一、设)
,(y x d 为空间
X 上的距离，试证：)
,(1)
,(),(~x y d x y d x y d +=
也是X 上的距离。 证明：显然
,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~
。
再者，
),(~)
,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；
最后，由
t
t t +-
=+11
11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 )
,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++
++=+++≤+=
),(~),(~)
,(1)
,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤
。
二
、设
1p ≥，1()()(,,,)i n n p n x l ξξ=∈L L ，Λ
,2,1=n ，
1(,,,)p
i x l ξξ=∈L L ，则
n →∞时，
1()1(,)0p
p n n i i i d x x ξξ∞
=?
?=-→ ???
∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,i =L
；
)2(0ε?>，
存在
0N >，使得
()1
p
n i i N ξε∞
=+<∑
对任何自然数n 成立。
必要性证明：由1
()
1(,)0p
p
n n i i i d x x ξξ∞
=??=-→ ???
∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =L 。
由
1(,,,)p
i x l
ξξ=∈L L 可知，
ε?>，存在
10
N >，使得
11
()2
p
p
i i N εξ∞
=+<∑
，并且
1
n N >时，
()
1
()2
p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得，
11
111()
()1
1
1p p p
p
p p
n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞
∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ???????
∑
∑∑对1n N >成立。
对于
11,2,n N =L ，存在20N >，
2()1
p
n p
i i N ξε∞
=+<∑
。取
{}12max ,N N N =，则
()1
p
n p i
i N ξ
ε∞
=+<∑
对任何自然数n 成立。
充分性证明：由条件可知，
0ε?>，存在0K >，使得
()1
()2p n p
i
i K ε
ξ
∞
=+<∑
对任何自然数
n 成立，并且
1
()2
p
p i i K εξ∞
=+<∑
。
由
()n i
i ξ
ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1
K
p
n p i
i
i ξ
ξε=-<∑，并且
()()()1
1
1(,)K
p
p
p
p
n n n n i i
i i i i
i i i K d x x ξ
ξξ
ξξξ∞
∞
===+=-=-+
-∑∑∑
11()()1
11()()2p
K
p
p p n n p p p i i
i i i i K i K ξξξξε∞∞
==+=+??≤-++< ???
∑∑∑。
三、在],[b a L p )
1(≥p 上定义距离：
()
1
(,)()()b
p
p
a
d x y x t y t dt
=
-?
，则在此距离诱导的
极限意义下，
)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ；)2({})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。
必要性证明：由
0),→x x n （ρ，可得0>?σ，?
?≥--≥
-)
()()(σx x E p
n E
p
n n dt x x dt t x t x
)((σσ≥-?≥x x E m n p ，Λ
,2,1=n ，令
∞→n ，可得0)((→≥-σx x E m n 。即)(t x n 依测度收敛于
)(t x 。
由
)(t x 的积分绝对连续性可知，对任何0>ε，存在01>δ，使得E e ?，1δ e p p dt t x 2 ))((1ε 。对上述 >ε，存在 0>N ，使得N n >时， ?<-E p p n dt t x t x 2 )()(1ε ）（， 从而 ε <+-≤+-≤?????p e p p E p n p e p p e p n p e p n dt x dt x x dt x dt x x dt t x 11111 )()()()())(， 即 ε e p n dt t x 1))(，对 Λ ,1,+=N N n ，成立。 对于 N n ,,2,1Λ=，易知存在02>δ，使E e ?，2δ （? p n dt t x ε)(）。 取 ) ,m in(21δδδ=，则 E e ?，δ e p n dt t x 1))(，对每个自然数 n 成立。 即 {} )(t x n 在 ],[b a 上具有等度绝对连续的积分。 充分性证明：对任何 >ε，令 )()(εε≥-=x x E E n n ，则0)(→εn mE 。由此可知，对任何0>δ，存在0>N ，使得 N n >时，δε<)(n mE 。 令 )()(εε<-=x x E F n n ，则? ? -+ -= n n E F p n p n n p dt x x dt x x x x ),(ρ。此时， p E p p E p E p n p n n n n dt x dt x dt x x ?????? ?????+≤-1 1)()(， p F p n a b dt x x n ε?-<-? )(。
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