高考数学
二项式定理知识点及 11 种答题技巧
1．二项式定理：
(a b)n
C n
0a n C 1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n
(n N )，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做 (a b)n
的二项展开式。 ②二项式系数 :展开式中各项的系数 C n r
(r 0,1,2, ,n) . ③项数：共 (r 1)项，是关于 a 与 b 的齐次多项式
④通项：展开式中的第 r 1项 C n r
a n r
b r
叫做二项式展开式的通项。用 T r 1 C n
r
a n r
b r
表示。 3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有 (n 1) 项。
②顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 (a b)n
与(b a)n
是不同的。 ③指
数：
a 的指数从 n 逐项减到 0，是降幂排列。
b 的指数从 0逐项减到 n ，是升幂
排列。各项的 次数和等于 n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
C n 0,C 1n ,C n 2, ,C n r , ,C n n
.项的系
数是 a 与 b 的系数(包括二项式系数) 。
4．常用的结论：
令 a 1,b x, (1 x)n C n 0 C n 1x C n 2x 2 L C n r x r L C n n x n
(n N )
令 a 1,b x, (1 x)n C n 0 C n 1x C n 2x 2
L C n r x r L ( 1)n C n n x n
(n N )
5．性质：
①二项式系数的对称性： 与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等， 即C n
C n n ，···C n k C n k 1 ②二项式系数和：令 a b 1, 则二项式系数的和为
C n 0 C 1n C n 2 L C n r
L
nn
C
n
变形式 C n 1 C n 2 L C n r L C n n
2n
1。
③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令 a 1,b 1 ，则 C n 0 C n 1 Cn
2
Cn
3 L ( 1)n C n n
(1 n
1)n 0 ，
题型一：二项式定理的逆用； 例： C 1
n C n 2
6 C n 3
62
L C n n
6n 1
解： (1 6)n
C n 0
C n
1 6 C n 2
62
C n 3
63
L
1
2
3 2
n n1
11 C n C n 6 C n 62 L
C
n 6n 1 6 (C n 1 6 16(C n 0
C n 1 6 C n 2 62 L C n n 6 n
1) 练： C 1n 3C n 2 9C n 3 L 3n
1n C n
解：设
S n
C 1n 3C n 2 9C n 3 L3
n 1 n
C
n
，
则
3S n
C n 1
3 22
Cn 23
2
Cn 33
3
L
Cn n 3
n
C 0
C
n
S n
(1 3)n 1 4n
1
3
3
C n n 6n
与已知的有一些差距，
6 C n 2 62 L C n n 6n
) 1 n 1 n
[(1 6) n 1] (7 n 1) 66 C 13 C 232 C 333 L C n 3n 1 (1 3)n
1
取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n
展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
A
r 1 A r
，从而解出 r
来。
A
r 1 A r 2
(a
n0 x) C n a n0
x 1n C n a 1
x Cn 2a
n
22 x L n 0 n 1 C n a x a 0 a 1x 2
a 2x (x a)n C n 0a 0n x C n 1ax n1 C n 2a 2 n2 x L n n 0 n C n a x a n x L 2 a 2x
令x 1, 则 a 0 a 1 a 2 a 3L a n (a 1)n ①
令x 1,则a 0 a 1 a 2 a 3 L a n
(a 1) n ②
① ②得 ,a 0 a 2 a 4L a n (a 1)n (a 2 1) (奇数项的系数
和
)
① ②得 ,a 1 a 3 a 5L a n (a 1)n
(a 2 1)
(偶数项的系数和 )
④奇数项的系数和与偶数项的系数和： n
L a n x 1 a 1x a 0 ⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数 n 是偶数时， 则中间一项的二项式系数
从而得到： C n 0 C n 2 C n 4 C n 2r C n 1 C n 3 L C n 2r 1
1
2n
2n
n
C n 2 取得最大
值。 如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 n 1 n 1
C n 2 , C n 2
同时
为 A 1, A 2, ,A n 1 ，设第 r 1项系数最大，应有
二项式定理的十 种考题的解法】
6
所以当 r
3 时，
27 r
4 ， T 4 ( 1)3C 93x 4
84x 4
，
n
题型二：利用通项公式求 x 的系数； 例：在二项式 (4 1 3
x 2 ) n
的展开式中倒数第 3项的
系数为 45 ，求含有 x 3
的项的系数？
解：由条件知 C n n 2 45，即 C n 2 45， n 2
n 90 0 ，解得 n 9(舍去)或n 10，由
1 2 10 r 2r
T r 1 C 1r 0 ( x 4)10 r (x 3)r C 1r 0x 4 3 ，由题意 10 r 2
r 3,解得 r 6，
43
则含有 x 3的项是第 7项T 6 1 C 160x 3 210x 3
,系数为 210。 练：求 (x 2 1
)9
展开式中 x 9
的系数？
2x 解：T r 1 C 9r (x 2)9 r ( 1 )r C 9r x 18 2r ( 1)r x r C 9r ( 1)r x 18 3r
，令18 3r 9,则r 3 r 1 9 2x 9 2 9
2
1 21
故
x 的系数为 C 9 ( ) 。
22
题型三：利用通项公式求常数项； 1 10
)10
的展开式中的常数项？
2x
1
6
练：求二项式 (2x )6
的展开式中的常数项？
2x
解：T r 1 C 6r (2x)6 r ( 1)r ( 1 )r ( 1)r C 6r 26 r (1)r x 6 2r
，令6 2r 0，得 r 3，所以
2x 2
33
T 4 ( 1)3C 63
20
练：若 (x 2 1
)n
的二项展开式中第 5项为常数项，则 n _ .
x
解：T 5 C n 4(x 2)n 4(1)4 C n 4x 2n 12
，令 2n 12 0，得 n 6.
x
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 ( x 3
x)9
展开式中的有理项？
1 1 27 r
解：T r 1 C 9r (x 2)9 r ( x 3)r ( 1)r C 9r x 6 ，令 276 r
Z ,( 0 r
例：求二项式 (x 2
解： T
r 1
5
1 20 5
r 5
C 1r 0(1)r x 2
，令 20 5r
0 ，得 r 8
1 8 45
8，所以 T 9 C 180(21)8 2455
6
9) 得r 3或 r 9，
r
C1r 0 ( x
2
)10 r
当r 9时， 276
r 3，T 10 ( 1)3C 99x 3
x 3
。
题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和； 例：若 ( x 2
312 )n
展开式中偶数项系数和为 256，求 n .
3
x
2
a 0,a 1, a n ,
令 x 1, 则有 a 0 a 1 a n 0, ①， 令 x 1, 则有
a 0
a
1 a
2
a 3
( 1)n
a n
n
2n
,②
将① -
②得：
2(a 1 a 3 a 5 n ) 2n , a 1 a 3 a 5
2n1
有题意
得， 2n1
256
28
， n 9 。
练：若 (3 1
5
2
) 的展开式
中，
所有的奇数项的系数和为
1024，求它的中间项。
x x
解： Q C n 0
C 2
C n 4 Cn
2r C n 1 C n 3
L
2r 1
C
n
2n1，
n1
2n 1
解
得
n 11 所以中间两个项分别为 n 6,n 7，T 51 C n 5
(31
)6
(512
)5 462 x 4
，T 6 1 462 x 15
题型六：最大系数，最大项；
1
n
例：已知 ( 2x)n
，若展开式中第 5项，第 6项与第 7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二
2
项式系数最大项的系数是多少？
解：Q C n 4
C n 6
2C n 5
, n 2
21n 98 0,解出 n 7或n 14，当 n 7时，展开式中二项式系数
1 35 1 最大的项是 T 4和T 5 T 4的系数 C 73(1)423 35, ， T 5的系数 C 74(1)324
70, 当n 14
2 2 2
时，展开式中二项式系数最大的项是 T 8， T 8的系数 C 174(1)727
3432 。
2
练：在 (a b)2n
的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数 2n ，则中间一项的二项式系数最大，即 T 2n T n 1 ，也就是第 n
1项。
1 2
练：在 (2x
3
1 )n
的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：设
( x 2
展开式中各项系数依次
解：只有第5项的二项式最大，则n 1 5，即n 8, 所以展开式中常数项为第七项等于
2
6(1)2 7
C
8
2
例：写出在 (a b)7
的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数 7 是奇数，所以中间两项 ( 第4,5项 ) 的二项式系数相等，且同时取得最大
值，从而有 T 4 C 73
a 4
b 3
的系数最小， T 5 C 74
a 3
b 4
系数最大。
1
若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求 (1
2 2x)n
的展开式中系数最大的项？
题型七：含有三项变两项；
25
例：求当 (x 2
3x 2) 5
的展开式中 x 的一次项的系数？
解法①： (x 2
3x 2)5
[(x 2
2) 3x]5
，T r 1 C 5r
(x 2
2)5 r
(3x)r
，当且仅当 r 1时，T r 1的
展开式中才有 x 的一次项，此时T r 1 T 2 C 51
(x 2
2)4
3x ，所以 x 得一次项为
C 1
5C 4
4243x 它的系数为 C 51
C 4
424
3 240 。
解法②： (x 2
3x 2)5
(x 1)5
(x 2)5
(C 50
x 5
C 51
x 4
C 55)(C 50x 5 C 51x 4
2
C 5525
)
故展开式中含 x 的项为 C 54
xC 55
25
C 54
x24
240x ，故展开式中 x 的系数为 240.
1
练：求式子 ( x 1
x
3 2)3 的常数项？
解： (x 1
x 2)3
( x 1 )6
，设第 r 1项为常数项，则
T r 1 C 6r ( 1)r
x 6 r (1)r ( 1)6C 6r x 6 2r ，得6 2r 0, r 3,
T 31 ( 1)3C 63 20.
x
例：
解： 由 C n 0
C n 1
C n 2
79,解出 n 12 ,假设T r 1项最大， 1 12 1 12 12
Q (21 2x)12 (21)12(1 4x)12
练： 解： A Ar r 11 A A r r 2 C C 11r 2244r C C 11r 22144
r 1，化简得到 9.4
展开式中系数最大的项为 T 11 ,有T 11
(1)12C 1120410x 10
在
(1 2x)10
的展开式中系数最大的项是多少？ 假设
T r 1 项最大， r r r
Q T r 1 C 1r
0 2r
x r
r 10.4，又Q0 r 12 ， r 10，
16896x 10
A r 1 A r A
r 1
A
r 2
r r r 1 r 1 C
10
2
C
10
2 解得 2(11
C 1r 02r C 1r 0 12r 1, r 1
r) r
，化简得到 6.3 k
7.3 Q 0 r 10 ， r 7 ，展开式中系数最大的项为 C 170 27x 7 15360x 7
.
题型八：两个二项式相乘；
例： 求(1 2x)3(1 x)4展开式中 x 2的系数 . 解： Q (1 2x)3的展开式的通项是 C 3m (2x)m C 3m 2m x m ,
(1 x)4的展开式的通项是 C 4n ( x)n C 4n 1n x n
,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4, 令m n 2,则m 0且n 2,m 1且 n 1,m 2且n 0,因此 (1 2x)3(1 x)4 的展开式中 x 2
的系数等于 C 30
20
C 42
( 1)2
C 31
21
C 41
( 1)1
C 32
22
C 40
( 1)0
6 .
练： 1 求(1 3 x)6
(1 41 )10
展开式中的
常数项 . 4
x
m n 4m 3n
解：
(1 3 x)6(1 41 )10
展开式的通项为 C 6
m x 3
C 1n 0
x 4 C 6m
C 1n 0
x 12 4
x
其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10,当且仅当 4m 3n,即 m 0,
或 m 3,
或 m 6,
n 0, n 4, n 8,
时得展开式中的常数项为 C 60 C 100 C 63 C 140 C 66 C 18
0 4246.
练： 1
已知 (1 x x 2)(x 3 )n 的展开式中没有常数项 ,n N *且2 n 8,则n _____ . 解： (x 1
3
)n
展开式的通项为 C r
n x n r
x 3r
C r n
x
n 4r
,通项分别与前面的三项相乘可
得 x C r n x n 4r
,C r n x n 4r 1,C r n x n 4r 2
,Q 展开式中不含常数项 ,2 n 8
n 4r 且 n 4r 1且 n 4r 2，即 n 4,8且 n 3,7且 n 2,6, n 5.
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例： 在(x 2)
2006
的二项展开式中 ,含x 的奇次幂的项之和为 S,当x 2时,S 解： 设(x 2)
2006
=a 0 a 1x 1 a 2x 2 a 3x 3 L a 2006 x 2006 ----- ①
2006 1 2 3 2006
( x 2) =a 0 a 1x a 2x a 3x L a 2006x
(x 2) 2006展开式的奇次幂项之和为 S(x) 1[(x 2) 2006
2 当x 2时,S( 2) 1
[( 2 2) 2006
( 2
2) 2006
]
2
① ②得 2(a 1x a 3x 3
5
a 5x L
2005 2006
a 2005x ) (x 2) (x
3 2006
2 2
23008
22
(x 2) 2006 ]