投资组合的选择（M）
投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资选择中选择具体的一些投资，如股票和债券、共有基金、信用合作社、保险公司等等，银行经理们经常会遇到这样的麻烦。投资组合选择问题的目标函数通常是使预期收益最大化或使风险最小化。约束条件通常表现为对准许的投资类型，国家法律，公司政策，最大准许风险等方面的限制。对于此类问题，我们可以通过使用各种数学规划方法建立模型进而求解。此节中，我们将把投资组合选择问题作为线性规划问题来求解。
假设现在有一家坐落于纽约的威尔特（Welte）共有基金公司。公司刚刚完成了工业债券的变现进而获得了100,000美元的现金，并正在为这笔资金寻找其他的投资机会。根据威尔特目前的投资情况，公司的上层财务分析专家建议新的投资全部投在石油、钢铁行业或政府债券上。分析专家已经确定了5个投资机会，并预计了它们的年收益率。表4-3是各种投资及它们的收益率。
投资预期收益率（%）
大西洋石油7.3
太平洋石油10.3
中西部钢铁 6.4
Huber钢铁7.5
政府债券 4.5
威尔特的管理层已经设置了以下的投资方针：
1.在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于50000美元。
2.对政府债券的投资至少相当于对钢铁行业投资的25%。
3.对太平洋石油这样高收益但高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石油行业投资的60%。
可使用的100,000美元应该以什么样的投资方案（投资项目及数
量）来投资呢？以预期收益最大化为目标，并遵循预算和管理层设置的约束条件，我们可以通过建立并解此问题的线性规划模型来回答它。解决方案将为威尔特共有基金公司的管理层提供建议。
投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资中选择一些具体的方案，如股票和债券。共同基金经理、信用合作社、保险公司以及银行经常遇到这样的问题。投资组合选择问题的目标函数通常是是预期收益最大化或风险最小化。约束条件通常表现为对允许的投资类型、国家法规律、公司政策、最大准许风险等方面的限制。我们可以通过使用各种数学规划方法建立模型进而求解。
这笔可使用的100000美元资金应以怎样的投资方案（投资项目及数量）来分配呢？以预期收益率最大化为目标，并根据预算和管理层的约束条件，我们可以通过建立此问题的线性规划模型来求解。求解的结果将为威尔特公司的管理层提供建议。
解：设决策变量为：
设A—投资于大西洋石油的资金数
P——投资于太平洋石油的资金数
M—投资于中西部钢铁的资金数
H—投资于Huber钢铁的资金数
G—投资于政府债券的资金数
利用表4-3提供的预期收益率，我们得出投资收益最大化的目标函数：设可用的100000美元资金的约束条件为：
A+P+M+G=100000
在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于50000美元的约束条件为：
A+P<50000 M+H< 50000
对政府债券的投资至伞相当于对钢铁行业投资25%的约束条件为：G>=0.25(M+H)或-0.25M-0.25H+G>0
最后，对太平洋石油投资额不得多于对整个石油行业投资的60%的约束条件为：
P <=0.60(A+P)或-0.60A+0.40P<= 0
加入这些非负约束后，我们得到了威尔特公司完整的线性规划模型：Max =0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G
A+ P+ M+ H+ G=100000 可用资金
A+ P<=S50000石油行业最大投资额
M+ H <=50000钢铁行业最大投资额
-0.025M-0.025H+ G< 0 政府债券
-0.6A+0.4P<=0太平洋石油
A，P，M，H，G>=0非负约束
这个线性规划问题的最优解决方案表二。表一展示了资金如何在各种证券中分配。注意，最有解决方案显示投资结构应包含除中西部钢铁外所有的投资机会。此投资组合的预期年收益为8000美元，即8%的年收益率。
最优方案显示了约束条件3的对偶价格为零。原因是，钢铁行业的最大投资额是一个非束缚性约束:对其50000美元的限制额的增
加，并不能提高目标函数值。事实上，此约束条件的松弛变量表明，目前钢铁行业的投资限额是10000美元，他低于50000美元的投资限额。其他约束条件的对偶价格都不是零，表明它们都是束缚性约束。
约束条件1的对偶价格(K069表明，为投资组合每多提供1美元，目标函数值将增加0.069美元。如果能以低于6.9%的成本获得更多资金，管理者应考虑取得它们。但是，如果可以通过在别处的投资（并非这5种证券）获得高于6.9%的收益，那么管理者们应质疑将全部100000美元的投资投于这个投资组合中是否明智。
表一威尔特公司的最佳投资组合
投资数量（美元）预期年收益率(美元）大西洋石油20000 1460
太平洋石油30000 3090
Huber钢铁40000 3000
政府债券10000 450
总计100000 8000
预期年收益8000美元
总计年收益=8%
其他对偶价格的解释类似。注意约束条件4的对偶价格是负数，-0.024.这表明右端系数每增加一个单位的值，将给目标函数带来
0.024美元的损失。这对于最佳投资组合而言，即如果威尔特公司美多投资1美元于政府债券，那么总的收益将减少0.024美元。
表二
变量值降低成本约束条件盈余/亏损双重价格
A 2000.000 0.000 1 0.000 0.069
P 3000.000 0.000 2 0.000 0.022 N 0.000 0.011 3 1000.000 0.000
H 4000.000 0.000 4 0.000 -0.024
G 1000.000 0.000 5 0.000 0.030 为了弄清楚这个减少值发生的原因，注意约束条件1的对偶价格，可以知道，投资于该组合的资金的边际收益率是6.9% (平均收益率是8%)，投资于政府债券的的边际收益率4.5%。因此，每投资1美元于政府债券的成本是投资组合的边际收益率于政府债券的边际收益率的差值：
6.9%-4.5%=2.4%。
要注意的是，最佳解决方案显示中西部钢铁不应该背包含在此投资组合中（M=0)。
M的递减成本下降0.011告诉我们，在认为改变对中西部钢铁的投资是明智之举之前，中西部的钢铁目标函数的系数应先增加
0.011，这样的话中西部钢铁的年收益率应该是：
0.064+0.011=0.075。
这使得这个投资组合与现在所用的Huber钢铁投资选择一样令人满意。
最后，对威尔特公司线性规划模型做简单的修改（即我们将每个
右端系数的值都除以10000 ),就可以得出投资于每种证券的资金的数量大小。这样投资于任意大小的投资组合中每种证券的资金数量将由变量的最优值得出。