第八章点的合成运动
用动静两种参照系描述同一点的运动，分析两种描述间的相互关系——运动学的重点内容。
一、运动描述的相对性
运动是空间位置的变化，完全可以参照不同的坐标系；
参照不同的坐标系对同一点的运动的描述不同；
这些不同的描述之间应该有相互的关联；
二、三种运动与三个速度
绝对运动：动点相对于定系的运动；绝对运动：动点相对于定系的运动；相对运动：动点相对于动系的运动；相对运动：动点相对于动系的运动；
牵连运动：动系相对于定系的运动；牵连运动：动系相对于定系的运动；
点的运动点的运动点的运动点的运动
刚体的运动刚体的运动
二、三种运动与三个速度
绝对速度：动点相对于定系的速度；
绝对速度：动点相对于定系的速度；
相对速度：动点相对于动系的速度；
相对速度：动点相对于动系的速度；
牵连速度：牵连点相对于定系的速度
牵连速度：牵连点相对于定系的速度
该时刻动坐标
系上与动点位
置重合的一点
M M MM M M ′
+=′11t M M t MM t M M t t t Δ′
+Δ=Δ′→Δ→Δ→Δ10100lim lim
lim r
e a v v v +=B
M
A
e
v a
v r
v B ′
A ′
M ′
1
M 动点在某瞬时的绝对速度等于在该瞬时的
牵连速度与相对速度的矢量和。
点的速度合成定理
牵连运动可以是任何运动情况
解题步骤（1）选择动点、动系和定系；（2）分析三种运动和三种速度；（3）作出速度平行四边形；
（4）利用速度合成定理中的几何关系解出未知数(绝对速度为平行四边形的对角线)
解：取滑块A 为动点，取摇杆O 1B 为动
系，由速度合成定理有
r
e a v v v +=?sin a e v v =221l
r v e
+=ω2
2l
r r r +=ω
ω
222
l r r
+
=
解：取AB 杆上A 为动点，取凸轮O 为动系，
由点复合运动的速度合成定理有：
r
e a v v v +=θ
cot e a v v =OA
e
OA
?=ωe
ω
=
解：取A 点为动点，取T 形槽为动
系，由点的速度合成定理有：
r
e a v v v +=
ω
R v a =t
R v v a e ωωθcos cos =
=
解：取M 点为动点，取架子为动系，由点
复合运动的速度合成定理有
r
e a v v v +=0
0+=ax v 02++=ωR v ay 1
0ωR v az ?=?
解：取矿砂为动点，传送带B 为动系，由
点合成运动的速度合成定理有
由速度三角形有：
r
e a v v v +=s
m v v v v v e a e
a r /6.360
cos 20
2
2
==?
+讨论
r
e a v v v +=k j i v ′
′+′′+′′=t z t y t x r d d d d d d k j i a ′
′+′′+′′=222222d d d d d d t z t y t x r t t t r
e a d d d d d d v v v +=t e d d v r
e a a a a +=牵连运动为平动！
t
O d d ′
=v O ′=a a =讨论
n
r
r e a a
a a a ++=τ
r
e a a a a +=解：取滑块A 为动点，取BC 杆
为动系，由加速度合成定理有
?cos a e a a =?
ωcos 2
r
=
r
e a a a a +=解：取杆上A 为动点，取凸轮为动系，
由速度合成定理有
r e a v v v +=
?
?sin sin v
v v e r ==
由加速度合成定理有
向n 轴投影
?sin a a ?sin a a ?
?3
2
sin cot R v
a a a +=?cos e a =n r a +?
cos a =?
22
sin R v +
r
e a v v v +=k j i v ′
′+′′+′′=t z t y t x r d d d d d d k j i a ′
′+′′+′′=22
22
22
d d d d d d t
z t y t x r t
t t r
e a d d d d d d v v v +=a a
t
a v =d d
1
??
?
???′′+′′+′′=k j i v t z t y t x t t r d d d d d d d d d d ?
?
????′′+′′+′′=k j i 22
22
22
d d d d d d t z t y t x r a =r
e r v ωa ×+=??
?
???′′+′′+′′+t t z t t y t t x d d d d d d d d d d d d k j i ()()()??
????′×?′+′×?′+′×?′+k ωj ωi ωe e e t z t y t x d d d d d d 2
()r ωv ×=e e t
t d d
d d t t
e e d d d d r ωr ω×+×=a
e e v ωr α×+×=()
e e e r a τ
=+×+ωv v r
e e v ωa ×+=C
r e a a a a a ++=牵连运动为任意运动！
r
e C v
ωa ×=23
讨论
解：取滑块A 为动点，取摇杆O 1B 为动
系，由加速度合成定理有
°
=90sin 21r C v a ωC
r e a a a a a ++=232232)
(2r l l r +=
ω2
2
cos l
r rl
v v a r +=
=ωφ2222
21l r r l r v e
+=+=ωω
将加速度合成定理向垂直于摇杆方向投影有
C
e a a a a ?+=?τ
?cos C
r e a a a a a ++=2
2
3222
2
)
()(ωτ
r l r l rl a e +??=2
2222
21)
()(ωατr l r l rl A O a e +??==
解：取叶轮出口处的流体质点A 为动点，作定
系Oxy ，动系Ox 1y 1固结在叶轮上，由速
度合成定理有：
s
m v v a r /232==r
e a v v v +=向径向作投影有
D
45
cos r ax v v =a r τ
8-5 杆OA长l，由推杆推动而在图面内绕点O转动，如图所示。假定推杆的速度为?，其弯头高为a。试求杆端A的速度的大小（表示为由推杆至点O的距离x的函数）。 题8－5图 【知识要点】点得速度合成定理和刚体的定轴转动。 【解题分析】动点：曲杆上B，动系：杆OA 绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 【解答】取OA杆为动系，曲杆上的点B为动点 v a = v e +v r 大小：√ 方向：√√√ v a = v 2 2 2 2 2 2 cos : a x va a x v a x va v v v e e e a + = + = + = = ω θ η 8-10平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC＝e，凸轮绕轴O转动的角速度为?，OC与水平线成夹角?。求当?＝0°时，顶杆的速度。 【知识要点】点的速度合成定理 【解题分析】动点：点C，动系：顶杆AB 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平行移动
题8－10图 【解答】 取轮心C 为动点，由速度合成定理有 v a = v e +v r 大小： √ 方向： √ √ √ 解得： v a = v e , v r =0, v e =v a =ωe 8-17 图示铰接四边形机构中，O 1A ＝O 2B ＝100mm ，又O 1 O 2＝AB ，杆O 1A 以等角速度?＝2rad/s 绕O 1轴转动。杆 AB 上有一套筒C ，此筒与杆CD 相铰接。机构的各部件都在同一铅直面内。求当?=60°时，杆CD 的速度和加速度。 题8－17图 【知识要点】 点的运动速度和加速度合成定理 【解题分析】 动点：套筒C,动系：杆AB 绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平行移动 【解答】 取C 点为动点，杆AB 为动系 （1）速度 v a =v e + v r , v e = v A = A O 1?ω s m v v e a /1.060cos 0 =?= (2) 加速度 a a = a e +a r ,A O a a n A n e 12 ?==ω 2 0/35.030cos s m a a n e a =?= 8-20 图示偏心轮摇杆机构中，摇杆O ，A 借助弹簧压在半径为R 的偏心轮C 上。偏心轮C 绕轴O 往复摆动，从而带动摇杆绕轴O 1摆动。设OC 上OO 1时，轮C 的角速度为O ，角加速度为零，?＝60°。求此时摇杆O 1A 的角速
8-5 杆OA 长l ，由推杆推动而在图面内绕点O 转动，如图所示。假定推杆的速度为υ，其弯头高为a 。试求杆端A 的速度的大小（表示为由推杆至点O 的距离x 的函数）。 题8－5图 【知识要点】 点得速度合成定理和刚体的定轴转动。 【解题分析】 动点：曲杆上B ，动系：杆OA 绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 【解答】 取OA 杆为动系，曲杆上的点B 为动点 v a = v e +v r 大小： √ ？ ？ 方向： √ √ √ v a = v 222 222cos :a x va a x v a x va v v v e e e a +=+=+==ωθη 8-10 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O 转动，轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R ，偏心距OC ＝e ，凸轮绕轴O 转动的角速度为ω，OC 与水平线成夹角?。求当?＝0°时，顶杆的速度。 【知识要点】 点的速度合成定理 【解题分析】 动点：点C ，动系：顶杆AB 绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平行移动
题8－10图 【解答】 取轮心C 为动点，由速度合成定理有 v a = v e +v r 大小： √ ？ ？ 方向： √ √ √ 解得： v a = v e , v r =0, v e =v a =ωe 8-17 图示铰接四边形机构中，O 1A ＝O 2B ＝100mm ，又O 1 O 2＝AB ，杆O 1A 以等角速度ω ＝2rad/s 绕O 1轴转动。杆AB 上有一套筒C ，此筒与杆CD 相铰接。机构的各部件都在同一铅直面内。求当?=60°时，杆CD 的速度和加速度。 题8－17图 【知识要点】 点的运动速度和加速度合成定理 【解题分析】 动点：套筒C,动系：杆AB 绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平行移动 【解答】 取C 点为动点，杆AB 为动系 （1）速度 v a =v e + v r , v e = v A = A O 1?ω s m v v e a /1.060cos 0=?= (2) 加速度 a a = a e +a r ,A O a a n A n e 12 ?==ω 20/35.030cos s m a a n e a =?=
第八章 点的合成运动 8-1 M 点沿y 轴作谐运动，运动方程为：0=x ，()β+=kt a y cos 。如将M 点放映到银幕上，此银幕以匀速v 向左运动。试分析M 点的牵连、相对和绝对运动，并求M 点映在银幕上的轨迹。 答案： 相对运动方程 () ???+='='βkt a y vt x cos ；相对运动轨迹 ??? ??+'='βx v k a y cos 8-2 M 点沿圆盘直径AB 以v 匀速运动，当开始时，M 点在圆盘中心，且直径AB 与Ox 轴重合。如圆盘以匀角速度w 绕O 轴转动，求M 点的绝对轨迹。答案：轨迹方程：?ωv r =
8-3 半径为r 的齿轮Ⅱ由曲柄OA 带动沿同样半径的固定齿轮Ⅰ而滚动，曲柄以角速度w 0绕O 轴转动。设在曲柄OA 上固连一动系，试求动齿轮上B 、C 、D 三点的牵连速度。 答案：0003,5,ωωωr v r v r v eD eB eC === 8-4 河的两岸相互平行，设各处河水流速均匀且不随时间改变。一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经10min 到达对岸，这时船到达点B 下游120m 的点C 。为使船从点A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。再此情况下，船经12.5min 到达对岸。求河宽L 、船对水的相对流速v r 和水的流速v 的大小。答案：200m L =；m /s 333.0=r v ；m/s 2.0=v
8-5 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度m/s 15=a v ，并与铅垂直径成?=60?角。工作轮的半径m 2R =，转速r/min 30n =。为避免水流对工作轮叶片想冲击，叶片应恰当的安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小和方向。 答案：m /s 06.10=r v ； v r 与半径的夹角为?8.41 8-6 矿砂从传送带A 落到另一传送带B ，其绝对速度m /s 4v 1=，方向与铅直线成?30角。设传送带B 与水平面成?15角，其速度m /s 2v 2=。求此时矿砂对于设传送带B 的相对速度。并问设传送带B 的速度为多大时，矿砂的相对速度才能与它垂直？ 答案：m /s 982.3=r v ；当传送带B 的速度m /s 035.12=v 时，v r 才与带垂直。
苏州大学 《理论力学》课程 共4页 第八章 点的合成运动 练习题 院系： 年级： 专业： 姓名： 学号： 成绩： 一、填空题 1、在点的合成运动中，牵连速度是指 的速度。 2、在点的合成运动中，根据点的速度合成定理，动点的绝对速度可以由牵连速度与相 对速度所构成的平行四边形的 来确定。 3、 相对于 的运动称为绝对运动； 相对于 的运动称为相对运 动；而 相对于 的运动称为牵连运动。 4、牵连点是某瞬时 上与 相重合的那一点。 二、选择题 1、在点的合成运动中，牵连运动是指 。 （A ）动系相对于定系的运动 （B ）动点相对于定系的运动 （C ）定系相对于动系的运动 （D ）牵连点相对于动系的运动 2、如图所示的等腰直角三角形物块在水平面内作平移运动，其顶点A 的运动方程为： t x 26cos =，t y 24sin =同时，有一动点M 沿斜边以2 3t s =规律运动，（其中s y x 、、以米计，t 以秒计），则在2/π=t 秒时，动点的牵连加速 度的大小等于 。 （A ）2 24s m / （B ）2 26s m / （C ）26s m / （D ）0 3、动点的牵连速度是指该瞬时牵连点的速度，它相对的坐标系是_________。 （A ）动坐标系； （B ）定坐标系； （C ）不必确定； （D ）定系或动系都可以。 4、点的速度合成定理r e a v v v +=的适用范围是 。 （A ）牵连运动只能是平动； （B ）牵连运动为平动和转动都适用； （C ）牵连运动只能是转动； （D ）牵连运动只能是直线平动。 y
三、计算题 1、如图所示，倾角为030=?的三角形物块以速度v 0沿水平线向右运动，带动从动杆AB 沿导槽在铅直方向运动。求此时杆AB 上B 点的速度。 2、图示机构中，当长为r 的杆O 1A 以匀角速度ω转动，通过套筒A 带动杆O 2B 转动，在图示瞬时，O 1O 2连线处于铅直线上，杆O 2B 处于水平状态，060=?，求此时杆O 2B 的角速度。 3、如图所示的机构中，杆OE 绕轴O 转动，通过套在其上面的套筒A 带处于水平位置的杆AB 运动，在图示瞬时，045=?，杆OE 的角速度为ω，已知L ，求此时杆端B 的速度。 B B O 1
第8章 点的合成运动 8-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动 方程为 x = 0， y = a cos(kt +β) 如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。 解 动系O 'x ' y '固结在纸上，点 M 的相对运动 方程 x '= v e t ， y '= a cos(kt + β) 消去t 得点 M 在记录纸上的轨迹方程 k y '= a cos( x '+β) v e 8-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，图 8-1 运动方程为 x '= 40(1? cos t ) ， y '= 40sin t 式中t 以 s 计，x '和 y '以 mm 计。平面Ox ' y '又绕垂直于该平面的轴O 转动，转动方程为 ?= t rad ，式中角?为动系的 x '轴与定系的 x 轴间的交角。求点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。 解 由点 M 的相对运动方程可改写为 ? x ' ? ?? ? 40 ?1??? = ?cos t y ' = sin t 40 上2式两边平方后相加，得点 M 的相对轨迹方程 (x '?40)2 + y '2 =1600 图 8-2 由题得点 M 的坐标变换关系式
x = x 'cos ?? y 'sin ? y = x 'sin ?+ y 'cos ? 将?= t 和相对运动方程代入，消去t 得点M 的绝对轨迹方程 (x + 40)2 + y 2 =1600 8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度v a =15 m/s ，并与直径成β= 60° 角，如图 8-3a 所示，工作轮的半径R = 2 m ，转速n = 30 r/min 。为避 免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小方向。 x ′ (a) (b) 图 8-3 解 水轮机工作轮入口处的 1 滴水为动点 M ，动系固结于工作轮，定系固结于机架/ 地面（一般定系可不别说明，默认为固结于机架，下同）；牵连运动为定轴转动，相对运动与叶片曲面相切，速度分析如图 8-3b 所示，设θ为v r 与 x '轴的夹角。点 M 的牵连速度 n π v e = R ω= 2× = 6.283 m/s 30 方向与y ' 轴平行。由图 8-3b , e v ′ a v r v ° 60 θ M