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函数与方程、不等式相结合问题

知识拓展

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数,则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号． 2．三个等价关系

方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点．

题型分析

(一) 函数与方程关系的应用

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点. 【例1】已知函数2||

()2

x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是【分析】把函数2||

()2

x f x kx x =

-+（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程1(2)k x x =

+有三个不同的根,再利用函数图象求解

【点评】()()y f x g x =- 零点问题也可转化为方程()()f x g x =的根的问

题,()()f x g x =的根的个数问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数

问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程

()()f x g x =根的个数．

【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】．设函数()x f x e x a

=+-（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得00(())f f y y =，

则a 的取值范围是．【答案】[]1,e

【解析】由题设00(())f f y y =及函数的解析式可知11,0)(≤≤-≥y x f ，所以

10≤≤y ．由题意问题转化为“存在]1,0[∈x ，使得x a x e x =-+有解”，即

a x x e x +-=2在]1,0[有解，令x x e x h x +-=2)(，则12)(/+-=x e x h x ，当0>x 时，

函数x x e x h x

+-=2

)(是增函数；所以10≤≤x ，当)1()()0(h x h h ≤≤，即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ，故应填答案[]1,e . (二) 函数与不等式关系的应用

函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y ＝f (x ),当y >0时,就转化为不等式

f (x )>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式

的应用.

【例2】已知函数21

()log , 1x x x f x x x ?-+≤?

=?>?? ,()|||1|g x x k x =-+-,若对任意的12,x x ∈R ,

都有12()()f x g x ≤成立,则实数k 的取值范围为 .

【分析】根据题中条件：对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,将问题转化为

max

min ()()f x g x ≤.再由题中所给两函数的特征：函数21

()log , 1x x x f x x x ?-+≤?

=?>??是一确定的分

段函数,由它的图象不难求出函数的最大值max ()f x =

；而另一个函数()|||1|g x x k x =-+-中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值

min ()|1|,g x k =-,即可得到不等式1

|1|4

k -≥

,则可求出k 的取值范围.

【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：≤±≤-||||||b a b a ||||b a +对,a b ∈R 是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.

【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式

()()2225ln ln 0y x y x x y ??+--?-≤??对任意的()0,y ∈+∞恒成立，则实数x 的取值集合

为________．【答案】52??

????

(三) 函数、方程和不等式关系的应用

函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.

【例3】已知函数e ()ln ,()e x

f x mx a x m

g x =--=,其中m ,a 均为实数． (1)求()g x 的极值；

(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111

()()()()

f x f x

g x g x -<-恒成立,求a 的最小值；

(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得

120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围．

【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值；（2）

此总是首先是对不等式21()()f x f x -<

2111

()()

g x g x -

恒成立的转化,由（1）可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数

()

g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x - 1()f x <

21()g x 11()g x -,整理为212111

()()()()

f x f x

g x g x -<-,由此函数

1()()()

u x f x g x =-在区间[3,4]上为减函数,则21e (1)

()10e x a x u x x x -'=--?≤在

（3,4）上恒成立,要求a 的取值范围．采取分离参数法得1

e e

x x a x x

---+≥恒成立,于是问题转化为求1

e ()e

x x v x x x

--=-+在[3,4]上的最大值；（3）由于0x 的任意性,我们可先求出()g x 在(0,]e

上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =

2()f t 0()g x =成立”,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为

（20e m <

<）,其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2

(0,)m

上,存在t ,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围.

【解析】（1）e(1)

()e

x g x -'=,令

()0g x '

=,得x = 1．列表如下：

∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值．（2）当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--,(0,)x ∈+∞． ∵()0x a

f x x

-'=

>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数．设1e ()()e x h x g x x ==,∵12

e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立, ∴()h x 在[3,4]上为增函数．设21x x >,则212111

()()()()

f x f x

g x g x -<

-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-, 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．

设1e ()()()ln 1e x

u x f x h x x a x x =-=---?,则u (x )在[3,4]为减函数．

∴21e (1)

()10e x a x u x x x -'=--?≤在（3,4）上恒成立．

∴1

e e

x x a x x

---+≥恒成立．设11

e ()e x x v x x x --=-+,∵11

e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24

x x ---+,x [3,4], ∴1221133

e [()]e 1244x x --+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．

∴()v x 在[3,4]上的最大值为v (3) = 3

2e 3

． x

（∞,1） 1 （1,∞） ()g x '

0 g (x )

↗

极大值

↘

∴a ≥3

2e 3,∴a 的最小值为3 2

2e 3

．（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． ∵()2ln f x mx x m =--,(0,)x ∈+∞,

当0m =时,()2ln f x x =-在(0,e]为减函数,不合题意．

当0m ≠时,2()

()m x m f x x

'=,由题意知()f x 在(0,e]不单调,

所以20e m <

<,即2

m >．① 此时()f x 在2(0,

)m 上递减,在2

(,e)m

上递增, ∴(e)1f ≥,即(e)e 21f m m =--≥,解得3

e 1

m -≥．② 由①②,得3

e 1

m -≥

． ∵1(0,e]∈,∴2

()(1)0f f m =≤成立．

下证存在2

(0,]t m ∈,使得()f t ≥1．

取e m t -=,先证e 2

m m

,即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-,则()2e 10x w x '=->在3

[,)e 1

+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[

,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01

((w x w ->≥,∴③成立．再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥

,∴3

e 1m -≥

时,命题成立．综上所述,m 的取值范围为3

[

,)e 1

+∞-．【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.

【小试牛刀】已知定义在()0,+∞的函数()()41f x x x =-,若关于x 的方程

()()()2320f x t f x t +-+-=有且只有3个不同的实数根,则实数t 的取值集合

是．【答案】{}

2,522-

五、迁移运用

1．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】已知函数

()()221,0,{ ,0,

x ax a x f x ln x x --+≥=-< ()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，

则实数a 的取值范围是________. 【答案】()511,?-?+∞????

【解析】令()()0,f t t g x ==

当10a -<时()f t 有两个零点121,1t t =->，需1211a a --∴

当1=0a -时()f x 有三个零点， 1231,0,=2t t t =-=， 121a -=-Q 所以函数

()()y f g x =有5个零点，舍；

当10a ->时，由于121a ->-

所以2

4440a a ?=+-> ，且2

112a a a a +->- 5-1

1a << 综上实数a 的取值范围是()51,11,2??

?+∞ ? ???

2．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数

()()212f x x mx x R =++

∈，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为1

，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______.

【答案】()01，

【解析】

若0m ≥，则()2

12f x x mx =++

在[]0,2上递增， ()2

12f x x mx =++有最小值12

，不合题意， 0m ∴<，要使()f x 在[]

0,2的最大值为12，如果22

-≥，即4m ≤-，则()91222f m =+

≤，得522m -≤≤-矛盾，不合题意；如果22

-<，则2

2{ { 2211

2242

m m m m m +

≤-≤≤-??=-≥--≤

， 2m ∴=-， ()2

122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有四个零点，则()y f x =与2y ax =有四个交点，只有2y ax =开口向

上，即0a >，当2

y ax =与2

122y x x ?

?=--+

???有一个交点时，方程22

1202

ax x x +-+=有一个根， 0?=得1a =，此时函数()()2

g x f x ax =-有三个不同的零点，要使函数

()()2g x f x ax =-有四个不同的零点， 2y ax =与2122

y x x ??

=--+ ??

有两个交点，则抛

物线2

y ax =的开口要比2

y x =的开口大，可得1a <， 01a ∴<<，即实数a 的取值范围

为()0,1，故答案为()0,1.

3．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，

()f x =()3,03,

{ 3

>3x x x x x

-≤≤-+，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】91,

4??

????

【解析】作图，由图可得实数m 的取值范围是91,

4??

????

4．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】若函数()21f x x =-，则函数

()()()ln g x f f x x =+在()01，

上不同的零点个数为__________．【答案】3

【解析】因为()1

4102{ 1431

x lnx x g x x lnx x -+<≤

=-+<<，

()0g x =可转化为： 10,2x ??∈ ???

，函数

41y x =-与ln y x =-以及1,12

x ??∈ ???

，函数43y x =-与ln y x =-交点的个数；作出函

数图象如图:

由函数图象可知零点个数为3个.

5．【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数(),0{

21,0

lnx x f x x x >=+≤，若直线y ax

=与()y f x =交于三个不同的点()()

,A m f m ， ()(),B n f n ， ()()

,C t f t （其中m n t <<），则1

n m

++的取值范围是__________．【答案】11,e e ??+

???

【解析】作出函数(),0{

21,0

lnx x f x x x >=+≤，的图象如图：

设直线y=ax 与y=lnx 相切于（x 0，lnx 0），则00

y | x x x '==

， ∴曲线y=lnx 在切点处的切线方程为y ﹣lnx 0=

x （x ﹣x 0），把原点（0，0）代入可得：﹣lnx 0=﹣1，得x 0=e ．

要使直线y=ax 与y=f （x ）交于三个不同的点，则n∈（1，e ），

联立

{

y x

，解得x=

．

∴m∈（

-），

∈（﹣2，

-+），

∴

++的取值范围是（1，

+）．

故答案为：（1，

+）．．

6．【江苏省徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数()22,0

{

313,0

x x

f x

x x

≤

--+>

，若存在唯一的整数x，使得

()

f x a

>成立，则实数a的取值范围为__________．

【答案】[]

0,2[]

3,8

7．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当－1＜x≤3时，()

1,11

{

12,13

x x

f x

x x

--<≤

若函数()

y f x m x

＝－恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为______.

【答案】

,8215

【解析】根据题意，得到()

f x的图象如下：

由图可知， ()f x 是偶函数，

又()y f x m x =-恰有10个不同零点，即()y f x =与y m x =的图象有10个交点，根据偶函数的特点，则在0x >的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况.

红色直线：过()6,1，则16

m =

；蓝色直线：与区间()3,4处的曲线2

815y x x =-+-相切，所以2815=x x mx -+-

只有一个解，解得8m =-

m ∴<<-8.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数,在[]0,3上单调递减,并且22()(22)5

f m f m m -->-+-,则m 的取值范围是．

【答案】112

m ≤<

【解析】由题设可得032=+-a ,即5=a ,故)22()1(2

-+->--m m f m f 可化为

)22()1(22+->+m m f m f ,又3221,31122≤+-≤≤+≤m m m ,故

2122122<

?+-<+m m m m ,且21-≥m .

故应填答案112

m ≤<. 9．已知a R ∈,函数()1

{ ,0

x a x f x x

e x -+><,若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得()()()1231

f x f x f x e x x x =

=-成立,则a 的取值范围是__________．

【答案】(,-∞-

【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ,使得

()()()1231

f x f x f x e x x x =

=-成立,则

方程()f x ex =-存在三个不相等的实根,当0x <时, ()x

f x e

ex -==-,令

()(0)x g x e ex x -=+<,则()x g x e e --'=+,令()0g x '=,得1x =-,当1x <-时,

()0g x '<,即()g x 在(),1-∞-上为减函数,

当

x -<<时,

()0

g x '>,即

()

g x 在

()1,0-上为增函

数,∴()()min 10g x g e e =-=-=,则()f x ex =-在

()

,0-∞上存在一个实

根,∴()f x ex =-在()0,+∞上存在两个不相等的实根,即1

a ex x

=-, 210ex ax ++=有两个不相等的实根,∴20

{ 240

a e

a e -

>?=->,∴2a e <-,故答案为()

,2e -∞- 10

．已知函数()()()2,0{

0,0

k x x f x k lnx x +≤=<->,若函数()()1y f f x =-有3个零点,则实

数k 的取值范围为 __________ . 【答案】k 1-＜

11．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】已知函数

()()ln ,,f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数）

（1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；

（2）若函数()()y f x g x =-在区间()1,+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()()()[],1,H x f x g x x e =?∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围.

【解析】（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（*）又()1

,f x a x

'- ()00

,f x a e x ∴=

-='

x a e

∴=

+，代入（*）得0ln 1,x = 0,x e ∴=

a e e

∴=-．

（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥，当()h x 单调递增时，则()()1

0h x a e x

=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴

()1

a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立，又()1

0,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．

当()h x 单调递减时，则()()1

0h x a e x

=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴

()1

a e x

≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤

1a e ∴≤-

综上()h x 单调时a 的取值范围为][()

,1,e e -∞-?-+∞．（3）()2

ln ln x

H x x ax ex ex a x

=-?=-，令()[]ln ,1,,x t x a x e x =

-∈则()2

1ln x

t x x -'=

，当[]

1,x e ∈时， ()0t x '≥， ()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1

a t x a e

-≤≤

-. 1）当0a -≥，即0a ≤时， ()0,t x ≥ ∴()()

[]2ln ,1,H x e x x ax x e =-∈，

则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增，

()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．

2）当

10a e -<即1

a e

>时， ()0,t x < ()()

[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈

∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e ?

???=--=-'''∈ ???????

Q I ）当21a ≥，即1

a ≥

时， ()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．

II ）当

112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a

=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,

2a ??

????

递减， 1,2e a ??????递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''

()01,x e ∴?∈使得()00,H x '=

()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．

3）当1a e =

时， ()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "

????=--=->> ? ?????'由得，

()H x ∴'在1,2e ??

????上单调递减，在,2e

e ??

????

上单调递增，

又()()2110,0H e H e e ??

=-<=

'??

'?， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．

4）当1

0a e

时， ()t x Q 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴?∈使得

ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时， ()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时， ()0t x ≥，

()()

()20

ln ,1{

ln ,e ax x x x x H x e x x ax x

x e

-≤≤∴=-≤≤，

()()()00,1{

12,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e

-≤<∴+-<≤'=，

令()[]

()2

ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '≤，即证ln 1

2ln 1,2x ax x a x

+≤+≤，又'2ln 1ln (

)0x x

x x

+=-< min ln 12x x e

+??∴= ?

??，即证1

a e

≤

，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ?∴Q 在[)01,x 递减， (]0,x e 递增，

0x ∴为()H x 的极小值.

综上当10a e <<

或11

a e <<时， ()H x 在[]1,e 上有极值点． 12．【江苏省南京市多校2017-2018学年高三上学期第一次段考】对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”. （1）已知函数()sin 3f x x π?

，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x

f x m =+是定义在[]

1,1-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若()(

)22log 2{

x mx

f x -=- ,2,2

x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取

值范围.

【解析】（1）由()()f x f x -=-，得： sin sin 33x x π

π?

?-+=-+ ? ??

? 所以3cos 0x = 所以存在02

x R π

∈满足()()00f x f x -=-

所以函数()sin 3f x x π?

是“M 类函数”，

（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m < 因为若()(

)22log 2{

x mx

f x -=- ,2,2

x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”

所以存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-

①当02x ≥时， 02x -≤-，所以()

2003log 2x mx -=--，所以00

2m x x =

- 因为函数14

2y x x

-（2x ≥）是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时， 022x -<-<，所以33-=，矛盾

③当02x ≤-时， 02x -≥，所以()

200log 23x mx +=，所以00

2m x x =-

+ 因为函数14

2y x x

+ ()2x ≤-是减函数，所以1m ≥- 综上所述，实数m 的取值范围是[

)1,1-

13．【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，

()()ln 2f x x =+.

（1）当0x <时，求()f x 的解析式；

（2）当m R ∈时，试比较()1f m -与()3f m -的大小；

（3）求最小的整数()2m m ≥-，使得存在实数t ，对任意的[]

,10x m ∈，都有

()2ln 3f x t x +≤+.

【解析】

（1）当0x <时， ()()()ln 2f x f x x =-=-+；

（2）当0x ≥时， ()()ln 2f x x =+单调递增，而()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上

单

调

递

减

，

所以

()()()()2

1313132f m f m m m m m m ->-?->-?->-?>

所以当2m >时， ()()13f m f m ->-；当2m =时， ()()13f m f m -=-；当2m <时， ()()13f m f m -<-；（3）当x R ∈时， ()()ln 2

f x x =+，则由()2ln 3f x t x +≤+，得

()()2

ln 2ln 3x t x ++≤+，即()2

23x t x ++≤+对[],10x m ∈恒成立从而有22

{ 77

t x x t x x ≤++≥---对[],10x m ∈恒成立，因为2m ≥-，所以(

)(

)

22min 2

min

5757{

7777

t x x m m t x

x m m ≤++=++≥---=---

因为存在这样的t ，所以227757m m m m ---≤++，即2

670m m ++≥

又2m ≥-，所以适合题意的最小整数1m =-.

14．【江苏省淮安市淮海中学2017届高三下学期第二次阶段性测试】已知函数

()()()22ln .2f x x a x a R g x ax =-∈=

（1）求函数()f x 的极值；

（2）若0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，求实数a 的值；（3若01a <<，对于区间[]

1,2上的任意两个不相等的实数12,x x ，都有

()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）()22a 2x 2a

f'x 2x x x

-=-= 当a 0≤时， ()f'x 0>，f (x)在()0,∞+上递增，f (x)无极值当a 0>时， (x a ∈时， ()f'x 0<，f (x)递减；

()

x a,∞∈

+时， ()f'x 0>，f (x)递增，所以f (x)有极小值f

a a alna =-

综上，当a 0≤时，f (x)无极值；当a 0>时，f (x)有极小值f a a alna =-，无极大

值

（2）()2

h x x 2alnx 2ax =--，则()22a 2x 2ax 2a h'x 2x 2a x x

--=--= 因为a 0>，令()h'x 0=，得20a a 4a

x ++=，故h (x)在()00,x 上递减，在()

0x ,∞+上递增，所以h (x)有极小值()0h x 0= 2

000x 2alnx 2ax 0--= 且2

002x 2ax 2a 0--= 联立可得002lnx x 10+-=

令()m x 2lnx x 1=+-，得()2

m'x 11x

+>，故m (x)在()0,∞+上递增又m (1) = 0，所以0x 1=，即

2a a 4a 1

1a 22

+=?= （3）不妨令1212x x ≤<≤，因为0 < a < 1，则()()12g x g x < 由（1）可知()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-

所以()()()()()()()()21212211f x f x g x g x f x g x f x g x ->-?->- 所以()()()2

2ln 2h x f x g x x a x ax =-=--在[1，2]上递增

所以()2'220a

h x x a x

-≥在[1，2]上恒成立，即2

x a x ≤+在[1，2]上恒成立令[]12,3t x =+∈，则

211212x t x t =+-≥+，所以10,2

a ??∈ ??

15．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知()ln f x ax x =-（a R ∈）．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x < ①求a 的取值范围；

②实数m 满足12ln ln x x m +>，求m 的最大值．【解析】

（1）当2a =时，()2ln f x x x =-

()121

2x f x x x

-'∴=-

= ()f x ∴的单调增区间为1,2??+∞ ???，单调减区间为10,2??

???

．……………………2分

（2）①()1

f x a x

'=-

Q （0x >）当0a ≤时，()0f x '≤，()f x ∴在()0,+∞上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）当0a >时，令()0f x '=，得1x a

= 列表 x 10,

a ?? ??? 1a 1,a ??

+∞ ???

()f x ' - 0 + ()f x ↓ 极小值 ↑

()1ln f x a ∴=+极小值

方程不等式与一次函数专题(实际应用)

方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用）题型一：方程、不等式的直接应用典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．．每份可得0.2元．（1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资为b 元．（1）求a ，b 的值；（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本）题型二：方案设计典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。

三角函数数列不等式

,. 玉林市第十一中学2017春段考试卷第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题 1．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 2．设数列,,,,…，则是这个数列的 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 3．一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是 A ．3 B ．3- C ．3- D ．不确定 4．（选修4—5）设,x y R +∈且2x y +=，则41x y +的最小值为（） A ．9 B ．92 C ．7 D ．72 5．已知首项为正数的等差数列{}n a 满足：0,02004200320042003+a a a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数是（） A ．4005 B.4010 C ．4011 D ．4006

,. 6．在ABC ?中，bc c b a ++=222，则A 等于( ) A ????30.45.60.120.D C B 7．在ABC ?中，若tan tan 1A B >，则ABC ?是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 .38．在等差数列{}n a 中a 3＋a 4＋a 5＝12，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则S 7 ＝( ) A.14 B.21 C.28 D.35 9．已知ABC ?中，已知45,2,2,A AB BC ∠=?= =则C ∠= （） A ．30° B ．60° C ．120° D ．30°或150° 10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，∠A=60o，1=b ， △ABC 的面积ABC S ?=3，则 C B A c b a sin sin sin ++++的值等于（） (A) 3932 (B) 3326 (C) 338 (D) 32 11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10－a 12的值为（） A.20 B.22 C.24 D.28 12．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若12345,9,a a a a +=+=则10S 的值为（） A 、55 B 、60 C 、65 D 、70 13．已知0>a ，0>b 且223=+b a ，则ab 的最大值为（）

一次函数与一次方程一次不等式

13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析：本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函数解读式为4． 1 / 7 ②当k

一次函数与方程和不等式的关系

一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2y2时，x的取值范围是（）． A．x>5 B．x<1 2 C．x<-6 D．x>-6 4．函数y=1 2 x-3与x轴交点的横坐标为（）． A．-3 B．6 C．3 D．-6 5．对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（）． A．y<4 B．y>4 C．y>6 D．y<6 6.如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（） A、x＜1 B、x＞1 C、x＜3 D、x＞3 7.直线l1：y=k1x+b与直线l1：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（） A、x＞﹣1 B、x＜﹣1 C、x＜﹣2 D、无法确定

8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4

三角函数计算公式大全

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三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。定义式锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或t g）余切（cot或ct g）正割（sec）余割（csc）表格参考资料来源：现代汉语词典[1]．函数关系倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②．平方关系：①；②；③．

诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

一次函数与方程,不等式基础知识

一次函数与方程、不等式一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。知识点睛

一、一次函数与一元一次方程综合【例1】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【例2】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．【例3】已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．二、一次函数与一元一次不等式综合【例4】已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当3 2 x = 时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例5】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【例6】已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值围是（） A ．5x > B ．1 2 x < C ．6x <- D ．6x >- 【例7】已知一次函数23y x =-+ 例题精讲

函数、方程、不等式之间的关系

很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上，他们之间的联系非常紧密。如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。 ★函数与方程之间的关系。先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示：该函数与x 轴的交点坐标为3 (,0)2 ，也就是在函数解析式23y x =-中，令0y =即可。令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的。接下来推广到二次函数：例如函数2 252y x x =-+的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是方程2 2520x x -+=的解。如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。有时候只需要作出大致图像即可。既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢函数2 252y x x =-+对应的方程是2 2520x x -+=，先求出这个方程的两个解。很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为 1 2 和2。这样，根据函数

高中三角函数公式大全

三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A =Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina= 2 )2(tan 12tan 2a a + cosa= 2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

八年级数学一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义

一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。一、一次函数与一元一次方程综合【例1】若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（） A.3 B.2 C.1 D.0 【例2】已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 知识点睛中考要求例题精讲

【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当3 2 x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例4】当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【巩固】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．

函数方程不等式综合应用专题

2011年中考复习二轮材料函数、方程、不等式综合应用专题一、专题诠释函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。二、解题策略和解法精讲函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。三、考点精讲考点一：函数与方程（组）综合应用例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______ 【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。

三角函数公式总结)

高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系 1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解?抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值． 2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax2－x－a，对称轴为x＝1 2a ． ①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝1 2a ＜0，

一次函数与方程不等式专项练习60题(有答案)

一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（） A． x＜B．x＜3 C． x＞ D．x＞3 3．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 5．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2 6．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（）

A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2 7．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 8．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣9 9．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 10．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________． 11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________． 12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________． 13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________．

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

一次函数与方程(或不等式)结合的问题

一次函数与方程（或不等式）结合的问题一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所用的时间分别是_________；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），所以，解得所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。（3）由题意得，解得。；所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制

函数方程不等式之间的关系

? a及函数的图像图像与x 轴相交的情况对应方程的实数根对应不等式的解集图像上的最高（低）点单调区间及单调性极（最）值 0 >? > a 与x 轴有两个交点有两个不相等的实数根 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 2< + +c bx ax的解集是). , ( 2 1 x x x∈ 顶点是函数图像上的最低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最）小值 a b ac 4 42 -0 < a 2> + +c bx ax的解集是 ). , ( 2 1 x x x∈0 2< + +c bx ax的解集是 ). , ( ) , ( 2 1 +∞ ? -∞ ∈x x x 顶点是函数图像上的最高点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为增函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为减函数 a b x 2 - =时，函数有极（最）大值 a b ac 4 42 - 0 =? > a 与x 轴有一个交点有两个相等的实数根 2> + +c bx ax的解集是 . , 2 1 x x x x≠ ≠ 顶点是函数图像上的最低点 ) 2 , ( a b x- -∞ ∈时为减函数，) , 2 (+∞ - ∈ a b x 时为增函数 a b x 2 - =时，函数有极（最）小值0

0a 与x 轴没有交点没有实数根 02>++c bx ax 的解集是 .R x ∈02<++c bx ax 的解集是空集. 顶点是函数图像上的最低点 )2,(a b x - -∞∈时为减函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为增函数 a b x 2- =时，函数有极（最）小值a b a c 442 - 0 ++c bx ax 的解集是空集. 02<++c bx ax 的解集是.R x ∈ 顶点是函数图像上的最高点 )2,(a b x - -∞∈时为增函数，) ,2(+∞-∈a b x 时为减函数 a b x 2- =时，函数有极（最）大值a b a c 442 -