f(2+x)=-f(x)?f(4-x)=f(x)?T=4

③∵f(x)=?

∴f(x)=?(-1≤x≤1)?x ?-x+2(1

x+2+4k(4k+1

6解:（1）由已知得f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)≠0，故f(-1)≠±f(1),

从而知函数y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数；

(2)由??f(2-x)=f(2+x)?f(x)=f(4-x)???f(4-x)=f(14-x)

?f(7-x)=f(7+x)?f(x)=f(14-x)

? f(x)= f(x+10),从而知函数y= f(x)的周期为T=10

由f(7-x)=f(7+x)得，f(x)的图象关于x=7对称，且在闭区间[0，7]上，只有

f(1)=f(3)=0.

∴在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，

∴10是f(x)的最小正周期，

∵在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，

∴在每一个最小正周期内f(x)=0只有两个根，

∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．

4327解：（Ⅰ）由函数f(x)=x－4x+ax－1，在区间［0，1）上单调递增，在区间［1，2）上单调递减，∴x=1

时，f(x)取得极大值，∴f′(1)=0.

f′(x)=4x3－12x2+2ax, ∴4－12+2a=0?a=4.

(Ⅱ)点A（x0,f(x0)）关于x=1的对称点B坐标为（2－x0,f(x0)）,

f(2－x0)=(2－x0)4－4(2－x0)3+4(2－x0)2－1=(2－x0)2［(2－x0)－2］2－1

432=x0－4x0+4x0－1=f(x0).

∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.

24322（Ⅲ）函数g(x)=bx－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，等价于方程x－4x+4x－1=bx－1恰有

43224323个不等实根，x－4x+4x－1=bx－1?x－4x+(4－b)x=0.

2∵x=0是其中一个根，∴方程x－4x+(4－b)=0有两个非0不等实根.

∴??Δ=16-4(4-b)>0,∴b＞0且b≠4. 4-b≠0.?

8证明）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, ax2-x1>1且ax1>0,

∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0,又x1+1>0,x2+1>0

∴x2-2x1-2(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)3(x2-x1)-==>0,

x2+1x1+1(x1+1)(x2+1)(x1+1)(x2+1)

x2-2x1-2- >0 x2+1x1+1于是f(x2)－f(x1)=ax2-ax1+

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数

(2）证法一设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0, 则ax0=-x-2x0-2且由0＜ax0＜1得0＜－0＜1, x0+1x0+1

1＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根2

设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0, 即

则x0-2＜－2,ax0＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾， x0+1

x0-2>0, ax0>0， x0+1若x0＜－1,则

∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根9(1）证明设x1＜x2,则x2－x1－111>－,由题意f(x2－x1－)>0, 222

∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)

11=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0, 22

∴f(x)是单调递增函数(2)解f(x)=2x+1验证过程略

高中数学中对称性问题总结.doc

对称性与周期性函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。

高中数学总结归纳抽象函数的对称性

抽象函数的对称性关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2

高中函数对称性总结

高中函数对称性总结新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上

高中数学中对称性问题

标准文档实用文案对称性与周期性函数对称性、周期性的判断 1.函数()yfx?有()()faxfbx???（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()axbxab?????），则()fx的图像关于2abx??轴对称；当ab?时，若()() (()(2))faxfaxfxfax?????或，则()fx关于xa?轴对称； 2.函数()yfx?有()()fxafxb???（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()xaxbab?????），则()fx是周期函数，其周期Tab??；当ab?时，若 ()()fxafxa???，则()fx是周期函数，其周期2Ta?； 3.函数()yfx?的图像关于点(,)Pab对称?()(2)2 (()=2(2))fxfaxbfxbfax?????或；函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称? ()=(2) fxfax??( ()=())faxfax???或； 4.奇函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且 4Ta?是函数的一个周期； 5.奇函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且4Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期； 6.函数()yfx?的图像关于点(,0)Ma和点(,0)Nb对称?函数()yfx?是周期函数，且2()Tab??是函数的一个周期； 7.函数()yfx?的图像关于直线xa?和直线xb?对称?函数()yfx?是周期函数，且 2()Tab??是函数的一个周期。标准文档

高中数学中的对称性问题

高中数学中的对称性与周期性一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

(完整版)常见函数对称性和周期性

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

(新)高中数学奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性与周期性一、填空题 1．已知函数f(x)＝1＋m ex －1是奇函数，则m 的值为________．解析：∵f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋m ex －1＝0， ∴2－ mex ex －1＋m ex －1＝0，∴2＋m ex －1 (1－ex)＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. 答案：2 2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝2－x －3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x ，所以f(－2)＝3 －22＝－1. 答案：－1 3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R ，∴f(0)＝0?a －120＋1＝0?a ＝1 2. 经检验，当a ＝1 2 时，f(x)为奇函数．解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －1 2－x ＋1＝－????a －12x ＋1. ∴2a ＝ 12x ＋1＋2x 1＋2x ＝1，∴a ＝1 2. 答案：1 2 4．若f(x)＝ax2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，则a ＝________，b ＝ ________. 解析：由a －1＝－2a 及f(－x)＝f(x)，可得a ＝1 3，b ＝0. 答案：13 5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________．解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x ∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集为：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}．答案：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}

高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数．如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点．周期性：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0．对称性：若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图：

高中数学函数的对称性与周期性讲义

高中数学函数的对称性与周期性讲义一、引例：若)(x f 是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,x f r x ∈?某一个，那么对于每个条件下的)(x f ，各具有哪些特殊性质？ (1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f (2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+ (3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+ 二、函数的对称性 1、轴对称 )()()() 2()() ()()(] 0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-?-=?-=+?=?=轴对称关于对称关于 2、点对称 0 )()()()()00()(] 0[) ()()2()()0,()(] 0[2)()()2(2)(),()(=-+?--=?=-=+?--=?==-++?--=?x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b b x a f x a f x a f b x f b a x f 对称，关于对称关于对称关于 3、本质特征：【自变量】为常数）（定义域）且a a x x D x x (2212,1=+∈? 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2 )()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心（对称中心中心对称 →+→→=+ 模型：对称关于2 )()()(,b a x x f x b f x a f D x +=?-=+∈? 对称关于)0,2 ()()()(,b a x f x b f x a f D x +?--=+∈? 三，函数的周期性定义：设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈?对于都存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期，【自变量】 D x x ∈?21,（定义域）且T x x =-21（T 为非零常数）

高一数学--奇偶性

高一数学第四讲函数的奇偶性一、知识要点： 1、函数奇偶性定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。 (2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，（3）简单性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇二、基础练习： 1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？反之是否成立？ 2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x . 3.设函数若函数2 ()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2 -2x ，则在x<0上f (x )的表达式为 5. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是三、例题精讲：题型1：函数奇偶性的判定例1. 判断下列函数的奇偶性： ① x x x x f -+-=11)1()(,②y =,③22 (0)()(0) x x x f x x x x ?+??④2 211)(x x x f --= 变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数： ① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）

高中数学奇偶性,周期性,对称性知识点及题型讲解(全面)【精品】

课题1：奇偶性知识点：【例】设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2 +2x+a(a 为常数）则f （-1）= 【答案】-1【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0；f(0)=a=0，所以f(x)=x 2 +2x ；所以f （-1）=（-1）2 +2（-1）=-1. 【例】设f(x)=lg( a +x -12 )是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.（-1,1）

【答案】A 【解析】f(x)=lg( a +x -12 )是奇函数，且在x=0处有定义则f(0)=0，即f(0)=lg( a +0 -12 )=0，则a=-1;f(x)<0,即 lg(a +x -12)<0得?????<--<±≠111201 x x ，解得-1

高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性： 1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称 3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称 4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称 5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称 6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称 7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称 8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)] ∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 . 例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b] ∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 . 二、函数的周期性令a , b 均不为零，若： 1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a| 2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a| 3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a| 4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a| 5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a| 这里只对第2~5点进行解析。第2点解析：令X=x+a ，f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)] ∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a

高中数学点线对称问题

对称问题专题【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ，特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）；（2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）；（3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）；（4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）；（5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】【例1】求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0，可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0，解：由解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上

北京四中高中数学奇偶性基础知识讲解新人教A版必修1

函数的奇偶性【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数

高中数学函数地单调性奇偶性周期性对称性及函数地图像

实用文档文案大全函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导单调性：设函数y＝f(x)定义域为A，区间M?A，任取区间M中的两个值x1，x2，改变量Δx＝ x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称f(x)在区间M上是增函数，当Δy=f(x2)－f(x1)＜0时，就称f(x)在区间M上是减函数．如果y＝f(x)在某个区间M上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当x1＜x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性： (1)设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质： f(x)奇函数?f(x)的图象关于原点对称． f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．

高中数学人教版必修奇偶性教案(系列五)

1.3.2 奇偶性整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然. 值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明. 三维目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力. 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想. 重点难点教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 安排 1 教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，

我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y 轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究. 思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x 2和y=x 3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性. 推进新课新知探究提出问题 ①如图1-3-21所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 图1-3-21 ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=x 2 表1 x 3 2 1 0 1 2 3 f(x)=|x| 表2 ③请给出偶函数的定义？ ④偶函数的图象有什么特征？ ⑤函数f(x)=x 2,x ∈［1,2］是偶函数吗？ ⑥偶函数的定义域有什么特征？ ⑦观察函数f(x)=x 和f(x)= x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生: ①观察图象的对称性.

高中数学不等式归纳讲解

第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F（x）＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。

④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0 )x (G 0 )x (F <<同解不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n ) a ...a a (G = 3、算术平均数： n ) a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n ) a ...a a (Q 2 n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2a b b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)

文档之家